Bài tập giải mẫu Khảo sát hàm số - Hàm phân thức

x2  3x  m , với m là tham số x 1 Với những giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số trên có tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ?. Chứng[r]

Đề luyện tập số 1: Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan

Hàm phân thức bậc 2/1

Bài 1:

1

y

x



 Xác định tất cả các giá trị của m để hàm số có cực trị Tìm m để tích các giá trị cực đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất

L ời giải:

1

y

x





2

2

Hàm số đạt cực trị  y có 2 nghiệm phân biệt      0 1 m 2

Hàm số đạt cực trị tại x1,2   và các giá trị tương ứng là: 1

1,2

x



Vậy y1 2y nhỏ nhất 7

5

m

 

Bài 2:

Cho hàm số 2 2 3

1

x

 Với nhứng giá trị nào của m thì hàm số đã cho là đồng biến trên khoảng (3; )

Lời giải:

Hàm số đồng biến trong khoảng (3;)

2

2

( 1)





'( )x 4x 4

   Nên m( )x  x 3 m 9

Bài 3:

Cho đồ thị (C) của hàm số: 3 3

1

x

   



Chứng minh rằng đường thẳng y2x m luôn luôn cắt (C) tại hai điểm có hoành độ x x1, 2

Tìm giá trị của m sao cho 2

1 2

d  x x đạt giá trị nhỏ nhất

Lời giải:

        

2 (3x m 3)(3x 1) 3 0,x 1 3x (m 6)x m 0

            (dễ thấy 1 không phải là nghiệm của phương trình này)

(m 6) 12m m 36 0, m

m

  phương trình có 2 nghiệm phân biệt  m đường thẳng y2x m luôn cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt

Theo Viet: ( 1 2)2 ( 1 2)2 4 1 2 (6 )2 4( ) 1( 2 36) 4

4

d

min

  khi m0

Bài 4:

Xét hàm số: 2 3

1

y

x



 , với m là tham số Với những giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số trên có tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ?

Chứng minh rằng khi đó đồ thị của hàm số có điểm cực đại và cực tiểu

Lời giải:

2

2

( 1)

y

x

 



Đồ thị có tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ nhất

 phương trình y  có nghiệm 1

 phương trình 2 2 32 1

( 1)

x

 phương trình 2

2(x1)   có nghiệm a 2        x 1 a 2 0 a 2

 tam thức 2

x  x  có a      có 2 nghiệm phân biệt  a 2 0 y

 Hàm số có điểm cực đại, cực tiểu

Bài 5:

Cho hàm số 2

1

x y

x



 Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy để từ đó ta có thể vẽ được hai tiếp tuyến đến đồ thị (C)

và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau

Hướng dẫn:

Xét điểm A(a;b) Đường thẳng qua A, hệ số góc k có phương trình: y = k(x-a)+ b

Đường thẳng này sẽ là tiếp tuyến khi và chỉ khi hệ ẩn x gồm 2 phương trình sau có nghiệm:

(1): 1 1

1

x

    



(2): 1 1 2

(x 1) k



Biến đổi về phương trình ẩn k ta được:

( ) (1k a k) [2(1 a b)( 2) 4]k (b 2) 4 0

Để từ A ta vẽ được hai tiếp tuyến đến đồ thị (C) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau thì (3) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1 và tích 2 nghiệm này phải bằng -1,điều kiện này tương đương với:

(1) 0

  và ( 2)2 2 4 1

(1 )

b

a



(a 1) (b 2) 2 ,a 1,b a 1

Vậy tập hợp cần tìm là đường tròn (C) tâm I(1;2), bán kính 2, bỏ đi 4 giao điểm của (C) với 2 tiệm cận

Bài 6:

1

x x y

x

 



 Tìm m để đường thẳng ymx2m cắt đồ thị ( )2 C tại hai điểm thuộc hai nhánh của ( )C

L ời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng đã cho và (C):

2

2 1

1

x x

x

 



Hai đường trên cắt nhau tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh của đồ thị khi và chỉ khi:

( ) 0

f x  có 2 nghiệm thỏa mãn: x1 1 x2  m 1 0 và (m1) (1) 0f    m 1

Bài 7:

