Luyện thi Đại học phần Hàm số

CÁC DẠNG BÀI TẬP: Dạng 1: Tìm cực trị của một hàm số cụ thể Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số có cực trị Dạng 3: Tìm tham số m để một hàm số đạt cực trị tại điểm x0 cho trước Dạng 4: Tìm t[r]

PHầN I

Kiến thức cơ bản theo chương trình

sách giáo khoa

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.

CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:

I Định nghĩa

Cho hàm số y=f(x) xỏc định trờn K

1) f đồng biến (tăng) trờn K nếu với mọi x1, x2 K mà x1<x2 thỡ f(x1)<f(x2)

2) f nghịch biến(giảm) trờn K nếu với mọi x1, x2 (a,b) mà x1<x2 thỡ f(x1)>f(x2)

II Định lý:

1) Cho hàm số f cú đạo hàm trờn khoảng I

 Nếu f x'( ) 0  xI thỡ hàm số f đồng biến trờn I

 Nếu f x'( ) 0  xI thỡ hàm số f nghịch biến trờn I

(Nếu f’(x) =0 tại một số hữu hạn điểm trờn khoảng I thỡ định lý vẫn cũn đỳng).

 Nếu f’(x)=0 xI thỡ hàm số f khụng đổi trờn I

CÁC DẠNG BÀI TẬP:

Dạng 1: Xột chiều biến thiờn cửa một hàm số cụ thể

Dạng 2: Chứng minh một hàm số cú chứa tham số m đồng biến ( nghịch biến) trờn tập xỏc định của nú

Dạng 3: Tỡm tham số m để một hàm số đồng biến ( nghịch biến) trờn tập xỏc định của nú

Dạng 4: Tỡm tham số m để một hàm số đồng biến( nghịch biến) trờn một khỏang

Dạng 5: Dựng tớnh đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức

BAỉI TAÄP:

1 Xeựt chieàu bieỏn thieõn cuỷa caực haứm soỏ sau:

a y  x x b y)  2x2  3x 1 1 3 2

3

c y x  x  x d y x)  2 (4 x2 )

2 Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

2

3 Chứng minh rằng:

a) Hàm số y x 3 x2  2x 3 tăng trên miền xác định của nó

b) Hàm số 2 1 tăng trên từng khoảng xác định của nó

1

y

x

 





c) Hàm số 3 nghịch biến trên từmg khoảng xác định của nó

2 1

x y

x







d) Hàm số y 2x x 2 nghịch biến trên [1; 2]

e) Hàm số y x2  9 đồng biến trên nữa khoảng 3;  )

4 Với giá trị nào của m, hàm số 2 đồng biến trên từng khoảng xác định của

1

m

y x

x

  



nó?

5 Với giá trị nào của a, hàm số 1 3 2 nghịch biến trên R?

3

6 Cho hàm số f x( ) 2  x2 x 2

a) CMR hàm số f đồng biến trên nữa khoảng [2; + ).

b) CMR phương trình 2x2 x  2 11 có một nghiệm duy nhất

7 Cho hàm số f x( ) 2  sinx tanx  3x

a) CMR hàm số đồng biến trên nữa khoảng [0; )

3



b) CMR 2 3 , (0; )

2

sinx tanx  x  x 

8 Cho hàm số f x( ) x3  3mx2  3(2m 1)x 1 xác định m sao cho hàm số f tăng trên MXĐ

9 Cho hàm số ( ) 2 2 ( 1) 2 1

1

f x

x





a) Xác định m để hàm số tăng trong từng khoảng xác định

b) Xác định m để hàm số tăng trong khoảng (0; + ) 

10 Định a để hàm số 3 ( 1) 2 ( 3) 4 tăng trong khoảng (0;3)

3

x

HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ:

1 Đáp số:

a) Hàm số đb/(- ; 2) và nb/(2; + ) 

b) Hàm số đb/(3/4; + ) và nb/(- ; 3/4) 

c) Hàm số đb/(- ; 2) (4;+ ) và nb/(2; 4)  

d) Hàm số đb/(- ;- 2) (0; 2)và nb/(  2;0) ( 2;   )

2 Đáp số:

a) Hàm số nb/(- ;0)   (4; )và đb/(0; 2) (2; 4) 

b) Hàm số đb/(- ;-3/2)   ( 1/ 2;  )và nb/( 3/ 2; 1) ( 1; 1/ 2)     

c) Hàm số nb/(- ; -1) (1;+ ) và đb/(-1; 1)  

d) Hàm số nb/(- ; -2) (-2;1) (4;+ ) và đb/(1; 2) (2; 4).    

4 Hướng dẫn:

Ta có: ' 1 2 , hàm số đồng biến trên từng xác định khi và chỉ khi m 0

( 1)

m y

x

 

5 Hướng dẫn:

Hàm số nb trên R 0 3

a

a





     

6 Hướng dẫn:

a) Hàm số xđ và liên tục trên [2;+ ) và  '( ) (5 8) 0, (2; )do đó hàm số đồng

2

x x

x





biến trên nữa khoảng [2;+ ).

b) Hàm số liên tục trên đoạn [2;3], f(2)=0, f(3)=18 Vì 0<11<18 nên theo định lí về gía trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại số thực c thuộc (2;3) sao cho f(c) = 11 Số c là một nghiệm cảu phương trình đã cho Vì hàm số đb trên [2;+ ) nên c là nghiệ duy nhất 

cảu phương trình

7 Hướng dẫn:

a) Hàm số đã cho liên tục trên nữa khoảng [0; ) và

2



do đó hàm số f đồng biến trên

2

1 (1 cos ) (2 1)

2



nữa khoảng [0; )

2



b) Từ a) suy ra f(x) > 0 (0; ) tức là ta có BĐT can chứng minh

2

 

8 Hướng dẫn:

' 0

a





9 Hướng dẫn:

+ TXĐ: D = R\  1

+ ' 2 2 4 2 2

( 1)

y

x





a) Hàm số tăng trên từng khoảng xác định  2x 4x m        2 0, x 1 m 0

0 ' 0 0

(0) 0

0 0 2

a

a

a g S

  



  



 



          





  





2

m

 

10 Hướng dẫn:

+ TXĐ D = R

+ Ta có: y'   x2 2(a 1)x a   3 g x( )

+ Hàm số tăng trong khoảng (0;3)

3

12

7

a

a

 



2 CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU

A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:

1.Định nghĩa: Cho hàm số f xác định D và điểm x0 D

 Điểm x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại khoảng (a;b) chứa điểm x0 sao cho (a;b) D và f(x) < f(x 0)  x ( ; )a b (x ≠ x0)

 Điểm x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại khoảng (a;b) chứa điểm x0 sao cho (a;b) D và f(x) > f(x 0)  x ( ; )a b (x ≠ x0)

 f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) hay cực trị của hàm số; x0 được gọi là điểm cực trị

2 Điều kiện cần để hàm số cĩ cực trị:

Định lí 1:Nếu hàm số f cĩ đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đĩ thì f’(x) = 0

Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số f cĩ đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại x0 thì tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại (x0; f(x0)) song song hay trùng với trục hồnh

3 Điều kiện đủ để hàm số cĩ cực trị:

Định lí 2:

Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm x0 và cĩ đạo hàm trên các khoảng (a;x0);(x0;b) khi đĩ

a) Nếu f’(x) > 0  x ( ; )a x0 và f’(x) < 0  x ( ; )x b0 thì hàm số đạt cực đại tại x0 b) Nếu f’(x) < 0  x ( ; )a x0 và f’(x) > 0  x ( ; )x b0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0 Nĩi một cách vắn tắt:

a) Nếu khi x đi qua x0, đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì điểm x0 là điểm cực đại

b) Nếu khi x đi qua x0, đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì điểm x0 là điểm cực đại

QUI TẮC 1 TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ

Định lí 3 Giả sử hàm số f cĩ đạo hàm cấp 1 trên khoảng (a;b) chứa điểm x0 ; f’(x0) = 0, f''(xo)  0 thì xo là một điểm cực trị của hàm số Hơn nữa

1) Nếu f”(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu

2) Nếu f”(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại

Nĩi cách khác:

1) f’(x0) = 0, f”(x0) > 0, x0 là điểm cực tiểu

1 Tìm f’(x)

2 Tìm các điểm xi ( i= 1,2,3…) tại đĩ đạo hàm hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng khơng cĩ đạo hàm

3 Xét dấu f’(x) dựa vào định lí 2 để kết luận

2) f’(x0) = 0, f”(x0) < 0, x0 là điểm cực đại.

QUI TẮC 2 TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ

B CÁC DẠNG BÀI TẬP:

Dạng 1: Tìm cực trị của một hàm số cụ thể

Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số cĩ cực trị

Dạng 3: Tìm tham số m để một hàm số đạt cực trị tại điểm x0 cho trước

Dạng 4: Tìm tham số m để một hàm số đạt cực trị thoả mãn điều kiện cho trước

BÀI TẬP:

1 Tìm cực trị của các hàm số sau:

2

x

 



2

x



2

2

8 24

 

2 Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) y = sin2x - 3cosx, x [0; ] b) y = 2sinx + cos2x, x [0; ]

3 Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số f(x) = x3 + ax2 + bx + c đạt cực tiểu tại điểm x =

1, f(1) = -3 và đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2

4 Tìm các số thực p, q sao cho hàm số ( ) đạt cực đại tại điểm x = 2 và

f(-1

q

x

  



2) = -2

5 Xác định m để hàm số y x2 mx 1 đặt cực đại tại x = 2

x m





6 Chứng minh hàm số 2 22 luôn luôn có một cực đại và một cực tiểu

2

y x

 





7 Xác định mđể các hàm số sau có cực trị:

2

1

x



8 Định m để hàm số y = 2x3 - 3(2m+1)x2 + 6m(m+1)x + 1 đạ cực đại và cực tiểu Chứng minh rằng khi đó x2 – x1 không phụ thuộc vào m (x2 và x1 là hai điểm cực trị)

9 Xác định m để hàm số y = mx3 + 3x2 + 5x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2

10 Tìm m để hàm số y = - m2x2 + 2mx – 3m + 2 có giá trị cực đại bằng 3, với m 0.

HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ:

1 a) CĐ(3;10) b) CĐ(-1;-12), CT(2;15) c) CĐ(0;-2), CT(2;2) d) CT(3;-15/4)

1 Tìm f’(x)

2 Tìm các nghiệm xi ( i= 1,2,3…) của phương trình f’(x)=0

3 Tìm f’’(x) và tính f’’(xi) và dựa vào định lí 3 để kết luận

e) CĐ(1;8), CT(2;7) f) HS không có cực trị g) CĐ(1;20), CT(-2;-115) CT(2;13) h) CĐ(-1;-7), CT(5;5)

m) CT(1;5), CĐ(4;2) n) CT(-2;-1/4), CĐ(4;2) p) CĐ(2;2) q) CĐ(0;2), CT(-1;1), CT(1;1)

2 a) CĐ(5 ;7) b) CT( ), CĐ( ), CĐ( )

6 4



;1 2

;

6 2

;

6 2



3 a = 3; b = -9; c = 2

4 Ta có: '( ) 1 2 , 1

( 1)

q

x



- Nếu q 0 thì f’(x) > 0 với mọi x khác -1 Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 

xác định của chúng Hàm số không có cực đại , cực tiểu

- Nếu q > 0 thì phương trình f’(x) = 2 2 12 0 có hai nghiệm phân biệt

( 1)

x

   



x    q x    q

Lập bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực đại tại điểm x = -2 khi và chỉ khi

5 m = 3 6 Hướng dẫn: Ta chứng minh y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt với mọi m

7 a) m < 4/3 b) m > -3 8 x2 – x1 = 1 9 m = -17/12

10 Hàm số đạt cực đại tại x = a, y(a) = -3 suy ra m = 2

'( ) 0

"( ) 0

y a

y a

y a









3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

A.CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN.

1)Định nghĩa : Cho hàm số f xác định trên D ( D R)

a) Nếu  x0 D f x: ( )  f x( ),0  x D thì số M=f(x0) được gọi là GTLN của hàm số f trên D

Ký hiệu axf(x)

x D





b) Nếu  x0 D f x: ( )  f x( ),0  x D thì số M=f(x0) được gọi là GTNN của hàm số f trên D

Ký hiệu min f(x)

x D

m



 2) Cách tìm GTLN-GTNN trên D

- Lập bảng biến thiên của hàm số trên D Dựa vào BBT để kết luận

( Nếu trên bảng biến thiên cĩ một cực trị duy nhất là cực đại( cực tiểu) thì giá trị cực đại (cực tiểu) là GTLN(GTNN) của hàm số trên D)

3) Cách tìm GTLN-GTNN của hàm số f liên tục trên đoạn [a,b]

+ Tìm các điểm x1,x2, , xn thuộc (a;b) tại đĩ đạo hàm bằng 0 hoặc khơng cĩ đạo hàm

+ Tính f(x1), f(x2), , f(xn), f(a )và f(b)

+ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên

[ , ] [ , ]

max ( ) ; min ( )

a b

a b

B CÁC DẠNG BÀI TẬP:

Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN của một hàm số cụ thể

Dạng 2: Tìm GTLN,GTNN cho một đại lượng theo một đại lượng biến thiên khác:

Thiết lập hàm số cho đại lượng đĩ, rồi tìm GTLN,GTNN cho hàm số đĩ

BÀI TẬP:

1 Tìm GTLN của các hàm số sau:

a y  x x b y x  x

2 Tìm GTNN của các hàm số sau:

2

2



3 Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:

a y x  x  x x b y  x x x  

2

2 2

e y x  x  x x  f y x  x x 

2

x

x



2

1

1

x



4 Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:

a) y = cos3x - 6cos2x + 9cosx + 5; b) y = sin3x – cos2x + sinx + 2

5 Một ngonï hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng AB = 5km Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng là 7km Người canh hải đăng có thể chèo đò từ A đến M trên bờ biển với vận tốc 4km/h rồi đi bộ đến C với vận tốc 6khm/h Xác định

vị trí của điểm M để người đó đến kho nhanh nhất

HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ:

R R

a y f  b max y f 

2

) min (2) 8 ) min (1) 3

3

 0;4  0;4

 1;3  1;3



2; 2 2; 2

  

;

2 2

 

 

 

 4;4  4;4



 3;1  3;1



 1;3  1;3



( 2;4]

2 ) max (4)

3

GTNN

, Hàm số không có GTLN

(1; )

) min (2) 5

 1;1  1;1



R R

27 R R

5 BM = 2 5 4.472(  km).

4 ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ

A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:

1 Phép tịnh tiến hệ toạ độ và cơng thức chuyển hệ toạ độ

Trong mp(Oxy) cho điểm I(x0;y0) Gọi IXY là hệ toạ độ mới cĩ gốc là I và hai trục IX,IY theo thứ tự cĩ cùng vectơ đơn vị ,i j với hai trục Ox, Oy M là điểm bất kì của mp, giả sử M(x;y)/(Oxy) và M(X;Y)/(IXY) Tacĩ:

0 0

x X x

y Y y



  



B DẠNG BÀI TẬP:

Viết phương trình của đường cong trong hệ tạo độ mới

BÀI TẬP:

1 Chứng minh đồ thị của các hàm số sau nhận điểm uốn làm tâm đối xứng

a) y = x3 – 3x2 + 2x – 1 b) y = - x3 + 3x2 + 2x c) y = x3 + 6x2 + x – 12

2 Xác định đỉnh I của mỗi Parabol sau và chứng minh đồ thị của chúng có trục đối xứng a) y = x2 - 4x + 3 b) y = 2x2 + 3x – 7

8

HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ:

1 Hướng dẫn:

a) - Điểm uốn: I(1;-1)

- Công thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ là OI 1

1

x X

y Y



  



- Phương trình của (C) đối với hệ toạ độ IXY là Y = X3 – X đây là một hàm số lẻ

Do đó đồ thị (C) của nó nhận gốc toạ độ I làm tâm đối xứng

b) và c) làm tương tự

2 Hướng dẫn:

1

x X

y Y



3 3

x X

y Y

  



  



2 Phương trình của đường cong đối với hệ toạ độ mới:

Giả sử (C) là đồ thị hàm số y = f(x) đối với hệ Oxy Tịnh tiến hệ trục Oxy theo vec tơ OI

với I(x 0 ;y 0 ) theo cơng thức đổi trục 0 ta cĩ phương trình của (C) trong hệ toạ độ

0

x X x

y Y y



  



IXY là:

Y = (X+x 0 ) – y 0

x

y

X

Y

Y X M

1 y

x

5 TIỆM CẬN A.CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:

1) Tiệm cận ngang:

Đường thẳng y=y0 được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f x( )nếu

hoặc

0

lim ( )

2) Tiệm cận đứng: Đường thẳng x=x0 được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

( )

y = f x

lim ( ) ; lim ( )

lim ( ) ; lim ( )

3) Tiệm cận xiên:

Đuờng thẳng y= ax+b (a 0) được gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số 

nếu

( )

y = f x

lim [ ( ) (ax+b)] 0

x f x

hoặc lim [ ( ) (ax+b)] 0

x f x

Cách tìm các hệ số a, b của tiệm cận xiên y=ax+b

x

( ) lim b= lim[ ( ) ax]

x

f x

x

(Để tìm tiệm cận xiên của hàm số hữu tỉ b2/b1 ta thực hiện phép chia để viết lại hàm số)

B DẠNG BÀI TẬP:

Tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số

BÀI TẬP:

1 Tìm TCĐ và TCN của đồ thị mỗi hàm số sau:

2

2 Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số sau: 3 2 1

1

y x

 





3 Tìm tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau:

2

4 Tìm tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau:

x

5 a) Xác định giao điểm I của hai đường tiệm cận của đường cong 5 (H)

2 3

x y x







b) CMR (H) có tâm đối xứng là I

6 a) Xác định giao điểm I của hai đường tiệm cận của đường cong 2 2 3 3 (H)

2

y

x

 





b) CMR (H) có tâm đối xứng là I

HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ:

1 Đáp số:

a) TCN: y = -1, TCĐ: x = 2 b) TCN: y = 0, TCĐ: x = 3 và x = -3 c) TCN: y = -1/5, TCĐ: x = -1, x = 3/5

2 Đáp số: TCX y = x

3 Đáp số:

a) TCN: y = -1, TCĐ: x = -1 b) TCX: y = x - 3, TCĐ: x = 3 c) TCX: y = 5x + 1, TCĐ: x = 3/2

4 Đáp số:

a) Đường thẳng y = x - 1/2 là TCX của đồ thị (khi x )

Đường thẳng y = - x + 1/2 là TCX của đồ thị (khi x )

b) Đường thẳng y = 2x + 1 là TCX của đồ thị (khi x )

Đường thẳng y = - 1 là TCN của đồ thị (khi x )

c) Đường thẳng y = x là TCX của đồ thị (khi x )

Đường thẳng y = -x là TCX của đồ thị (khi x )

d) Đường thẳng x = 0 là TCĐ của đồ thị (khi x 0 )

Đường thẳng y = x là TCX của đồ thị (khi x )

5 Hướng dẫn và đáp số:

a)

3

( ; ) )

1

2

x X

X

y Y

  



  



6 Hướng dẫn và đáp số:

5

x X

  



ƠN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ Các bước khảo sát hàm số :

Các bước khảo sát hàm đa thức Các bước khảo sát hàm hữu tỷ

1 Tập xác định

2 Sự biến thiên

- Giới hạn tại vơ cực

- Chiều biến thiên, cực trị

- Bảng biến thiên

3 Đồ thị

- Điểm uốn

- Điểm đặc biệt

- Đồ thị

1 Tập xác định

2 Sự biến thiên

- Giới hạn, tiệm cận

- Chiều biến thiên, cực trị

- Bảng biến thiên

3 Đồ thị

- Tâm đối xứng

- Giá trị đặc biệt

- Đồ thị

Sự khác biệt : Hàm đa thức khơng cĩ tiệm cận, hàm hữu tỉ khơng cần xét đaọ hàm cấp

hai.Các dạng đồ thị hàm số:

 Hàm số bậc 3: y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a  0)

Pt y’ = 0 có

hai nghiệm

phân biệt

2

-2

O

2

-2

Pt y’ = 0 có

2

Pt y’ = 0 vô

nghiệm

2

4

2

 Hàm số trùng phương: y = ax 4 + bx 2 + c (a  0)

Pt y’ = 0 có

ba nghiệm

phân biệt

-2

2

Pt y’ = 0 có

một

-2

 Hàm số y = (  0 ,   0 )





bc ad c

d cx

b ax

D = ad – bc > 0 D = ad – bc < 0

4

2

4

2

-2

' ' '

'

2



















r a a b x a

r q px b

x a

c bx ax

Pt y’ = 0 có

hai nghiệm

phân biệt

2

-2

-4

O

2

-2

-4 O

Pt y’ = 0 vụ

nghiệm

2

-2

O

2

-2

O

BAỉI TAÄP:

1 Khaỷo saựt vaứ veừ ủoà thũ caực haứm soỏ

4

2

x

2 Khaỷo saựt vaứ veừ ủoà thũ caực haứm soỏ

3 Khaỷo saựt vaứ veừ ủoà thũ caực haứm soỏ

 

4 Cho haứm soỏ ( ) 2 (6 ) 4

2

mx



a) Vụựi giaự trũ naứo cuỷa m thỡ ủoà thũ cuỷa haứm soỏ ủi qua ủieồm (-1;1)?

b) Khaỷo saựt vaứ veừ ủoà thũ haứm soỏ khi m = 1

HệễÙNG DAÃN VAỉ ẹAÙP AÙN:

Hoùc sinh dửùa vaứo sụ ủoà khaỷo saựt ủeồ laứm

Phần II

Các vấn đề liên quan đến hàm số và đồ thị

Xét cực trị của hám số có chứa tham số

Phương pháp:

Cho hầm số y = f(x) xác định trên D

1 Hàm số có cực trị  y’ đổi dấu

2 Hàm số không có cực trị  y’ không đổi dấu

3 Hàm số có 1 cực trị  y’ đổi dấu một lần

4 Hàm số có 2 cực trị (cực đại và cực tiểu)  y’ đổi dấu 2 lần

5 Hàm số có 3 cực trị  y’ đổi dấu 3 lần

6 Hàm số đạt cực đại tại x0 nếu 0

0

f '(x ) 0

f ''(x ) 0







7 Hàm số đạt cực tiểu tại x0 nếu 0

0

f '(x ) 0

f ''(x ) 0







8 Hàm số có đạo hàm và có cực trị tại x0 => f(x0) = 0