Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 năm 2020 - 2021 chọn lọc - Đề 2 | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

(Trục đẳng phương vuông góc với đường nối tâm) Câu 4.[r]

UBND TỈNH QUẢNG TRỊ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 12

Khóa ngày 06 tháng 10 năm 2020

Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (5,0 điểm)

1 Tìm tất các các điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số ycosxsin x

2 Tìm m để phương trình 2x44x2 1 2m có đúng 5 nghiệm phân biệt 0

Câu 2 (5,0 điểm)

2020 2 2020 1010 2020 1010.2

2 Tìm tất cả các cặp số thực  x y thỏa mãn ; xy  và 4

x y   x y xy 

Câu 3 (6,0 điểm)

1 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh , a tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích

của khối chóp S ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC theo a

2 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn ( ).I Gọi M D E, , lần lượt là trung điểm của BC IB IC ,, , ; F G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD

và ACE Chứng minh rằng AM vuông góc FG

Câu 4 (2,0 điểm)

Cho dãy số  x được xác định bởi n x1 2 và x n1 2x n,  Chứng minh n 1 dãy số  x có giới hạn và tìm giới hạn đó n

Câu 5 (2,0 điểm)

Xét các số thực dương , ,a b c có tổng bằng 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

========== HẾT ==========

Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1.1 Tìm tất các các điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số ycosxsin x

' sin cos

y   x x;

2 4 ' 0

3

2 4

y

   



  



'' sin cos

Vậy các điểm cực đại của hàm số là: 3 2

4

x  k  ; Các điểm cực tiểu của hàm số là:

2

4

x   k 

Câu 1 2 Tìm m để phương trình 2x44x2 1 2m  có đúng 5 nghiệm phân biệt 0

2x 4x  1 2m 0 2x 4x  1 2m

Cách 1: Xét hàm số f x( ) 2 x44x2 có BBT của hàm số 1 f x( ) và f x ( )

Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm cửa đồ thị hàm số f x và đường ( )

thẳng y m Vậy phương trình đã cho có đúng 5 nghiệm phân biệt khi 2m hay 1 1

2

m

Cách 2: (HS 10,11) 2x44x2 1 2m (1) Đặt

 

2, 0

t x t

PTTT: 2t2  4t 1 2m (2)

Xét hàm số f t( ) 2 t2   trên 4t 1 [0;  ) | ( ) |f t có

đồ thị

Biện luận các trường hợp số nghiệm của (2) và (1)

Từ đó kết luận 1

2

m

Cách 3: Nhận thấy nếu x là nghiệm của (1) thì 0  cũng là nghiệm của pt (1) Do đó x0

nếu các nghiệm x i  thì số nghiệm của phương trình (1) là số chẵn Vậy đk cần để 0

pt có 5 nghiệm là pt (1) có nghiệm x0  , thế vào tìm được 0 1

2

m Giải phương trình khi 1

2

m và kết luận

Câu 2.1 Chứng minh rằng 1 2 1010 2019

2020 2 2020 1010 2020 1010.2

Cách 1: Ta có:







2020 2019

2020 2019

1010 1009

2020 2019

2020







2019 2019 2019

2019 2019 2019 2019 2019 2

C C  C C  C  Mà k n k

n n

C C  nên

2019 2019 2019

2 C C   C 2

2019 2019 2019

Cách 2:

(1x) C xC x C   x C

Suy ra được:

2020(1x) C 2xC   2020x C

2020 2 2020 1010 2020 1011 2020 2020 2020 2020.2

Ta có:

 

Do đó:

2020 2020

2020 2020

1010 1011

2020 2020

2020







2020 2 2020 1010 2020 1010.2

Câu 2.2 Tìm tất cả các cặp số thực  x y thỏa mãn ; xy  và 4

x y   x y xy 

Đặt S  x y P xy S;  ( 24 )P Từ giả thiết ta có: S24P S P (  8) 20 0

S S P  P  Xét pt theo S  (P8)2 4( 4P20)P2 Điều 16 kiện phương trình có nghiệm P  Kết hợp điều kiện của giả thiết ta có 4

P P 

4 2

P    (loại); S P    4 S 6, ,x y là 2 nghiệm của pt

X  X  

Vậy các cặp x y : ;  3 13; 3  13 , 3   13; 3  13

Câu 3.1 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh , a tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích của khối chóp S ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC theo a

*Thể tích:

3 3 24

a

V 

*Khoảng cách giữa SB và AC:

Cách 1: Dựng Dđối xứng với C qua I ( , ) ( ,( )) 2 ( ,( )) 2

d SB AC d AC SBD  d I SBD  HK ACBD là hình thoi, nên IB ID IS, , đôi một vuông góc

a d

d  SI  SB  SD  a  

Cách 2: *Kẻ đt BDsong song với AC.

( , ) ( ,( )) 2 ( ,( )) 2

d SB AC d AC SBD  d I SBD  HK

3 4

a

HI  ;

2

a

SI 

2

IK IH SI  IH SI   



Câu 3.2 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn ( ).I Gọi M D E, , lần lượt là trung điểm của BC IB IC, , ; F G, lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD và ACE Chứng minh rằng AM vuông góc FG

Gọi Hlà giao điểm thứ 2 của MDvà đường tròn qua A B D, ,

Gọi Klà giao điểm thứ 2 của MEvà đường tròn qua A C E, ,

Ta có:

2

AHM  B và  1 

2

AKM  CEDM nên A H K, , thẳng hàng

Tam giác MDEvà MKHđồng dạng (Vì MED MHK) Suy raME MK MD MH. , hay

M nằm trên trục đẳng phương của hai đường tròn tâm F G, .

Suy ra AM FG. (Trục đẳng phương vuông góc với đường nối tâm)

Câu 4 (2,0 điểm)

Cho dãy số  x được xác định bởi n x1 2 và x n1 2x n,  Chứng minh n 1 dãy số  x có giới hạn và tìm giới hạn đó n

HD: 0x n 2,  n 1

Ta có: x n1x n  x n2 x n1

x  ,x2  2 2 , x3  2 2 2 ,như vậy x3 nên từ (*) ta suy ra x1

x2n1 là dãy giảm Cùng với tính bị chặn nên tồn tại lim 2n 1

n x  a

Từ x3 x1 x4  Tương tự tồn tại x2 lim 2n

n x b

 

Từ hệ thức truy hồi ở giả thiết, chuyển qua giới hạn ta được:

1 2

b



Do lim 2n 1 lim 2n 1

n x  n x

    nên lim n 1

n x

 

n

n

x

x





1

1

1 1

n

x

   

 

n

n

x

2

lim x n   1 0 limx n  1 limx n  1

Cách 3: 0x n  2,  n 1

Đặt x n  2cosn, n 0; Ta có 1 ; 1 2 cos

1

n

1

n



         

n

       

Câu 5 (2,0 điểm)

Xét các số thực dương , ,a b c có tổng bằng 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

HD:P 2b c 1 2c a 1 2a b 1 18abc 3

3

3

1 1 1

a b c

a b c

    

a b c   a b c 

  (2) Đặt t 1 1 1 3

a b c

    Xét hàm f t( ) 3t 18

t

  trên [3;  )

Ta có: f t( ) 15  f(3) (3)

Vậy minP 15 đạt được khi các đẳng thức (1), (2), (3) xảy ra

1 1 1

3

a b c

a b c

  





   





 





,hay a b c   1

3 2 2.18 15

…

========== HẾT ==========