Nhận xét: Trong các ví dụ trên, việc xét dấu đạo hàm được thực hiện bằng các quy tắc xét dấu cơ bản nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai, đa thức.. Trong ví dụ sau, ta sẽ xét dấu của đạo [r]
Trang 1S ự biến thiên của hàm số và ứng dụng
M ục lục
Loại 1 Sự biến thiên của hàm số không chứa tham số 2
A Tóm t ắt lý thuyết 2
B Một số ví dụ 3
C Bài tập 12
D Hướng dẫn và đáp số 14
Loại 2 Sự biến thiên của hàm số chứa tham số 18
A Tóm t ắt lý thuyết 18
B Một số ví dụ 20
C Bài tập 24
D H ướng dẫn và đáp số 25
Loại 3 Ứng dụng xét phương trình 28
A Nguyên tắc chung 28
B Một số ví dụ 29
C Bài t ập 39
D Hướng dẫn và đáp số 41
Trang 2Lo ại 1 Sự biến thiên của hàm số không chứa tham số
A Tóm tắt lý thuyết
* Định nghĩa: Cho f : a;b
+) f được gọi là đồng biến trên K nếu: , x 1 x 2 a;b , x 1 x 2 f x 1 f x 2
+) f được gọi là nghịch biến trên K nếu: , x 1 x 2 a;b , x 1 x 2 f x 1 f x 2
Nếu chỉ sử dụng định nghĩa thì ta sẽ gặp khó khăn trong nhiều bài toán xét tính đơn điệu của hàm
số Đạo hàm là công cụ hữu hiệu để xét tính đơn điệu của hàm số
* Định lý: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng a;b Khi đó
+) f ' x 0 x a;b f đồng biến trên a;b
+) f ' x 0 x a;b f nghịch biến trên a;b
+) f ' x 0 x a;b f không đổi trên a;b
Để xét tính đơn điệu của hàm số y f x , ta làm như sau:
+) Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số
+) Bước 2: -) Tính f ' x
-) Tìm nghiệm của phương trình f ' x 0 -) Xét dấu của f ' x (nếu cần)
+) Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số
+) Bước 4: Kết luận về sự biến thiên của hàm số
Trang 3B Một số ví dụ
Ví d ụ 1 Xét chiều biến thiên của hàm số f x x 3 3x 2 9x 2
Gi ải
+) T X Ñ
+) f ' x 3x 2 6x 9 3 x 2 2x 3 , f ' x 0 x 2 2x 3 0 x 1
+) Bảng biến thiên:
+∞
-∞
f x ( )
-25 7
+ ∞ 3
-1
- ∞ x
x
lim f x
,
x
lim f x
+) Kết luận: f đồng biến trên ;1 và 3; , nghịch biến trên 1;3
Chú ý:
1 Giới hạn tại vô cực của hàm đa thức: Xét đa thức bậc n
Ta có neáneáuu n
lim f x
neáu , chaün neáu , leû neáu , chaün neáu , leû
n n
n
lim f x
Trang 4
2 Một số quy tắc xét dấu:
a Dấu của nhị thức bậc nhất: Xét g x ax b (a 0) Bảng sau cho ta quy tắc xét dấu của
g x (quy tắc “phải cùng trái khác”):
a
+ ∞
∞ x
b Dấu của tam thức bậc hai: Xét g x ax 2 bx c ( a 0, b 2 4ac) Ta có ba trường
hợp sau đây:
TH1: 0: ag x 0 x
TH2: 0: ag x 0 x Dấu “ ” xảy ra b
2a
x
TH3: 0: g x có hai nghiệm phân biệt x 1 x 2 Ta có
ag x 0 x 1 x x 2, ag x 0 1
2
x x
x x
Bảng sau cho ta quy tắc xét dấu của g x trong trường hợp 3 (quy tắc “trong trái ngoài cùng”):
+ 0
x 2
x 1
_
_ +
+∞
∞ x
c Dấu của đa thức: Tất cả các bài toán xét dấu đa thức đều có thể được quy về xét dấu của đa
thức có dạng:
k 1 k 2 k n
trong đó:
Trang 5- a 0 là hệ số của lũy thừa bậc cao nhất của P x
- x 1 x 2 x n là các nghiệm của P x ,
- k , …, 1 k là các s n ố nguyên dương, k i được gọi là bội của nghiệm x i
Ta có quy tắc sau đây về dấu của đa thức P x :
- Khi x lớn hơn nghiệm lớn nhất ( x ) thì n P x cùng dấu với a
- P x không đổi dấu khi x đi qua nghiệm bội lẻ và đổi dấu khi x đi qua nghiệm bội
chẵn
d Hệ quả (của quy tắc xét dấu đa thức): Nếu một đa thức bậc n có n nghiệm phân biệt thì đa
thức đó đổi dấu liên tiếp khi x đi qua các nghiệm
Ví d ụ 2 Xét chiều biến thiên của hàm số f x x 3 3x 2 3x 1
Giải
+) T X Ñ
f ' x 3x 6x 3 3 x 1 0 x Dấu “ ” xảy ra x 1
+) Bảng biến thiên:
0
1
+ ∞
- ∞
f x ( )
+ ∞ -∞
x
x
lim f x
x
lim f x
Trang 6+) Kết luận: f nghịch biến trên
Nh ận xét: Trong ví dụ trên, ta thấy f ' x 0 x và f ' x 0 x 1, tuy nhiên f vẫn nghịch biến trên Tổng quát hơn, ta có:
+) f ' x 0 x a;b , dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc a;b
f đồng biến trên a;b
+) f ' x 0 x a;b , dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc a;b
f đồng biến trên a;b
Ví d ụ 3 Xét chiều biến thiên của hàm số f x 3x 4 4x 3 12x 2 24x 5
Gi ải
+) T X Ñ
+) f ' x 12x 3 12x 2 24x 24 12 x 3 x 2 2x 2 12 x 1 x 2 2
+) Bảng biến thiên:
_
-7+16 2 -7-16 2
16
0
2
+∞
f x ( )
+∞
0 2
∞ x
x
lim f x
.
+) Kết luận: f nghịch biến trên ; 2 và 1; 2 , đồng biến trên 2;1 và 2;
Trang 7Ví d ụ 4 Xét chiều biến thiên của hàm số 2x 3
f x
1 2x
Gi ải
+) T X Ñ 1
2
\
+)
2
1 2x
1 2
+) Bảng biến thiên:
∞ _
+∞
_ _
1 2 _
f x ( )
f ' x ( )
+∞
∞ x
1
x
2 2x 3
2
,
1 x
2
* Kết luận: f nghịch biến trên 1
2
;
và 1
2 ; (nghịch biến trên từng khoảng xác định)
Chú ý:
* Cách tính giới hạn tại vô cực của hàm phân thức hữu tỷ: chia cả tử và mẫu cho lũy thừa
bậc cao nhất ở mẫu Chẳng hạn:
3 4 7
x x
2 3
x x
1 1
* Cách xác định các giới hạn một phía:
x x
f x lim
g x
với điều kiện f x 0 0, g x 0 0
Trang 8+) a x 0 x x ;a 0 : g x cùng dấu với f x 0
x x
f x lim
g x
+) a x 0 x x ;a 0 : g x trái dấu với f x 0
x x
f x lim
g x
+) a x 0 x a;x 0: g x cùng dấu với f x 0
x x0
f x lim
g x
+) a x 0 x a;x 0: g x trái dấu với f x 0
x x0
f x lim
g x
Ví d ụ 5 Xét chiều biến thiên của hàm số x 2 x 1
f x
x 1
Gi ải
+) T X Ñ \ 1
+)
2 2x
2
x 1
+) Bảng biến thiên:
3 -1
+ ∞ +∞
∞ _
∞ _
+
2 1
0
0 0
_
f x ( )
f ' x ( )
+∞
∞ x
1
x
x 1
1
x
x 1 lim f x lim
1
Trang 9 1
x
2
,
1 x
2
+) Kết luận: f đồng biến trên ;0 và 2; , nghịch biến trên 0;1 và 1;2
Ví d ụ 6 Xét chiều biến thiên của hàm số f x 1 x 2
Gi ải
+) T X Ñ -1;1
2
x
1 x
+) Bảng biến thiên
+
_
_ 0 1
0 0
1 0
1 _
f x
f ' x ( )
+ ∞
∞ x
* Kết luận: f đồng biến trên 1;0, nghịch biến trên 0;1
Ví d ụ 7 Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số f x 1 x x 1
Gi ải
* T X Ñ -1;1
*
1 x 1 x
2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 1 x 1 x 2
* Bảng biến thiên
Trang 10+
_
_ 0 2
2
1 0
1 _
f x ( )
f ' x ( )
+∞
∞ x
* Kết luận: f đồng biến trên 1;0, nghịch biến trên 0;1
Nhận xét: Trong các ví dụ trên, việc xét dấu đạo hàm được thực hiện bằng các quy tắc xét dấu
cơ bản (nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai, đa thức) Trong ví dụ sau, ta sẽ xét dấu của đạo hàm
bằng cách giải một bất phương trình
Ví d ụ 8 Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y 2x 1 x 2
Giải
+) x TXÑ 2
1 x 0 x 1;1 Vậy TXÑ 1;1
+)
2
y ' 2
, x 1;1
, ta có y ' 0 2 1 x 2 x 0
2 1 x 2 x
5
y ' 0 2
5
+) Bảng biến thiên
Trang 115 2 -2
-1
1
2 5 _
f x ( )
f ' x ( )
+ ∞
∞ x
+) Kết luận: hàm đã cho đồng biến trên 2
5
1;
, nghịch biến trên 2
5 ;1
Trang 12C Bài tập
Bài 1 Xét chiều biến thiên các hàm số sau đây
1) y 2x 3 2x 2 x 2
3
y x 2x 16x 31
3) y x 3 3x 2 3x 5
2
y x x x 5
5) y 3x 4 22x 3 51x 2 36x 1
5
y x x 8
1 x
2x 3
9) 2 2x 4
x 2
x x 2
2 1
y
3 x
y
13) y x 2 3 x
14) y x 2 2x 3
15) y x 2
16) y x 2 2x
17) y 4 x 2 4 5 x
18) [ĐHA08] y 4 2x 2x 2 6 x 4 2 6 x
19) y x 3 3 x 3 3 4 x 4 3 1 x 3 1 x 3 4 1 x 4
20) y 2 1 x x 2 x
Trang 13Bài 2 Chứng minh
1) y x 2 9 đồng biến trên 3;
y x
x
nghịch biến trên các khoảng 2;0, 0;2
y
2x 1
nghịch biến trên mỗi khoảng xác định
4)
2
2x 3x
y
2x 1
đồng biến trên mỗi khoảng xác định
5) y x x 2 8 nghịch biến trên
6) y x cos x 2 đồng biến trên
Trang 14D Hướng dẫn và đáp số
1) Hàm số nghịch biến trên
2) Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 4 và 2; , đồng biến trên 4;2
3) Hàm số đồng biến trên
4) Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 1 và 1
2 ; 2 , đồng biến trên các khoảng 1
2
1;
và 2;
5) Hàm số đồng biến trên các khoảng 1
2
;
và 3;, nghịch biến trên các khoảng 1
2 ; 2
và 3;
6) Hàm số đồng biến trên các khoảng 3
2
;
và 2 3 ;
, nghịch biến trên 3 3
2 ; 2
Lưu ý: Trong bài tập này, đạo hàm không đổi dấu khi x đi qua 0
7) Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định (nghịch biến trên các khoảng ; 1 và
1; )
8) Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định (đồng biến trên các khoảng 3
2
;
và
2 ; )
9) Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;0 và 4;, đồng biến trên các khoảng 0;2
và 2;4
10)
4 x 1
2 x 2
+) Bảng biến thiên:
Trang 15+∞ +∞
∞ _
∞
_
+
2 1
0 _
f x ( )
f ' x ( )
+∞
∞
x
x lim y 0
,
x 0
lim y
,
x 0
lim y
,
x 2
lim y
,
x 2
lim y
+) Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;0 và 0;1 , đồng biến trên các khoảng 1;2 và
2;
11)
2
3 1 x 2
2 1
y '
+) Bảng biến thiên:
_
_
3 2
3 2
0 0
_
f x ( )
+∞
1 -1
∞
x
x
lim y 0
+) Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 1 và 1;, đồng biến trên 1;1
12)
6x x
y '
+) Bảng biến thiên:
Trang 163 2
+ ∞ +∞
+
1 0
_
f x ( )
f ' x ( )
+ ∞
∞
x
x 0
lim y
,
+) Hàm số nghịch biến trên 0;1 , đồng biến trên 1;
13) Hàm số nghịch biến trên 1
2
2;
, đồng biến trên 1
2 ; 3 13) Hàm số nghịch biến trên ; 1, đồng biến trên 1;
x 2
Hàm số nghịch biến trên ;2, đồng biến trên 2;
16) Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;0 và 1;2 , đồng biến trên các khoảng 0;1 và
2;
17)
+) TXÑ 2;5
+)
x 2 5 x
y '
(x 2;5 ) y ' 0 x 2 5 x 7
2
x
2
x 2;
3
3 3
4 x 2
3
3 3
4 5 x
y' 0 , tương tự: 7
2
x ;5 y' 0
+) Bảng biến thiên:
Trang 1724 4
3 4
4 3
5
7 2 2
_
f x ( )
f ' x ( )
+ ∞
∞ x
+) Hàm số nghịch đồng trên 7
2
2; , nghịch biến trên 7
2 ;5
Các câu 18) 19) 20) có cách giải tương tự câu 17)
18) Hàm số đồng biến trên 0;2 , nghịch biến trên 2;6
19) Hàm số đồng biến trên 3; 1, nghịch biến trên 1;1
20) Hàm số nghịch biến trên 0;1 , đồng biến trên 1;2
Trang 18Lo ại 2 S ự biến thiên của hàm số chứa tham số
A Tĩm tắt lý thuyết
Trong loại tốn này, ta quan tâm đến hai bài tốn sau đây
1 Bài tốn 1 Số khoảng đơn điệu của hàm số
* Hàm bậc ba: y ax 3 bx 2 cx d ( a 0) Ta cĩ: y ' 3ax 2 2bx c , y' là tam thức bậc
hai cĩ ' b 2 3ac Ký hiệu x 1 x 2 là các nghiệm của y' trong trường hợp y' cĩ hai nghiệm
phân biệt Ta cĩ bảng sau:
a S ự biến thiên của y
Hai khoảng đồng biến là ;x 1 và x ; 2
Một khoảng nghịch biến là x ;x 1 2
0 Đồng biến trên
Hai khoảng nghịch biến là ;x 1 và x ; 2
Một khoảng đồng biến là x ;x 1 2
0 Nghịch biến trên
* Hàm bậc bốn trùng phương: y ax 4 bx 2 ( c a 0)
2a
y ' 4ax 2bx 4ax x
a b S ự biến thiên của y
0 y nghịch biến trên ;0, đồng biến trên ;0
Hai khoảng nghịch biến là b
2a
;
và b
2a
0;
Hai khoảng đồng biến là b
2a ;0
và b
2a ;
Hai khoảng đồng biến là b
2a
;
và b
2a
0;
Hai khoảng nghịch biến là b
2a ;0
và b
2a ;
0 y đồng biến trên ;0, nghịch biến trên ;0
* Hàm “bậc nhất
bậc nhất”:
ax b y
cx d
( a , c , ad bc 0)
Trang 19Ta có
2 2
a b
y '
không đổi dấu trên tập xác định Do đó:
+) ad bc 0 y đồng biến trên từng khoảng xác định
+) ad bc 0 y nghịch biến trên từng khoảng xác định
2 Bài toán 2 Điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng
* Phương pháp 1: f đồng biến (nghịch biến) trên a;b f có ít nhất một khoảng đồng biến (nghịch biến) và a;b là tập con của một khoảng đồng biến (nghịch biến) nào đó
* Phương pháp 2: Giả sử f có đạo hàm không đồng nhất bằng 0 trên a;b Khi đó
+) f đồng biến trên a;b f ' x 0 x a;b
+) f nghịch biến trên a;b f ' x 0 x a;b
Trang 20B Một số ví dụ
Ví d ụ 1 Xét sự biến thiên của hàm số y 4x 3 mx
Giải
+) TXÑ
+) y ' 12x 2 m
* TH1: m 0 y' 0 x hàm số đồng biến trên
* TH2: m 0 y' có hai nghiệm phân biệt m
12
+) Bảng biến thiên
x 2
x 1
+∞
- ∞
y
y x 2
y x ( ) 1
+∞
-∞
x
x lim y
,
x
lim y
+) Kết luận: hàm số đồng biến trên m
12
;
và m
12 ;
,
nghịch biến trên m m
12 ; 12
3
y x 2x 2m 1 x 3m nghịch biến trên 2
Gi ải
+) T X Ñ
+) y ' x 2 4x 2m 1 y' là tam thức bậc hai có hệ số của x là 2 1 0, ' 2m 5 Do đó: