2 Trong mặt phẳng toạ ñộ Oxy cho ñiểm A3; 1 lập phương trình ñường thẳng d qua A và cắt chiều dương của trục Ox, Oy lần lượt tại P, Q sao cho diện tích tam giác OPQ nhỏ nhất.. Tải miễn p[r]
Trang 1S GD & ðT Hưng Yên ð THI TH# ð$I H%C NĂM 2010 L.N I
Trư ng THPT Tr n Hưng ð o Môn: Toán Th i gian: 150 phút
ð Bài
Bài 1(2 ñi%m)
1) Kh)o sát s, bi.n thiên và v0 ñ1 th2 (C) c5a hàm s6 =(| | 1) (| | 1)+ 2 − 2
2) Tìm các ñi%m trên tr:c hoành mà t; ñó k> ñư?c ñúng 3 ti.p tuy.n ñ.n ñ1 th2 (C) Bài 2(3 ñi%m)
1) Gi)i hC phương trình: ( 2 1)(2 1)( 2) 6
2) Gi)i phương trình sau: sin3 + cos3 = cos 2 (2cos − sin ) , ( vHi ∈ ¡ ) 3) Tìm m th,c ñ% phương trình sau có hai nghiêm th,c phân biCt:
( − 1).log (1/ 22 − 2) ( − − 5) log (1/ 2 − 2) + − = 1 0
Bài 3(1 ñi%m)
Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân (AB = BC =a > 0) và các
c nh SA= SB = SC = 3a Trên c nh SA, SB lPy ñi%m M, N sao cho SM = BN = a Tính th% tích kh6i chóp SMNC
Bài 4(2 ñi%m)
1) Tính tích phân sau:
1
2 0
.ln(1 + )
∫
2) Trong mUt phVng to ñW Oxy cho ñi%m A(3; 1) l[p phương trình ñư ng thVng d qua A và c^t chi_u dương c5a tr:c Ox, Oy l n lư?t t i P, Q sao cho diCn tích tam giác OPQ nha nhPt
Bài 5(2 ñi%m)
Trong không gian Oxyz cho ñư ng thVng 1
1
1 2
= +
= +
¡
ðư ng thVng d2 là giao tuy.n c5a hai mUt phVng (P): 2x – y – 1 = 0 và
(Q): 2x + y + 2z – 5 = 0
1) Cheng minh rfng d1, d2 c^t nhau t i I, vi.t phương trình mUt phVng chea d1và d2 2) Vi.t phương trình ñư ng thVng d3 qua A(2; 3; 1) t o vHi hai ñư ng thVng d1và d2 tam giác cân ñinh I
H.t
Trang 2đáp Án v^n t^t Bài 1: 1) kh)o sát hàm s6 : y = x4 2x2 + 1 ( C)
2) Gki A(a:0) là ựi%m trên tr:c hoành mà t; A k> ựư?c ự.n ( C) ba ti.p tuy.n Phương trình ựư ng thVng ựi qua A và có hC s6 góc k là d: y = k(x a)
d là ti.p tuy.n c5a ( C) khi hC pt sau có nghiCm
⇔
Phương trình
2
2
1 0
4 1 0(*)
Mà x2 Ờ 1 = 0 cho ta hai x nhung chi cho ta mWt ti.p tuy.n duy nhPt là d1: y = 0 Vì v[y ự% t; A k> ựư?c 3 ti.p tuy.n tHi (C) thì phương trình (*) ph)i có 2 nghi.m pb x khác ổ1
Bài 2: 1) kq (3;2) hoUc (2;3)
2) kq
2
4 1 arctan
2
π π π π
π
ằ
3) kq ( 3;1) (1; )7
3
Bài 3: +) Chân ựư ng cao h t; ựinh S là trung ựi%m c5a AC
+) Kq 34 3( )
54 Bài 4: 1) Kq ln 2 1
2
−
2) Kq 1
6+ 2 = Bài 5: 1) Hai ựư ng thVng d1 và d2 c^t nhau t i I(1;1;1) và mUt phVng chea hai ựư ng thVng chắnh là mUt phVng (P)
2) Gki B là giao c5a d1 và d3 ( ựk: B khác I) C là giao c5a d2 vàd3 (ựk: C khác I)
