+/ Hàm số f xác định trên a,b gọi là liên tục trên a,b,nếu nó liên tục tại mọi điểm trên a,b.. +/ Vận dụng định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục để chứng minh sự tồn tại nghi
Trang 1Hàm số liên tục
I/ Kiến thức cơ bản:
1/ Hàm số liên tục tại một điểm:
Giả sử hàm số f xác định trên (a,b) và x0∈ (a,b).Hàm số f đợc gọi là liên gọi là liên tục tại điểm x0 nếu:
x xlim f(x) f(x )
Hàm số không liên tục tại x0 đợc gọi là gián đoạn tại x0
2/Hàm số liên tục trên một khoảng,một đoạn
+/ Hàm số f xác định trên (a,b) gọi là liên tục trên (a,b),nếu nó liên tục tại mọi điểm trên (a,b)
+/ Hàm số f xác định trên [ ]a,b gọi là liên tục trên [ ]a,b ,nếu nó liên tục trên (a,b) và x alim f(x) f(a)→ + = ,
x blim f(x) f(b)−
3/ Tính chất
+/ Định lý về giá trị trung gian của hàm số liên
Giả sử hàm số f liên tục trên [ ]a,b Nếu f(a) ≠ f(b),thì với mỗi số thực M nằm giữa f(a) và f(b),tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a,b) sao cho f(c) = M +/ Hệ quả : Nếu hàm số f liên tục trên [ ]a,b và f(a)f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất c ∈ (a,b) sao cho f(c) = 0
L
u ý :Một số kết quả quan trọng
+/ Tổng,hiệu , tích , thơng của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại điểm đó.(Trong trờng hợp thơng,giá trị của mẫu tại
điểm phải khác 0)
+/ Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỷ(thơng của 2 đa thức) liên tục trên TXĐ của chúng
+/ Các hàm số y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = cotgx liên tục trên TXĐ của chúng
II/Kỹ năng cơ bản
+/ Chứng minh hàm số liên tục tại một điểm,trên một khoảng,trên một
đoạn,nửa khoảng
+/ Vận dụng định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục để chứng minh sự tồn tại nghiệm của một phơng trình
III/Một số ví dụ
A.
Ví dụ 1.Xét tính liên tục của hàm số
Trang 2
2 2
khi x 2 f(x) = x 2x
≠
−
Tại điểm x=2
Giải:
+/ TXĐ :Ă ,chứa điểm x = 2
2 2
−
− +/ Mà f(2) = 2
Suy ra,hàm số liên tục tại điểm x = 2
Ví dụ 2.Xét xem các hàm số sau có liên tục trên Ă hay không ?
1/ f(x)=x3−2x2 +3x 1+
2/ f(x) = 22x 1
+
3/ f(x) =
2 2
− 4/ f(x) =
2
x 16
nếu x 4
x 4
−
Giải
