HÀM SỐ LIÊN TỤC
Định nghĩa:
*Hàm số f(x) liên tục tại xo ⇔
xlim f (x) f (x )x
*Hàm số f(x) gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm xo ∈ (a;b)
*Hàm số f(x) gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng [a;b]
và x alim f (x) f (a) và lim f (x) f (b)+ x b−
Các định lý:
Định lý 1:Các hàm số đa thức,hữu tỉ,lượng giác là các hàm số liên tục trên tập xác định của chúng
Định lý 2:Tổng,hiệu,tích,thương của những hàm liên tục là một hàm liên tục
Định lý 3:Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một số c ∈ (a;b) sao cho f(c) = 0
Hệ quả : Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm trên khoảng (a;b)
1.Xét sự liên tục của các hàm số sau:
a) f(x) = x2 + x – 3 b)f(x) =
5 2
3 3
x
x + x c)f(x) = 2
2 4
x x
+ +
2.Xét sự liên tục của các hàm số sau:
a) f(x) =
≥
−
<
+
−
1 x khi 3 2x
1
x khi 4 x
x2
tại xo = 1 b) f(x) =
=
≠
−
−
−
−
2 x khi 3 11
2 x khi 2 x x
6 x x 2 3
tại xo = 2
c) f(x) =
sin x
khi x 1
x 1
khi x 1
π
tại xo = 1 d) f(x) =
2 2
khi x 1
x khi x 1 2
tại xo = 1
e) f(x) =
2
4 x
khi x 2
x 2
1 2x khix 2
−
tại xo = 2 f) f(x) =
3
3
2
x 1 1
khi x 0
1 x 1
+ −
tại xo = 0
g) f(x) =
3
2
1 cosx
khi x 0 sin x
1
khi x 0
6
tại xo = 0 h) f(x) =
khi x 2
2 x
1 khi x 2
tại xo = 2
3.Tìm a để các hàm số sau liên tục tại x0
a) f(x) =
≥ +
<
− +
1 x khi a 2x
1
x khi 1 x
x2
tại x0 = 1 b) f(x) =
=
≠
−
− +
1 x khi a
1
x khi 1 x
3 x x 2 3
tại x0 = 1
c) f(x) =
khi x 0 x.sin 2x
x a
khi x 0
x 1
+
+
tại xo = 0 d) f(x) =
khi x 0 x
4 x
x 2
−
tại xo = 0
4.Xét sự liên tục của các hàm số sau:
a) f(x) =
−
≥
−
−
<
−
−
2 x khi
x
1
2
x khi 7 x
x2
b) f(x) =
>
−
≤
≤ +
+
<
−
− +
5
x khi 4 3x
5 x 2 khi 2
x
3 2x
2 x khi 4 x
10 x 3 x 2 2
5 Xét sự liên tục của các hàm số sau:
1
Trang 2a) f(x) =
≥
−
<
+
−
1 x khi 3 2x
1
x khi 4 x
x2
tại xo = 1 b) f(x) =
=
≠
−
−
−
−
2 x khi 3 11
2 x khi 2 x x
6 x x 2 3
tại xo = 2
c) f(x) =
sin x
khi x 1
x 1
khi x 1
π
tại xo = 1 d) f(x) =
2 2
khi x 1
x khi x 1 2
tại xo = 1
e) f(x) =
2
4 x
khi x 2
x 2
1 2x khix 2
−
tại xo = 2 f) f(x) =
3
3
2
x 1 1
khi x 0
1 x 1
+ −
tại xo = 0
6 Tìm a để các hàm số sau liên tục trên R
a) f(x) =
33x 2 2
khi x 2
x 2 1
4
>
b) f(x) =
sin(x )
3 khi x
3
π
≠
−
=
7 Tìm a,b để hàm số sau liên tục trên R
a) f(x) =
π
>
π
≤
≤
π
− +
π
−
<
−
2
x khi x
cos
2
x 2 khi b asinx
2
x khi x sin
2
b) f(x) =
>
−
≤
≤ +
<
3 x khi
x 4
3 x 1 khi b ax
1
x khi
x2
8 Chứng minh rằng các phương trình sau có nghiệm:
a) x3 – 2x – 7 = 0 b) x5 + x3 – 1 = 0 c) x3 + x2 + x + 2/3 = 0
d) x3 – 6x2 + 9x – 10 = 0 e) x5 + 7x4 – 3x2 + x + 2 = 0 f) cosx – x + 1 = 0
9 Chứng minh rằng phương trình
a) x3 – 3x2 + 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3) b) 2x3 – 6x + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 2;2) c) x3 + 3x2 – 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 3;1) d) x3 – 3x2 + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3) e) 2x2 + 3x – 4 = 0 có 2 nghiệm trong khoảng (– 3;1) f)* x5 – 5x4 + 4x – 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (0;5)
9 Cho 3 số a,b,c khác nhau Chứng minh rằng phương trình (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0 Có 2 nghiệm phân biệt
10*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : 2a + 6b + 19c = 0
Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm trong [0;]
11*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : 2a + 3b + 6c = 0
a)Tính a,b,c theo f(0), f(1) ,f(1/2) b)Chứng minh rằng ba số f(0), f(1) ,f(1/2) không thể cùng dấu
c)Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm trong (0;1)
12*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : = 0
a)Chứng minh rằng af() < 0 với a ≠ 0 b)Cho a > 0 , c < 0 ,chứng minh rằng f(1) > 0
c)Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm trong (0;1)
13*.Cho hàm số f(x ) liên tục trên đoạn [a;b] thoả f(x) ∈ [a;b] ∀ x ∈ [a;b] Chứng minh rằng phương trình: f(x) = x có nghiệm x ∈ [a;b]
14 Chứng minh rằng: các phương trình sau luôn luôn có nghiệm:
a) cosx + m.cos2x = 0 b) m(x – 1)3(x + 2) + 2x + 3 = 0
c) a(x – b)(x – c)+b(x – c)(x – a)+c(x – a)(x – b) = 0 d) (m2 + m + 1)x4 + 2x – 2 = 0
15.Cho hàm số f(x) liên tục trên [a;b] và α , β là hai số dương bất kỳ Chứng minh rằng: phương trình f(x) = có nghiệm trên [a;b]
16.Cho phương trình x4 – x – 3 = 0 Chứng minh rằng: phương trình có nghiệm xo ∈ (1;2) và xo >
2