Các dạng toán liên quan đến bài toán khảo sát hàm số

Tìm m để hàm số 1 có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông tại O.. Tìm m để hàm số 1 có cực đại, cực tiểu và các điểm [r]

CÁC  TOÁN LIÊN QUAN 

Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN   XÚC

Cho hàm y  f   x

 ! 1: M x 0;y0   C

 Tính  hàm và giá  f ' x0

. trình   !"  có /# y f ' x0 xx0y0

Chú ý: $  !"   ' M x 0;y0   C có k  f ' x0

 23  trình: f' x k, tìm 0 x0 y0

  trình   !"  /# yk x x0y0

Chú ý: Cho 4 5 :AxBy C 0, khi #

 7 ! d//  d :yaxb

 7 ! d    d :yaxb k 1

a

 

 ! 3: $  !"  %& (C)  qua ' A x  A; yA    C

 <=! 60   xúc %&     d v à C là 0  trình sau 3 có 0#    

 

'

f x k









Tổng quát: Cho hai 4 cong  C :y f x  và  C' :yg x  <=! 60 ' hai 4 cong   xúc +@ nhau là 0 sau có 0    

f x g x

f x g x









1 Cho hàm yx4 2x2

a

b D   trình   !"   %& (C):

i $ ' có hoành E x 2

ii $ ' có tung E y = 3.

iii.$  !"  song song +@ 4 5# d1: 24x y 20090

iv.$  !"  vuông góc +@ 4 5# d2:x24y20090

2 3 1

y x





a

b D   trình   !"  %& (C):

i $ giao ' %& (C) +@ K% tung.

ii $ giao ' %& (C) +@ K hoành

iii 1    !"   qua ' A(1;1)

1

y x

 





a

b D   trình   !"  %& (C)  ' x = 0

c D   trình   !"  %& (C)  ' có tung E y = 0

d Tìm L %3 các ' trên K% tung mà M  6N O% hai   !"   (C).

2

1

y x





a

b

vuông góc +@ nhau

2

1

x y x





a

b Tìm M (C) sao cho   !"  %& (C)  M vuông góc +@ 4 5  qua M và tâm

6 Cho hàm 3 + mx2 + 1 có m ) Tìm m ' (C m) %V d: y = – x + 1  ba ' phân 0 A(0;1),

B, C sao cho các   !"  %& (C m)  B và C vuông góc +@ nhau

&! '!(!%

. trình hoành E giao ' %& d và (C m ) là: x3 + mx2 + 1 = – x + 1 x(x2 + mx + 1) = 0 (*)

<Y g(x) = x2 + mx + 1 d %V (C m)  ba ' phân 0g(x) = 0 có hai 0 phân 0 khác 0

 

2

0 1 0

m g



     

Vì x B , x C là 0 %& g(x) = 0

1

B C

P x x





$  !"  %& (C m)  B và C vuông góc +@ nhau nên ta có: f   x C f x B  1

     x x B C9x x B C6m x Bx C4m2 1

Z so +@ =! 60

1 9 6m m 4m  1

       2m2 10  m 5

7 Cho hàm y x2 1 Tìm Z O các ' trên Y 5 ; E ' M  có ' 6N  (C) hai  

x





!"  vuông góc

&! '!(!%

. trình hoành E giao ' %& (C) và d: 2  0 0  

1

x

x



1 k x y kx x 1 0 *

d   xúc +@ (C):

1

k





 

1

2 2 4 0 I

k

y kx







 



$M M +C hai   !"   (C) vuông góc +@ nhau khi (1) có hai 0 phân 0 ] mãn: 1 2

1 2

1

k k

k k





  



0

2

0

2

0

2

0

4

1

0

x

y

x

 









0

0 4

x







 



DZ" Z O các ' ] mãn yêu %_! bài toán là E 4 tròn: 2 2

4

x y  4 tròn +@ hai 4 0 %Z

1

x y x





a

b Tìm ; E ' M !E% (C),     !"  %& (C)  M %V Ox, Oy  A, B và /0 tích tam giác

OAB Q 1

4

<e# 1; 2 và

2

M  

  M 1;1

2 1 2

y x

 





a

b

<e# b y  x 2 25

m

y x  x 

a

b 2; M là ' !E% (Cm) có hoành E Q 1 Tìm m '   !"  %& (C m)  M song song +@ 4 5 5x y 0

<e# m=4.

