Một số bài toán về tọa độ phẳng

Gọi Mx;y và Nx’;y’ là các điểm nằm trên các đường phân giác trong của góc Aˆ & Bˆ.. Tính độ dài MN.[r]

DOÃN XUÂN HUY - THPT Ân Thi - Hưng Yên

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TỌA ĐỘ PHẲNG

I.Toán về đường thẳng:

1/ Viết pt các cạnh của tg ABC biết trung điểm của các cạnh có tọa độ là: M(2;1),N(5;3),P(3;-4)

2/ Viết pt trung trực của các cạnh tg ABC biết trung điểm của các cạnh có tọa độ là: M(-1;-1),N(1;9),P(9;1)

3/ Lập pt các cạnh của tg ABC nếu biết B(-4;-5) và hai đường cao có pt là: 5x+3y-4=0; 3x+8y+13=0

( 8x-3y+17=0; 3x-5y-13=0; 5x+2y-1=0 )

4/ Tg ABC có pt cạnh AB là 5x-3y+2=0, các đường cao qua đỉnh A,B lần lượt có pt là 4x-3y+1=0 và 7x+2y-22=0

Lập pt hai cạnh AB,AC và đường cao thứ ba của tg ( 2x-7y-5=0; 3x+4y-22=0; 3x+5y-23=0 ).

5/ Lập pt các cạnh của tg ABC biết đỉnh C(4;-1), đường cao và đường trung tuyến kẻ từ một đỉnh có pt tương ứng là:

2x-3y+12=0 và 2x+3y=0 ( 9x+11y+5=0; 3x+2y-10=0; 3x+7y-5=0 ).

6/ Viết pt các cạnh của tg ABC biết đỉnh A(1;3) và hai trung tuyến có pt là x-2y+1=0 và y-1=0.

( x+2y-7=0; x-4y-1=0; x-y+2=0 ) 7/ pt hai cạnh của một tg trong mptđ Oxy là: 5x-2y+6=0; 4x+7y-21=0 Viết pt cạnh thứ ba của tg đó biết rằng trực

tâm của tam giác trùng với gốc tọa độ ( y=7 ).

8/ Cho tg ABC biết đỉnh A(2;-1) và hai phân giác trong của góc B,C có pt: x-2y+1=0; x+y+3=0 Lập pt cạnh BC.

( 4x-y+3=0 )

( ) :d kx y k  0;( ) : (1d k x) 2ky 1 k 0

hai đường thẳng Tìm quĩ tích của gđ khi k thay đổi

2

2 2

10/ Viết pt đt đi qua gđ của hai đt ( ) : 2d1 x y  1 0 & ( ) :d2 x2y 3 0 đồng thời chắn trên hai trục tọa độ

những đoạn thẳng bằng nhau ( 3x-3y-2=0; x+y+4=0 ).

11/ Viết pt đt đi qua điểm M(5;1) và tạo một góc 450 với đt 2x+y-4=0 ( 3x-y-14=0; x+3y-8=0 ).

12/ Lập pt đt đi qua điểm P( 2;-1 ) sao cho đt đó cùng với hai đt ( ) : 2d1 x y  5 0 & ( ) : 3d2 x6y 1 0 tạo

thành một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đt ( 3x+y-5=0; x-3y-5=0 ).

13/ Viết pt các cạnh của tg ABC biết đỉnh B(2;-1); đường cao và phân giác trong qua đỉnh A,C là:

( BC: 4x+3y-5=0; C(-1;3); AC: y-3=0; A(-5;3); AB: 4x+7y-1=0 ).

( ) : 3d x4y27 0 & ( ) : d x2y 5 0

14/ Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết A C, ( ) :d1 x 3 0;B( ) : 3d2 x y  4 0;

( B(2;2), D(4;2), A(3;3),C(3;1) ).

3

D d x y  

15/ Viết pt các cạnh của hình vuông MNPQ biết các cạnh lần lượt đi qua 4 đỉnh A(1;2), B(-2;1), C(-3;-2), D(3;-1) ( Gọi pt các cạnh MN, PQ, NP, MQ là a(x-1)+b(y-2)=0; a(x+3)+b(y+2)=0; b(x+2)-a(y-1)=0; b(x-3)-a(y+1)=0.

Từ d(MN;PQ)=d(NP;MQ) suy ra (a;b)=(3;-2) hoặc (1;2) )

16/ Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông ABCD biết: A( - 1; 3), C( 6; 2) ( ( 2; - 1) và ( 3; 6) )

17/ Cho hình vuông có một đỉnh là A( - 4; 5) và một đường chéo có pt là 7x – y + 8 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh còn lại.

