Công thức Newton-Leibnitz có một tiện lợi là cho chúng ta một cách tính chính xác giá trị tích phân xác định của một hàm không cần thông qua phép tính giới hạn nếu đoán nhận được nguyên [r]
Trang 1Huỳnh Thế Phùng, Khoa Toán, ĐHKH Huế
Ngày 26 tháng 9 năm 2006
Trang 2Mục lục
1.1 Tích phân xác định 3
1.1.1 Định nghĩa 3
1.1.2 Điều kiện khả tích 5
1.1.3 Tính chất của tích phân xác định 5
1.2 Cách tính tích phân xác định 6
1.2.1 Nguyên hàm - Công thức Newton Leibnitz 6
1.2.2 Phương pháp đổi biến số 7
1.2.3 Phương pháp tích phân từng phần 8
1.3 Tích phân suy rộng 8
1.3.1 Tích phân suy rộng với cận vô hạn 8
1.3.2 Tích phân suy rộng với cận hữu hạn 10
1.4 Ứng dụng của tích phân xác định 12
1.4.1 Tính diện tích hình phẳng 12
1.4.2 Tính độ dài đường cong phẳng 12
1.4.3 Tính thể tích vật thể 12
1.4.4 Tính diện tích mặt tròn xoay 13
1.5 Thực hành tính toán trên Maple 13
1.5.1 Xấp xỉ diện tích hình thang cong 13
1.5.2 Tính tích phân xác định Ra b f (x)dx 13
1.5.3 Ứng dụng tích phân xác định 15
1.5.4 Tìm nguyên hàm của hàm y = f (x) 16
1.6 Bài tập 16
Chương 2 Dãy hàm và Chuỗi hàm 19 2.1 Dãy hàm 19
2.1.1 Các định nghĩa 19
2.1.2 Tính chất của dãy hàm hội tụ đều 20
Trang 32.2 Chuỗi hàm 21
2.2.1 Định nghĩa - Các tiêu chuẩn hội tụ 21
2.2.2 Tính chất của chuỗi hội tụ đều 22
2.2.3 Chuỗi lũy thừa 22
2.2.4 Khai triển một hàm thành chuỗi lũy thừa 24
2.3 Chuỗi Fourier 26
2.3.1 Chuỗi lượng giác 26
2.3.2 Chuỗi Fourier 27
2.3.3 Sự hội tụ của chuỗi Fourier 28
2.4 Thực hành tính toán trên Maple 29
2.4.1 Tính giới hạn của dãy hàm và tổng của chuỗi hàm 29
2.4.2 Khai triển một hàm thành chuỗi 29
2.5 Bài tập 30
Chương 3 Không gian Rn 32 3.1 Không gian vectơ Rn 32
3.1.1 Định nghĩa 32
3.1.2 Tích vô hướng 33
3.1.3 Độ dài vectơ 33
3.2 Hàm khoảng cách và sự hội tụ 34
3.2.1 Hàm khoảng cách trong Rn 34
3.2.2 Sự hội tụ của dãy 34
3.3 Tôpô trên Rn 35
3.3.1 Các khái niệm cơ bản 35
3.3.2 Tập liên thông - Tập compact 37
3.4 Thực hành tính toán trên Maple 38
3.4.1 Vec-tơ và ma trận 38
3.4.2 Các phép toán trên vectơ 39
3.4.3 Các phép toán trên ma trận 40
3.5 Bài tập 41
Trang 4TÍCH PHÂN
1.1 Tích phân xác định
1.1.1 Định nghĩa
Giả sử [a, b] là một đoạn hữu hạn trong R Ta chia đoạn này thành các đoạn con bởi các điểm chia a = x0 < x1 < · · · < x n = b Lúc đó tập hợp
P = {x0, x1, · · · , x n }
được gọi là một phân hoạch của đoạn [a, b] Ta dùng ký hiệu P[a, b] để chỉ tập hợp tất cả các phân hoạch của đoạn [a, b].