11 Cho hàm y x3 3mx2 x 3m C m < m '  C m   xúc +@ K% hoành

12 Cho hàm y x4 x3 m1x2 x m C m < m '  C m   xúc +@ K% hoành

13 Cho   2 4 Tìm Z O các ' trên K% hoành sao cho M  6N O% E  

:

1

x

C y

x







!"   (C).

14 Cho  C :y x3 3x24 Tìm Z O các ' trên K% hoành sao cho M  có ' 6N

O% 3   !"  +@ (C).

15 Cho  C :yx42x2 1 Tìm các ' M Q trên Oy sao cho M M 6N O% 3   !"   (C).

16 Cho  C :yx3 3x2 Tìm các ' trên 4 5 y = 4 sao cho M  có ' 6N

O% 3   !"  +@ (C).

a

b

L &! '!(!%

a D=R, y’ = 12x2 – 12x; y’ = 0  x = 0 hay x = 1.

BBT :

b $  !"  qua M(1;9) có / y = k(x + 1) – 9

. trình hoành E   ' qua M có / :

4x3 – 6x2 + 1 = (12x2 – 12x)(x + 1) – 9.

 4x3 – 6x2 + 10 = (12x2 – 12x)(x + 1)  2x3 – 3x2 + 5 = 6(x2 – x)(x + 1).

 x = –1 hay 2x2 – 5x + 5 = 6x2 – 6x  x = –1 hay 4x2 – x – 5 = 0.

x  0 1 +

y' + 0  0 +

y 1 +

 1 < CT

 x = –1 hay x = ; y’(1) = 24; 5

4

5 15 '

y    

 

DZ"  trình các   !"  qua M là: y = 24x + 15 hay y = 15x

4

21 4



Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN  ) *+

Cho hàm sô y  f   x

70 %&  trình f' x 0 là hoành E %& ' %d% 

 00

f x

f x







 00

f x

f x







,- / 0 1' bài -45 67 898 -:; -<=&1' '>5

'

0 0

y

a



  

 y f x có hai %d%  Q phía trên K% hoành 0

CĐ CT

CĐ CT

y y





 y f x có hai %d%  Q phía /@ K% hoành 0

CĐ CT

CĐ CT

y y





 y f x có %d%    xúc +@ K% hoành  y CĐ.y CT 0

Cách 6!@- 5<=A1' trình C=&1' -<D1' C! qua hai C!HI 898 -:;J

 1' 1: hàm yax3 bx2 cxd

gL" y chia cho y’, O%  là q(x) và / là r(x) Khi  y = r(x) là 4 5  qua 2 ' %d% 

 1' 2: Hàm

2

ax bx c y

dx e



 <4 5 qua hai ' %d%  có /  

'



1 x2 m m 2 1x m4 1 luôn có có %d%  +@ ; m Tìm m sao cho hai

x m



%d%  Q trên 4 5 y=2x.

2 Cho hàm 1 3 2   < m '#

3

y x mx  m x

a Hàm

b.Có %d%  trong 63 0;

c Có hai %d%  trong 63 0;

3 yx3 3mx2 m2 1x2 b2 4ac  %d%   x = 2

4 Cho hàm 33x2+3mx+3m+4.

b

c.< m ' hàm só có %d%  và %d% '!

5 Cho hàm yx3 3mx2 9x3m5

4 5  qua hai ' %d%  L"

6 Cho hàm x2 m 1x m 1

y

x m





m Hãy

7 Cho hàm yx3  1 2m x 2 2m x  m 2

hoành E %& ' %d% '! ]  1

y

x m



 tung

y x mx  m x m C

2

y

x





b Tìm m

O  thành tam giác vuông  O.

