TỔNG hợp một số đề THI học SINH GIỎI TOÁN lớp 10 có đáp án

Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng cắt ít nhất 17 đườngtròn trong 2013 đường tròn đã cho.. Kẻ 124 đường thẳng song song với 1 cạnh hình vuông, chia hình vuông thành 125 hình chữ nh

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN

KHU VỰC DH & ĐB BẮC BỘ KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC MỞ RỘNG NĂM HỌC 2012- 2013

MÔN THI: TOÁN LỚP 10

Trường THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ

Câu 1 ( 4 điểm): Giải hệ phương trình sau:

Câu 3 (4 điểm): Cho tam giác ABC có chu vi không đổi 2p Gọi M,N,P lần lượt là tâm

đường tròn bàng tiếp ứng với góc A,B,C của tam giác ABC Tìm giá trị nhỏ nhất của

chu vi MNP.

Câu 4 (4 điểm): Cho tập S1;2;3; ;2014 được phân hoạch thành các cặp rời nhau

a ;b :1 i 1007i i    sao cho ai  bi bằng 1 hoặc bằng 6 Hãy tìm chữ số tận cùng của

Câu 5 (4 điểm): Cho tập hữu hạn X Ta chọn ra 50 tập con A ,A , ,A ,1 2 50 mỗi tập đều

chứa quá nửa số phần tử của X Chứng minh rằng

a) Tồn tại phần tử a thuộc ít nhất 26 tập đã cho.

b) Tồn tại tập con A của X sao cho số phần tử của A không vượt quá 5 và

i

AA   , i 1,50

……… HẾT ……….

ĐỀ ĐỀ NGHỊ

ĐK

x 11y2

(2)(a b ) (b 1) 2 2(ab b 1)

1

P2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1  

1,0

3

Dễ thấy NP,PM,MN là phân giác ngoài của các góc A,B,C, suy ra MNP nhọn

với các đường cao MA, NB,PC. Gọi Jlà tâm đường tròn ngoại tiếp MNP thì

ở đây Rlà đường kính đường tròn ngoại tiếp MNP Gọi r là bán kính đường

tròn nội tiếp tam giác MNP

3

4 Cho tập S1;2;3; ;2014 được phân hoạch thành các cặp rời nhau

a ;b :1 i 1007i i    sao cho ai  bi bằng 1 hoặc bằng 6 Hãy tìm chữ số tận cùng

A ;A ; ;A Xét 11 tập con còn lại ta suy ra tồn tại c thuộc ít nhất 6 tập, chẳng

hạn A ;A ; ;A40 41 45 Xét5 tập còn lại ta suy ra tồn tại phần tử d thuộc ít nhất 3 tập

chẳng hạn A ;A ;A46 47 48 Xét hai tập còn lại ta suy ra tồn tại một phần tử e thuộc ít

nhất hai tập chẳng hạn A ;A 49 50

4,0 điểm

Suy ra tập Aa;b;c;d;e thỏa mãn bài toán.

Mọi cách giải khác nếu đúng kết quả và lập luận chặt chẽ đều cho điểm tương đương.

SỞ GD&ĐT BẮC GIANG

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

LẦN THỨ VI Môn: Toán lớp 10

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Chứng minh rằng 5(a b c) 3 18

abc

Câu III (4 điểm) Cho tam giác ABC và điểm T thuộc cạnh BC sao cho

TB = 2TC Gọi H là hình chiếu của B trên AT và D là trung điểm BC Biết rằng

  Chứng minh rằng DH  AC

Câu IV (4 điểm) Các số nguyên từ 1 đến 2013 được viết liền nhau thành

một số như sau 1234 20122013 Từ số nói trên ta nhân chữ số thứ nhất với 2 rồicộng với chữ số thứ hai, kết quả lại nhân với 2 rồi cộng với chữ số thứ ba, cứ tiếptục như vậy cho đến hết Với số vừa nhận được lại làm tiếp tục như trên cho đếnkhi kết quả là số có một chữ số Hãy tìm chữ số đó

Câu V (4 điểm) Trong hình vuông có cạnh dài 4cm, đặt 2013 đường tròn có

đường kính 1

31cm Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng cắt ít nhất 17 đườngtròn trong 2013 đường tròn đã cho

……….Hết………

Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính;

Giám thị coi thi không cần giải thích gì.

-HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 10

3x 5 2x 3 0 4x 5 2x 4 0

6

5 2 14 x

0.75

1.00

Mặt khác 3 2 2 2

2

3 18 5p 12p 3p 18 p 5p 12 p (5 3 12 3 6) 0

III

(4

điểm).

