MOT SO BAI TOAN HAY GIAI MAY TINH

Hãy tìm ước lớn nhất của a, biết ước số đó là lập phương của một số tự nhiên ... Cộng vế với vế, ta được:.[r]

TỔNG HỢP MỘT SỐ BAI TOÁN GIẢI BẰNG MÁY TÍNH CASIO

b) 1 + √2+√33+√44+√55+ +√x x=46 , 45262278

Ghi vào màn hình biểu thức: 0 SHIFT STO X SHIFT STO A

X = X +1 : A = A + X√X = = KQ: x = 39

b) Tìm x; y để P = x -2 √xy +3y - 2 √x +2013,25 đạt GTNN Tìm GTNN đó

GTNN: P = 2011,75 tại x = 94 y = 14

P = x - 2 √xy +3y - 2 √x +2013,25

= ( √x −√y −1 ) 2 + 2.( √y - 12 ) 2 + 2011,75 2011,75

Bài 3: ( 1,5 điểm) Cho dãy các số viết theo qui luật sau:

S 1 =64; S 2 =S 1 +196; S3 S1 S2  576 ; S4 S1 S2 S3  1444 ;

S S S S S  ; …

Viết công thức tổng quát của số hạng thứ n của dãy số trên và tính S10 ;S15 ; S 22 ?

Công thức tổng quát tính Sn là Sn=

S 1 =64; S 2 =S 1 +196; S3 S1 S2  576 ; S4 S1 S2 S3  1444 ;

S S S S S  ; …

 2 2

S S S S  S   n 

Ghi vào màn hình biểu thức:

(Sử dụng phép gán trước các chữ cái hoặc kí hiêu =; : phải dùng phím ALPHA)

 2 2

X X  B B A A B    X 

Ấn CALC 0 (nhập X 0) , ấn tiếp = 0 (nhập B0) ấn tiếp = 0 (nhập A0)

Ấn = = …; ta sẽ tính được các giá trị của S n(giá trị của biến A)

ĐS: S 10 373228; S15= 12705108 S20 =408782348

Câu 4 (5 điểm) Cho biết tỷ số 2x – 5 và y – 3 là một hằng số và y = 19 khi x = 4

a) Tính x khi y = 2011?

b) Nêu cách giải và quy trình ấn phím để tính x.

Theo bài ra ta có 2 x − 5 y − 3 =k (k là hằng số)

Và y = 19 khi x = 4 nên 19 −3 2 4 − 5= 3

16 ⇔ k= 3

16

 khi y = 2011 thì x=[163 (2011 − 3)+5]:2=190 , 75

x = 190,75

* Quy trình ấn phím:

Câu 7: (5 điểm): Cho dãy số a1, a2, a3, sao cho:

a2=a1−1

a1+ 1;a3 =a2−1

a2+1 ; .; a n=a n − 1 −1

a n −1+1 (n = 1, 2, 3, ) a) Tính tổng năm số đầu của dãy trên, biết rằng a2013 = 7

(kết quả lấy với 5 chữ số ở phần thập phân)

b) Nêu cách giải

T

(

=

b) Cách giải:

Ta có: a3=

a1−1

a1+ 1− 1

a1− 1

a1+1+1

=

a1−1 −a1−1

a1+1

a1−1+a1+1

a1+1

=−2

2 a1=−

1

a1

Tương tự, tính được: a4=1+a1

1− a1;a5 =a1

Suy ra: a1=a5=a9= =a2013=7

Từ đó tính được:

a1=7 ;a2=7 −1

7+1=

6

8=

3

4;a3 =

3

4−1 3

4+1

=−1

7;a4 = 1+7

1− 7=−

4

3; a5 =7

Vậy tổng năm số đầu của dãy là:

a1+a2+a3+a4+a5=7+3

4−

1

7−

4

3+7=

1115

84 ≈ 13 , 27381

Câu 10 (5 điểm) Cho hình thang ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại I, hai

cạnh đáy AB = 1,78 (cm); DC = 4,17 (cm); cạnh bên AD = 2,6 (cm)

a) Tính độ dài cạnh bên BC.

b) Tính diện tích hình thang ABCD

(kết quả lấy với 4 chữ số ở phần thập phân).

a) Đặt: AI = a; BI = b; CI = c; DI = d;

a b AB c d DC a d AD  2 a 2 d2  b2 c2 AB2 DC2 AD2

⇒ BC2

= AB 2 +DC 2− AD2

+ DC 2− AD2

=√(1 , 78)2+ (4 ,17)2−( 2,6 )2=3 , 714471699

BC≈ 3 , 7145(cm).

) Ta có: a c=b

d=

AB

DC=

1 , 78

4 ,17=0 , 4268585132=k ;

2

1

1

a kc b kd

k





⇒c=√DC2− AD2

1 −k2 =√4 , 172− 2,62

1− k2 =3 , 605145376

d2=DC2− c2

⇒d=√DC2− c2=√4 , 172−3 , 6051453762≈ 2, 095668585

a=kc=1 ,538886995

b=kd=0 , 8945539761

2,6 cm

1,78 cm

b a

I

C D

SABCD= 1

2(AC ì BD)=

1

2(a+ c )(b+ d )

≈ 7 , 690900825 ≈ 7 , 6909(m2)

Cõu 7: (2,0 điểm) Cho: x 3 – 3xy 2 = 51ẵ ; y 3 – 3x 2 y = 13ẵ.

a) Tớnh P = (x 2 + y 2 )2012

b) Tỡm hai chữ số tận cựng giỏ trị của P tỡm được trong cõu a.

d/ỏn

Ta cú: (x 3 – 3xy 2 ) 2 = 51 ; (y 3 – 3x 2 y) 2 = 13.

Suy ra: (x 3 – 3xy 2 ) 2 + (y 3 – 3x 2 y) 2 = 64 khai triển ra ta được:

(x 2 + y 2 ) 3 = 64 nờn x 2 + y 2 = 4.

Vậy P = (x 2 + y 2 ) 2012 = 4 2012

Ta cú: 4 1792 16 (mod 100) ; 4 220 76(mod 100)

Suy ra: 4 2012 16 (mod 100)

Do đú: 4 2012 = ******…*** 16 Vậy 2 chữ số tận cựng là: 16

tử của tập hợp thứ n Tớnh S101 = ?

đ/a

Ta gọi số hạng đầu tiờn của tống S n là: a n

Ta cú số hạng đầu tiờn của tống S 1 là: a 1 = 1

Ta cú số hạng đầu tiờn của tống S 2 là: a 2 = 1+ a 1

Ta cú số hạng đầu tiờn của tống S 1 là: a 3 = 2 + a 2

Ta cú số hạng đầu tiờn của tống S n là: a n = n – 1 + n – 2 + 3 + 2 + 1 + a 1

Suy ra: a n = n(n-1):2 + a 1

Nờn số hạng đầu tiờn của tống S 101 là: a 101 = 5051

Khi đú tập hợp thứ 101 là: {5051; 5052; ; 5151}

Do đú: S 101 = (5051+5151).101:2 = 515201

Cõu 1: (5 điểm): Trỡnh bày túm tắt lời giải và ghi đỏp số

Đặt P(n) = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + n(n + 1)(n+2).Tớnh P(100) và P(2010)

Cú

1

4

k k k  k k k k  k k k k

1

4

P     n n n n  n n n n

=

1 ( 1)( 2)( 3)

4n n n n

Cõu 5: ( 5 điểm ) Một số tự nhiên có bốn chữ số , biết rằng nếu viết thêm chữ số 1 vào bên trái

và viết thêm chữ số 8 vào bên phải của số đó thì đợc một số mới có sáu chữ số, đồng thời số này bằng 34 lần số ban đầu Hãy tìm số đó Trình bày tóm tắt cách giải vào phần dới đây

C2 :

Sè míi lµ : 1abcd8 1.10  5 10.abcd 8 10.abcd 100008   

1abcd8 34.abcd 10.abcd 100008 34.abcd

24.abcd 100008 abcd 4167

Ta cã :

VËy sè cÇn t×m lµ 4167

Câu 7: (5 điểm) Số N = 27.35.53 có bao nhiêu ước số ?

Giải: Số các ước số của N chỉ chứa thừa số: 2 là 7, 3 là 5, 5 là 3

- Số các ước số của N chứa hai thừa số nguyên tố: 2 và 3 là: 7x5 = 35;

2 và 5 là: 7x3 = 21; 3 và 5 là: 5x3 = 15

- Số các ước số của N chứa ba thừa số nguyên tố 2, 3, 5 là 7x5x3 = 105

Như vậy số các ước số của N là: 7 + 5 + 3 + 35 + 21 + 15 + 105 + 1 = 192

Câu 8: (5 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên x thoả mãn: 10000 < x < 15000 và khi chia x cho 393 cũng như 655 đều có số dư là 210

Giải:

 x -210 chia hết cho BCNN (393 ; 655) = 1965

 x -210 = 1965.k ; (k = 1, 2, ) hay x = 1965k + 210

- Từ giả thiết 10000 < x < 15000  10000 < 1965k + 210 < 15000

hay 9790 < 1965k < 14790  5  k < 8

Tính trên máy:

Với k = 5, ta có: x = 1965.5 + 210 = 10035 Với k = 6, ta có: x = 1965.6 + 210 = 12000 Với k = 7, ta có: x = 1965.7 + 210 = 13965 Vậy các số phải tìm là: 10035, 12000, 13965

Câu 9: (5 điểm) Tìm bốn chữ số tận cùng của 51994

Giải:

- Ta có: 54 = 625

- Nhận thấy số có tận cùng là 625 luỹ thừa bậc bất kỳ vẫn có tận cùng là 625

- Do đó:

51994 = 54k + 2 = 25.(54)k = 25.(625)k = 25( 625) = 5625

Câu 4 (5 điểm) a) Giải hệ phương trình sau sau:

3

2







a)

x y z

(2,5 điểm)

Bài 12: ( 5 điểm) Viết tiếp vào sau số 2011 những chữ số nào thì được số nhỏ nhất chia hết cho1234?

Cách giải: Theo mod 1 234 ta có:

* Điền vào sau một chữ số thì 2011x  366 + x (loại)

* Điền vào sau hai chữ số thì 2011xy  1192 + xy  xy = 42 *

Điền vào sau ba chữ số thì 2011xyz  814 + xyz  xyz = 420

Kết quả

201142 và 2011420

a) S = 2011 (1 điểm)

a1a2a3a4a5a6a7a8=(a6a8)4

Bài 2: (5 điểm) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên thỏa mãn:

a1a2a3a4a5a6a7a8=(a6a8)4

(65; 17 850 625) (86; 54 700 816) (91; 68 574 961)

Cho: B=31+

27 15+ 7

. ❑

b n − 1+ 1

b n

Tìm dãy số: b0,b1,…,bn

54216

B 31

30127

5+ 1 3+1 3

a

{b0,b1,b2,…,bn} = {32,1,3,1,94,1,5,3,3}

Bài 4: ( 5 điểm): Hình vẽ sau là các tam giác đều lần lượt có cạnh bằng 1; 2; 3 que diêm Theo mẫu như thế, để xếp được một tam giác đều có cạnh bằng 7 que diêm thì cần có tất cả bao nhiêu que diêm? Vì sao?

Viết quy trình tính Với n = 7 số que diêm cần là : 84

Bài 7 (5điểm): Tìm các ước nguyên tố của:

A 1751 19573 3 23693

3, 5, 7,…, 37, được 23939 = 37 647

Bài 9 (5điểm): Cho dãy (un) xác định bởi:

u1= 1

1 3 5; u2 = 1

1 3 5+

1

3 5 7; u3 = 1

1 3 5+

1

3 5 7+

1

5 7 9

u n= 1

1 3 5+

1

3 5 7+ +

1 (2n −1)(2 n+1)(2 n+3) (n=1,2,3 )

b)Tính đúng giá trị u50 , u60; u1002

Tính ra công thức tổng quát

Un =

1

4 (

1.3 (2 n 1)(2n 3) )

Lập quy trình

0 SHIFT STO A

A= A+1;

B =

1

4.(

1.3 (2 A 1)(2A 3) ); ấn liên tiếp dấu bằng cho kết quả

U50 = 2600/31209; U60 = 1240/14883; U1002= 3353364024035

Tính chinh xác giá trị các biểu thức sau :

a) C = 123456789 2

b) D   1 2 3 43 3 3 3 5 63 3  2011 20123 3 20133

Người ta bán 2 con trâu, 5 con cừu để mua 13 con lợn thì còn thừa 1000 đồng Đem bán 3 con trâu, 3 con lợn rồi mua 9 con cừu thì vừa đủ Còn nếu bán 6 con cừu, 8 con lợn để mua 5 con trâu thì còn thiếu

600 đồng Hỏi mỗi con trâu, con cừu, con lợn giá bao nhiêu ?

- Trâu : 1200 đồng

- Cừu : 500 đồng

- Lợn : 300 đồng

a) Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 216 2192n là một số chính phương.

a) n = 20

b) Cho a = 1.2.3…17(tích của 17 số tự nhiên liên tiếp, bắt đầu từ số1) Hãy tìm ước lớn nhất của a, biết ước số đó là lập phương của một số tự nhiên

b) a = 2985984000

Bài 5: (2,0 điểm)

a) Tìm các số nguyên x, y, z, t thoả mãn:

¿

xy −3 zt=1.

xz +yt=2

¿ {

¿

b) Cho x1000 + y1000 = 6 và x2000 + y2000 = 45 Tính x3000 + y3000

Tóm tắt lời giải:

a) (1,5đ) Ta có:

¿

xy −3 zt=1

xz +yt=2

¿ {

¿



¿ (xy − 3 zt)2=1

3 (xz +yt )2=12

¿ {

¿



¿

x2y2−6 xyzt+9 z2t2=1

3 x2z2 +6 xyzt+3 y2t2 =12

¿ {

¿

Cộng vế với vế, ta được: x2y2+3 x2z2+3 y2t2+9 z2t2=13

 (x2

+3t2) (y2

+3 z2)=13 (*)

Giải phương trình (*) với x, y, z, t Z, ta được:

(x; y; z; t) = (1; 1; 2; 0), (1; 1; 0; 2), (-1; -1; -2; 0), (-1; -1; 0; -2).

b) (0,5đ)Đặt a = x 1000 , b = y 1000 (a, b 0) Theo đề ra, ta có:

¿

a+b=6

a2+b2=45

¿ {

¿



¿

a2+b2+2 ab=36

a2 +b2 =45

¿ {

¿

(1) ( 2)

Từ (1)&(2) suy ra: 2ab = -9  ab = -4,5 (không thoả mãn ĐK)

Không có giá trị của x, y thoả mãn ĐK: x 1000 + y 1000 = 6 và x 2000 + y 2000 = 45

Vậy không xác định được giá trị của tổng: x 3000 + y 3000

Bài 4: (2,0điểm)

a) Tìm chữ số tận cùng của tổng: S = 21+ 35+49+ +5052013

a) Với 8 số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có chữ số 5.

Tóm tắt lời giải:

a) (1đ) Trước tiên, ta nhận xét rằng: n5

−n=n (n −1) (n+1)(n2+ 1) là số chẵn và chia hết cho 5 nên có tận cùng bằng 0 (với mọi số tự nhiên n)

Mặt khác, ta có: n 4 k+1

− n=n(n 4 k −1) chia hết cho n(n4− 1)=n5− n Nên n 4 k+1

− n cũng là số có tận cùng bằng 0.

Như vậy, tổng:

(21− 2)+(35−3)+(49− 4)+ +(5052013− 505) có tận cùng bằng 0.

Suy ra chữ số tận cùng của tổng: S = 21+ 35+49+ +5052013

chính là chữ số tận cùng của tổng:

2+3+4 + +504+505=12 504 507=127764 Vậy chữ số tận cùng của tổng S là 4.