<e# m  4 2 6

11 Cho hàm y  x3 3x2 3m2 1x3m2 1 (1), m là tham B i 2007)

a

b Tìm m

E

<e : b 1

2

m 

12 Cho hàm ymx4 m2 9x2 10 (1) (m là tham

a

-5

5 10

x y

3

m m

 



  



13 2; (Cm) là 2  1 1 (*) (m là tham

1

y

x





a

b m) luôn có hai ' %d%  %d% '! và 63 cách n hai '  Q 20

-4 -2

2 4

x y

20

MN

Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN  K + 

Cho hàm sô y  f   x có Z xác  là = D

 f(x)  f '   x  0 ,  x  D

 f(x) %   trên D  f '   x  0 ,  x  D

<=&1' dùng các M!@1 -<N8 67 xét 0QF tam -<N8 248 hai:   2

f x ax bxc

1 7 !  0thì f(x) luôn cùng /L! +@ a.

2 7 !  0thì f(x) có 0 và f(x) luôn cùng /L! +@ a khi

2

b x a

 

2

b x a

 

3 7 !  0thì f(x) có hai 0 trong 63 2 0 f(x) trái /L! +@ a, ngoài 63 2 0 f(x) cùng /L! +@ a.

So sánh 1'<!RI 8SG tam -<N8 6T! / 0

0

0

S

 





   

 



0

0

S

 





 



x  x  P

1 Cho hàm yx3 3m1x2 3m1x1 < m '#

a Hàm

2 1

x mx

a

b 1;

3 Cho hàm yx3 3 2 m1x2 12m5x2

2

2

y

x



Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN  GIAO W X
2 YZ CONG

Quan <R '![G / 1'<!RI và / giao C!HI

Cho hai hàm 1) và y=g(x) có 2)

(C2)

(1) vô 0  (C1) và (C2) không có ' chung

(1) có n 0  (C1) và (C2) có n ' chung.

(1) có nghiệm đơn x1  (C1) và (C2) cắt nhau  N(x1;y1)

(1) có nghiệm kép x0  (C1) tiếp xúc (C2)  M(x0;y0)

1 Cho hàm  2 có

1 1

x y x





 a

x  m x  m

2 Cho hàm   2 2 có

y x x

a

x   m 

3 Cho hàm yx3 kx2 4

a

b Tìm các giá  %& k '  trình x3 kx2  4 0 có 0 duy L

a

b

ba ' phân 0

<e# b 15, 24

4

m m

2

y

x





a

b Tìm m

<e# b 1 5

2

m 

2 1

y

x

 





b Tìm m

<e# b 1 0

2 m

  

2

2

y x





b Tìm m ' 4 5 d m:ymx 2 2m

<e# m>1.

8 Cho hàm 3 + 3mx2 + 3(1  m2)x + m3  m2 (1) (m là tham A 2002)

a

b Tìm k '  trình  x3 + 3x2 + k3  3k2 = 0 có 3 0 phân 0

c

k

  



   



2 2

y xm m

Dạng 5: CÁC BÀI TOÁN

Các công P% += 63 cách:

I3 cách n hai ' E dài  5#   2 2

AB x x  y y

I3 cách M E '  E 4 5# Cho 4 5 :AxBy C 0 và '

M(x0;y0) khi    0 0

d M

 



1 Cho hàm yx3 3mx2 3x3m2  C m < m '  C m có

cách n chúng là bé L

2 Cho hàm   2 2 Tìm ; E các ' M Q trên (C) có t 63 cách  hai 0 %Z là

:

1

x

C y

x







] L

3 Cho hàm   2 1 Tìm các ' M !E% (C) có t 63 cách  2 0 %Z là ]

:

1

C y

x

 





L

4 Cho hàm   2 2 Tìm hai ' M, N !E% hai nhánh khác nhau %& (C) sao cho  MN

:

1

x

C y

x







] L

5 Cho hàm   2 1 Tìm hai ' M, N !E% 2 nhánh khác nhau %& (C) sao cho  MN

:

1

C y

x

 





] L

6 Cho hàm   2 2 1

:

1

C y

x





a Tìm các

b.Tìm hai ' M, N !E% hai nhánh khác nhau %& (C) sao cho  MN ] L

x

4

2

Dạng 6: CÁC W  +

<=A1' pháp:

ta  += / Khi

 , 

y f x m F x y , mG x y , 

0 %& 0  trình  

F x y

G x y









1 Cho hàm y x33m1x2 3mx2 C m P minh Q  C m luôn

khi m thay t

2 Cho hàm  : 2 2 6  4 luôn

2

m

mx



khi m thay t

3 Cho hàm     4 2   Tìm các

m

C y  m x  mx  m

4 y m3x3 3m3x2 6m1x m 1 C m luôn  qua ba

Dạng 7: K + CH\
] GIÁ *+ ^_ 

Do  ta 3

  0,

y f x   x D

gin nguyên _ phía trên K% Ox và L"

