Bài giảng Đê thi HSG 2010

Phòng GD&ĐT Đông sơn Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9Trờng THCS Đông Tiến GV ra đề : Lê Văn Hoan.

Phòng GD&ĐT Đông sơn Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9

Trờng THCS Đông Tiến

GV ra đề : Lê Văn Hoan Môn : Toán ( Bảng A)

Thời gian : 150 phút không kể chép đề.

Bài1:

1) Cho hàm số f(x) = a x2 + bx + c thoả mãn điều kiện : f(x)≤1, ∀x ∈[-1;1] Chứng minh rằng khi x ≤ 1 thì  cx2 + bx + a ≤ 2

2) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình : x3 - 2y3 = 4z3

Bài2:

Giải hệ phơng trình : x2y2 - 2x +y2 = 0

2x2 - 4x + 3 + y3 = 0

Bài 3:

1) Giải phơng trình : 3√ 2 - x + √ x - 1 = 1

2) Cho hệ phơng trình : x2 + y2 + z2 = 2

xy + yz + xz = 1

Giả sử hệ phơng trình có nghiệm, Chứng minh ≤ x, y, z ≤ 

Bài4:

Từ điểm M trên cung nhỏ AC của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC ( M khác A

và C) kẻ MK ⊥BC, MH ⊥AC, ( K ∈ BC; H ∈ AC) Gọi E,F theo thứ tự là trung điểm

Bài5: Qua M nằm trong tam giác ABC ta kẻ MA1, MB1, MC1 lần lợt vuông góc với các

đờng thẳng BC, CA,AB ( A1∈ BC ; B1 ∈ CA; C1∈ AB) Đặt BC = a ,

a b c

CA = b, AB = c Tìm giá trị nhỏ nhất của:  +  + 

MA1 MB1 MC1

Đáp án

Bài1: (5 điểm)

1) (3,0đ): Hàm số f(x) = ax 2 + bx + c thỏa mãn điều kiện f(x)≤1 , ∀x ∈ [-1; 1]

Thay x lần lợt các giá trị 1; -1; 0 ta đợc :

2 2

2 2

cx2 + bx + a = f(0)x2 + [  f(1) -  f(-1)] x +  f(1) + f(-1) - f(0)

1 1

= f(0) (x2 - 1) +  f(1) ( x +1) +  f(-1)(1-x) (0,5đ)

2 2

Suy ra : cx2 + bx + a≤f(0)x2 -1 +  f(1)x+1 + f(-1)1-x(0,5đ)

2 2

2 2

Do x≤1 => -1 ≤ x ≤ 1 => x2 - 1 ≤ 0 ; x +1 ≥ 0 ; 1 - x ≥ 0

1 1 1 1

=> cx2 + bx + a ≤ -x2 +1 +  x +  +  -  x = 2 - x2≤ 2

2 2 2 2

Chọn f(x) = 2x2 - 1 suy ra điều kiện f(x) =  2x2 - 1≤ 1, ∀x∈ [-1,1] thỏa mãn Khi đó cx2 + bx + a} =  -x2 + 2 = 2 với x = 0

2) (2,0đ) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình : x 3 - 2y 3 = 4z 3

Giả sử ( x0; y0; z0) là 1 nghiệm của phơng trình

=>x03 - 2y03 = 4z03 (1)

Thay vào (1) ta có : 4x1 - y0 = 2z3 => y0  2 => y0 2., đặt y0 = 2y1

=> 2x13 - 4y13 = z03 => z03  2 => z0  2 , đặt z0 = 2z1 (0,5đ)

x0 y0 z0

Ta có : x13 - 2y13 = 4z13 => (;  ; ) cũng là nghiệm của phơng trình ( 0,5đ)

2 2 2

x0 y0 z0

Quá trình này có thể tiếp tục mãi và ( ;  ;  ) cũng là nghiệm

2k 2k 2k

x0 y0 z0

Các số  ;  ;  là nguyên với ∀k ∈N Điều này chỉ xảy ra khi x0 = y0 = z0=0

2k 2k 2k

Vậy nghiệm nguyên của phơng trình : x3 - 2y3 = 4z3 là (0;0;0) (0,5đ)

Bài2(3đ): Giải hệ phơng trình :

x2y2 - 2x + y2 = 0

2x2 - 4x + 3 +y3 = 0 (I)

2x2 - 4x + 2 + y3 +1 = 0 2(x-1)2 + y3 + 1 = 0(2) (0,5đ)

2x 2x

x2 +1 x2 + 1

=> vế phải của (2) không âm

Do ( x= 1 ; y = -1) thỏa mãn (1) Vậy hệ phơng trình (I) có nghiệm duy nhất

Bài3 (5 đ):

1) (2đ) : Giải phơng trình :

3 2 −x + x− 1 = 1

Thì ta có phơng trình : 1 - a3 = a2 - 2a + 1

Với a = 0 ta đợc x = 2

a = 1 ta đợc x = 1

x = 2; x = 1; x = 10 thoả mãn điều kiện xác định x ≥ 1

2) (3đ) :

Đặt S = y +z ; P = yz Hệ phơng trình trở thành

Từ (2) => p = 1 - xs thay vào (1) ta đợc :

s2 - 2 ( 1 - sx) = 2 - x2  s2 + 2xs + x2 - 4 = 0

=> S = -x + 2

* Khi : s = -x + 2 th× p = 1 - x( -x + 2) = x2 - 2x + 1

Do: y +z = -x +2; yz = x2 - 2x + 1 => y; z lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh :

Do y,z tån t¹i => ∆ = ( 2-x)2 - 4 ( x2 - 2x +1) ≥ 0

* Khi s = -x -2 th× p = x2 + 2x + 1

Do : y + z = -x - 2 ; yz = x2 + 2x + 1 => y,z lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh :

t2 + (x +2)t + x2 + 2x + 1 = 0

Do: y,z tån t¹i => ∆ = ( x+2)2 - 4 ( x2 + 2x +1) ≥ 0

=> -4/3 ≤ x ≤ 0

Bµi4(4®):

I

A M

£

=> AB = BM => EB = BM

Nªn :BEM = KFM => IEM = IFM

E

F H

K

A

C1 B1

z y M x

B

A1 C

Đặt : MA1 = x ; MB1 = y; MC1 = z Diện tích ∆ABC = S

a b c

Xét : ( ax + by +cz ) ( + + )

x y z

x y y z z x

=a2 +b2 +c2 + ab ( + ) + bc ( + ) + ca ( + ) (0,5đ)

y x z y x z

a b c ( a + b + c)2

x y z 2s

Dấu đẳng thức xảy ra  x = y = z  M là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC Kết luận:

Min(MA a MB b MC c ) (a 2b S c)

2 1

1 1

+ +

= +