Ứng dụng của tích phân trong hình học

DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG : 1.Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị C y=fx và trục hoành: Cho hàm số y=fx có đồ thị C liên tục, nhận giá trị không âm fx  0 trên đoạn [a;b]... ứng dụng của[r]

§ 3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

I DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG :

1.Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) y=f(x) và trục hoành:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C) liên tục, nhận giá trị không âm f(x) 0 trên đoạn [a;b]

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) ,trục hoành và hai đường thẳng x = a,

x = b được tính bởi công thức : b

a

  Trường hợp f(x) 0 trên đoạn [a;b].,ta có f(x) 0 và diên tích hình thang cong aABb bằng diện tích hình thang cong aA’B’b ,là hình đối xứng của hình thang aABb qua trục hoành Do đó

b

S S aABb SaA'B'b a ( f(x))dx

Tổng quát ,diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số f(x) liên tục ,trục hoành và hai đường thẳng x = a,x = b được tính theo công thức

b a

 Nếu f(x) 0, x [a;b]   thì : b

a

 

 Nếu f(x) 0, x [a;b]   thì : b

a

  

 Nếu f(x) = 0 có 1 nghiệm c thuộc [a;b] thì

S= f(x)dx = f(x) dx+ f(x) dx

f(x)dx + f(x)dx

' '

aA B b

S

aABb

S

B

B '

A A

b c d b

S= f(x)dx = f(x) dx+ f(x) dx+ f(x) dx

= f(x)dx + f(x)dx + f(x)dx

f(x)dx

a a) Giải phương trình f(x) = 0, giả sử có 1 nghiệm x c [a;b] 

f(x)dx f(x)dx f(x)dx

a  a  c

Ví dụ: Tính DTHP được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y x 3,trục hoành

và hai đường thẳng x =-1,x =2

Phương trình x3    0 x 0 [ 1;2]

4

2.Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị (C) :y=f(x) và (C’):y=g(x)

Cho hai hàm số y=f(x) liên tục trên [a;b]có đồ thị (C) và y=g(x) liên tục trên

[a;b] có đồ thị (C’)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) , (C’) và hai đường thẳng x = a,x = b được tính bởi công thức :

b a

S f(x) g(x)dx

 Nếu f(x) g(x), x [a;b]   thì: b

[f(x) g(x)]dx

 Nếu f(x) g(x), x [a;b]   thì: b

[g(x) f(x)]dx

 Nếu f(x) = 0 có 1 nghiệm c thuộc [a;b] thì

S= f(x)-g(x)dx = f(x)-g(x) dx+ f(x)-g(x) dx

[f(x)-g(x)]dx + [f(x)-g(x)]dx

 Nếu f(x) = 0 có 2 nghiệm c ,d thuộc [a;b] thì

S= f(x)-(x)gdx = f(x)-g(x) dx+ f(x)-g(x) dx f(x)-g(x) dx

[f(x)-g(x)]dx + [f(x)-g(x)]dx [f(x)-g(x)]dx



Ví dụ: Tính DTHP được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y cosx và

Phương trình hoành độ giao điểm : cosx sinx

x [0; ]

4



   

Vậy DTHP là :

4

S cosx sinx dx cosx sinxdx cosx sinxdx

4 4

(sinx cosx)0 sinx cosx 2 2(dvdt)

4





Ví dụ: Tính DTHP được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y x 3 x và

2

y x x 

Phương trình hoành độ giao điểm : 3x   x x x2

x x 2x 0

x 0

x 1









 



Vậy DTHP là : S 37(dvdt)

-12



Bài Tập:

1 Tính DTHP giới hạn bởi các đường :

a)y x ,y x 2 2   b) y lnx ,y 1  c) y (x 6) ,y 6x x  2   2

Đs:a)9(dvdt) b) (dvdt) c) (dvdt)

2 Tính DTHP giới hạn bởi đường cong y x 21,tiếp tuyến với

đường cong tại điểm M(2;5) và trục Oy

Đs:a)8(dvdt)

3

3 Parabol y x2 chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ O,bán kính

2



thành hai phần.Tìm tỉ số diện tích của chúng

2 2

Đs:a)9 2

 

 

4 Cho hàm số ; y x 33x 1 (C)

Tính DTHP giới hạn bởi (C) ,trục hoành ,trục tung và đường thẳng x = -1 Đs: (dvdt)9

4

5 Tính DTHP giới hạn bởi đồ thị (C): y x 42x21 và trục

hoành Đs:16(dvdt)

15

2



Đs: (dvdt)3

7 Tính DTHP giới hạn bởi các đường y xln x;y 0;x 1;x e 2   

Đs:e2 1(dvdt)

4



8 Tính DTHP giới hạn bởi (P): y x22và đường thẳng y = x

Đs: (dvdt)

2 9

9 Tính DTHP giới hạn bởi (P): y x 22x 2 ,tiếp tuyến của (P)

10.Cho (P): y x24x 3

a) Viết phương trình tiếp tuyến ((d )1 và (d )2 với (P) tại M(0;-3) và N(3;0)

b) Tính DTHP giới hạn bởi (P) và hai tiếp tuyến (d )1 ,(d )2

Đs: (dvdt)

4 9

11.Tính DTHP giới hạn bởi các đường : y 2x x  2 và y = 3

Đs: (dvdt)8

12.Cho hàm số: y x 2 (C)

x 2





Tính DTHP giới hạn bởi (C ,đường tiệm cận ngang và x=3;x=4

Đs:4ln2(dvdt)

13.Cho hàm số: y 2x 4 (C)

x 4





Tính DTHP giới hạn bởi (C) ,tiếp tuyến của tại A(3;-2) và trục tung

Đs:6 8ln2 (dvdt)

14.Tính DTHP giới hạn bởi (C) y x 2 trục Ox ; Oy

x 2





Đs:4ln2 2 (dvdt)