Lấy F đối xứng với C qua đường thẳng AT, AT cắt CF tại K và FH

kéo dài cắt AC tại E

Từ đó  EFK  BHF  BAF  EAK

Suy ra FH  AC tại H và H là trực tâm tam giác ACF

IV Đặt T = 1234…20122013

Suy ra T H(mod8)  , mà T 1  5(mod8) và T T (mod8)  1

suy ra H 5(mod8)  , mà H có một chữ số nên H = 5

0.25 0.75

0.75 0.75

1.00 0.50

V

(4

điểm).

Kẻ 124 đường thẳng song song với 1 cạnh hình vuông, chia hình

vuông thành 125 hình chữ nhật bằng nhau Khi đó mỗi hình chữ nhật

Khi đó tồn tại một đường thẳng cắt ít nhất 1 trong 29 đường tròn còn

lại và đó chính là đường thẳng thỏa mãn đầu bài

1.25

1.251.00

0.50

Chú ý: Trên đây chỉ là hướng dẫn chấm cho một cách giải với mỗi bài toán, nếu thí sinh

làm cách khác nhưng lý luận chặt chẽ thì cho điểm tối đa tương ứng

GIỚI THIỆU ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG TRƯỜNG THPT CHUYÊN BIÊN HÒA THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI BẮC BỘ

TỈNH HÀ NAM Môn: TOÁN ; Lớp 10

Người ra đề:Trần Duy Bình Thời gian làm bài: 180 phút

Câu I (4,0đ): Giải hệ phương trình sau

Câu II (4,0đ): Cho a, b, c là các số không âm có tổng Chứng minh rằng

Câu III (4,0đ): Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp, (T) là đường tròn ngoại tiếp

Gọi D và E lần lượt là giao điểm thứ hai của (T) và đường thẳng AI, BI Dây cung DE cắt AC tại

F và DE cắt BC tại G P là giao điểm của đường thẳng qua F, song song với AD và đường thẳng qua G song song với BE Giả sử tiếp tuyến của (T) tại A và B cắt nhau tại K Chứng minh các đường thẳng AE, BD, KP đồng quy hoặc song song.

Câu IV (4,0đ): Tìm tất cả các số tự nhiên sao cho

Câu V (4,0 đ): Trên mặt phẳng cho một số điểm sao cho không có 3 điểm nào trong chúng thẳng

hàng Một vài điểm trong đó được nối với nhau bằng các đoạn thẳng Biết rằng bất kì đường thẳng nào không đi qua các điểm đã cho, luôn cắt một số chẵn các đoạn thẳng nối Chứng tỏ rằng mỗi điểm đã cho là đầu mút của một số chẵn các đoạn thẳng

.Hết

Đáp án đề thi học sinh giỏi các trường Trường THPT Chuyên Biên Hoà THPT chuyên khu vực duyên hải - đồng

Tỉnh Hà Nam bằng bắc bộ

Người ra đề: Trần Duy Bình Môn : Toán; Lớp 10

Câu Nội Dung Điểm

Nếu một trong ba số x,y,z bằng 2.Giả sử x thì y

Cả ba số x,y,z nhân ba phương trình ta được

vô nghiệm Vậy là nghiệm duy nhất của hệ

Xét các trường hợp là nghiệm thoã mãn.

Xét ta chứng minh phương trình vô nghiệm

+) Chứng minh Thật vậy vì nên

nên tứ giác AIEF nội tiếp trong đường tròn (C 1 )

nên tứ giác BIGD nội tiếp trong đường tròn (C 2 ) Suy ra AE là trục đẳng phương của ( và (C 1 )

BD là trục đẳng phương của ( và (C 2 )

Ta sẽ chứng minh KP là trục đẳng phương của (C 1 ) và (C 2 )

Gọi J là giao điểm của (C 1 ) và (C 2 )

Suy ra IJ là trục đẳng phương của (C 1 ) và (C 2 )

Gọi K / và P / lần lượt là giao điểm của IJ với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABJ và FGJ

0,5

1,0 1,0 0,75

0,75 0,5 0,75

1,0

1.0 0,5

0,75 0,5 0,5 0,5 1,0 0,5

Suy ra

Chứng minh tương tự ta có

Xét hai tứ giác nội tiếp P’FJG và IJGD suy ra

Chứng minh tương tự

Suy ra P,K,J,I thẳng hàng Do đó KP là trục đẳng phương của hai đường tròn (

Theo tính chất của trục đẳng phương suy ra AE, BD, KP đồng quy tại tâm đẳng phương

của ba đường tròn hoặc đôi một song song, suy ra bài toán đựơc chứng minh.