Cho hàm số 2 2 2

1

y

x



 và ( )d1 : y  x m và ( )d2 : y  x 3 Tìm tất cả giá trị của m để ( )C cắt ( )d1 tại 2 điểm phân biệt đối xứng nhau qua ( )d2

L ời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d1) là:

2

1

x m

x

  



2

       (x1 không là nghiệm) 2

2x (m 3)x m 2 0

Điều kiện cần là: 2

Gọi H là giao điểm của ( ), ( )d1 d2 , phương trình hoành độ giao điểm H là:

3 3

2

H

m

      Vì ( )d1 vuông góc với ( )d2 nên m thỏa mãn (*) và

3

2

m

 



Bài 8:

Cho hàm số y 2x2 (1 m x) 1 m

x m



  (C m) CMR   m 1, các đường ( )C m tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại một điểm cố định Xác định phương trình đường thẳng đó

L ời giải:

Gọi M x y( ;0 0) là điểm cố định của ( )C m với m 1 Ta có:

2

0

0

2x (1 m x) 1 m

y

x m



  ,  m 1

2

2

2x x 1 x y 0,y x 1 0 x 1,y 2

           M( 1; 2)

Ta có: f ( 1)  1    ( )m 1 C m luôn tiếp xúc với tiếp xúc với đường thẳng có hệ số góc là -1, qua M

cố định và có phương trình là y    hay (x 1) 2 y  x 1

Bài 9:

Cho hàm số 2 2 2 (2 2)( 1)

1

y

mx



Chứng minh rằng với  m 0, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số (1) luôn tiếp xúc với một parabol cố định.Tìm phương trình của parabol đó

Lời giải:

2

2

y mxm là tiệm cận xiên của đồ thị với m0

Tiếp tuyến của Parabol 2

( 0)

yax bxc a tại điểm 2

( ;x y ax bx c) có phương trình là: 2

y ax b xx ax bx c

Nó sẽ trùng với TCX 2

2

y mxm khi và chỉ khi:

0

2ax  b 2m và ax02 c m2 Khử x0 ta có phương trình ẩn m, phương trình này thỏa mãn với mọi m, cho các hệ số bằng 0 ta có: a=1; b=c=0 Vậy parabol cần tìm là 2

yx

Bài 10:

Cho hàm số y 2x2 (m 1)x 3

x m



 Xác định m để đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với parabol 2

5

yx 

Lời giải:

TCX y2x  sẽ tiếp xúc với 1 m 2

5

y x  khi và chỉ khi hệ gồm 2 phương trình sau có nghiệm: 2

x   x  và m 2x2, suy ra x1 và m 3

Bài 11:

Cho hàm số 2 1 2

1

m

x

  



a Với giá trị nào của m thì hàm số đồng thời có cực đại và cực tiểu

b Tìm quĩ tích các điểm cực đại và cực tiều của đồ thị hàm số khi m thay đổi

Lời giải:

a Hàm số đồng thời có cực đại và cực tiểu khi 2 2 4 2 22 0

( 1)

y

x

 có 2 nghiệm phân biệt khác 1 2

2x 4x 2 2m 0

     có 2 nghiệm phân biệt khác 1  m 0

b Với m0 từ bảng biến thiên ta có tọa độ điểm cực đại:

2

1

I

m

x

 Biến đổi ta có: y I 4x I 3,x I  1 Vậy quỹ tích các điểm cực đại là nửa đường thẳng có phương trình y 4x  với 3 x1

Tương tự quỹ tích các điểm cực tiểu là nửa đường thẳng có phương trình y 4x  với 3 x1

Bài 12:

Cho hàm số 2 2 ( 4) 2 1

2

y

x



Tìm m để đồ thị của hàm số (1) nhận điểm (2; 1) làm tâm đối xứng

L ời giải:

2

Đồ thị nhận E(2;1) là tâm đối xứng khi và chỉ khi (2 ) (2 ) 1 0 3

2

        

Bài 13:

Cho hàm số: 2 1

1

x x y

x

 



 Xác định điểm A x y( ; )1 1 với x1 thuộc đồ thị của hàm số trên sao cho khoảng cách đến giao điểm của 0 hai tiệm cận là nhỏ nhất

Lời giải:

Giao điểm 2 tiệm cận là E(1;1) Xét điểm A x y( ; )1 1 thuộc đồ thị khi và chỉ khi

