3 Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất.[r]
Trang 1TẠO THẠCH HÀ NĂM HỌC 2011-2012
Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 24- 4 - 2012
Bài 1
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1) x2 x 20
2) x4 4
Bài 2
1) Tìm phần dư R(x) khi chia đa thức: P(x) 1 x x 9 x25x49 x81 Cho Q(x) x 2 x
2) Cho x > 0 thoả mãn
2 2
1
x
Tính giá trị của biểu thức
3 3
1
N x
x
Bài 3.
Giải các phương trình sau:
1) x2 4x 4 3 1 x 23 4x 5 3 0
2) 2x4 + 3x3 – 3x2 + 3x + 2 = 0
Bài 4
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M x 2 xy y 2 3x 3y 2012
Bài 5
Cho hình vuông ABCD cạnh a M là điểm trên đường chéo BD Lấy ME vuông góc với AB (E AB) và MF vuông góc với AD (F AD)
1) Chứng minh DE CF; EF = CM
2) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng qui
3) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất
HẾT…
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2011 – 2012
Bài 1
4,0đ
1
2,0đ
2
2,0đ
x 4 x 4x 4 4x
(x 2) (2x)
(x2 2x 2)(x 2 2x 2)
1,0 1,0
Bài 2
4,0đ
1
2,0đ
P(x) = Q(x) M(x) + R(x) = x(x - 1) M(x) + R(x)
Trong đó R(x) có dạng ax + b P(x) = x(x - 1) M(x) + ax + b
Ta có: P(0) = b = 1 P(1) = a + 1 = 6 Từ(1) và (2) suy ra a = 5
Vậy đa thức dư là R(x) = 5x + 1
0,5 0,5
0,5 0,5
2
2,0đ
2 2
1
x
(1)
2
2
1 1
x x
2
=>Từ (1) và (2) ta có
2 2
(x )(x ) 4.14 56
1,0
1,0
Bài 3
4,0đ
1
2,0đ
x2 4x 4 3 1 x 23 4x 5 3 0
(1) Chứng minh: Với a b c 0 thì a 3b2 c33abc
Ta có x2 4x 4 3 1 x 234x 5 3 0
x2 4x 4 1 x 2 4x 5 0
x2 4x 4 0 hoặc 1 x 2 0 hoặc 4x 5 0
<=> (x 2) 2 0 hoặc x2 1 hoặc 4x 5 0
x = 2 hoặc x = 1 hoặc
5 x 4
Vậy tập hợp nghiệm của phương trình (1) là S = {2 ; -1; 1;
5
4}
0,5 0,5
1,0
2
2,0đ
2x4 + 3x3 – 3x2 + 3x + 2 = 0 (2)
Ta có x = 0 không là nghiệm của (2) Với x 0 chia 2 vế cho x2 ta có
2
2
3 2
x x
0,5 0,5
Trang 3x x ; Đặt y = x (2) <=> 2y2 + 3y – 7 = 0 (3)
Với 1
65 3 1 65 3
4
=> Vô nghiệm
65 3 1 65 3
4
2 2
Tập nghiệm S = {
65 3 10 6 65 65 3 10 6 65
;
}
0,25 0,5
0,25
Bài 4
2,0 2,0đ
M = (x 1) 2 (y 1) 2 (x 1)(y 1) 2009
=
Dấu “ =” xẩy ra khi
Vậy Min M = 2009 Khi x = y =1
0,5 0,5 0,5 0,5
Trang 4Bài 5
6,0đ
0,5đ
1
2,0đ
Ta có DF = AE DFC = AED (c-g-c)
ADE DCF
EDC DCF EDC ADE 90 0 nên DE CF
Vì MD là trung trực của AC =>MC = MA
Mặt khác AEMF là hình chữ nhật => MA = FE nên EF = CM
0,5
0,5 0,5 0,5
2
2,0đ
MCF =FED (c-c-c) MCF FED
Từ MCF FED chứng minh được CM EF Tương tự a) được CE BF
ED, FB và CM trùng với ba đường cao của FEC nên chúng đồng qui
0,5 0,5 0,5 0,5
3
1,5đ
ME + MF = FA + FD = a
Áp dụng BĐT Co-sy ta có 4ME.MF (ME MF) 2 a2 Dấu “=” xẩy ra khi ME = MF, Lúc đó M là trung điểm của BD
=> Max
2
AEMF
a
4
0,25 0,5 0,25 0,5
Lưu ý: Các cách giải khác đúng, hợp lí đều cho điểm tối đa.