Ta có B(1 + t;1 +2 t;1 + 2t), C(1 + tỖ;1 +2 tỖ;1 2 tỖ) VHi ựk: ' 0 ≠
Trang 3S GD & ðT Hưng Yên ð THI TH# ð$I H%C NĂM 2010 L.N 2
Trư ng THPT Tr n Hưng ð o Môn: Toán Th i gian: 180 phút
ð Bài Câu I: (2 ñi m) Cho hàm s6: = 3−3( +1) 2+9 + −2(1) có ñ1 th2 là (Cm)
1) Kh)o sát và v0 ñ1 th2 hàm s6 (1) vHi m=1
2) Xác ñ2nh m ñ% (Cm) có c,c ñ i, c,c ti%u và hai ñi%m c,c ñ i c,c ti%u ñ6i xeng vHi nhau qua ñư ng thVng 1
2
Câu II: (2,5 ñi m)
1) Gi)i phương trình: sin 2 cos( +3)−2 3 os3 −3 3 os2 +8( 3 cos −sinx)−3 3 0= 2) Gi)i bPt phương trình : ( 2 )
2
+
3) Tính diCn tích hình phVng giHi h n b i các ñư ng: y=x.sin2x, y=2x, x=
2
π
Câu III: (2 ñi m)
1) Cho hình lăng tr: ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác ñ_u c nh a, c nh bên h?p vHi ñáy mWt góc là 450 Gki P là trung ñi%m BC, chân ñư ng vuông góc h t; A’ xu6ng (ABC) là H sao cho 1
2
=
uuur uuur
gki K là trung ñi%m AA’, ( )α là mUt phVng chea HK và song song vHi BC
c^t BB’ và CC’ t i M, N Tính ti s6 th% tích
' ' '
2) )i hC phương trình sau trong t[p s6 phec:
2
2
6 5
6 0
Câu IV: (2,5 ñi m)
1) Cho m bông h1ng tr^ng và n bông h1ng nhung khác nhau Tính xác suPt ñ% lPy
ñư?c 5 bông h1ng trong ñó có ít nhPt 3 bông h1ng nhung? Bi.t m, n là nghiCm c5a hC sau:
3 1
9 19
720
−
+
−
2 ) Cho Elip có phương trình chính t^c
2 2
1
25+ 9 = (E), vi.t phương trình ñư ng thVng song song Oy và c^t (E) t i hai ñi%m A, B sao cho AB=4
3) Vi.t phương trình mUt phVng cách ñ_u hai ñư ng thVng d1 và d2 bi.t:
Trang 41
2
3
= +
= −
2: 1 2 1
Câu V: Cho a, b, c≥ 0 và 2 + 2 + 2 = 3 Tìm giá tr2 nha nhPt c5a bi%u thec
3 3 3
………H.t………
ðÁP ÁN ð THI TH# ð$I H%C L.N 2
Bài
1
1
Khi m = 1 ta có hàm s6: = 3 − 6 2 + 9 − 1
• BBT:
x ∞ 1 3 +∞
y/ + 0 0 +
3 +∞
y
∞ 1
1ñ
2 '=3 2 −6( +1) +9
ð% hàm s6 có c,c ñ[i, c,c ti%u:
0 9 3 ) 1 ( 9 ' = + 2 − > ⇔ ∈ ( −∞ ; − 1 − 3 ) ∪ ( − 1 + 3 ; +∞ )
3
1 3
=
V[y ñư ng thVng ñi qua hai ñi%m c,c ñ i và c,c ti%u là
1 4 ) 2 2 (
−
=
Vì hai ñi%m c,c ñ i và c,c ti%u ñ6i xeng qua ñt
2
1
= ta có ñi_u kiCn c n là
2
1 ) 2 2 (
−
=
=
⇔
=
− +
⇔
3
1 0
3 2 2
Khi m = 1 ⇒ptñt ñi qua hai ñi%m Cð và CT là:y = 2x + 5 Tka ñW trung ñi%m
Cð và CT là:
= + +
−
= +
=
= +
1 2
10 ) (
2 2
2 2
4 2
2 1 2
1
2 1
Tka ñW trung ñi%m Cð và CT là (2; 1) thuWc ñư ng thVng
2
1
= ⇒ = 1tm
1ñ
Trang 5V[y m = 1 thaa mãn ñi_u kiCn ñ_ bài
Bài
2
1 phương trình ñưa v_:
=
=
=
⇔
=
− +
=
−
⇔
= +
−
−
−
⇔
) ( 4 cos
1 cos
3 tan
0 4 cos 3 cos
0 sin cos 3
0 ) 8 cos 6 cos 2 )(
