+ Trường hợp 2: gx,y=0 kết hợp với phương trình 1 + 2 suy ra nghiệm trong trường hợp này hệ phương trình mới trở về hệ đối xứng loại 1 và thông thường vô nghiệm... Tìm m để hệ phương trì[r]
Trang 1Chuyên đề: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
NHỮNG NỘI DUNG CƠ BẢN
I Hệ phương trình đối xứng loại 1:
Phần 1- Định nghĩa chung: Dựa vào lý thuyết đa thức đối xứng.
Phương trình n ẩn x1, x2, , xn gọi là đối xứng với n ẩn nếu thay x i bởi x j ; x j bởi x i thì phương trình không thay đổi
Khi đó phương trình luôn được biểu diễn dưới dạng:
x1 + x2 + + xn
x1x2 + x1x3 + + x1xn + x2x1 + x2x3 + + xn-1xn
x1x2 x n
Hệ phương trình đối xứng loại một là hệ mà trong đó gồm các phương trình đối xứng
Để giải được hệ phương trình đối xứng loại 1 ta phải dùng định lý Viét
* Nếu đa thức F(x) = a0x n + a1x n 1 + a n , a0 ≠ 0, a i P có nhgiệm trên P là c1, , c n:
(Định lý Viét tổng quát)
1
0
2
0
1 1
0
( 1)
n
n
a
a
a
a
a
c c c
a
Phần 2 – Hệ phương trình đối xứng loại 1 hai ẩn:
A LÝ THUUYẾT
1 Định lý Viét cho phương trình bậc 2:
Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì:
1 2
b
a c
P x x
a
Ngược lại, nếu 2 số x1, x2 có 1 2 thì x1, x2 là nghệm của phương trình X2 SX + P = 0.
1 2
x x P
2 Định nghĩa:
, trong đó
( , ) 0 ( , ) 0
f x y
g x y
f x y f y x
g x y g y x
3.Cách giải:
Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)
Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và S2 4P
Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P rồi dùng Viét đảo tìm x, y.
Chú ý:
+ Cần nhớ: x2 + y2 = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3SP.
+ Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv.
+ Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại 1 sau khi đặt ẩn phụ
4 Bài tập:
Loại 1: Giải hệ phương trình
Ví dụ 1 Giải hệ phương trình
30 35
x y xy
GIẢI
Đặt S x y, P xy, điều kiện S2 4P Hệ phương trình trở thành:
Trang 22
2
30 P
90
S
ìïï = ï
î ïï èïî çç - ÷÷÷ø =
Ûíï = Û íï = Û íï = Úíï =
Ví dụ 2 Giải hệ phương trình 3( 3 ) 2
2
xy x y
GIẢI
Đặt t y S, x t P, xt, điều kiện S2 4P Hệ phương trình trở thành:
Û íï = Û íï = Û íï =
Ví dụ 3 Giải hệ phương trình
1 1
4
4
x y
x y
GIẢI
Điều kiện x 0,y 0
Hệ phương trình tương đương với: 2 2
ï +ç ÷+ç + ÷ =
ïç ÷÷ ç ÷÷
ïí
ïç + ÷÷ +ç + ÷÷ =
ïçè ÷ø çè ÷ø ïî
Đặt S x 1 y 1 , P x 1 y 1 , S2 4P ta có:
=çç + ÷÷÷+çç + ÷÷÷ =çç + ÷÷÷çç + ÷÷÷ ³
2
ï +ç ÷+ç + ÷= ï
î ïïèïîçç + ÷÷øèçç + ÷÷÷ø=
1
x
y
ìïï + =
Û íïïïïïî + = Û íï =ïî
4 (2)
GIẢI
Điều kiện x y, 0 Đặt t xy0, ta có:
2
xy = t (2)Þ + =x y 16 2t -Thế vào (1), ta được:
2
t -32t 128+ = - Û =8 t t 4 Suy ra:
Loại 2: Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) 1 có nghiệm
Phương pháp giải chung:
+ Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)
+ Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và S2 4P (*)
+ Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ điều kiện (*) tìm m.
Chú ý:
Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác điều kiện của u, v.
