www.MATHVN.com Trong các bài toán du có chứa mẫu số, thường ta chọn cho v một hằng số C thích hợp để thành phần vdu khử bớt phân số.. Thí dụ 6: Tính tích phân.[r]
Trang 1VÀI MẸO NHỎ KHI TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
LÊ ANH DŨNG (Gv THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Rạch Giá, Kiên Giang)
Khi tính tích phân bằng công thức tích phân từng phần udv uv vdu, nếu
ta chọn u, v một cách khéo léo thì thành phần vdu sẽ đơn giản và việc tính tích phân sẽ đơn giản hơn Bài viết này trao đổi với các bạn một số kĩ năng khi tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần.
1 Tách tích phân thành 2 phần, từng phần 1 phần sao cho phần còn lại khử vdu Thí dụ 1: Tìm nguyên hàm I = e (x2x 2 4x 1)dx
Bình thường ta đặt u = x 2 + 4x + 1 thì phải tích phân từng phần 2 lần; để tránh điều này,
ta thêm bớt, để thành phần vdu khử hết phần còn lại.
2
2x 2x
2x
du 2xdx
dv e dx
2
sẽ khử hết xe 2x do đó ta thêm vào u :
+ 3x để phần còn lại chỉ còn xe 2x
Lời giải I =e (x2x 2 4x 1)dx e (x2x 23x)dx e (x 1)dx2x
Đặt
2
2x
dv e dx
du (2x 3)dx 1
2
e (x 3x) e (2x 3)dx e (x 3)dx
Thí dụ 2: Tìm nguyên hàm sau I e (xx 34x2 1)dx
Tương tự ví dụ trên
2 x
2 e x
do đó ta thêm vào u : x 2 để phần còn lại còn lại 3x 2
2 x
x do đó ta lại thêm vào u: -2x để phần còn lại chỉ còn 2x.
Lời giải I e (xx 3 x2 2x)dx e (3xx 2 2x 1)dx
Trang 23 2
x
dv e dx
2
x
Ie (x x 2x) e (3x 2x 2)dx e (3x 2x 1)dx
e (x x 2x) e dx e (x x 2x 1) C
Trên cơ sở đó, ta có thể sử dụng sơ đồ sau để tìm thành phần u cho bài toán tính tích phân từng phần của hàm số eax b (a xn n a xn 1 n 1 a1 a )dx0
(n-2)/a n/a (n-1)/a
_
x
_
x
bn - 3
bn - 2
bn - 1=an
hệ số của đa thức của u
hệ số của đa thức an an-1 an-2 a1
n
n 1
k 2
a
(Nhân lên, lấy hệ số của đa thức trừ rồi hạ xuống)
Thí dụ 3: Tính I =
1
0
Ta lập sơ đồ sau ngoài nháp để tính u
5 2
-3 2
1
-5 2 x
_
1
1 2 1
3 2 2
5 2 n=5, a =2
1 0
hệ số của đa thức của u
Trang 3Trình bày:
I =
Đặt
2x
u x
dv e dx
2x
du 5x v
5
2 1
e 2
0 0 1
0
0 0 1
0
1
x
(x 1) ' 2x; (ln x)' = 4 ln x
x
, ta tách I thành 2 tích phân để khử vdu
Lời giải I =
x ln x + 2 ln x dx = x ln xdx + 2 ln x dx
Đặt u ln x4
dv xdx
3 4ln x
x 1
2
1
x2 1 ln x4 e e2 1
1
2 Thêm hằng số cho v
Trang 4Trong các bài toán du có chứa mẫu số, thường ta chọn cho v một hằng số C thích hợp
để thành phần vdu khử bớt phân số
Thí dụ 5: Tính tích phân I =
1
3
0 (2x 1) ln(x 1)dx
Lời giải Đặt
3
u ln(x )
dv (2x 1)dx
1
2 2
du
dx
x
Bình thường ta lấy v = x 2 – x, nhưng ở đây ta chọn C = + 1 mục đích là khử bớt mẫu số trong vdu.
Khi đó: I =
1 1 3 0 0
2
x 1
+1
=
1 1
2
1
x 1
Thí dụ 6: Tính tích phân
/4
2 0
ln(sin cos ) cos
x x
dx x
Đặt u = ln(sinxcos )x du = cos sin
sin cos
x x
dx
x x
v = 12
cos x dx chọn
sin cos tan
cos
x x x
x
Bình thường ta hay lấy v = tanx nhưng ở đây ta thêm C = 1 để khử mẫu
Khi đó: I =
/4 /4 0 0
cos sin (tan 1) ln(sin cos )
cos
x x
x
= 2ln 2 ( ln cos )0/4 3ln 2
4 2
x x
3 Cách chọn thành phần dv
Để tìm v, ta phải tìm nguyên hàm của dv Trong trường hợp dv không có trong bảng nguyên hàm cơ bản, ta phải tách tích để lấy được nguyên hàm của dv theo biến số mới
Thí dụ 7: Tính tích phân
π
2 0
x
dx (x sin xcos x)
Để giảm bậc mẫu thì 1 2
(x sin xcos x) phải nằm trong thành phần dv; để tìm được
nguyên hàm theo biến xsinx + cosx ta cần có d(xsinx + cosx) =– xcosxdx
Trang 5Lời giải
cos x (x sin x cos x) (x sin x cos x)
Đặt
x
u
cos x
x cos x d(x sin x cos x)
(x sin x cos x) (x sin x cos x)
x sin x cos x
cos x 1 v
x sin x cos x
Khi đó I =
π π 4 4
2
0 0
π 4 0
tan x cos x(x sin x cos x) cos x
Thí dụ 8: Tính tích phân
8
4 2 0
1 3
( 1)
x dx
x
Để giảm bậc lớn ở dưới mẫu, ta có thể dùng tích phân từng phần Để khử bậc 2 dưới mẫu thì 41 2
(x 1) phải nằm ở dv Nhưng để lấy được nguyên hàm theo x
4 thì ta cần (x 4 )’ = 4x 3
Đặt
5
x dx 1 d(x 1)
dv
4
, chọn
4
4
du 5x dx
v
4 x 1
Vậy I =
0
dx 4
(x 1) 4(x 1) x 1
=
Ta có
1
1 3
3 2
0 0
Đặt x = tant Ta tính được Tính
1 3
2 0
1 dx 2(x 1)
π 12
Vậy I = 1 1ln 3 1
4
π 12
Cuối cùng chúng tôi xin đưa ra một số bài tập để các bạn tự luyện tập
Tính các tích phân sau:
Trang 61)
2
2
1
ln(1 x)
dx
x
1 3 2
2x 0
dx e
3)
e
3
1
ln xdx
4) esin x( x cos x)dx
2 0 1
5) 2
x 0
1 sin x
dx (1 cos x)e
1
0
1 dx (x 1)
_ HẾT_