 

y f x f   x  f x

nên

x D

 

Oy.

x

y (C)

x

y (C')

x

y (C'')

Chú ý:

1 Cho hàm  : 2

C y

x





 a

2

k x







-2

2 4 6

x

y

2

2 2

x x y x







-2

2 4

x

y

2

2 2

y x







2 Cho hàm   2 3 3

:

1

C y

x



 a

1

m x





-4 -2

2 4

x

y

2

3 3 1

y x

 





-4 -2

2 4

x

y

2

3 3 1

y x

 





3 Cho hàm   4 2

:

1

x x

C y

x





 a

b.< m '  trình x2 m4 x  m 0có

-2

2 4

x y

2

4 1

x x y x







-2

2 4

x y

2

4 1

x x y

x







4 Cho hàm   2 1

:

2

C y

x

 



 1

2 < m '  trình sau có hai 0 phân 0# 2  

x  m x  m 

b Tìm m '  trình sau có sáu 0 phân 0# 2 x3 9x2 12x m 2006)

Dạng 8: CÁC ` W  \

<' I x 0;y0là tâm  C :y f x  

!E% (C) ]#    0 0

' 2 ' 2

 



' 2





DZ" I x 0;y0 là tâm  f x 2y0  f 2x0 x

2

y

x



Tìm giá  %& m '  C m có hai

2 Cho hàm   2 2 2 2

:

1

m

x





< m '  C m có hai

3 Cho hàm 3 2   (m là tham

yx  x m

a Tìm m

<e# a f x 0  fx0, x0 0 … m>0.

4 Cho hàm có Tìm trên (C) hai

3

3

x

y  x  x  C

tung

5 Cho hàm 3 2   Xác

1

y x ax bxc

qua ' M(1;1)

a

b

hàm

&! '!(!%

a D = R.

y' = 3x2 6x = 3x(x  2), y' = 0  x = 0, x = 2.

y" = 6x  6, y" = 0  x = 1.

y' + 0  |  0 +

y"   0 + +

2 d : y  2 = k(x  1)  y = kx  k + 2.

. trình hoành E giao '# x3 3x2 + 4 = kx  k + 2  x3 3x2 kx + k + 2 = 0.

 (x  1)(x2 2x  k  2) = 0  x = 1  g(x) = x2 2x  k  2 = 0

Vì ' > 0 và g(1) } 0 (do k >  3) và x1 + x2 = 2x I nên có %~

Dạng 9: a  BÀI TOÁN LIÊN QUAN  _ b

1 ;1< 1'<cG:

(d) là 0 %Z %& (C)

 

 

0







C M

M MH

2 Cách xác C;1< -!RI 841

a !RI 841 CN1'% lim    : 0

0

x x d x

f

x x











b !RI 841 ngang: lim f x y0  d :y y0

x











c !RI 841 xiên: TCX có  trình: y= x+  trong #

  f x x

x

x

f

x







lim

Các 4 O Y% 0#

2 4

x

y

O

6

4

2

-2

y

x

( d)

( C)

h y   0

g x   0

 

H M

Lop12.net

*Hàm

n

mx

b

ax

y







U$q<# D= R\













m n

U$<#  

m

n x d y

m

n

x















: lim

m

a y d m

a y

x









lim

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-2 -1

1 2 3

x

y

m

a

y

m

n

x 

I

* Hàm

n mx

A x

n mx

c bx ax y















U$q<# D= R\













m n

U$<#  

m

n x d y

m

n x















: lim

+TCX: lim 0  TCX: y= x+ 





 mx n

A

x

-2 -1

1 2 3

x

y



 x

y

m

n

x 

I

1 Cho hàm 2 3 2 2 2  ,

1 3

y





a

2008)

&! '!(!%

2

 

TXĐ: D R  3

2

2

3

y

x

 

 y0

 

 

      

 

     



$0 %Z# 0 %Z đP# x = 3 0 %Z xiên: y = x – 2.