Xét điểm A.Gọi a là số đoạn thẳng nhận A làm đầu mút

Giả sử a là số lẻ.

Dựng đường thẳng l đi qua A mà không đi qua bất kì điểm nào khác.

Với mỗi đường thẳng l thì tồn tại hai đường thẳng l 1 và l 2 sao cho

l // l 1 // l 2 và trong khoảng giới hạn bởi l 1 , l 2 không chứa bất kì điểm nào.

Gọi S 1 ,S 2 là số giao điểm của l 1 ,l 2 với các đoạn thẳng được nối.

Ta thấy các đoạn thẳng có đầu mút là A cắt l 1 tại x điểm thì cắt l 2 tại a-x điểm.

Mỗi đoạn thẳng không có đầu A sẽ có hai trạng thái:

+/Cắt cả hai đường thẳng l 1 và l 2

+/ Không cắt l 1 và l 2

Khi đó số giao điểm là 0 và 2

Vậy các đoạn thẳng không có đầu A cắt l 1 ,l 2 tại số chẵn điểm.

Suy ra S S 1 +S 2 a(mod 2) hay S 1 +S 2 1(mod 2) vì a lẻ

Nên tồn tại S 1 hoặc S 2 lẻ , điều này mâu thuẫn với giả thiết

Vậy a ch ẵn

0,75 0,25

TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC NINH

ĐỀ ĐỀ NGHỊ

-KỲ THI OLYMPIC KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

Lần thứ VI- Năm học: 2012 - 2013

ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 10

(Thời gian: 180 phút – Không kể thời gian giao đề)

Trong mặt phẳng cho đường tròn tâm (O) Hai đường tiếp tuyến tại hai điểm

phân biệt A và B ( thuộc đường tròn (O) ) cắt nhau tại P Trên cung AB nhỏ lấy

điểm C không là điểm chính giữa cung AB Giả sử AC cắt PB tại D, BC cắt AP tại

E Chứng minh rằng tâm của ba đường tròn (ACE), (BCD), (PCO) thẳng hàng

Cho bảng hình chữ nhật kích thước m n m n (  ) Một số ô có một số ngôi sao,

giả sử mỗi cột có ít nhất một ngôi sao Chứng minh rằng có ít nhất hai ngôi sao mà

hàng chứa nó có nhiều ngôi sao hơn cột chứa nó

-Hết -Thí sinh không được sử dụng tài liệu.

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ĐÁP ÁN Môn: Toán 10 Câu 1 (4 điểm)

Khi đó MEAMCADBM PBM nên tứ giác BMEP nội tiếp.

Tương tự ta cũng có tứ giác AMDP nội tiếp

Ta chỉ ra tứ giác OMCP nội tiếp

Thật vậy, ta có CMPDMP DMCDAP PBE, do các tứ giác AMDP và BMEP nội tiếp Mà BP và AP là các tiếp tuyến của đường tròn (O) nên

Do đó tứ giác OPCM nội tiếp Từ đây ta có ba đường tròn (ACE), (BCD), (PCO)

có 2 điểm chung C và M, suy ra tâm của ba đường tròn (ACE), (BCD), (PCO) thẳng hàng (ĐPCM)

C O

P B

Đây là phương trình hàm Cauchy và nghiệm của nó là f x( ) xf(1)

Thay lại vào phương trình ban đầu ta suy ra f x ( ) 0 x y, Z hoặc

( ) 2

f x  x x y, Z.

Câu 5 (4 điểm)

N ngôi sao được đánh số từ 1 tới N

Đặt ,a b tương ứng là số ngôi sao ở cột và hàng chứa ngôi sao thứ i Ta cần i i

chứng minh b i a i với ít nhất hai chỉ số i nào đó

Nhận xét: Nếu a i k thì mọi ngôi sao cùng cột với ngôi sao thứ i có a tương j

Sở Giáo dục & Đào tạo TTHuế

Trường THPT Chuyên Quốc Học



ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÙNG DUYÊN HẢI ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ VI

MÔN : TOÁN HỌC THỜI GIAN 180 PHÚT

a) Phương trình có thể có đúng 2014 cặp nghiệm ( , )x y hay không ?

b) Tìm n nhỏ nhất để phương trình có đúng 2013 cặp nghiệm ( , )x y

Câu 4 (4 điểm)

Cho ABC là tam giác không tù Gọi D là chân đường cao vẽ từ A, I và J

lần lượt là tâm các đường tròn nội tiếp các tam giác ABD và ACD Đường thẳng

IJ lần lượt cắt các cạnh AB và AC tại các điểm P và Q Chứng minh rằng

AP AQ khi và chỉ khi AB AC hoặc BAC 900.

Câu 5 (4 điểm)

Cho bảng n n (n hàng, n cột) Các cột và các hàng được đánh số thứ tự

như hình vẽ Trong mỗi ô ta viết vào một số từ các số 1,2,3, ,n sao cho trong 

mỗi hàng và mỗi cột các số được viết trong nó là khác nhau Ta gọi một ô là “tốt” nếu số được viết trong ô đó lớn hơn số thứ tự của cột chứa ô đó Tìm n * để tồntại cách xếp số sao cho trong các hàng số lượng ô “tốt” là bằng nhau

n-1 n

1 2 3

n n-1

3 2 1

-Hết -Sở Giáo dục & Đào tạo TTHuế

Trường THPT Chuyên Quốc Học



ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÙNG DUYÊN HẢI ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ VI

MÔN : TOÁN HỌC THỜI GIAN 180 PHÚT

x x

là số tự nhiên, n2 Chứng minh rằng

2 2

a) Phương trình có thể có đúng 2014 cặp nghiệm ( , )x y hay không ?

So sánh các trường hợp ta có số n nhỏ nhất là n 230  3 5 1215 25  30

để phương trình có đúng 2013 cặp nghiệm ( , )x y

1

1

Cho ABC là tam giác không tù Gọi D là chân đường cao vẽ từ A , I

và J lần lượt là tâm các đường tròn nội tiếp các tam giác ABD và

ACD Đường thẳng IJ lần lượt cắt các cạnh AB và AC tại các điểm

P và Q Chứng minh rằng AP AQ khi và chỉ khi AB AC hoặc

C D

B

A

Do tam giác ABC không tù nên D ở trong đoạn BC

Thuận

Giả sử AP AQ Trên AD lấy điểm D' sao cho AD'AP AQ Khi

đó ta có API AD I' và AQJ AD J' Suy ra AD I' AD J'

Nếu D' D thì DD I' DD J ' Mà D DI' D DJ' (cùng bằng 450 hay0

Gọi I', J' lần lượt là giao điểm của P Q' ' với các đường phân giác

của các góc BAD và CAD Khi đó AP I' 'ADI' và

  Suy ra ADI'ADJ' 45 0 Do đó DI' là phân giác

góc ADB và DJ' là phân giác góc ADC Suy ra I' và J' là tâm đườngtròn nội tiếp các tam giác ABD và ACD Vậy I'I , J'J Từ đó'

P P, Q'Q nên AP AQ

Cho bảng n n (n hàng, n cột) Các cột và các hàng được đánh số thứ

tự như hình vẽ Trong mỗi ô ta viết vào một số từ các số 1,2,3, ,n sao

cho trong mỗi hàng và mỗi cột các số được viết trong nó là khác nhau

Ta gọi một ô là “tốt” nếu số được viết trong ô đó lớn hơn số thứ tự của

Trên cột 1 số lượng ô tốt là n  1 (các ô điền số 2,3, ,n)

Trên cột 2 số lương ô tốt là n  2 (các ô điền số 3,4, ,n

n

i

n n i

Ngược lại: n lẻ

1

n

2 1

4 5

n-3 n-2

1

n

n-1

2 1

n-2 n n-1

3 2

1 2 3

n n-1

3 2 1

- Hàng 1 xếp vào các số 1, ,n n 1,n 2, ,3,2 mỗi hàng tiếp theo chuyểnđộng tròn hàng trước (xem hình)

Rõ ràng cách xếp này thỏa mãn bài toán

Thật vậy, trên mỗi hàng, cột các số khác nhau

-Hết -TRƯỜNG THPT CHUYÊN

VÙNG DUYÊN HẢI BẮC BỘ NĂM 2013

Đề đề nghị môn Toán lớp 10

Thời gian làm bài 180 phút

( Không kể thời gian phát đề)

53313

Câu II(4 điểm)

Cho a b c, , là các số thực không âm thỏa mãn: a2 b2 c2 1

1 ab 1 bc 1 ca 2

Câu III(4 điểm)

Cho ABC Một đường thẳng d thay đổi cắt các cạnh AB và AC tại M và N sao cho:

x MB y NC 1

MA  NA  (x y, là các số thực dương cho trước)

CMR: đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định

n

b n chia hết cho a n n với mọi số nguyên dương n

Câu V(4 điểm) Tìm độ dài nhỏ nhất của cạnh một hình vuông sao cho có thể đặt

vào trong nó 5 hình tròn bán kính r 1 mà không có hình tròn nào có điểm trongchung

(1) (2) (3)

Đường thẳng d lần lượt cắt AB,AC,AD tại M,N,E Qua B,C kẻ các

đường thẳng song song với d, lần lượt cắt AD tại B’ và C’ (hình vẽ)

Theo giả thiết: x.EB' y EC' 1 x EB ' y EC ' 1

   (không đổi)  E là điểm cố định (do A,D là điểm cố

định) Vậy đường thẳng d luôn đi qua điểm E cố định

Giả sử tồn tại 2 số nguyên dương phân biệt a b, sao cho b n n chia hết

cho a n n với mọi số nguyên dương n.

Từ (1) và (2) suy ra: a n  n 0 mod p hay a n  n p

Chứng minh tương tự: b n bmod p (3) và do b n na n n

Nên b n  n p (4)

1đ

Từ (1) và (3)  b n   n b amod p (5)

Từ (4) và (5)  b a p  Điều này không thể xảy ra vì a b p 

Vậy không tồn tại 2 số nguyên dương thỏa mãn bài toán

Giả sử trong hình vuông ABCD cạnh a có thể đặt được 5 hình tròn bán

kính 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Xét hình vuông được tạo thành bằng cách lùi các hình vuông cạnh của

hình vuông ABCD vào bên trong 1 đơn vị

Khi đó hình vuông mới có cạnh bằng a  2 và nó phải chứa tâm các hìnhtròn trên

1đ

Đem hình vuông cạnh a  2 chia thành 4 hình vuông cạnh 2

2

a 

bởi các đường trung trực của cách cạnh hình vuông Khi đó theo nguyên lý

Dirichlet, phải có 1 hình vuông con cạnh 2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LÀO CAI ĐỀ THI ĐỀ XUẤT THI HSG TOÁN DUYấN HẢI VÀ Đễ̀NG BẰNG BẮC BỘ

NĂM HỌC 2012-2013

Thời gian: 180 phút

Cõu 1: (4 điểm) Giải hệ phương trỡnh:

2 2 3

4

2x 1 3 1 4z

y x

Cõu 3: (4 điểm) Cho điểm P nằm ngoài đường trũn (O), PC là tiếp tuyến của đường trũn

(O) kẻ từ P Kẻ cỏt tuyến PAB và đường kớnh CD của đường trũn Gọi E là giao điểm của

PO với BD Chứng minh rằng CE vuụng gúc với CA.

Cõu 4: (4 điểm) Cho x, y là cỏc số nguyờn, x  và 1 y  sao cho 1 4 1 4 1

số nguyờn Chứng minh rằng x y  chia hết cho x+1.4 44 1

Cõu 5: (4 điểm) Các đỉnh của thập giác đều đợc đánh số bởi các số nguyên từ 0;1; ;9 một

cách tuỳ ý Chứng minh rằng luôn tìm đợc 3 đỉnh liên tiếp có tổng các số là lớn hơn 13.

-Hết -HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu 1

Câu 1: (4 điểm) Giải hệ phương trình:

2 2 3

4

2x 1 3 1 4z

y x

Từ điều kiện của bài toán suy ra, , ,x y z  Từ phương trình thứ 0

nhất với đánh giá của BĐT Cauchy ta có:

Từ (1); (2); (3) ta có: x   y z x x y z thay vào phương

trình thứ nhất của hệ ta nhận được tập nghiệm của hệ.

(x;y;z)=(0;0;0); (1;1;1).

1,0 1,0

4xy+xyz xy(4 z ) 4xyz  , đẳng thức xảy ra khi z = 2.

Cộng ba bất đẳng thức lại ta có điều phải chứng minh Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z= 2.

1,0 1,0 1,0 1,0

Câu 3 Câu 3: (4 điểm) Cho điểm P nằm ngoài đường tròn (O), PC là tiếp

tuyến của đường tròn (O) kẻ từ P Kẻ cát tuyến PAB và đường kính

CD của đường tròn Gọi E là giao điểm của PO với BD Chứng minh rằng CE vuông góc với CA.

CAM CDB vì cùng chắn cung BC) Mặt khác M là trung điểm của

AB, O là trung điểm của DC nên hai tam giác AMC và tam giác DOE đồng dạng dẫn đến hai tam giác ABC và tam giác DCE đồng dạng.

1,0

1,0