2

1 1

x

 

Dẫu = xảy ra khi 2

2 2 2

1

4

2( 1)

x



Vậy điểm cần tìm có hoành độ là: 1 41

2

x 

Bài 14:

1

x mx y

x



 , (m là tham số)

Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách tự hai điểm đó đến đường thẳng x   bằng nhau y 2 0

L ời giải:

2

2

( 1)

y

x

 



Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì phương trình 2

x  x m  (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1 3

2

m

 

Giả sử x x1, 2 là 2 nghiệm của (1) và A x y( ; ), ( ,1 1 B x y2 2) là các điểm cực trị của đồ thị, trong đó:

1 ( )1 2 1 2 , 2 ( )2 2 2 2

y y x  x  m y  y x  x  m

Để khoảng cách từ A và B tới đường thẳng x+y+2=0 bằng nhau thì điều kiện là :

1 2 | 2 | 3( 1 2)[3( 1 2) 4 ]=

|x y  |x y   x x x x  m4 0 (*)

Do x x1, 2 là nghiệm của (1) nên 1 2 1 2

1

2

|x x   m,x x - m  (thay vào (*))

Bài 15:

Cho đồ thị (C) của hàm số 2 2 2

1

y

x



 Gọi I là tâm đối xứng của đồ thị (C) và M là một điểm trên (C) Tiếp tuyến tại M với (C) cắt hai đường tiệm cận tại A,B

Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn AB và diện tích tam giác IAB không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên (C)

Lời giải:

Gọi (d) là tiếp tuyến tại 0 0 0

0

1

1

M x y x

x

 có phương trình:

0 0 2

(d) cắt tiệm cận đứng tại

0

2

1

A x



 và cắt tiệm cận xiên tại B(2x01, 2x0 2)

Ta có x Ax B 2x0 2x M và A,B,M thẳng hàng suy ra M là trung điểm của AB

Giao 2 tiệm cận là I(-1;0) và B cách tiện cận đứng x+1=0 một khoảng cách là

0

0

2 2

| 2 1 1|

2 | 1|

x



1

Vậy IAB có diện tích không phụ thuộc vào vị trí của M

Bài 16:

Cho hàm số 1 1

1

x

  

 Gọi đồ thị đĩ là (C)

Tìm những điểm trên đồ thị (C) cĩ hồnh độ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến tại điểm đĩ tạo với hai đường tiệm cận một tam giác cĩ chu vi nhỏ nhất

Đáp số: Điểm cần tìm cĩ hồng độ là: 1 41

2

x 

Bài 17:

Tìm tất cả các điểm trên đồ thị của hàm số y =

1 x

2 x

x 2







cĩ toạ độ là những số nguyên

Giải:

TXĐ: mọi x khác 1

Hàm số được viết lại y = x +

1 x

2



Để y là một số nguyên thì

1 x

2

 cũng phải là một số nguyên, nghĩa là 2 phải chia hết cho x – 1  x – 1

là ước của 2



































2

1

x

2

1

x

1

1

x

1

1

x

























1 x

3 x

0 x

2 x



























2 y

4 y

2 y

4 y

Vậy cĩ 4 điểm thoả yêu cầu bài tốn là: (2;4), (0;-2), (3;4), (-1;2)

Bài 18:

Xét đồ thị họ (Cm) cho bởi phương trình 2 4 2 8

2

y

x



 Xác định tập hợp những điểm mà khơng

cĩ đồ thị nào trong họ (Cm) đi qua

Bài giải

0

( , ) ( ),

2



m

x vơ nghiệm với mọi m x0  2 hoặc

0( 0 2) 0 4 0 8

m y x x x vơ nghiệm theo m

2

2

2

0 0

0

2

0 0

0

x +4x +8

y < (nếu x >-2)

x +2

x +4x +8

y > (nếu x <-2)

x +2















M miền (I) giới hạn bởi (C) với x > -2

M miền (III) giới hạn bởi (C) với x< -2





  



Vậy những điểm M thoả điều kiện bài tốn là những điểm thuộc mặt phẳng toạ độ Oxy, khơng nằm trên

miền (I), miền (III) và khơng nằm trên (C)

Bài 19:

Cho hàm số y x 1

x

  (C)

a Chứng minh (C) có một tâm đối xứng

b Lập phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vuông góc với tiệm cận xiên

Lời giải:

a f x( ) x 1, D, x D

x

     và f( x) x 1 (x 1) f x( )

          O là TĐX

b PTTT: Phương trình tiếp tuyến: y   Điều kiện tiếp xúc là thỏa mãn 2 phương trình sau: x b

1

x

    và 1 12 1

x

   Giải ra ta có: 2, 2 2

2

x  b  Vậy có 2 tiếp tuyến: y x 2 2 và y  x 2 2

Bài 20:

Cho hàm số y x2 4x 1

x

Qua điểm A(1;0), viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị

Lời giải:

Dễ thấy đường thằng x=1 không là tiếp tuyến nên đường thẳng qua A(1;0) với hệ số góc k sẽ có phương trình: y=k(x-1)

Đường thẳng này sẽ là tiếp tuyến tương đương hệ gồm 2 phương trình sau có nghiệm:

(1): x 1 4 k x( 1)

x

   

(2): 1 12 k

x

 

Biến đổi về phương trình ẩn k ta được: 1 ( 4)2 , 4

4

k

k k



       k 6 2 6 Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn: y  ( 6 2 6)(x1) và y  ( 6 2 6)(x1)

Bài 21:

Cho hàm số  : 2

1

x

x



 Tìm trên (C) hai điểm A,B đối xứng nhau qua đường thẳng y = x+1 (d)

Giải:

A, B đối xứng qua(d) nên AB( )d Phương trình (AB) có dạng y = -x + m

Hoành độ A,B là nghiệm của phương trình

2

2

1

x

Để có giao điểm A,B thì (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1

m



 



Gọi xA; xB là hoành độ giao điểm của A,B, ta có:

1 2 2

A B

m

m

x x



  





vaI là trung điểm AB

1 4

4

I

I

m x m y



 



 



I thuộc d:y = x+1 cho ta m = 1 Từ đó taoc tọa độ 1 ;1 1 , 1 ;1 1

Bài 22:

Cho hàm số:

m x

mx x y







a Tìm m để hàm số có cực trị Khi đó hãy viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu

b Xác định m để đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc với nhau

HD Giải:

y  x  mxm  xm Để hs có cực trị thì pt y’ = 0 phải có hai nghiệm phân biệt khác m

2

' 2m 8 0 m 2

       (vì khi đó pt y’ = 0 sẽ có hai nghiệm phân biệt khác m ) Hai nghiệm của pt y’ = 0 là x CD,x CT;y CD 2x CDm y, CT 2x CT  m

Vậy pt của đt đi qua điểm CĐ và điểm CT là y = 2x + m

b Với m 2 thì đths luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt ( vì ac = - 8 < 0 ) Gọi hoành độ của hai giao điểm này là x x1, 2  x1 x2  m x x; 1 2  8 Để tt với đths tại hai giao điểm vuông góc với nhau thì:

2

2

y x y x

m

m m





Bài 23:

2

5 4 2

H x

x x y







Tìm M thuộc (H) sao cho khoảng cách từ M đến D: 3x  y60 nhỏ nhất

HD Gi ải:

Giả sử

( ; 2 1 / ( 2)), ( 2)

( ; ( )) 4( 2) 1 / ( 2) / 10 4( 2) 1 / 2 / 10 4 / 10 2 10 / 5

Vậy GTNN của k/c từ M tới (D) bằng 2 10 / 5 khi 4a 2 1/ a   2 a 1,5; 2,5 ứng với hai điểm

1( 1,5; 2, 5), 2( 2, 5; 2, 5)

Bài 24:

Cho hàm số:

1

3 3 2









x

x x

Tìm hai điểm A, B trên hai nhánh khác nhau của (C) sao cho độ dài đoạn AB ngắn nhất

HD Gi ải:

Gọi A x y( ; ), ( ;1 1 B x y2 2) ( )( C x1  1 x2)

1 x a x, 1 b a b, 0;AB (a b) (a b 1 /a 1 / )b

(ab) 1 (1 1 /   ab) 4ab a b(2 2ab1) /a b 4(2ab1 /ab2)4(2 22)8( 2 1)

1/ 2 1 1/ 2; 1/ 2 1

a b x    x  

Bài 25:

Cho hàm số

x

x x

y 2 3 2

 (C) tìm trên đường thẳng x = 1 Những điểm M sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến tới (C) mà hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau

HD Gi ải:

Giả sử M(1;b) và pt của đt (D) đi qua M là: y = k(x – 1) + b Để (D) là tiếp tuyến của (C) thì pt sau phải

x

          ( vì pt không có nghiệm với x

= 0 )

Để qua M có thể kẻ được hai tiếp tuyến tới (C) vuông góc với nhau thì pt (*) phải có hai nghiệm có tích

(b 3) 8 1 b 3 7

         (TMĐK)

Vậy trên đt x = 1 có 2 điểm TMYCBT là M(1; 3  7)

Bài 26:

Cho hàm số

1

8 2











x

m mx x

y Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đường thẳng 0

1

7

9x  y 

HD Gi ải:

Đặt F(x, y) = 9x  y7 10 Hàm số có hai điểm cực trị là: A( -2; m – 4) và B( 4; m + 8) Để hai điểm cực trị này nằm về hai phía của đt trên thì: F(A) F(B) < 0  (-7m – 21 )(9 – 7m ) < 0    3 m 9 / 7

Bài 27: Cho hàm số:

1

1 2











x

x x

a Tìm m để (Dm): y  mx1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt mà cả hai điểm đó thuộc cùng một nhánh b Tìm quỹ tích trung điểm I của MN

HD Gi ải:

1

x x

x

  

      

cùng một nhánh thì: m m/(    1) 1 1/(m     1) 0 m 1

b Ta có:

/ 2( 1) 1 / 2 / (2 1)

1 / (2 1) 1 ( 2 1) / (2 1)

Vậy quỹ tích trung điểm I của MN là nhánh bên phải của đths 2 2 1

y

x



Bài 28:

2

3 3

2 1

y

x

  



 (1)

a Tìm trên đồ thị 2 điểm A, B thuộc 2 nhánh sao cho AB min

b Tính diện tích tam giác tạo bởi tiệm cận xiên và các trục tọa độ

HD Giải:

a Ta có:

2

1







  thuộc nhánh phải của đồ thị hàm

số với   0 

Ta có:

2

1



5 5



 









Vậy 41 1; 41 45 1 ; 41 1; 41 45 1

b Hàm số có TCX: : 1 1

2

  

Gọi A  Ox A 2; 0 ; B  OyB 0;1 

2

OAB

S  OA OB  (đvdt)

Bài 29:

Tìm trên đồ thị  : 2 2

1

x

 



 tất cả các cặp điểm A,B đối xứng nhau qua điểm

5 0;

2

I 

Gi ải:

A,B đối xứng nhau qua điểm 0;5

2

I 

 , ta có:

0





Vậy có hai điểm có tọa độ thõa đề bài là (3;7) và (-3;-2)

Bài 30:

2

3 3

2 1

y

x

  



 (1)

a Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) tại A và B sao cho AB = 2

b Tìm m để đường thẳng d:ym x  2 3 và đường cong (1) cắt nhau tại A, B phân biệt sao cho

M(2; 3) làm trung điểm của AB

HD Giải:

a Xét phương trình hoành độ giao điểm:

     

2

2

3 3

2 1

x

Để hàm số (1) cắt đường thẳng y = m tại 2 điểm phân biệt f x 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1

 

1

2

m

 





(*)

Với điều kiện (*), gọi x x1; 2 là nghiệm của f x 0

Theo viet có: 1 2

1 2

3 2

3 2

  



  

 Tọa độ A, B là: A x m 1;  ;B x m2;  Ta có 2  2  2

AB   x x   x x  x x 

2

2



b Xét phương trình hoành độ giao điểm:

2

2

3 3

2 1

x

Để hàm số (1) cắt đường thẳng ym x  2 3 tại 2 điểm phân biệt f x 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1

 

2

7 2 7 2

2 1 0

7 2 7

9 1 2 4 2 1 4 3 0

2

1 0

1 2

m m

f

m





 

          





Với điều kiện trên, gọi x x1; 2 là nghiệm của f x 0  

1 2

3 1 2

m

x x

m



 Gọi 2 giao điểm là A x m x 1;  1 23 ; B x m x 2;  2 23

Điểm M 2;3 d là trung điểm của AB  

1 2

m

m





2