3

lim

3

xx  



lim , lim

     

lim , lim

-3

 

 

2

-12 -10 -8 -6 -4 -2

2

x y

-2 2 4

-6 -4 -2

2

x y

N(2;-5)

M

H

2; (C m) là m) có 0 %Z P d1:x3m0và 0 %Z xiên d2: mx  y 2 0

1

0

3

    

2

cos 45

1

m m



2

m m



2

1

m

    m 1

2 Cho hàm   2  2  Tìm m sao cho

y f x

x

qua

1, 0 2

x

 này có

2

( )

1

y f x

x



a P minh Q tích 63 cách M E ' M L 6m trên (C)  hai 4 4 0 %Z là E

b Tìm ; E ' N !E% (C) sao cho t 63 cách M N   0 %Z ] L

2

( )

1

x mx

y f x

x

 +@ hai K% ; E E tam giác có /0 tích Q 4

6 Tìm m 2 1 có hai 0 %Z P là x=x1 và x=x2 ] mãn

1

x y

x mx





1 2

3 3

1 2

5 35

x x

x x







7 Cho hàm 1 có

1

x y x







a

b Tìm n ' M !E% (C) sao cho t 63 cách M nó  hai 4 0 %Z ] L

8 Cho hàm 2 1 có

2

x y

x







a

b D   trình   !"   %& (H)  giao ' +@ K% tung

c Tìm n ' N (xN >1) !E% (H) sao cho 63 cách M N    !"   V L

HD câu b, c

* 2; M klà giao ' %& (C) +@ K% tung M 0;1  trình   !"  là y3x1 hay

 

3x  y 1 0 

* gL"  0 0   0  0  Khi 

0

3

1

x



3

1 ,

10

x

x

d N



0

3

1

x



 , min  min

d N  g x

* I3 sát hàm  0 0 trên 63 ,

0

3

1

x

, , (lập bảng biến thiên

 

0

3

1

g x

x

 

0

0

0

2

x

g x

x





   



…)

* Do x0 1 nên ta %o Z 0 x0 2 thay vào N ta O%

2; 5

N  N2; 5   min 6 10

,

5



Dạng 10: _ TÍCH W TÍCH

Ứng dụng tích phân (Dạng này thường xuất hiện nhiều trong các đề thi tốt nghiệp)

a !R1 tích

Cho hai hàm 1), (C2) c0 tích hình 5 @  ‚ (C1), (C2) và hai 4 5 x=a, x=b O% tính ‚ công P%#

   

b

a

S  f x g x dx

Chú ý:

7 ! /0 tích  ! các 4 5 x=a, x=b

ta 3 3  trình f(x)=g(x) ' tìm a, b.

b <H tích

$' tích do hình 5 @  ‚

{(C):y=f(x),y=0,x=a,x=b} quay quanh Ox

O% tính ‚ công P%#      

b

a

dx x f

$' tích do hình 5 @  ‚ {(C): x=(y), x=0, y=c, y=d} quay quanh Oy O% tính ‚ công P%#

 





d

c

dy

y

$' tích tròn xoay do hình 5 @  ‚ hai 4 y=f(x), y=g(x) quay quanh Ox

(f(x)g(x), x[a;b]) O% tính ‚ công P%#            

b

a

dx x g x f

*

* *

1

y

x





b Tính /0 tích hình 5 @  ‚ 4 cong (C) và hai K% ; E

c Tìm m

<e# b 1 4 ln4, c

3

S   m1

2

2 3

y x

 





a

b Tính

Dạng 10 này sẽ được trình bày cụ thể hơn trong chuyên đề Tích phânỨng dụng.



x

y

O

f(x)

g(x)

b a

x

y

O

f(x)

(x)

b a

y

d

O

Cho hàm y  f   x

 ! 1: M x 0;y0   C

 Tính  hàm giá...

f x g x

f x g x









1 Cho hàm yx4 2x2

a

b D   trình ... cho   !"  %& (C)  M vng góc +@ 4 5  qua M tâm

6 Cho hàm 3 + mx2 + có m ) Tìm m '' (C m)