sin cos 3 (
2
2
Ζ
∈
=
+
=
2
3
π
π
2
ðk:
−
>
+∞
∪
−
−∞
∈
⇔
>
+
>
− +
7
)
; 1 ( ) 5
; ( 0
7
0 5 4 2
) 1 ( ) 5
; 7
∈
⇒
T; pt
7
1 log 2 ) 5 4 (
27
5
−
K.t h?p ñi_u kiCn: V[y BPT có nghiCm: )
5
27
; 7
−
∈
0.75ñ
3 Ta có: x.sin2x = 2x ⇔x.sin2x – 2x = 0 ⇔x(sin2x – 2) =0 ⇔x = 0
DiCn tích hình phVng là:
∫
0
2
π
ðUt
−
−
=
=
⇒
−
=
=
2 2
2 cos )
2 2
2 2
π π
−
= +
−
=
0.75ñ
Bài
3
Trang 61 Gki Q, I, J l n lư?t là trung ñi%m B’C’, BB’, CC’
ta có:
2
3
Vì ' ' vuông cân t i H
Ta có
4
3 2
3 2
=
4
3 4
3 3
3 2
' '
vtt) (1)
Vì ' ' vuông cân
⊥
⇒
G ki E = MN∩KH ⇒BM =
PE = CN (2)
mà AA’ = ' 2 + 2 = 3 2+3 2 = 6
4
6 2
6
=
=
=
⇒
=
⇒
Ta có th% tích K.MNJI là:
1 3
'
=
2
' ' '
3
1
−
+
1ñ
2 ðK: 2 + ≠ 0
T; (1) ⇔ ( 2 + ) 2 − 5 ( 2 + ) − 6 = 0
= +
−
= +
⇔
6
1 2
2
Khi 2 + = − 1 thay vào (2)
2
2
6 0
2
=
⇒ − − − = ⇔
=
;
+
−
=
−
−
=
⇔
= + +
2
3 1 2
3 1 0
1 2
Khi 2 + = 6 ⇔ =−3Thay vào (2) 2
2
=
Trang 7V[y hC pt có nghiCm (a, b) là:
2
3 1
; 2
23 1 , 2
3 1
; 2
23 1
2
3 1
; 2
23 1 , 2
3 1
; 2
23
−
−
2
5 1
; 2 , 2
5 1
; 2 , 2
5 1
; 3 , 2
5 1
; 3
Bài
4 1)
=
<
+ +
−
+
−
720
2
19 2 9
1
1 2
3
2
T; (2): ( − 1 )! = 720 = 6 ! ⇔ − 1 = 6 ⇔ = 7 Thay n = 7
vào (1)
0 99 20
19 9 90
2
19 2
9 45 2
) 1 (
2
2
<
+
−
⇔
<
+ +
−
⇔
<
+ +
−
⇔
11
9 < <
V[y m = 10, n = 7 V[y ta có 10 bông h1ng tr^ng và 7 bông h1ng nhung, ñ%
lPy ñư?c ít nhPt 3 bông h1ng nhung trong 5 bông h1ng ta có các TH sau:
TH1: 3 bông h1ng nhung, 2 bông h1ng tr^ng có:
2 1575
10
3
TH2: 4 bông h1ng nhung, 1 bông h1ng tr^ng có:
1 350
10
4
TH3: 5 bông h1ng nhung có:
5 21
7 = cách
⇒có 1575 + 350 + 21 = 1946 cách
S6 cách lPy 4 bông h1ng thư ng
% 45 , 31 6188
1946
6188
5
17
≈
=
⇒
=
2) Gki ptñt // Oy là: x = a (d) tung ñW giao ñi%m (d) và Elip là:
25
25 25
1 9
1 9 25
2 2
2
2 2
−
=
−
=
⇔
= +
2
2
5
3 25
25
=
⇒
5
3
; , 25 5
3
;
5
6
;
3
5 5
±
=
⇒ V[y phương trình ñư ng thVng:
3
5 5 , 3
5
−
=
3)ñư ng thVng d2 có PTTS là:
+
=
+
=
+
=
' 5 1
' 2
' 2 1
Trang 8⇒vectơ CP c5a d1 và d2 là:
1 = (1;1; 1), − 2 = (2;1;5) r
⇒VTPT c5a mp(α ) là
1 2 (6; 7; 1)
⇒pt mp(α ) có d ng 6x – 7y – z + D = 0
ðư ng thVng d1 và d2 l n lư?t ñi qua 2ñ’ M(2; 2; 3) và N(1; 2; 1)
( , ( )) ( , ( ))
V[y PT mp(α ) là: 3x – y – 4z +7 0 =
Bài 5
2
3 2 2
3 2 2 3
1 1
+ + + + + + +
2 4
1 1
2 1
2 2 4
2
2 2
+
+ +
= +
2 4
1 1
2 1
2
2 2
2 2
+
+ + +
2 4
1 1
2 1
2
2 2
2 2
+
+ +
6 3
6 3
6
2 16
3 2 16
3 2 16
≥
6 2 2 2
9 ) (
2 2 2
3 2
2
+
⇒
2
3 2 2
3 2 2
9 2 2
3 2 2
9
≥
⇒
ð% PMin khi a = b = c = 1