1/ Hàm số có TXĐ là :R nên nó liên tục trên R,vì đây là hàm đa thức 2/ Hàm số có TXĐ là : Ă \ 1,2{ }
+/Vậy hàm số liên tục
+/Điểm x=1,x=2 là điểm gián đoạn của hàm số
3/ Hàm số có TXĐ là :R\{ }0,2
+/Vậy hàm số liên tục trên R\{ }0,2
+/Điểm x=0,x=2 là điểm gián đoạn của hàm số
4/ TXĐ của hàm số là : Ă
+/f(4) = 8
Suy ra, hàm số liên tục tại x=4
+/Mặt khác,với x 4,f(x) x2 16
x 4
−
− là hàm số liên tục (vì đây là hàm
số
phân thức hữu tỷ,xác định tại mọi x ≠4)
+/Vậy hàm số liên tục trên R
Ví dụ 3.Cho các hàm số f(x) cha xác định tại x=0
Trang 31/ f(x) x2 2x
x
−
=
2/ f(x) x2 22x
x
+
=
Có thể cho f(0) giá trị bằng bao nhiêu để hàm số f(x) trở thành liên tục tại
x = 0
Giải
1/ Đặt
2
x 2x
khi x 0
=
Ta tìm a để hàm số liên tục tại x=0
+/TXĐ của hàm số :R,chứa x=o
+/f(0) = a
x
−
Vậy để hàm số liên tục tại x=0 ta phải có a=−2
2/ Đặt
2 2
khi x 0
=
Ta tìm a để hàm số liên tục tại x=0
+/TXĐ củahàm sô : Ă ,chứa x=0 +/f(0)=a
2
x x
Ta có :
x 0
x 0
x 2
lim
x
x 2
lim
x
+
−
→
→
+ = +∞
+ = −∞
Do đó không tồn tại x 0lim f(x)→
Vậy không có giá trị nào của f(0)=a để hàm số đã cho liên tục tại x=0
Ví dụ 4:Tìm a để hàm số
f(x) 2x2 khi x 1
2ax khi x 1
liên tục trên R
Giải
+ TXĐ :R
Trang 4+ Khi x<1 ,f(x)=2x là hàm số liên tục,vì đây là hàm đa thức.2
+ Khi x>1 ,f(x)= 2ax-3 là hàm số liên tục,vì đây là hàm đa thức
+ Để hàm số liên tục trên R thìhàm số phải kiên tục tại x=1
+ Ta có f(1) = 2a-3
2
lim f(x) lim 2ax 3 2a 3
lim f(x) lim 2x 2
Hàm số liên tục tại x=1 2a 3 2 a 5
2
Vậy với a 5
2
= thì hàm số liên tục trên R
Ví dụ 5.Chứng minh phơng trình
1/ 3x2+2x 2 0 có nghiệm− =
2/ 4x4+2x2 − − =x 3 0 cóít nhất hai nghiệm phân biệt trên -1,1( )
Giải
1/ Hàm số fx) 3x= 2 +2x 2− là hàm số liên tục trên R
+ Mặt khác f(0) 2
f(1) 3
= −
⇒f(0).f(1) 0<
Vậy phơng trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0,1)
2/ Hàm số fx) 4x= 4 +2x2 − −x 3 là hàm số liên tục trên R
+/ Mặt khác : f( 1).f(0) = 4.( 3) = 12<0− − −
⇒ ∈ −x1 ( 1,0 ,f(x ) 0) 1 =
f(0).f(1) = ( 3).2 = 6<0− −
⇒ ∈x2 ( )0;1 : f x( )2 <0
+/Vậy phơng trình đã cho có ít nhất hai nghiệm phân biệt trong (-1;1)
Ví dụ 6.Chứng minh rằng phơng trình
