Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SK theo a.. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu II.. Viết phương trình mặt phẳng Q chứa trục Ox và cắt mặt cầu S theo một đường tròn có bán kí
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC 2011
Môn Thi: TOÁN – Khối A
ĐỀ THI THAM KHẢO Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2 điểm): Cho hàm số y =x3 − 3 (1)x
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
2) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng (d): y = m(x +1) + 2 luôn cắt đồ thị (C) tại một điểm M cố định và xác định các giá trị của m để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt M,
N, P sao cho tiếp tuyến với đồ thị (C) tại N và P vuông góc với nhau
Câu 2 (2 điểm):
1) Giải phương trình: 5.3 2x− 1 − 7.3x− 1 + 1 6.3 − x + 9x+ 1 = 0 (1)
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt:
3
2
log ( 1) log ( 1) log 4 ( ) log ( 2 5) log − + 2 5 ( )
Câu 3 (1 điểm): Giải hệ phương trình:
9 27( 1) ( )
9 27( 1) ( )
9 27( 1) ( )
(3)
Câu 4 (1 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB =2a, BC= a, các cạnh bên
của hình chóp bằng nhau và bằng a 2 Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh
AB, CD; K là điểm trên cạnh AD sao cho
3
a
AK = Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SK theo a
Câu 5 (1 điểm) Cho các số a, b, c > 0 thoả mãn: a + b + c =1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
II PHẦN RIÊNG (3 điểm)
A Theo chương trình chuẩn
Câu 6a (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(0; 2) và đường thẳng d: x – 2y + 2 = 0
Tìm trên d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại B và AB = 2BC
2) Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: x2 + y2 + z2 – 2x + 4y + 2z – 3 = 0 và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 14 = 0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3
Câu 7a (1 điểm) Tìm các số thực a, b, c để có: z3− 2(1 ) +i z2+ 4(1 ) +i z− = − 8 (i z ai z)( 2+ +bz c)
Từ đó giải phương trình: z3− 2(1 ) +i z2 + 4(1 ) +i z− = 8 0i trên tập số phức
Tìm môđun của các nghiệm đó
B Theo chương trình nâng cao
Câu 6b (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x + 5 = 0 Tìm điểm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến của (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 600
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng:
Trang 2(d1) : {x= 2 ;t y t z= ; = 4; (d2) : {x= − 3 t y t z; = ; = 0 Chứng minh (d1) và (d2) chéo nhau Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của (d1) và (d2)
Câu 7b (1 điểm) Cho số thực b ≥ ln2 Tính J =
−
∫bln103 xx
e dx
e 2 và tìm b ln2→
lim J.
Hướng dẫn
Câu I: 2) M(–1;2) (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt ⇔ 9; 0
4
> − ≠
m m
Tiếp tuyến tại N, P vuông góc ⇔ y x'( ) '( )N y x P = − 1 ⇔ m=− ±3 2 23
Câu II: 1) Đặt t= 3x> 0 (1) ⇔ 5t2 − + 7t 3 3 1t− = 0 ⇒ 3 3
3 log ; log 5 5
x x
2)
2
3
2
log ( 1) log ( 1) log 4 ( )
log ( 2 5) log − + 2 5 ( )
• Giải (a) ⇔ 1 < x < 3
• Xét (b): Đặt 2
2 log ( 2 5)
t x x Từ x ∈ (1; 3) ⇒ t ∈ (2; 3)
(b) ⇔ t2 − = 5t m Xét hàm f t( ) = −t2 5t, từ BBT ⇒ 25; 6
4
∈ − − ÷
m
Câu III: Cộng (a), (b), (c) ta được: (x− 3) 3 + − (y 3) 3 + − (z 3) 3 = 0 ( )d
• Nếu x>3 thì từ (b) có: 3
y = x x− + > ⇒ >y
từ (c) lại có: 3
z = y y− + > ⇒ >z => (d) không thoả mãn
• Tương tự, nếu x<3 thì từ (a) ⇒ 0 < z <3 => 0 < y <3 => (d) không thoả mãn
• Nếu x=3 thì từ (b) => y=3; thay vào (c) => z=3 Vậy: x =y = z =3
Câu IV: I là trung điểm AD, HL⊥SI ⇒HL⊥ (SAD) ⇒HL d H SAD= ( ;( ))
MN // AD ⇒ MN // (SAD), SK ⊂ (SAD)
⇒ d(MN, SK) = d(MN, (SAD)) = d(H, (SAD)) = HL = a721
Câu V: =1 (1− −1 ) 1 (1+ − −1 ) 1 (1+ − −1 )
a b c T
a b c = 1 1 1 ( )
Ta có: 11 + 11 + 11 ≥ 1 19 1
−a −b −c − +a − +b −c; 0 < 1 − +a 1 − +b 1 − <c 6 (Bunhia)
2 6
T Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b = c = 13 minT = 26
Câu VI.a: 1) 2 6;
5 5
B ; 1 2
4 7 (0;1); ;
5 5
C C
2) (S) có tâm I(1; –2; –1), bán kính R = 3 (Q) chứa Ox ⇒ (Q): ay + bz = 0
Mặt khác đường tròn thiết diện có bán kính bằng 3 cho nên (Q) đi qua tâm I
Suy ra: –2a – b = 0 ⇔b = –2a (a≠0) ⇒ (Q): y – 2z = 0
Câu VII.a: Cân bằng hệ số ta được a = 2, b = –2, c = 4
Phương trình ⇔ (z− 2 )(i z2 − 2z+ = 4) 0 ⇔ z= 2 ;i z= + 1 3 ;i z= − 1 3i ⇒ z = 2
Câu VI.b: 1) (C) có tâm I(3;0) và bán kính R = 2 Gọi M(0; m) ∈ Oy
Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB ⇒ · ·
0 0
60 (1)
120 (2)
AMB AMB
Vì MI là phân giác của ·AMB nên:
Trang 3(1) ⇔ ·AMI = 300
0 sin 30
⇔MI= IA ⇔ MI = 2R ⇔ m2 + = ⇔ = ± 9 4 m 7
(2) ⇔ ·AMI = 600
0 sin 60
⇔MI= IA ⇔ MI = 2 33 R ⇔ 2 4 3
9 3 + =
m Vô nghiệm Vậy có hai điểm
M1(0; 7) và M2(0;− 7)
2) Gọi MN là đường vuông góc chung của (d 1 ) và (d 2 ) ⇒ M(2; 1; 4);N(2; 1; 0) ⇒ Phương trình mặt cầu (S): (x− 2) 2 + − (y 1) 2 + − (z 2) 2 = 4.
Câu VII.b: Đặt u e= x− 2 ⇒ 3 4 ( 2)2 / 3
J e Suy ra: limln 2 3.4 6
2