Ví dụ 1 (trích đề thi ĐH khối D – 2004) Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:
Trang 31
1 3
GIẢI
Điều kiện x y, 0 ta có:
Đặt S = x + y ³ 0, P = xy ³ 0, S2 ³ 4P. Hệ phương trình trở thành:
3
î
Từ điều kiện S ³ 0, P³ 0, S2 ³ 4P ta có 0 m 1
4
Ví dụ 2 Tìm điều kiện m để hệ phương trình 2 2 có nghiệm thực
GIẢI
î Đặt S = x + y, P = xy, S2 ³4P Hệ phương trình trở thành: ì + =ïïíïS PSP= 3m 9m-
ïî Suy ra S và P là nghiệm của phương trình t2 -mt 3m 9+ - = 0
Þ íï = - Úíï =
2 2
-ê
êë
Ví dụ 3 Tìm điều kiện m để hệ phương trình 4 1 4 có nghiệm
3
GIẢI
Đặt u = x 4- ³0, v = y 1- ³ 0 hệ trở thành:
21 3m
2
ì + = ï
Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của t2 4t 21 3m 0 (*)
2
Hệ có nghiệm Û (*) có 2 nghiệm không âm
13 2
3 0
ì
³
Ví dụ 4 Tìm điều kiện m để hệ phương trình 2 2 4 4 10 có nghiệm thực
( 4)( 4)
GIẢI
ì
Trang 4Đặt u =(x 2)+ 2 ³ 0, v =(y 2)+ 2 ³ 0 Hệ phương trình trở thành:
(S = u + v, P = uv)
2
ìï ³
íïï ³
ïïî
Loại 3: Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ phương trình.
Ví dụ Giải phương trình: 3 3 3
1
2
x x
GIẢI
3
x u
1 x v
3
u v
2
3
u v
2 (u v) (u v) 3uv 1
3 u+v = 2 19 u.v = 36
u, v là hai nghiệm của phương trình: 2 3 19
X - X + = 0
9+ 5
u = 12
9 - 5
u = 12
3
3
9 + 5
x =
12
9 - 5
x = 12
Vậy phương trình có hai nghiệm: {x} =
;
B BÀI TẬP
I Giải các hệ phương trình sau:
1
1
5 13
30 35
x y y x
x x y y
4
( 1)( 1) 72
xy x y
2 2
1
1
x y
xy
x y
1 1
4
4
x y
x y
7 1 78
y x
x xy y xy
4
280
x y
10)
2
II Gải hệ phương trình có tham số:
1 Tìm giá trị của m:
a) 5 4 4 có nghiệm
1
Trang 5b) 2 2 2 cú nghiệm duy nhất.
1
x y xy m
x y xy m
c) cú đỳng hai nghiệm
2
4
x y
a Giải hệ phương trỡnh khi m = 5.
b Tỡm cỏc giỏ trị của m để hệ phương trỡnh đó cho cú nghiệm.
x xy y m
a Giải hệ phương trỡnh khi m = 7/2.
b Tỡm cỏc giỏ trị của m để hệ phương trỡnh đó cho cú nghiệm.
x y xy m
a Giải hệ phương trỡnh khi m=2.
b Tỡm cỏc giỏ trị của m để hệ phương trỡnh đó cho cú nghiệm (x;y) với x >0, y >0.
III Giải phương trỡnh bằng cỏch đưa về hệ phương trỡnh:
1 Giải phương trỡnh: 4x 1 418 x 3
2 Tỡm m để mỗi phương trỡnh sau cú nghiệm:
a 1 x 1 x m b m x m x m c 31 x 31 x m
Phần 3 – Hệ phương trỡnh đối xứng loại 1 ba ẩn: (Đọc thờm)
a Định nghĩa: Là hệ ba ẩn với các phương trình trong hệ là đối xứng.
b Định lý Vi-et cho phương trình bậc 3:
Cho 3 số x, y, z có:
x + y + z = α
xy + yz + zx = β xyz = γ
[ X2 - (x + y)X + xy ](X - z) = 0
X3 - X2z - X2(x + y) + (x + y)zX + xyX - xyz = 0
X3 - αX2 + βX - γ = 0.
(*) có nghiệm là x, y, z phương trình X3 - αX2 + βX - γ = 0 có 3 nghiệm là x, y, z.
c.Cách giải:
+ Do các phương trình trong hệ là đối xứng nên ta luôn viết được dưới dạng α, β, γ
Khi đó ta đặt
x + y + z = α
xy + yz + zx = β xyz = γ
Ta được hệ của α, β, γ.