x3−3x 1 0+ = có 3 nghiệm phân biệt
Giải :
+/ Hàm số f(x) = x3−3x 1+ liên tục trên Ă
+/Ta cóf( 2)= 1, f( 1) = 3, f(1) = 1,f(2) = 3− − −
+/Chứng tỏ tồn tại x1∈ −( 2;1 ,x) 2∈ −( 1;1 ,x) 3∈( )1;2 để cho
f(x ) f(x ) f(x ) 01 = 2 = 3 =
Vậy phơng trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt
Ví dụ 7.Chứng minh phơng trình
x3+mx 1 0− = luôn có một nghiệm dơng ∀m
Giải:
+/Hàm số f(x)=x3+mx 1− liên tục trên Ă
Trang 5+/Ta cóf 0( ) = −1,xlim f(x)→+∞ = +∞ ⇒ ∃ >x0 0sao cho f x( )0 >0
+/Vì f(x) liên tục trên Ă ,f 0 f x( ) ( )0 < ⇒ ∃ ∈0 c (0;x : f c0) ( ) =0
+/ Vậy phơng trình đã cho có ít nhất một nghiệm dơng
B.Bài tập trăc nghiệm
Chọn những đáp án đúng cho những ví dụ sau
Vý dụ 8.Hàm số f(x) = x 12
+
− có các điểm gián đoạn là:
A.x=−1 và x=2 B.x=−2 và x=2 C.x=1 và x=2 D.x=1 và x=−2
Ví dụ 9.Hàm số f(x) = x 1+
A.Liên tục trên Ă B.Liên tục trên (−∞ −; 1)
C.Liên tục trên (−∞;1] D.Liên tục trên [1;+∞)
Ví dụ10.Hàm số f(x)= x2 khi x 1
2ax -3 khi x 1
≥
liên tục trên Ă Khi đó a bằng A.2 B.1 C.0 D.-1
Ví dụ 11.Để hàm số f(x) = x2 x
x
+ xác định và liên tục tại x=0,cần phải cho f(0) giá trị là:
A.3 B.2 C.1 D.0
Ví dụ 12.Để hàm số :
F(x)=
2
x 6x 8 khi x 2
=
liên tục trên ,giá trị của a là A.-2 B.-3 C.2 D.3
Ví dụ 13.Mệnh đề nào sau đây sai
A.Hàm số y= 3x liên tục trên Ă
B.Hàm số y= sinx+x liên tục trên 2 Ă
C.Hàm số y=tgx liên tục trên (0,p)
D.Hàm số y= 1
x liên tục trên (0,+∞)
Ví dụ 14.Hàm số f(x)=
31 x 1
khi x 0 x
+ −
liên tục tai x=0 Giá trị của m bằng:
A.m=1
3 B 1
3
− C.0 D.1
Đáp án
Trang 6
VD8 VD9 VD10 VD11 VD12 VD13 VD14
B D A C A C A
IV.Bài tập
A.Bài tập tự luận
Bài 1.Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng
1/ y x= +3 5x2 −4x 1+
2/ y 2x2 23x 5
=
− 3/ y x 12
+
=
+ 4/ y x2 1
2sinx
+
=
Hớng dẫn
1/TXĐ của hàm số là Ă ,nên hàm số liên tục trên Ă
2/ TXĐ của hàm số là Ă \{ }±1 hàm số liên tục trên Ă \{ }±1 .
3/TXĐ của hàm số là Ă ,nên hàm số liên tục trên Ă
4/ TXĐ của hàm số là Ă \ k ,k{ p ∈Â} ⇒ hàm số liên tục trên
\ k ,kp ∈
Ă Â
Bài 2.Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm đã chỉ ra
1/ f(x)= x2 4 khi x 2
2x 1 khi x 2
2/ f(x)=
x 1
khi x 1
2 x 1
−
tại x=1