( ( 3; 4), ( 0; 8), ( - 1; 1) ) 18/ Cho đt (d): x – 2y – 2 = 0 và hai điểm A( 0; 1), B( 3; 4) Tìm điểm M thuộc (d) sao cho 2MA2MB2có GTNN

19/ Trong MPTĐ Oxy cho HCN ABCD có pt AB: x – 2y -1 = 0, pt BD: x – 7y + 14 = 0 và đc AC đi qua điểm M(2;1) Tìm tọa độ các đỉnh HCN ( Gọi nAC ( ; ).a b cos n( AC;n BD)  cos n( AC;n AC) nAC (1; 1) 

AC: x – y – 1 = 0 A(1;0), (7;3),B BC: 2x y 17 0 C(6;5) I(3,5;2,5)D(0;2) )

20/ Trong MPTĐ Oxy choABC có pt AB: y = 2x, pt AC: y = - 0,25x + 2,25 Trọng tâm G(8/3;7/3).Tính dtABC

( A(1;2), (2;4), (5;1)B C SABC 4,5 )

DOÃN XUÂN HUY - THPT Ân Thi - Hưng Yên

21/ Trong MPTĐ Oxy cho 2 điểm A( 1;0 ), B( 3; - 1) và đt (d): x – 2y – 1 = 0 Tìm điểm C( )d : dtABC = 6

( ( - 5; - 3), ( 7; 3) ) 22/ Trong MPTĐ Oxy choABC có A( ) :d x4y 2 0,BC//( )d , pt đường cao BH là x + y + 3 = 0 và trung điểm của cạnh AC là M( 1; 1) Tìm tọa độ các đỉnh của ABC ( pt AC: 1.(x 1) 1.(y     1) 0 x y 0

)

23/ Trong MPTĐ Oxy cho 2 điểm A( 2; -1 ), B( 1; - 2) và trọng tâm G của ABC nằm trên đt x + y – 2 = 0 Tìm tọa độ đỉnh C biết dtABC = 1,5 ( ( 6; 0) và ( 3; 3) )

24/ / Trong MPTĐ Oxy choABC vuông tại C Biết A( - 2; 0), B( 2; 0) và k/c từ trọng tâm G của ABC đến Ox

bằng 1/3 Tìm tọa độ đỉnh C ( C(  3; 1 ) )

25/ Trong MPTĐ Oxy cho 2 đt (d): x + y + 1 = 0, (d’): 2x – y – 1 = 0 Lập pt đt đi qua điểm M( 1; 1) và cắt (d), (d’)

tại A,B sao cho: 2MA MB   0 (

A a a  B b b  a b   b a   a b 

A( 0; -1), B( 3; 5), AB: 2x – y – 1 = 0 )

26/ Trong MPTĐ Oxy choABC có A( 1; 5), B( - 4; - 5), C( 4; - 1) Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp ABC

( Gọi M(x;y) và N(x’;y’) là các điểm nằm trên các đường phân giác trong của góc Aˆ&Bˆ Khi đó ta có:

).

II.Toán về các đường cong:

27/ Cho đtr (C ): x2y2 1 và đt (d): x + y – 1 = 0 Lập pt đtr (C’ ) qua gđ của (C ) và (d) TMĐK:

a/ (C’ ) đi qua điểm A( 2; 1) ; b/ (C’ ) có tâm thuộc đt (d’): 2x – y – 2 = 0 ;

c/ (C’ ) tiếp xúc với đt (D): 2x + y – 3 = 0 ; d/ (C’ ) cắt (D’): x + y – 4 = 0 tại hai điểm A,B sao cho AB = 2

28/ Cho hai đtr (C ): x2y2 1 0 & ( ') :C x2y24x0 a/ Chứng minh (C ) và (C’ ) cắt nhau

b/ Viết pt đtr qua gđ của (C ), (C’) và qua điểm M( 3; 0) c/ Viết pt đtr qua gđ của (C ), (C’) và t/x với đt: x+y – 2 = 0

29/ Cho đtr (C ): x2y22x8y 8 0 Viết pttt của (C ) biết tiếp tuyến: a/ đi qua điểm M( 4; 0)

b/ đi qua điểm A( - 4; - 6) c/ // (d): x – y = 0 d/ ( ') : 3d x4y0 e/ Tạo với (d”) một góc 450

30/ Viết pttt chung của hai đtr ( ) :C x2y24x 3 0 & ( ') :C x2y28x12 0

31/ Cho đtr ( ) :C x2y22x4y 4 0 và điểm A( 3; 5) Gọi M,N là hai tiếp điểm của 2 tt với (C ) được kẻ từ

A Tính độ dài MN ( MN = 4,8 )

32/ Cho đtr ( ) :C x2 y22x6y 6 0 và điểm M( 2; 4) Viết pt đt đi qua M và cắt đtr (C ) tại hai điểm A,B sao cho M là trung điểm của AB

33/ Viết pt đtr đi qua 2 điểm A( 3; 1), B( - 1; 3) và có tâm thuộc đt: 3x – y – 2 = 0.