Một phân hoạch Q ∈ P[a, b], với Q = {y0, y1, · · · , y k }, được gọi là thô hơn phân
hoạch P (hay P là mịn hơn Q) nếu Q ⊂ P , tức là với mọi j, tồn tại i sao cho y j = x i
Độ mịn của phân hoạch P thường được đặc trưng bởi giá trị
δ(P ) = max{x i − x i−1 | 1 ≤ i ≤ n}.
Dễ thấy rằng δ(P ) ≤ δ(Q) nếu P mịn hơn Q.
Giả sử f là một hàm bị chặn trên [a, b] Với mỗi phân hoạch P = {x0, x1, · · · , x n }
của đoạn [a, b] ta đặt
M i := sup{f (x) | x ∈ [x i−1 , x i ]}, m i := inf{f (x) | x ∈ [x i−1 , x i ]}; 1 ≤ i ≤ n.
Lúc đó, các tổng
S ∗ (f ; P ) :=
n
X
i=1
M i (x i − x i−1 ), S ∗ (f ; P ) :=
n
X
i=1
m i (x i − x i−1)
lần lượt được gọi là tổng Darboux trên và tổng Darboux dưới của f trên [a, b] tương ứng với phân hoạch P
Trang 5Ta gọi tích phân trên và tích phân dưới của hàm f trên đoạn [a, b] lần lượt là
các giá trị sau
Z +
[a,b]
f (x)dx := inf
P ∈P S ∗ (f ; P ),
Z −
[a,b]
f (x)dx := sup
P ∈P
S ∗ (f ; P ).
Mệnh đề sau cho ta một đánh giá về các đại lượng này
Mệnh đề 1.1 Nếu hàm f bị chặn dưới bởi m và bị chặn trên bởi M trên đoạn [a, b], thì
m(b − a) ≤
Z −
[a,b]
f (x)dx ≤
Z +
[a,b]
f (x)dx ≤ M(b − a).
Để chứng minh định lý này ta cần các bổ đề sau
Bổ đề 1.1 Giả sử P, Q ∈ P[a, b] sao cho Q ⊂ P Lúc đó
S ∗ (f ; Q) ≤ S ∗ (f ; P ) ≤ S ∗ (f ; P ) ≤ S ∗ (f ; Q).
Bổ đề 1.2 Với mọi P, Q ∈ P[a, b], ta luôn có S ∗ (f ; P ) ≤ S ∗ (f ; Q).
Ta nói hàm f là khả tích Riemann trên đoạn [a, b] nếu
Z +
[a,b]
f (x)dx =
Z −
[a,b]
f (x)dx.
Lúc đó, ta ký hiệu giá trị chung này bởi
Z b
a
f (x)dx
và gọi là tích phân của hàm f trên đoạn [a, b].
Trong trường hợp a = b dễ thấy
Z a
a
f (x)dx = 0 Ngoài ra, nếu b < a ta định
b a
f (x)dx := −
Z a
b
f (x)dx. (1.1)
Ví dụ 1.1
+ Hàm hằng f (x) = c khả tích Riemann trên mọi đoạn và
Z b
a
cdx = c(b − a).
+ Hàm Dirichlet
f (x) :=
(
1 nếu x ∈ Q,
0 nếu x ∈ R \ Q không khả tích trên mọi đoạn [a; b] với a < b.
Trang 61.1.2 Điều kiện khả tích.
Định lý 1.2 Hàm bị chặn f trên [a, b] là khả tích khi và chỉ khi, với mọi ² > 0,
tồn tại một phân hoạch P ∈ P[a, b] sao cho
S ∗ (f ; P ) − S ∗ (f ; P ) < ².
Hệ quả 1.1 Mọi hàm liên tục trên [a, b] đều khả tích.
Hệ quả 1.2 Mọi hàm bị chặn, liên tục trên [a, b], ngoại trừ một số hữu hạn điểm,
đều khả tích.
Hệ quả 1.3 Mọi hàm xác định và đơn điệu trên [a, b] đều khả tích.
Định lý 1.3 Một hàm f bị chặn trên [a, b] là khả tích khi và chỉ khi
lim
δ(P )→0 (S ∗ (f ; P ) − S ∗ (f ; P )) = 0.
Giả sử P = {x0, x1, · · · , x n } là một phân hoạch của đoạn [a, b] Ta chọn tập các
điểm T = {t1, t2, · · · , t n } với t i ∈ [x i−1 , x i] và lập tổng
S(f ; P, T ) =
n
X
i=1
f (t i )(x i − x i−1 ).
Hệ quả 1.4 Hàm f khả tích trên [a, b] khi và chỉ khi giới hạn sau tồn tại không
phụ thuộc vào T :
lim
δ(P )→0 S(f ; P, T ).
1.1.3 Tính chất của tích phân xác định.
Định lý 1.4 Nếu f , g là các hàm khả tích trên đoạn [a, b] và λ là một số thực thì
các hàm f ± g, λ.f cũng khả tích và ta có
a)
Z b
a
(f (x) ± g(x))dx =
Z b
a
f (x)dx ±
Z b
a
g(x)dx;
b)
Z b
a
λf (x)dx = λ
Z b
a
f (x)dx.
Định lý 1.5 Cho hàm f bị chặn trên đoạn [a, b] và c ∈ (a, b) Lúc đó f khả tích
trên [a, b] khi và chỉ khi f khả tích trên cả hai đoạn [a, c], [c, b], hơn nữa,
Z b
a
f (x)dx =
Z c
a
f (x)dx +
Z b
c
f (x)dx. (1.2) Thật ra, bằng cách sử dụng (1.1), công thức (1.2) vẫn còn đúng với các vị trí
khác của a, b, c.
Trang 7Định lý 1.6 Giả sử f và g là các hàm khả tích trên đoạn [a, b] Lúc đó,
a) Nếu f ≥ 0 thì Ra b f (x)dx ≥ 0.
b) Nếu f ≥ g thì Ra b f (x)dx ≥Ra b g(x)dx.
Hệ quả 1.5 Giả sử f khả tích trên [a, b] sao cho m ≤ f (x) ≤ M với mọi x ∈ [a, b].
Lúc đó
m(b − a) ≤
Z b
a
f (x)dx ≤ M(b − a).
Hệ quả 1.6 (Định lý giá trị trung bình) Giả sử f là hàm liên tục trên [a, b] Lúc
đó tồn tại c ∈ (a, b) sao cho
Z b
a
f (x)dx = f (c)(b − a).
Định lý 1.7 Nếu f khả tích trên [a, b] thì |f | cũng khả tích Lúc đó
¯
¯
¯
¯
Z b
a
f (x)dx
¯
¯
¯
¯ ≤
Z b
a
|f (x)|dx.
1.2 Cách tính tích phân xác định.
1.2.1 Nguyên hàm - Công thức Newton Leibnitz.
Cho hàm f bị chặn, khả tích trên đoạn [a, b] Lúc đó, với mỗi t ∈ [a, b], f khả tích trên [a, t] Ta định nghĩa hàm
Φ(t) :=
Z t
a
f (x)dx, t ∈ [a, b].
Định lý sau cho ta thấy các tính chất quan trọng của hàm Φ
Định lý 1.8
a) Hàm Φ liên tục trên [a, b].
b) Nếu f liên tục tại x0 ∈ [a, b] thì Φ khả vi tại điểm đó và
Φ0 (x0) = f (x0),
ở đây, nếu x0 trùng với a hoặc b thì đạo hàm của Φ được hiểu là đạo hàm một phía.
Ta định nghĩa nguyên hàm của một hàm f trên khoảng [a, b] là một hàm F khả
vi và có đạo hàm đúng bằng f trên khoảng đó Dễ thấy rằng nếu f có một nguyên hàm là F trên một khoảng thì nó sẽ có vô số nguyên hàm trên khoảng đó; hơn nữa, tất cả các nguyên hàm của f đều có dạng F (x) + C, với C là hằng số tuỳ ý.
Từ Định lý 1.8 ta nhận được các hệ quả sau
Trang 8Hệ quả 1.7 Mọi hàm liên tục trên một khoảng (đóng hoặc mở) đều có nguyên hàm
trên khoảng đó.
Hệ quả 1.8 (Công thức Newton-Leibnitz) Nếu f là hàm liên tục trên [a, b] và F
là một nguyên hàm bất kỳ của f thì
Z b
a
f (x)dx = F (x)
¯
¯
¯b
a := F (b) − F (a).
Công thức Newton-Leibnitz có một tiện lợi là cho chúng ta một cách tính chính xác giá trị tích phân xác định của một hàm không cần thông qua phép tính giới hạn nếu đoán nhận được nguyên hàm của nó Để minh hoạ cho điều đó ta xét ví dụ sau
Ví dụ 1.2
Z 1
0
x2dx = 1
3;
Z b
a
sin(x)dx = cos(a) − cos(b);
Z e 1
1
x dx = 1.
1.2.2 Phương pháp đổi biến số.
Định lý 1.9 Giả sử hàm x = ϕ(t) thoả mãn
a) ϕ(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [α, β],
b) ϕ(α) = a, ϕ(β) = b, ϕ(t) ∈ [a, b] với mọi t ∈ [α, β].
Khi đó, nếu f liên tục trên [a, b] thì
Z b
a
f (x)dx =
Z β
α
f [ϕ(t)]ϕ 0 (t)dt.
Ví dụ 1.3
Z π
2
0 cosn (x)dx =
Z 0
π
2
cosn(π
2 − t)(−1)dt =
Z π
2
0 sinn (t)dt.
π
2
0 cos2(x)dx =
Z π
2
0
sin2(x)dx = 1
2
Z π
2
0
dx = π
4.
Z 2
0
√
4 − x2dx =
Z π
2
0
q
4 − 4 sin2(t)2 cos(t)dt = 4
Z π
2
0 cos2(t)dt = π.
Định lý 1.10 Cho hàm f liên tục trên [a, b] và phép đổi biến t = ϕ(x) thoả mãn:
a) ϕ đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b],
Trang 9b) Tồn tại hàm g liên tục trên ϕ([a, b]) sao cho f (x) = g(ϕ(x)).ϕ 0 (x) với mọi
x ∈ [a, b].
b a
f (x)dx =
Z ϕ(b)
ϕ(a)
g(t)dt.
Ví dụ 1.4 Với phép đổi biến t = sin(x), x ∈ [0, π
2] ta được
Z π
2
0
cos(x)
1 + sin2(x) dx =
Z 1 0
dt
1 + t2 = arctan(t)
¯
¯
¯1
4.
1.2.3 Phương pháp tích phân từng phần.
Định lý 1.11 Nếu f và g là các hàm khả vi liên tục trên đoạn [a, b] thì
Z b
a
f (x)g 0 (x)dx = f (b)g(b) − f (a)g(a) −
Z b
a
f 0 (x)g(x)dx.
e
1
ln(x)dx = x ln(x)
¯
¯
¯e
Z e 1
x1
x dx = 1.
1.3 Tích phân suy rộng.
1.3.1 Tích phân suy rộng với cận vô hạn.
Giả sử f là hàm xác định trên khoảng [a, ∞) và khả tích trên mọi khoảng hữu hạn [a, b] với b > a Lúc đó ta định nghĩa tích phân suy rộng của hàm f trên khoảng [a, ∞) là giới hạn sau
Z ∞
a
f (x)dx := lim
b→+∞
Z b
a
f (x)dx. (1.3)
Ta nói tích phân suy rộng Ra ∞ f (x)dx là hội tụ nếu giới hạn (1.3) tồn tại hữu hạn,
phân kỳ nếu ngược lại, hội tụ tuyệt đối nếu Ra ∞ |f (x)|dx hội tụ.
Tương tự ta có các định nghĩa hội tụ, phân kỳ, hội tụ tuyệt đối của các tích
b
−∞
f (x)dx := lim
a→−∞
Z b
a
f (x)dx.