3/ f(x)=
2
3x với x<0
4/ f(x)=
2
khi x 3
x 3
−
tại x=3 Hớng dẫn
1/ +/ TXĐ: ,chứa x = 2 Ă
Trang 7
2
+/ lim f x lim 2x 1 5
lim f x lim x 4 8
Hàm số đã cho gián đoạn tại x=3
⇒
2/ +/ TXĐ: ,chứa x = 1 Ă
( )
x 1
+/ lim f x lim 2x 2
x 1 lim f x lim
2 x 1
2 Hàm số đã choliên tục tại x=1
→
−
=
− −
= −
⇒
3/ +/TXĐ:Ă ,chứa x = 0
( ) x 0( )
x 0
2
+/ lim f x lim 1 x 1
lim f x lim 3x 0
Hàm số đã cho liên tục tại x=3
+
→
→
⇒
4/ +/ TXĐ: Ă chứa x= 3
x 3
−
− +/ f 3( ) =6
+/ Vậy hàm số liên tục tại x=3
Bài 4: Tìm a,b để các hàm số sau liên tục trên Ă
Trang 8
( )
( )
( )
( )
2
2
2
3
1/ f x
7 ax khi x 2
2 / f x
5ax b khi x 1 3/ f x 2a b 3 khi x 1
x ax b khi x 1
x 8
khi x 8
−
= −
HD:
1/ +/ TX§: ¡
+/ Hµm sè liªn tôc khi x>2 vµ khi x<2
+/ Hµm sè liªn tôc trªn ¡ ⇔ Hµm sè liªn tôc t¹i x=2
( )
2
+/ lim f x lim 7 ax 7 4a
lim f x lim x 1 3
f 2 3
= +/ Ta ph¶i cã 7 4a 3− = ⇔ =a 1
+/ VËy gi¸ trÞ ph¶i t×m lµ a=1
2/ +/ TX§: ¡
+/ Hµm sè liªn tôc khi x>3 vµ khi x<3
+/ Hµm sè liªn tôc trªn ¡ ⇔ Hµm sè liªn tôc t¹i x=3
( )
2
/ lim f x lim ax b 3a b
lim f x lim x 4x 4 1
f 3 1
= +/ Ta ph¶i cã 3a 1 4+ =
+/ VËy gi¸ trÞ ph¶i t×m lµ a
b 1 3a
∈
= −
¡ 3/ +/ TX§: ¡
+/ Hµm sè liªn tôc trªn ¡ ⇔ Hµm sè liªn tôc t¹i x=1
Trang 9
( )
2
/ lim f x lim 5ax b 5a b
lim f x lim x ax 2b 1 a 2b
f 1 2a b 3
+/ Ta phải có
1
3
+/ Vậy giá trị phải tìm là
1 a 3
b 1
=
=
4/ +/ TXĐ: Ă
+/ Hàm số liên tục trên Ă ⇔ Hàm số liên tục tại x=8
( ) ( )
3
/ lim f x lim ax 4 8a 4
x 8
x 2
f 8 8a 4
−
−
= +
+/ Ta phải có 8a 4 12+ = ⇔ =a 1
+/ Vậy a=1 là giá trị phải tìm
Bài 4:Chứng minh rằng phơng trình 2x3−6x 1 0+ = có ba nghiệm phân biệt trong khoảng (−2;2)
HD:
+/ Hàm số f x( ) =2x3−6x 1+ liên tục trên Ă
+/ f( ) ( )−2 f 0 <0,f 0 f 1( ) ( ) <0,f 1 f 2( ) ( ) <0.
+/ Phơng trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt trong khoảng (−2;2) Bài 5: CMR các phơng trình sau có nghiệm
1/ sin x x 1 0
2 / x ax bx cx d 0
− + =
HD:
1/ +/Hàm số f x( ) =sin x x 1 liê n tục trên − + Ă
+/Ta có f 0 f( ) 3 1 3 0 đpcm
= − < ⇒
2/ +/Hàm số f x( ) = +x5 ax4+bx3+cx d liên tục trên + Ă
Trang 10+/Do xlim f x( ) + nên tồn tại x1 1, đủ lớn sao cho f x( )1 0.
