b. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là cạnh AB vẽ tia Ax, By cùng vuông góc AB. Kẻ OM vuông góc CD tại M. Chứng minh BC đi qua trung điểm MH d. Biết rằng có số tự nhiên n sao cho trong[r]
Trang 1ĐỀ 1
Bài 1: (4,0 điểm)
a) Tìm tất cả các số tự nhiên có ba chữ số khi chia cho 37 dư 2 và chia cho 11 dư 5
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2xy 4x y 9 0
Bài 2: (4,0 điểm)
a) Cho 3a 2 b0và 9a24b2 13ab Tính giá trị biểu thức 9a2 4 2
ab A
b
b) Giải phương trình:
3
2015 2013 2011
Bài 3: (4,0 điểm)
a) Cho biểu thức
M
Rút gọn biểu thức M và tính giá trị của x khi M = 3
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: N x2 y24x 4 y2.
Bài 4: (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC>AB), đường cao AH (HBC) Trên tia HC lấy điểm
D sao cho HD = HA Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E
a) Chứng minh rằng BECvà A CD đồng dạng
b) Tính tỉ số
BE AB
Bài 5: (4,0 điểm)
a) Cho tam giác ABC có G là trọng tâm Một đường thẳng đi qua G không song song với
BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N Tính
AM AN
b) Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến AH, BG sao cho CAH CBG 30 Chứng minh rằng tam giác ABC đều
ĐỀ 2
Bài 1: (5,0 điểm)
1 Cho biểu thức M=
a/ Rút gọn M b/ Tìm giá trị lớn nhất của M
2 Cho x, y là số hữu tỷ khác 1 thỏa mãn
1
Chứng minh M=x2y2 xy là bình phương của một số hữu tỷ
Bài 2: (4,0 điểm)
1 Tìm số dư trong phép chia x3 x5 x7 x92033
cho x212x30
2 Cho x, y, z thỏa mãn x y z ; 7 x2y2z2 23 ; xyz 3
Tính giá trị biểu thức H=
xy z yz x zx y
Bài 3: (4,0 điểm)
Trang 21 Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thoả mãn 3x23xy17 7 x 2y
2 Giải phương trình Giải phương trình: 3x 2 x1 2 3x8 16
Bài 4: (6 điểm)
Cho hình vuông ABCD có 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O Trên cạnh AB lấy M ( 0<MB<MA) và trên cạnh BC lấy N sao cho MON 900 Gọi E là giao điểm của AN với DC, gọi K
là giao điểm của ON với BE
1 Chứng minh MON vuông cân
2 Chứng minh MN song song với BE
3 Chứng minh CK vuông góc với BE
4 Qua K vẽ đường song song với OM cắt BC tại H Chứng minh 1
KB KH BH
Bài 5: (1,0 điểm)
Cho x, y 0 thỏa mãn x2y Tìm giá trị nhỏ nhất của H=5
2
x y
ĐỀ 3
Bài 1 (4,0 điểm) Cho biểu thức:
a) Rút gọn M.
b) Tìm x nguyên để M có giá trị là số nguyên dương.
c) Tìm x để M3.
Bài 2 (6,0 điểm)
a) Cho , x y là hai số dương và x2010 y2010 x2011y2011 x2012y2012. Tính giá trị của biểu thức S x 2020 y2020.
b) Giải phương trình
x 2015 x 2007 x 2006 x 2018
c) Tìm x và y thỏa mãn: y2 2 x 2 1 =2y x 1
Bài 3 (4,0 điểm)
a) Chứng minh
bc ac ab
a b c
a b c với mọi số dương a, b, c.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức L x 4 4x37x2 12x 20.
Bài 4 (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A AC AB Vẽ đường cao AH H BC Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho KH = HA Qua K kẻ đường thẳng song song với
AH, cắt đường thẳng AC tại P.
a) Chứng minh: Tam giác AKC đồng dạng với tam giác BPC.