34/ Viết pt đtr có tâm nằm trên đt: x – 6y – 10 = 0 và tiếp xúc với 2 đt (d): 3x + 4y + 5 = 0 và (d’): 4x – 3y – 5 = 0 35/ Viết ptđtr t/x với 3 đt: 3x4y35 0;3 x4y35 0 & x 1 0

( Tâm của 3 đtr này là:( 17/2;0 ), ( 9; 0), ( 35/3; 19/6), ( 35/3; 8/3) ) 36/ Viết ptđtr tiếp xúc với 2 đt: 7x – y – 5 = 0 ; x + y + 13 = 0 và với một trong hai đt ấy tại điểm M( 1; 2).

( (x29)2(y2)2 800 & (x6)2(y3)2 50 ) 37/ Trong MPTĐ Oxy cho 2 đt (d): x - 2y + 3 = 0, (d’): 4x + 3y – 5 = 0 Lập ptđtr (C ) có tâm I trên (d), tiếp xúc với

(d’) và có bk R = 2 ( I có tọa độ ( 21/11; 27/11) và ( - 17/11; 7/11) )

DOÃN XUÂN HUY - THPT Ân Thi - Hưng Yên

38/ Trong MPTĐ Oxy cho 2 điểm A(1;2), (1;6)B và đtr (C ): (x2)2(y1)2 2 Lập pt đtr (C’ ) qua B và t/x với (C ) tại A

( I( 2; 1).Đt IA có ptts: x 1 ;t y  2 t I'(1 ;2t t).Do I’A = I’B nên t =2I'( 1;4), ' R  8 ) 39/Tìm tọa độ điểm M trên đt x – y + 1 = 0 sao cho qua M kẻ được 2 tiếp tuyến t/x với đtr (C ):x2y22x4y0

tại 2 điểm A, B mà AMB600

( M x x( ; 1), ( 1;2),I  R 5IM2 2(x2 1) 4R2 20   x 3 M(3;4),M'( 3; 2)  )

40/Trong MPTĐ Oxy cho đtr (C ): x2y212x4y36 0 Viết ptđtr tiếp xúc với 2 trục tđ và t/x ngoài với (C )

( (C ) có tâm I( 6; 2), bk R = 2 Gọi (C’ ) là đtr có tâm I’(R’;R’) tiếp xúc với Ox, Oy và t/x ngoài với (C )

)

41/ Trong MPTĐ Oxy cho Parabol ( ) :P y2 64x và đt ( ) : 4 x3y46 0 Viết pt đtr có tâm thuộc ( ) , t/x

với ( P ) và có bk nhỏ nhất ( Gọi M y( 02/ 64; ) ( )y0  P d M( ; )  (y024)2160 / 80 2 Gọi M( 9; 24) Ptđt qua M và  ( ) : 3x4y123 0 I(33/ 5;129 / 5) Vậy ptđtr là: (x33/ 5)2(y129 / 5)2 4 ) 42/ Trong MPTĐ Oxy cho đtr (C ): x2y26x91 0 và điểm A( 3; 0) Đường tròn (C’ ) thay đổi nhưng luôn

đi qua A và tiếp xúc với (C ) Tìm tập hợp tâm của đtr (C’ ) ( Gọi I( - 3; 0), M( x; y) là tâm của (C’) MI + MA =10

)

43/ Lập pt Elip biết : a/ Hai tiêu điểm F1( 1;0) & F2(5;0) và tâm sai e = 3/5; b/ Tâm I( 1; 1); tiêu điểm F1(1;3) và

độ dài trục nhỏ bằng 6 ( a/ (x2) / 252 y2/16 1; /( b x1) / 9 (2  y1) /13 12  )

44/ Lập pt Elip biết hai tiêu điểm F1( 1; 1) &  F2(3;3) và độ dài trục lớn bằng 12

( MF1MF2 12;MF12 (x1)2(y1) ,2 MF22 (x3)2(y3)2 MF12MF22 8x8y16

)

2 2

45/ Cho Elip ( ) : 4E x29y2 36 và điểm M( 1; 1) Lập ptđt qua M và cắt Elip trên tại hai điểm A, B sao cho M là

trung điểm của AB ( đt qua M có pt: y kx k   1 4x29(kx k 1)2 36 Nghiệm của pt này là các hoành độ của A và B Ta có MA MB  x Ax B 2x M   k 4 / 9ptđt là: 4x + 9y – 13 = 0 )

- //