+ Giải phương trình X3 - αX2 + βX - γ = 0 (1) tìm được nghiệm (x, y, z) của hệ.
Chú ý: (1) có nghiệm duy nhất hệ vô nghiệm.
(1) có 1 nghiệm kép duy nhất hệ có nghiệm.
(1) có 2 nghiệm : 1 nghiệm kép, 1 nghiệm đơn hệ có 3 nghiệm.
(1) có 3 ngiệm hệ có 6 nghiệm.
d Bài tập:
Trang 6VD1: Giải hệ: 2 2 2
x + y + z = 2
x + y + z = 6
x + y + z = 8
Giải: áp dụng hằng đẳng thức ta có:
x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 - 2(xy + yz + zx).
x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 - 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz.
Vậy 6 = 22 - 2(xy + yz + zx) xy + yz + zx = -1.
8 = 23 - 3.2.(-1) + 3xyz xyz = -2.
x, y, z là nghiệm của phương trình:t3 - 2t2 - t + 2 = 0
t = 1
t = - 1
t = 2
Vậy hệ có 6 cặp nghiệm (1;-1;2); (-1;1;2); (1;2;-1); (-1;2;1); (2;1;-1); (2;-1;1).
VD2: Giải hệ
x + y + z = 9 (1)
xy + yz + zx = 27 (2)
+ + = 1 (3)
Giải: ĐK: x, y, z ≠ 0 Từ (3) xy + yz + zx = 1
xyz
Do (2) xyz = 27
Vậy hệ
x + y + z = 9
xy + yz + zx = 27 xyz = 27
Do đó (x; y; z) là nghiệm của phương trình: X3 - 9X2 + 27X - 27 = 0
(X - 3)3 = 0
X = 3.
Vậy hệ có nghiệm là (3; 3; 3).
x + y + z = a
x + y + z = a
x + y + z = a
Giải: x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 - 2(xy + yz + zx) xy + yz + zx = 0.
x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 - 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz xyz = 0.
Vậy có:
x + y + z = 0
xy + yz + zx = 0 0
xyz
(x; y; z) là nghiệm của phương trình: X3 - aX2 = 0 X = 0
X = a
Vậy hệ có nghiệm là {(a; 0; 0); (0; a; 0); (0; 0; a)}
e.Chú ý: Có nhiều vấn đề cần lưu ý khi giải hệ loại này
+ Với cách giải theo định lý Vi-et từ hệ ta phải đưa ra được x + y + z; xy + yz + zx; xyz có thể nó
là hệ quả của hệ nên khi tìm được nghiệm nên thử lại.
+ Vì là hệ đối xứng giữa các ẩn nên trong nghiệm có ít nhất 2 cặp nghiệm có cùng x, cùng y hoặc cùng z nên có thể giải hệ theo phương trình cộng, thế.
Trang 7x + y + z = 9 (1)
xy + yz + zx = 27 (2)
+ + = 1 (3)
Gi¶i: Râ rµng x = 0, y = 0, z = 0 kh«ng lµ nghiÖm cña hÖ
Víi x ≠ 0, y ≠ 0, z ≠ 0, nh©n hai vÕ cña (3) víi xyz ta cã xy + yz + zx = xyz (4).
Tõ (1), (5), (6) ta cã: x2(9 - x) + 27 - 27x = 0
x3 - 9x2 + 27x - 27 = 0
Thay x = 3 vµo (1), (5) ta cã: y + z =6 y = z = 3.
yz = 9
VËy hÖ cã nghiÖm lµ x = y = z = 3.
II Hệ phương trình đối xứng loại 2:
1 Hệ phương trình đối xứng loại 2 hai ẩn:
A Định ghĩa:
f x y
f y x
Cách giải: Lấy (1) (2) hoặc (2) (1) ta được: (xy)g(x,y)=0 Khi đó xy=0 hoặc g(x,y)=0.
+ Trường hợp 1: xy=0 kết hợp với phương trình (1) hoặc (2) suy ra được nghiệm.
+ Trường hợp 2: g(x,y)=0 kết hợp với phương trình (1) + (2) suy ra nghiệm (trong trường hợp này hệ
phương trình mới trở về hệ đối xứng loại 1) và thông thường vô nghiệm
B Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình (I)
3 3
GIẢI
Lấy (1) (2) ta được: (x - y)(x + xy + y + 5) = 02 2
3
x = 3x + 8y
x = y
x - 11x = 0
x = ± 11
x = y
x = y
Trường hợp 2: (I) (hệ này vô nghiệm)
3 3
x +xy+y +5=0
x +y =11 x+y
Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm:
(x, y) = (0,0); ( 11, 11); (- 11,- 11)
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình 4
4
1 1
1 1
GIẢI
Đặt:4 x - 1 = u 0; y - 1 = v 0 4
u = 0
v = 0
x = 1
y = 1
Vậy hệ có nghiệm (1,1)
Trang 8Ví dụ 2: Cho hệ phương trình (I)
2 2
a Tìm m để hệ phương trình có nghiệm.
b Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Giải (I)
2 2
x = ± y
x - y = y - y - x + x
x = y - y + m
x = y - y + m
x = y - y + m x - 2x + m = 0
a) Hệ phương trình có nghiệm
' x ' y
m 0
b) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất m = 1.
' x ' y ' x ' y
Δ = 0
Δ < 0
Δ < 0
Δ = 0
1 - m = 0
- m < 0
1 - m < 0
- m = 0
Vậy m = 1.
Ví dụ 3: Giải phương trình:x3 1 2 23 x1.
GIẢI
Đặt 32x - 1 = t 2x - 1 = t3.
3
x + 1 = 2t
t + 1 = 2x
3
x + 1 = 2t (x - t)(x + xt + t + 1) = 0
3
x - 2x + 1 = 0
x = t
(x - 1)(x + x - 1) = 02
x = t
x = 1
- 1 ± 5
x =
2
Vậy phương trình có 3 nghiệm: 1; - 1 ± 5.
2
C Bài tập:
1.Giải các hệ phương trình sau:
1 3
2
1 3
2
x
y x
y
x y
2
2
3 2
3 2
x y
x
y x
y
3 3
1 2
1 2
9 9
2 2
a Giải hệ với m = 0.
b Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
Trang 93 Tỡm m để hệ: cú nghiệm duy nhất.
7 7
4 Giải cỏc phương trỡnh: a x2 x 5 5
b x3 3 33 x 2 2
2 Hệ phương trình đối xứng loại 2, 3 ẩn: (Đọc thêm)
A Dùng chủ yếu là phương pháp biến đổi tương đương bằng phép cộng và thế Ngoài ra sử dụng
sự đặc biệt trong hệ bằng cách đánh giá nghiệm, hàm số để giải.
B Ví dụ:
Giải hệ
2
2
2
x + 2yz = x (1)
y + 2zx = y (2)
z + 2xy = z (3)
Giả bằng cách cộng (1), (2), (3) và lấy (1) trừ đi (2) ta có hệ đã cho tương đương với hệ
2
2
x + 2yz = x (x + y + z) = x + y + z (x - y)(x + y - 2z - 1) = 0
Hệ này đương tương với 4 hệ sau:
x + y + z = 0 (I) x + y + z = 0 (II)
x + y + z = 1 (III) x + y + z = 1 (IV)
Giải (I):
2
x + 2yz = x
2y + z = 0
x = y
2
x + 2yz = x
z = - 2x
x = y
x - 4x = x
z = - 2x
x = y
-1
x = 0 x =
3
z = - 2x
x = y
Vậy (I) có 2 nghiệm (0;0;0); (-1 -1 2; ; )
3 3 3
3 3 3
-1 2 -1
; ;
3 3 3
Hệ (III) có nghiệm (0;0;1); (1 1 1; ; )
3 3 3
Hệ (IV) có nghiệm (0;1;0); (1;0;0).
Vậy hệ đã cho có 8 nghiệm kể trên.
VD2: Giải hệ phương trình:
x + y + z = 1
x + y + z = 1
x + y + z = 1
Trang 10Giải: Hệ
x + y + z = 1 (y - z)(y + z - 1) = 0 (x - z)(x + z - 1) = 0
y=z (I) y = z (II)
z + y 1 = 0 (III) z + y
-x = z
1 = 0 (IV)
x + z - 1 = 0
Giải các hệ bằng phương pháp thế được 5 nghiệm (-1;-1;-1); (0;0;1); (0;1;0); (0;0;1); 1 1 1; ; .