Trang 3b) Gọi Q là trung điểm của BP Chứng minh: tam giác BHQ đồng dạng với tam giác BPC.
c) Tia AQ cắt BC tại I Chứng minh:
AH BC
=1
HB IB
ĐỀ 4
Câu 1 (4,0 điểm)
1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x26xy5y2 5y x .
2) Cho a3 3ab2 5 và b3 3a b 102 Tính S = 2016a22016b2
Câu 2 (5,0 điểm)
1) Cho biểu thức A =
2
:
Rút gọn biểu thức A và tìm các giá trị của x để A < 0
2) Chứng minh rằng ( n2 + 3n + 1)2 - 1 chia hết cho 24 với n là số tự nhiên.
Câu 3 (4,0 điểm)
1) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x3 + 3x = x2 y + 2y + 5
2) Một đa thức P(x) chia cho x2 x 1 thì dư 1 - x và chia cho x2 x1 thì dư 3x + 5 Tìm số dư của phép chia P(x) cho x4x21.
Câu 4 (6,0 điểm)
Gọi M là một điểm bất kì trên đoạn thẳng AB Vẽ về một phía của AB các hình vuông AMCD, BMEF.
1) Chứng minh AE vuông góc với BC
2) Gọi H là giao điểm của AE và BC Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng 3) Chứng minh đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB cố định
ĐỀ 5
Bài 1 (4,0 điểm)
Cho biểu thức:
P
a Rút gọn P
b Tìm các giá trị của x để P = 6
Bài 2 (4,0 điểm)
a Cho các số a, b, c, d nguyên dương đôi một khác nhau và thoả mãn:
Trang 42a + b 2b + c 2c + d 2d + a
a b b c d d Chứng minh A = abcd là số chính phương
b Tìm a nguyên để a3 – 2a2 + 7a – 7 chia hết cho a2 + 3
Bài 3 (3,0 điểm)
a Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x – 1)(2x – 1)(2x2 – 3x – 1) + 2017
b Giải phương trình:
x +1 x +1 2x - 4
x - 2 x - 4 x - 4
Bài 4 (3,0 điểm)
a Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác thỏa mãn: a3 + b3 + c3 = 3abc Chứng minh tam giác đều
b Cho x, y, z dương và x + y + z =1 Chứng minh rằng : 2 2 2
9
Bài 5 (5,0 điểm)
Cho O là trung điểm của đoạn AB Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là cạnh AB vẽ tia Ax, By cùng vuông góc AB Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By tại D
a Chứng minh AB2 = 4 AC.BD
b Kẻ OM vuông góc CD tại M Chứng minh AC = CM
c Từ M kẻ MH vuông góc AB tại H Chứng minh BC đi qua trung điểm MH
d Tìm vị trí của C trên tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất
ĐỀ 6
Bài 1.(5 điểm)
Cho x, y là hai số thay đổi thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0 và x + y = 1
a) Rút gọn biểu thức
(x− y)2−
2 x2y
(x2−y2)2+
x2
y2−x2] . b) Chứng minh rằng: A < - 4
Bài 2 (2 điểm)
Cho ba số x, y, z thỏa mãn điều kiện:
4x2 + 2y2 + 2z2 – 4xy – 4xz + 2yz – 6y – 10z + 34 = 0, Tính gia trị của biểu thức T = (x – 4)2014 + (y – 4)2014 + (z – 4)2014
Bài 3.(2 điểm)
Cho số nguyên tố p > 3 Biết rằng có số tự nhiên n sao cho trong cách viết thập phân của số pn
có đúng 20 chữ số Chứng minh rằng trong 20 chữ số này có ít nhất 3 chữ số giống nhau
Bài 4.( 8 điểm)
Cho hình vuông ABCD cạnh a và điểm N trên cạnh AB Cho biết tia CN cắt tia DA tại E, tia
Cx vuông góc với tia CE cắt tia AB tại F Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng EF
a) Chứng minh CE = CF;
b) Chứng minh B, D, M thẳng hàng;
c) Chứng minh EAC đồng dạng với MBC;
Trang 5d) Xác định vị trí điểm N trên cạnh AB sao cho tứ giác ACFE có diện tích gấp 3 lần diện tích hình vuông ABCD
Bài 5 (3 điểm)
a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 3x – y3 = 1
b) Cho ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện 0 ≤ a, b, c ≤ 2 và a + b + c = 3
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a2 + b2 + c2
ĐỀ 7
Trang 6ĐỀ 8
Bài 1 (6,0 điểm)
a Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: A = x32019x22019x2018
b Tìm các giá trị x và y thỏa mãn: x2y2 4x 2y 5 0
Trang 7c Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì : A = 5n+2 + 26.5n + 82n+1 59
Bài 2 (4,0 điểm)
a Chứng minh a2 b2 c2 2abbcca với mọi số thực a, b, c
b Chứng minh rằng với mọi số nguyên x thì biểu thức P một số chính phương
x+5 x+7 9 11 + 16.