xlim f x( ) nên tồn tại x2 0, x đủ lớn sao cho f x2 ( )2 0
Nh vậy f x f x( ) ( )1 2 < ⇒ ∃ ∈0 c (x ;x : f c1 2) ( ) =0 tức là phơng trình đã cho luôn có nghiệm Bài 6: CMR nếu 2a 3b 6c 0+ + = thì phơng trình
a tan x b tan x c 02 + + =
Có ít nhất một nghiệm trong khoảng k ; k
4
p
HD:
+/ Đặt t=tanx, x k ; k
4
p
k∈Â +/ Ta có pt
+/ Để pt đã cho có nghiệm trên khoảng k ; k
4
p
,pt( )2 phải có nghiệm thuộc khoảng ( )0;1
+/ Nếu a 0≠ ta có :
f 0( ) c,f 2 4a 2b c
f 0 f( ) 2 c[2 2a 3b 6c( ) 3c] c2
+/ Nếu c 0≠ thì f 0 f( ) 2 0 đpcm
3
⇒ ữ< ⇒
+/ Nếu c=0 khi đó ( )2 có nghiệm t1 0,t2 b
a
= = −
Từ giả thiết 2a 3b 6c 0 b 2
( )
2
Vậy t= 0;1 đpcm
( )
+ =
Nếu b=c=0 ⇒pt 2 nghiệm đúng t( ) ∀ ⇒đúng t∀ ∈( )0;1 ⇒đpcm Nếu b 0≠ thì ta có t c 1 ( )0;1 đpcm
Trang 11Vậy phơng trình đã cho luôn có nghiệm trên k ; k
4
p
, k∈Â
Bài 7: CMR phơng trình sau có nghiệm ∀m
1/ cosx mcos2x 0
HD:
1/ +/Hàm số cosx m cos2x+ liên tục trên Ă ,∀m
2 +/Ta có f cos m cos
ữ
⇒ ữ ì ữ= − < ∀
Vậy phơng trình đã cho luôn có nghiệm trên ;3
4 4
p p
. 2/ +/Hàm số f x( ) =(m2 + +m 5 x) 7 + −x5 1 liên tục trên Ă ∀m
+/ Ta có f 0( ) = −1
f 1( ) =m2 + +m 5
⇒f 0 f 1( ) ( ) = −(m2 + + < ∀ ∈m 5) 0 m Ă
Do đó phơng trình đã cho luôn có nghiệm trên ( )0;1
3/ +/Hàm số ( ) ( ) (4 )3 ( ) ( )
f x =m x 1+ x 2− − −x 1 x 3− liên tục trên Ă +/Ta có f 1( ) = −16m
f 3( ) =81m
⇒f 1 f 3( ) ( ) = −16.81m2
Nếu m=0 thì phơng trình đã cho có nghiệm x=1,x=3
Nếu m≠0 thì f 1 f 3( ) ( ) <0
⇒ pt đã cho có nghiệm trên ( )1;3
Vậy ta luôn có pt đã cho có nghiệm ∀m
Trang 12B.Bài tập trắc nghiệm.
Bài 8: Hàm số f x( ) 2x 1
x 2x
+
=
− có các điểm gián đoạn là : A.x=1và x=0 B.x=0 và x=2
Bài 9: Hàm số nào sau đây liên tục trên Ă
A.y= 2x2 1
−
2
x
cosx +
Bài 10:Cho hàm số f x( ) x 2 x 2
x
= ,x≠0.Bổ xung giá trị f 0 ( ) bằng bao nhiêu để hàm số liên tục trên Ă
A.0 B.1 C 1
2 D 1
2 2 Bài 11: Cho hàm số ( )
2
khi x 2
= −
Liên tục tại x=1 Giá trị của a là:
A.3 B.2 C.1 D.0 Bài 12: Phơng trình x5 −3x 7 0− = có nghiệm trên
A.(−1;0) D.( )3;4
B.( )0;2 C.( )2;3 Bài 13 : Hàm số f x( ) x2 x 1 khi x 1
ax 2 khi x 1
liên tục trên Ă ,khi đó giá trị a là:
A.2 B −2 C −1 D.1 Bài 14: Hàm số f x( ) ax2 2x 1 khi x 0
a cosx bsin x khi x 0
( ) ( )
f 1 + −f p bằng
A.0 B.1 C.2 D.3 Bài 15: : Cho hàm số f x( ) ax2 khi x 2
2x 1 khi x 2
=
Liên tục tại x=2 Giá trị của a là:
Trang 13A 1
4 B 1
2 C 3
4 D.1 Bài 16: Hàm số
( )
4 2
khi x 0,x 1
+
Khi đó :
A.Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ đọan [−1;0]
B Hàm số liên tục trên Ă
C.Hàm số liên tục trên Ă \{1}
D.Hàm số liên tục trên Ă \{0}
Đáp án: