Chuyên đề Véc-Tơ và tọa độ trong mặt phẳng

Tìm toạ độ điểm C sao cho trọng tâm ABC nằm trên trục tung và cách trục hoành một đoạn có độ dài bằng 1.. Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác.[r]

Véc- tơ và tọa độ trong mặt phẳng

A Tóm tắt lý thuyết

1 Hệ trục tọa độ Oxy : Hệ trục toạ độ Oxy gồm hai trục tọa độ Ox , Oy vuông góc với nhau Véc-tơ đơn vị trên Ox là i 

, véc-tơ đơn vị trên Oy là  j

2 Tọa độ của véc-tơ: a x;y  

 a   x i   y j 

Tính ch ất: Cho a  và b x';y '  

, ta có

 a b   

 x x '

y y '









 a b    x x ';y   y '

,

 ka  kx;ky

,

 a b    xx' yy '  ,

 a   x 2  y 2

,

x y x ' y '



 

(a 

, b    0

),

 a b   

 ab 0  

 xx' yy ' 0   ,

 a / /b  

 k x kx'

y ky '





  

  xy' x'y 

3 Tọa độ của điểm: M x;y   OM x;y  

 OM   x i   y j 

 AB  x B  x ; y A B  y A

AB  x  x  y  y

 M chia AB theo tỉ số k ( MA   kMB 

) 

x A kx B

M 1 k

y A ky B

M 1 k

x y















Đặc biệt: M là trung điểm của AB 

x A x B

M 2

y A y B

M 2

x y











 G là trọng tâm tam giác ABC 

x A x B x C

y A y B y C

x y

 

 







B Một số ví dụ

Ví d ụ 1 Cho a 3; 6   

và véc-tơ b  có tọa độ dạng b k;k   1

Xác định tọa của b  biết rằng: 1) a b   

2) a b  



5

cos a,b    

Giải

1) Ta có ab   3k  6 k  1  3k  6

a    b

 ab 0  

  3k   6 0  k   2 

b    2; 1

2) a b  

  3 k  1  6k  1

3

k     1 2

3 3

b   ;

3) Ta có a   3 2  6 2  3 5

b   k  k  1  2k  2k  1

2

5 2k 2k 1

cos a,b  

 



 

Do đó

  2 5

5

cos a,b    

5 2

5 2k 2k 1



  



k 2 2 4k 4  4 5

5 2k 2k 1

k 2 0

 

 

 











2

 





7

k 0 k







 

 

7 7

B 0;1





 



Ví d ụ 2 Cho A 1;2 , B 4;5 , C  2; 7

1) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh một tam giác

2) Tính độ dài các cạnh tam giác ABC

3) Xác định trọng tâm G của tam giác ABC

4) Xác định trực tâm H của tam giác ABC

5) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC

Gi ải

1) Ta có AB 3;3  

, BC   6; 12

AB   kBC 

 3 6k

3 12k

 



  

1 2 1 4

k

k

  





 

  k  

Vậy   k : AB   kBC 

 AB 

và BC 

không cùng phương  A, B, C không thẳng hàng 

A, B, C là ba đỉnh một tam giác

2) AB  3 2  3 2  3 2, BC  6 2  2 2  2 10, CA 3;9  

 CA  3 2  9 2  10

3) G là trọng tâm của tam giác ABC 

x A x B x C

y A y B y C

 

 







 G 1;0 

4) Ta có AH x  H  1;y H  2

, BH x  H  4;y H  5









H là trực tâm của tam giác ABC  BCAH 0













 H H H H 





  H 23;14 5) Ta có

 I I

IA 1 x ;2 y  



IA  1 x   2 y   x  y  2x  4y  , 5

 I I

IB 4 x ;5 y  



IB  4 x   5 y   x  y  8x  10y  41,

IC   2 x ; 7 y  



IC    2 x    7 y  x  y  4x  14y  53

I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  IA IB

IB IC





 

2 2

2 2

IA IB

IB IC















I I

I I

 



   

  I 13; 7  

Ví d ụ 3 Cho A 1; 2  , B 3;4  Tìm tọa độ điểm C  Ox sao cho

1) Tam giác ABC vuông tại A

2) Tam giác ABC cân tại A

Giải

C  Ox  tọa độ C có dạng C c;0 

1) AB   2;6

, AC  c 1;2  

 ABAC   2 c 1   6.2  2c 10 

Do đó: tam giác ABC vuông tại A  ABAC 0  

 2c 10   0  c   5  C 5;0 2) Ta có AB 2  2 2  6 2  40, 2  2 2 2

AC  c 1   2  c  2c 5 

Do đó: tam giác ABC cân tại A  AB  AC  AB 2  AC 2  40  c 2  2c  5

2

c  2c  35  0  c 7

c 5





  

 

C 7;0

C 5;0







C Bài tập

Bài 1 Cho A 1;2 , B 3;4 , C 5;6  Chứng minh A, B, C thẳng hàng

Bài 2 Cho A 1; 1  , B 2;4  Tìm giao điểm của đường thẳng AB với các trục toạ độ

Bài 3 Cho a 1;2  

, b  2;3

, c  3;7

Hãy biểu diễn c  qua a , b 

Bài 4 Cho A 1;1, B 1;2 , C 4;0  Tìm toạ độ điểm M sao cho:

1) AM 2BC 3AC     

2) AM 2BM 3CM 0       

3) ABCM là hình bình hành Tìm toạ độ giao điểm các đường chéo

Bài 5 Cho hình thang ABCD (AB / /CD) Biết A 2; 2 , B 4;1 ,C 3;1 Tìm tọa độ đỉnh

D của hình thang biết rằng CD  3AB

ĐS: D 9;4

Bài 6 Cho A 2;5, B 2;4  Hãy tìm toạ độ giao điểm của đường trung trực d của AB với các trục toạ độ

ĐS: M   d Ox   9 

8

M  ;0 , N   d Ox   9

2

N 0; 

Bài 7 Cho A 3;6, B 1; 2  , C 6;3  Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp  ABC ĐS:  5 1

4 2 ;

Bài 8 Cho A 1;1, B 3;2 ,  1 

2

C  ; 1  1) Tính chu vi  ABC

2) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp  ABC

Bài 9 Cho  ABC với A 2;4 , B 2;1 , C 6;1 

1) Tính độ dài đường phân giác trong góc A

2) Tìm toạ độ tâm đường tròn nội tiếp  ABC

Bài 10 Cho A 3;4, B 4;0 Tìm tọa độ điểm C sao cho gốc toạ độ O 0;0  là trọng tâm

ABC



ĐS: C 7; 4  

Bài 11 [ĐHD04] Cho tam giác ABC có các đỉnh A 1;0, B 4;0 , C 0;m  với m  0 tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m X ác định m để tam giác GAB vuông tại

G

ĐS:  m

3

G 1; , m   3 6

Bài 12 Cho A 3;4, B 4;0 Tìm toạ độ điểm C sao cho trọng tâm  ABC nằm trên trục tung và cách trục hoành một đoạn có độ dài bằng 1

Bài 13 Cho  ABC Biết A 1;2 , M 0;1  là trung điểm của AB, N 3; 1   là trung điểm

của AC Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác

Bài 14 Cho  ABC Biết A 1;2 , M 0;1  là trung điểm của AB, P 3;1  là trung điểm của

BC Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác

Bài 15 Cho  ABC Biết M 1;2, N  3; 2, P 5;0  lần lượt là toạ độ trung điểm các

cạnh AB, BC, CA của tam giác Hãy xác định toạ độ các đỉnh của tam giác

Bài 16 Cho M 1x ;y 1 1, M 2x ;y 2 2, M 3x ;y 3 3 lần lượt là trung điểm các cạnh BC,

CA, AB của  ABC Hãy xác định tọa độ của A, B, C theo tọa độ của M , 1 M , 2 M 3 Bài 17 Cho  ABC Biết A  3; 4 và các trung tuyến đi qua B, C lần lượt là Ox , Oy Hãy

xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác

ĐS: B 3;0 , C 0;4 

Bài 18 Cho  ABC Biết A 1;3  và các trung trực ứng với các cạnh AB, AC lần lượt là

Ox , Oy Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác

Bài 19 Cho  ABC Biết A 2;5  và các trung trực ứng với các cạnh AB, BC lần lượt là

Ox , Oy Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác

Bài 20 Cho A 1;2 , B 3;4  Tìm trên trục hoành điểm M sao cho

1) MA  MB nhỏ nhất

2) MA  MB lớn nhất

Bài 21 Cho A 2;4  Tìm B  Ox , C  Oy sao cho chu vi  ABC đạt giá trị nhỏ nhất Giá trị

nhỏ nhất nói trên bằng bao nhiêu?

Bài 22 Chứng minh với mọi x , y , z , t ta có: 2 2 2 2   2 2

x  y  z  t  x  z  y  t

ỉ rõ đẳng thức xảy ra khi nào