Bài 3 (3.0 điểm):
P
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P cĩ giá trị
b) Rút gọn biểu thức P
Bài 4 (5,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuơng tại A AC AB Vẽ đường cao AH H BC Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho KH = HA Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, cắt đường thẳng AC tại P
a.Chứng minh: Tam giác ABC Đồng dạng với tam giác KPC
b Gọi Q là trung điểm của BP Chứng minh: QH là đường trung trực của đoạn thẳng AK
Bài 5 (2.0 điểm):
Cho tam giác ABC cĩ A Bˆ ˆ Trên cạnh BC lấy điểm H sao cho HACˆ ABCˆ Đường phân giác của gĩc ˆBAH cắt BH ở E Từ trung điểm M của AB kẽ ME cắt đường thẳng AH tại F Chứng
minh rằng: CF // AE
ĐỀ 9
Câu 1:
a) Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x3 – 7x2 + 17x – 5
b) Cho a + b = 1 Tính giá trị của biểu thức C = 2(a3 + b3) – 3(a2 + b2 )
Câu 2:
a) Cho các số nguyên a, b,c thoả mãn: ab+bc+ca=1
Chứng minh rằng: A= 2 2 2
là số chính phương ;
b) CMR với mọi số tự nhiên n ta cĩ: 5n+2+26.5n+82n+1 59
Câu 3:
a) Tìm x biết : (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 ;
b) Cho ba số a, b, c thoả mãn
2 2 2
a b c 0
a b c 2012 Tính Aa4 b4 c4
Câu 4: Cho tam giác ABC vuơng tại A Đường cao AH Gọi I là trung điểm của HC Kẻ đoạn thẳng
BK vuơng gĩc với BA sao cho BK=
1
2 AC (K và C cùng phía đối với AB)
a) Gọi E là trung điểm của AH Chứng minh rằng BE song song với IK
b) Tính gĩc AIK.
ĐỀ 10
Trang 8Câu 1 : Cho phân thức: A =
2
4x 3 x
1) Tìm x để A = 0
2) Rút gọn A
Câu 2 : Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức : 2y2x – y2 + x + y + 1 = x2 +xy +y2
Câu 3 :
1) Chứng minh rằng : (x – 1)(x – 3)(x – 4)(x – 6) + 10 1
2) Giải phương trình : x6 + 3x5 + 6x4 + 7x3 + 3x + 1 = 0
Câu 4 : Cho tam giác ABC cân tại A với góc A nhọn, CD là đường phân giác của góc ACB (D thuộc
AB) ; qua D kẻ đường vuông góc với CD cắt đường thẳng CB tại E Chứng minh BD =
1
2 EC
Câu 5 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, M là một điểm di động trên AB Qua A, B vẽ các đường
thẳng song song với CM, chúng lần lượt cắt các đường thẳng BC, CA tại P và Q Tìm vị trí điểm M để
biểu thức