Z ∞
−∞
f (x)dx :=
Z 0
−∞
f (x)dx +
Z ∞ 0
f (x)dx.
Trang 10Nếu F là hàm có giới hạn (có thể bằng vô cùng) khi x → ∞ thì ta ký hiệu giới hạn này bởi F (∞) Vậy
F (∞) := lim
x→∞ F (x).
Từ định nghĩa, ta thấy nếu F là một nguyên hàm của f trên khoảng [a, ∞) thì
Z ∞
a
f (x)dx = F (∞) − F (a) = F (x)
¯
¯
¯∞
a
Đẳng thức được hiểu là vế trái tồn tại và bằng vế phải mỗi khi vế phải tồn tại
∞
1
1
x dx = ln(x)
¯
¯
¯∞
Với α 6= −1, ta có
Z ∞ 1
x α dx = x
α+1
α + 1
¯
¯
¯
¯
¯
∞
1
=
(
∞ nếu α > −1
− 1
Z ∞ 0
1
1 + x2dx = arctan(x)
¯
¯
¯∞
2.
Z ∞ 0
cos(x)dx = sin(x)
¯
¯
¯∞
0 ( không hội tụ).
Sau đây là một số tiêu chuẩn hội tụ của tích phân suy rộng
Định lý 1.12 (Tiêu chuẩn Cauchy) Tích phân (1.3) hội tụ khi và chỉ khi
∀² > 0, ∃M > a, ∀b ≥ M; ∀c ≥ M :
¯
¯
¯
¯
Z c
b
f (x)dx
¯
¯
¯
¯ < ².
Hệ quả 1.9 Nếu tích phân Ra ∞ f (x)dx hội tụ tuyệt đối thì hội tụ Hơn nữa
¯
¯
¯
¯
Z ∞
a
f (x)dx
¯
¯
¯
¯ ≤
Z ∞
a
|f (x)|dx.
Định lý 1.13 Cho f và g là các hàm có tích phân suy rộng hội tụ trên khoảng [a, ∞) Lúc đó, các hàm f ± g, λf (λ ∈ R) cũng có tích phân suy rộng hội tụ trên
khoảng đó Hơn nữa,
Z ∞
a
(f (x) ± g(x))dx =
Z ∞
a
f (x)dx ±
Z ∞
a
g(x)dx,
Z ∞
a
λf (x)dx = λ
Z ∞
a
f (x)dx.
Trang 11Định lý 1.14 Cho f là hàm không âm trên [a, ∞), khả tích trên mọi khoảng [a, b]
với b > a Lúc đó, Ra ∞ f (x)dx hội tụ khi và chỉ khi tập {Ra b f (x)dx | b > a} bị chặn.
Hệ quả 1.10 Cho f , g là các là hàm khả tích trên mọi khoảng [a, b] với b > a.
Hơn nữa, f (x) ≥ g(x) ≥ 0 với mọi x ∈ [a, ∞) Lúc đó, nếu Ra ∞ f (x)dx hội tụ thì
R∞
a g(x)dx cũng hội tụ.
Hệ quả 1.11 Cho f , g là các là hàm không âm, khả tích trên mọi khoảng [a, b] với
b > a Hơn nữa, tồn tại giới hạn
lim
x→∞
f (x) g(x) ∈ (0, ∞).
Lúc đó, các tích phân Ra ∞ f (x)dx,Ra ∞ g(x)dx đồng thời hội tụ hay phân kỳ.
Định lý 1.15 Cho f là hàm không âm, đơn điệu giảm trên [1, ∞) Lúc đó,
Z ∞ 1
f (x)dx và
∞
X 1
f (n) đồng thời hội tụ hoặc phân kỳ.
Từ định lý này và từ (1.4)-(1.5) ta suy ra chuỗi số
∞
X
n=1
1
n β
hội tụ khi và chỉ khi β > 1.
