Chuyen de day so KSTN (gsttvn com)

tai lieu hay day moi nguoi

Dãy số

Dãy vô hạn { }u n n∞=01 là một dãy các số u u u … tuân theo quy luật nào ñó 0, ,1 2,

Cùng một dãy số có thể ñược xác ñịnh bởi nhiều cách, trong bài toán về dãy số, nhiều khi phải ñưa ñược dãy về dạng mà ta mong muốn ñể giải quyết yêu cầu ñặt ra

Ở ñây ta xét các cách xác ñịnh phổ biến là:

- Xác ñịnh bằng công thức số hạng tổng quát u của dãy n

Thí dụ: Dãy { }u n ñược xác ñịnh bởi u n =2n+1 là dãy số tự nhiên lẻ

- Xác ñịnh bằng tính quy nạp (chủ yếu là bằng công thức truy hồi)

Thí dụ:

+ Dãy { }u n ñược xác ñịnh bởi u0 = 30, u n+1= 30+u n

+ Dãy { }u n ñược xác ñịnh bởi u0 = =u1 1, u n+2 =u u n2 n+1

- Xác ñịnh thông qua các phép toán của các dãy khác

n n

k k

q u

1 Trong tài liệu này, nếu nhắc ñến dãy số { }u n mà không chú thích gì thêm, ta hiểu ñó là dãy vô hạn

2 Nếu u +1>u n, ∀ ≥n n0, thì ta vẫn có thể nói dãy { }u n ñơn ñiệu tăng, nhưng nên nói dãy { }u n n n∞=0

ñơn ñiệu tăng, hoặc dãy ñơn ñiệu { }u n tăng với n≥n0

- Dãy ñơn ñiệu không giảm nếu u n+1≥u n , n∀ ∈ℕ

- Dãy ñơn ñiệu giảm (giảm ngặt) nếu u n+1<u n , n∀ ∈ℕ

- Dãy ñơn ñiệu không tăng nếu u n+1≤u n , n∀ ∈ℕ

Giới hạn của dãy số

1 ðị nh nghĩa

Dãy { }u n gọi là có giới hạn bằng L (hội tụ về L ) khi n→ ∞, nếu ∀ >ε 0, ∃ ∈n0 ℕ :

n>n ⇒ u − <L ε

2 Phé p cộng trừ, nhân, chia giới hạn

Giả sử tồn tại lim n

4 Dã y ñơn ñiệu, bị chặn thì hội tụ

a) { }u n là dãy ñơn ñiệu tăng (không giảm) và bị chặn trên bởi M , thì hội tụ

lim n

→∞ = ≤ b) { }u n là dãy ñơn ñiệu giảm (không tăng) và bị chặn dưới bởi m , thì hội tụ

→∞ =

Bà i toán (cần) tìm công thức số hạng tổng quát

Trong bài toán xác ñịnh công thức số hạng tổng quát của dãy số từ công thức truy hồi cần ñặc biệt chú ý 2 phương pháp sau:

- Phương pháp sai phân

- Phương pháp lượng giác hóa

1) Phương pháp sai phân

Xét dãy { }u n ñược xác ñịnh từ công thức truy hồi:

a u + +a u− − + +a− u− + + +… a u =

ðể tìm công thức số hạng tổng quát, ta làm theo các bước:

- Giải phương trình ñặc trưng: a nλn a n 1λn−1 a1λ a0 0

(có thể ñược xác ñịnh nếu biết các số hạng ñầu u u0, ,1 …,u i−1)

- Nếu (*) có nghiệm bội, chẳng hạn λ1 có bội k thì số hạng tổng quát của dãy là:

Dãy Fibonacci { }F n ∞n=1 ñược xác ñịnh như sau: u1=u2 =1, u n+2 =u n+1+u n

Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy

Cho dãy số { }x n xác ñịnh như sau: x0 =a, x n+1= +1 bx n , n∀ ∈ℕ

Với ñiều kiện nào của ,a b thì dãy { }x n hội tụ?

− hoặc b <1

Vậy, ñiều kiện cần và ñủ ñể dãy { }x n hội tụ là hoặc b <1, hoặc

111

b a b

Lời giải

Xét dãy { }x n ∞n=0: x n+1= f x( )n , với x0 là một số thực cố ñịnh

Từ (*) ta có công thức truy hồi của dãy: x n+2 = −ax n+1+b a b x( + ) n

Phương trình ñặc trưng: 2 ( )

0

x +ax b a b− + = , có 2 nghiệm x1=b, x2 = − −a b Công thức tổng quát của dãy 1 2( )

n n

n

x =c b +c − −a b , với c c1, 2∈ℝ thỏa mãn x0 = +c1 c2 và x1=c b c a1 − 2( +b)

Lời giải

Xét dãy { }v n n∈ℕ: v0 =u0, v1=u1, v n+2 = pv n+1+qv n , với mọi n∈ℕ

Bằng quy nạp, ta chứng minh ñược u n≤v n , với mọi n∈ℕ

Ta tìm công thức số hạng tổng quát của dãy { }v n n∈ℕ

Phương trình ñặc trưng: x2−px q− =0 (*), có 2 nghiệm:

n n

n

u

u = − + − , ∀ ≥n 1 Tính lim n2

1

( 1)2011

2011 2011( 1)

2011

n n

n

n n n

u

−

− + +

Công thức số hạng tổng quát của dãy: 1( ) 2

11

2011

n n

2) Phương pháp lượng giác hóa

Bảng sau có ích cho nhiều bài toán:

3 32

Khi ñó, 1 sin 3 cos sin sin 1

n

u u

u

+ =+ + Tìm lim 2( )n

n

n

v v

n n

u u

Công thức số hạng tổng quát dãy { }a n : 1 2 1

2

n n

Một số dạng toán thường gặp

Tí nh hội tụ của dãy { } un ñược xác ñịnh bởi hệ thức truy hồi un+1= f u ( )n

Phương pháp khảo sát tính ñơn ñiệu của dãy

Nói chung, ta luôn bắt ñầu bằng việc giải phương trình x= f x( ) ñể tìm ra nghiệm x=α

có thể là giới hạn của dãy số, ñồng thời cũng thuận lợi cho việc chia khoảng ñể xét tính tăng giảm của dãy

u u

x= − , ñược nghiệm duy nhất x= −2

- Nếu u0 ≥ −2 thì theo quy nạp, ta có u n ≥ −2, n∀ ∈ℕ

Từ công thức truy hồi, suy ra L=ln 1( +L)⇒g L( )=g(0)⇒L=0

Vậy dãy { }u n hội tụ và lim n 0

n

u <c , n∀ ∈ℕ

Do u1= a >u0=0 nên u2 = a u+ >1 a u+ 0 = >u1 0

Tương tự, theo quy nạp, ta ñược u n+1>u n , n∀ ∈ℕ

Dãy { }u n tăng, bị chặn trên, nên hội tụ ðặt lim n

u+ − =u u −a ≥ ⇒u+ ≥u , n∀ ∈ℕ , suy ra dãy { }u n không giảm

Do ñó, dãy { }u n hội tụ khi và chỉ khi { }u n bị chặn trên

* Giả sử { }u n hội tụ, lim n

* Giả sử a− ≤1 u0 = ≤b a, thì u1≤a (theo biến ñổi trên)

Mà dãy { }u n không giảm, nên u1≥u0≥ −a 1, suy ra a− ≤ ≤1 u1 a

Tương tự, bằng quy nạp, ta có a− ≤1 u n ≤a , n∀ ∈ℕ

Dãy { }u n không giảm, bị chặn trên bởi a , nên hội tụ

Vậy ñiều kiện cần và ñủ ñể dãy { }u n hội tụ là a− ≤ ≤1 b a

Phương pháp ánh xạ co

Phương pháp ánh xạ co ñược áp dụng ở ñây với ý tưởng cơ sở khá ñơn giản

Dãy { }u n n∞=0ñược gọi là co nếu tồn tại số q∈( )0;1 sao cho u n+1− ≤α q u n−α , n∀ ∈ℕ Khi ñó { }u n hội tụ về α

2

α =− + là giới hạn của dãy

n n

u u

αα

Bài tốn 18:

Cho dãy { }u n thoả mãn

1 2 1

13

2

n n

u u

x

x= − , dự đốn giới hạn là α= −1 3 (nghiệm dương 1+ 3 khơng được vì u n∈ −( 1; 0 ,) ∀ ≥n 2)

Lời giải

2 1

n

u u

13,

n n

3( ) 0

n x

→∞

Suy ra phương trình ( )g x = ⇔0 f x( )=x có nghiệm duy nhất

Gọi α là nghiệm duy nhất của phương trình ( )f x =x

Áp dụng ñịnh lý Lagrange, c∃ : 1 ( ) ( ) ( )

12

u+ − =α f u − f α = f′ c u − ≤α u −α Vậy { }u n hội tụ về α

0 1

u = , u n+1= f u( )n , n∀ ∈ℕ Chứng minh rằng dãy { }u n hội tụ

Dãy số ñược xác ñịnh bởi các phép toán tổng và tích –

Dãy số hạng “khử liên tiếp”

Ta quy ước một số khái niệm:

Cho { }v n là dãy số ñược xác ñịnh

- Dãy { }u n ñược gọi là dãy khử tổng nếu mỗi số hạng có dạng u n =v n+1−v n

- Dãy { }u n ñược gọi là dãy khử tích nếu mỗi số hạng có dạng n 1

n n

v u v

+

= ðặc ñiểm:

- Nếu { }u n là dãy khử tổng thì dãy { }S n : 1 0

- Nếu { }u n là dãy khử tích thì dãy { }P : n 1

Trong nhiều bài tập, ñể tìm ñược các tính chất cần thiết của { }S n hoặc { }P n , ta cần tìm ñược dãy { }v n tương ứng và các tính chất của nó

k k

u S

u

= +

=∑ , ta cần biểu diễn mỗi số hạng trong tổng

dưới dạng v n+1−v n Trong bài này, 1

x x

Phương pháp dãy con

Trong một số bài toán về tìm giới hạn dãy số, dãy ñang xét không ñơn ñiệu, nhưng nó có thể chia thành các dãy con mà từng dãy ñơn ñiệu và quan trọng hơn là hội tụ Dãy lớn hội

tụ khi và chỉ khi các dãy con ñều hội tụ về cùng một giới hạn

n

x n

Khi ñó, dãy { }a n giảm dần về 2 còn dãy { }b tăng dần ñến 2 n

Bằng quy nạp ta chứng minh ñược:

Dãy số xác ñịnh bởi phương trình

Từ ñó kết hợp với tính nghịch biến của hàm f n+1( )x , suy ra x n >x n+1

Dãy { }x n giảm, bị chặn dưới bởi 0, do ñó hội tụ (ñpcm)

dx n