2 2 2
2 2 2
1 1 1
x y
y z
z x
Giải: Xét hai trường hợp sau:
TH1: Trong 3 số ít nhất có 2 nghiệm số bằng nhau:
2 2 2
1 1 1
x x
y z
z x
Tương tự y=z, z=x ta cũng được nghiệm như trên.
TH2 : 3 số x, y, z đôi một khác nhau
Giả sử x>y>z ,xét hàm số f(t) = t2 trên D = 1;
a) z 0, x>y>z0f(x)>f(y)>f(z)y+1>z+1>x+1y>x>z(vô lý) b) z<y<x0f(x)<f(y)<f(z)y+1<z+1<x+1y<z<x(vô lý).
c) x>0>z>-1 f(-1)>f(z) 1>x+1x<0 (vô lý) Vậy điều giả sử là sai.
TH2 vô nghiệm.
2 2 2
2
2
2
x x y y
y y z z
z z x x
Giải:
TH1: Trong x, y, z ít nhất có 2 nghiệm số bằng nhau
Giả sử x = y ta có hệ
3
2
2
x z x z
z x z x
Từ (1) x = 0, x = -1.
x = 0 Thay vào (2), (3) z=0.
Trang 11x = -1 Thay vào (2), (3) vô lý
Vậy hệ có nghiệm (0,0,0)
Nếu y = z hay x = z cũng chỉ có nghiệm (0,0,0).
TH2: 3 số đôi 1 khác nhau.
Từ 2x + x2y = y thấy nếu x2 = 1
± 2 = 0 (vô lý)
1
x y x
Hai phương trình còn lại tương tự ta có hệ phương trình tương đương với:
2
2
2
2 1 2 1 2 1
x y x y z
y z x z
Giả sử x > y > z (*) Xét hàm số:
f(t) = 2 2 xác định trên D = R\ {1}
1
t
t
f’(t) = 2( 2 2 21) 0 với mọi tD
t
t
hàm số đồng biến trên D
f(x) > f(y) > f(z)
y > z > x mâu thuẫn với (*).
Vậy điều giả sử sai Do vai trò x, y, z như nhau.
Vậy TH2 - hệ vô nghiệm
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là (0; 0; 0)
C Bài tập
1
2 2 2
2 3 3(3 x24)242 4 x
2
2 2
Đưa về giải hệ
2 2 2
y x
z y
x z
xyz x y z
yzt y z t
ztx z t x
txy t x y
2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1
x y x y z y z x z
Trang 12III Hệ phương trình đẳng cấp:
, ,
F x y A
G x y B
F kx ky , k F x y G kx ky n , ; , k G x y m ,
2 Cách giải: Đặt y = tx (x ≠ 0) hoặc x = ty (y ≠ 0)
3 Ví dụ:
Giả hệ phương trình: 2 2
GIẢI + Với x = 0: Hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
+ Với x ≠ 0: Đặt y = tx Hệ phương trình tương đương với Lấy (1)(2) ta được:
15t213t+2=0 2;
3
5
t
Với 2: ta có , thay vào (*) ta được nghiệm (3;2), (3;2)
3
2
y x
Với 1: ta có , thay vào (*) ta được nghiệm
5
5
4 Bài tập:
Giải các hệ phương trình sau:
x xy y
IV Một số hệ phương trình khác:
Tổng hợp các kiến thức kết hợp với việc suy luận hợp lý để giải
2 2 2
HD: Biến đổi phương trình xy x y x2 2y2 (x + y)(x 2y 1) = 0 ĐS: x = 5; y = 2.
2
2
2
xy
17 4
5 4 5
1 2
4
2 2
5 4 5
4
2
v xy
3
3
5
1 4
3 25
2 16
y y
Trang 134 .
3
1
y x
HD: (1) x y 1 1 0 ĐS:
xy
4
1
25
y x
y
4
y
2
HD: 3 y x y x 3 y x 16 y x 0 ĐS: 1;1 , 3 1;
2 2
2
2
2
2
2 3
2 3
y
y
x
x
x
y
HD: Tìm cách khử logarit để được: x y ĐS: 1;1 , 2; 2
HD: Đặt t xy , bình phương hai vế phương trình thứ hai tìm được t=3. ĐS: 3;3
10 Tìm m để hệ phương trình này có nghiệm thực.
5
4 m m
Het