1.3.2 Tích phân suy rộng với cận hữu hạn.
Giả sử f là hàm xác định trên khoảng bị chặn [a, b), khả tích trên mọi khoảng [a, b − ²] với a < b − ² < b nhưng không bị chặn trong lân cận của b (ta nói b là điểm bất thường của f ) Lúc đó ta định nghĩa tích phân suy rộng của hàm f trên khoảng [a, b] là giới hạn sau
Z b
a
f (x)dx := lim
²→0+
Z b−²
a
f (x)dx. (1.6)
Ta nói tích phân suy rộng Ra b f (x)dx là hội tụ nếu giới hạn (1.6) tồn tại hữu hạn,
phân kỳ nếu ngược lại, hội tụ tuyệt đối nếu Ra b |f (x)|dx hội tụ.
Tương tự ta có các định nghĩa hội tụ, phân kỳ, hội tụ tuyệt đối của các tích
phân suy rộng trên [a, b] với a là điểm bất thường hoặc cả a và b đều bất thường:
Z b
a
f (x)dx = lim
²→0+
Z b
a+²
f (x)dx.
Trang 12Z b
a
f (x)dx =
Z c
a
f (x)dx +
Z b
c
f (x)dx với c ∈ (a, b).
Trường hợp hàm f có điểm bất thường c ∈ (a, b) ta định nghĩa tích phân suy
rộng Ra b f (x)dx là tổng của hai tích phân suy rộng Ra c f (x)dx và Rc b f (x)dx
Nếu F , một nguyên hàm của f trên khoảng (a, b), có giới hạn (có thể bằng vô cùng) khi x → a (x → b) thì ta cũng ký hiệu giới hạn này bởi F (a) (F (b)) Với cách
ký hiệu như vậy ta cũng có công thức Newton-Leibnitz mở rộng:
Z b
a
f (x)dx = F (b) − F (a) = F (x)
¯
¯
¯b
a
Đẳng thức được hiểu là vế trái tồn tại và bằng vế phải mỗi khi vế phải tồn tại
Ví dụ 1.7
Z 1 0
1
√
x dx = 2
√ x
¯
¯
¯1
Z 1 0
1
1 − x dx = − ln(1 − x)
¯
¯
¯1
Z 1
−1
dx
√
1 − x2 = arcsin(x)
¯
¯
¯1
Định lý 1.16 Nếu tích phân Ra b f (x)dx hội tụ tuyệt đối thì hội tụ Hơn nữa
¯
¯
¯
¯
Z b
a
f (x)dx
¯
¯
¯
¯ ≤
Z b
a
|f (x)|dx.
Định lý 1.17 Cho f là hàm không âm trên [a, b), khả tích trên mọi khoảng [a, b−²]
với a < b − ² < b Lúc đó, Ra b f (x)dx hội tụ khi và chỉ khi tập hợp sau bị chặn {Ra b−² f (x)dx | 0 < ² < b − a}.
Hệ quả 1.12 Cho f , g là các là hàm khả tích trên mọi khoảng [a, b − ²] với a <
b − ² < b Hơn nữa, f (x) ≥ g(x) ≥ 0 với mọi x ∈ [a, b) Lúc đó, nếu Ra b f (x)dx hội
tụ thì Ra b g(x)dx cũng hội tụ.
Hệ quả 1.13 Cho f , g là các là hàm không âm, khả tích trên mọi khoảng [a, b − ²]
với a < b − ² < b Hơn nữa, tồn tại giới hạn
lim
x→b−
f (x) g(x) ∈ (0, ∞).
Lúc đó, các tích phân Ra b f (x)dx, Ra b g(x)dx đồng thời hội tụ hay phân kỳ.
Trang 131.4 Ứng dụng của tích phân xác định.
1.4.1 Tính diện tích hình phẳng.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f1(x); y = f2(x); x = a và
x = b được tính theo công thức sau:
S :=
Z b
a
|f2(x) − f1(x)|dx.
1.4.2 Tính độ dài đường cong phẳng
Cho C là đường cong phẳng có phương trình tham số
(
x = ϕ(t);
y = ψ(t), t ∈ [α, β].
Trong đó, ϕ và ψ là các hàm khả vi liên tục trên [α, β] Độ dài đường cong C lúc đó
được tính bằng công thức sau:
l(C) =
Z β
α
p
ϕ 0 (t)2+ ψ 0 (t)2dt.
Trường hợp đường cong là đồ thị hàm y = f (x) trên đoạn [a, b] thì độ dài đường
cong lúc đó là:
l(C) =
Z b
a
p
1 + f 0 (x)2dx.
1.4.3 Tính thể tích vật thể.
Công thức tổng quát Cho (T ) là một vật thể trong không gian nằm gọn giữa hai mặt phẳng x = a và x = b (a < b) Giả sử với mỗi t ∈ [a, b] mặt phẳng x = t cắt vật thể (T ) theo một thiết diện có diện tích S(t) Nếu S(t) là hàm liên tục trên đoạn [a, b] thì thể tích vật thể (T ) được tính bởi công thức:
V (T ) =
Z b
a
S(t)dt.
Trường hợp vật thể tròn xoay Giả sử vật thể (T ) được tạo thành khi quay hình phẳng D = {(x, y) | a ≤ x ≤ b; 0 ≤ y ≤ f (x)} quanh trục Ox Lúc đó, với mỗi
t ∈ [a, b] diện tích thiết diện là S(t) = πf (t)2 Do đó, nếu f là hàm liên tục thì tích phân vật thể (T ) được tính bởi
V (T ) = π
Z b
a
f (t)2dt.
Trang 141.4.4 Tính diện tích mặt tròn xoay.
Giả sử F là mặt được tạo thành khi quay cung C = {(x, f (x)) | a ≤ x ≤ b} quanh trục Ox Lúc đó, nếu cung C trơn, tức hàm f khả vi liên tục, diện tích của mặt F được tính bởi công thức:
S(F) = 2π
Z b
a
¯
¯f(x)¯¯p1 + f2(x)dx.
1.5 Thực hành tính toán trên Maple.
1.5.1 Xấp xỉ diện tích hình thang cong.
Trước khi thực hành các phép tính tích phân chúng ta nên trở lại khảo sát việc xấp xỉ diện tích hình thang cong bởi tổng diện tích của các hình chữ nhật Ta đã biết,
nếu f khả tích (và đặc biệt là liên tục) thì các phân hoạch đều vẫn cho những xấp xỉ
tốt Maple cho phép chúng ta dùng một trong ba lệnh rightbox/leftbox/middlebox
để minh hoạ việc xấp xỉ đều một hàm f trên đoạn [a, b] Cụ thể,
Cú pháp: [> rightbox(f(x), x=a b, n, ’shading’=m1, color=m2); (tương tự,
leftbox, middlebox)
Lệnh này minh hoạ việc xấp hình thang cong giới hạn bởi các đường y = f (x),
y = 0, x = a và x = b bằng một xấp xỉ đều gồm n hình chữ nhật có đáy bằng
nhau (= (b − a)/n) và chiều cao của mỗi hình bằng giá trị hàm f tại mút phải của mỗi đoạn (đối với leftbox là mút trái và middlebox là điểm giữa) m1 là màu tô các hình chữ nhật còn m2 là màu vẽ đường cong (điều này chỉ được thấy trên màn hình, trong giáo trình này chỉ thấy màu đen) Mặc định n = 4 Chú ý rằng, trước
khi thực hiện lệnh này cần khởi động gói lệnh student
Ví dụ:
[> with(student);
[> leftbox(exp(x)-2*x∧2, x=-1 1, ’shading’=cyan, color=green);
Kết quả cho ở Hình 4.1
[> middlebox(exp(x)-2*x∧2, x=-1 1, 10, ’shading’=red, color=blue);
1.5.2 Tính tích phân xác định Ra bf (x)dx
Cú pháp: [> int(f(x), x=a b); (nếu dùng Int thì cho công thức hình thức)
Ví dụ:
[> int(x∧2, x=-1 2);
3