Sổ tay công thức toán - vật lí - hóa học: Phần 1

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1.. Nguyễn Thanh Tú..[r]

Trang 1

LÊ QUANG ĐIỆP - BÙI NGỌC LÂM - cù THANH TOÀN

s ổ T A Y C Ô N G TH Ứ C TOÁN-VẬT LÍ

D ù n g c h o h ọ c sin h 10, 11, 12 v à lu y ệ n thi k h ố i A

C ậ p nhật theo ốhương trình hiện hành

*•“ D ễ dàng tra cứ u nhanh kiến thức, cô n g thức khi làm bài

G iớ i thiệu c á c c ô n g thức giảỉ nhanh

!•* Phương p h áp gíảỉ nhanh c á c dạng bài tập

«•* C á c chú ý khi giải bài tập

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

BỒI DƯỠNG TOÁN - LÍ - HÓA CẤP 2+3 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Đóng góp PDF bởi GV Nguyễn Thanh Tú

Trang 2

Chịu trách nhiệm xuất bản:

Giám dổc: ĐINH NGỌC BẢO Tổng biền tập: ĐINH VAN v à n g

Chịu (rách nhiệm vổ nội dung và bản quyền

CÔNG TY TNHH MỘT THÀNH VIÊN SÁCH VIỆT

Ban Biôn tập Khoa h ọ c Tự nhiên

Kỹ thuật vi tỉnh:

THẾ ANH

TRÌNH B À Y BÌA:

SACHVỈETCO

SỔ TAY CÔNG THỨC TOÁN - VẬT LÍ - HOÁ HỌC

- Liên hệ đặt hàng: salesQ sachviB tco.com

- Liên hê b ả n th ảo : co D V riahtesachvistcQ com

- ĐT: 0 8 3 8 7 2 0 8 9 7 - Fax: 0 8 3 8 7 2 6 0 5 2

Mã s ố : 0 2 0 2 1 0 4 3 /1 18 1 PT 2012

ln 2 0 0 0 c u ố n , khổ 19 X 17,5cm tại C ôn g ly in văn Hóa S à i G òn.

Đ ãn g kíKHXB số: 7 8 -2012/C X B /1043-43/Đ H S P n gày 13/01/2Q 12.

In xong và nộp lưu chiểu quý IV năm 2 0 1 2

Trang 3

G P H Ồ N T O Á N

P h ề n I: Đ Ạ I s ô V À G I Ẳ I T Í C H

Chuyên đê 1: PHƯƠNG TRÌNH - BÂT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1 Phương trình bậc hai

a x 2 + bx + c = 0; (a ^ 0) có A ~ b2 - 4ac.

* N ế u b ' = — t h ì A' = ( b ') 2 - ac

* N ế u A > 0; (A' > 0) p h ư ơ n g t r ì n h có 2 n g h iệ m p h ấ n b iệ t:

—b + "VÃ - b '+ r /Ã 7'Ị

- b - V Ã ị 1 1 0“ 1 >

* 2 ■ 2 a ; L "2 “ aa J

* N ế u A = 0; (A' = 0) p h ư ơ n g t r ì n h có n g h iệ m k é p :

x ‘ = x * = ầ ; ( X ẩ = X * = a )

-* N ếư A < 0; (A' < 0) p h ư ơ n g t r ì n h vô n g h iệ m th ự c ắ

* N ế u a x 2 + b x + c = 0 Có 2 n g h iệ m X j , X 2=> th e o đ ịn h lí V i-é t t a có:

íc S s x , + x , = ' b

Trang 4

* P h ư ơ n g t r ì n h có 2 n g h iệ m t r á i d ấ u <=>

* P h ư ơ n g t r ì n h có 2 n g h iệ m c ù n g d ấ u <=>

* P h ư ơ n g t r ì n h có 2 n g h iệ m c ù n g d ư ơ ng <=>

* P h ư ơ n g t r ì n h có 2 n g h iệ m c ù n g â m «■

a * 0

p s=5 < 0 a

a 9* 0

A > 0

p = - > 0

a

f a * 0

A > 0

P = - > 0 a

s - > 0 a

a & 0

A > 0 c

p = - > 0 a

S = - ^ < 0 a

C ác h ằ n g đ ẳ n g th ứ c đ á n g n h ớ : ( a ± b )2 = a 2 ± 2 ab + b 2

( a 2 - b 2) = (a - b ) ( a + b ) (a ± b ) 3 = a 3 ± 3 a 2b + 3 a b 2 ± b 3

( a 3 ± b 3) = ( a ± b ) ( a 2 + a b -4- b 2)

Trang 5

2 D ấu củ ạ b iể u thức

a ) D ấ u c ủ a n h ị th ứ c b ậ c n h ấ t

B iể u th ứ c : f (x ) = a x +• b; ( a 5* 0) là n h ị th ứ c b ậ c n h ấ t.

f (x ) = 0 < = > a x 4 - b - 0 < = > x o = - —

3

b) D ấ u c ủ a ta m th ứ c b ậ c h a i

B iể u th ứ c : fix) = a x 2 + b x + c; (a 5* 0) là ta m th ứ c b ậ c h a i

fl(x) = 0 a x 2 + b x + c = 0

* N ế u A > 0 => P h ư ơ n g t r ì n h có 2 n g h iệ m p h â n b i ệ t x t < x 2

với a

0 t r á i d â u

vớ i a

0 c ù n g d ấ u

vớ i a _^

* N ế u A = 0 ==> P h ư ơ n g t r ì n h có n g h iệ m k é p Xj - x 2 = —

X

* N ế u A < 0 => P h ư ơ n g t r i n h vô n g h iệ m

Trang 6

* B â't p h ư ơ n g t r ì n h d ạ n g : *Jĩ (x ) < g ( x )

g ( x ) > 0

f ( x) > 0

f ( x ) < g 2 (x)

B ấ t p h ư ơ n g t r ì n h d ạ n g : y jf (x ) S: g (x )

T H Ỉ : 0

Ị g ( x ) < 0 T H 2 : í g ( x ) - 0 TH2: R x í ĩ g * (* )

★ B ất dẳng thức Côsi:

a + b

• V a ,b > 0 t a có - > >/ãb , d ấ u x á y r a k h i a = b

• Va, b G M t a có Ị^— > a b , dâ'u ” x ả y r a k h i a - b

• Va, b, c > 0 ta có —— > \Ịàbc <^> + k + c j > abc, dấu xảy r a khi a =5 b = c

• Va, > 0 , (i - ì , n t a có a , + a„ + ẵ H- a

n — > ^ a j a 2 an d ấ u " - " x ả y r a k h i

a i - a 2 = — a n.

★ Bâ't «lẳng thức Bunhỉacopxki:

• Với a, b, c, X, y, 2 là n h ữ n g số b ấ t k i th i t a luòn có: (a x + b y )2 < ( a 2 + b 2) (x 2 + y 2 ) , d ấ u “=”

x ả y r a k h i — = — ễ

Trang 7

(a x + by + czỶ < ( a 2 + b 2 -4- c2) ( x 2 +- y ?ễ + z? ) , d ấ u x ả y r s k h i —

• V ới a , b, c e E v à X, y, 7 > 0 t a luôn có: — + — ->• “ Sĩ ™— —t —.ì— '

rh i

1 Hệ phương trinh bậc n h ấ t hai ẩn

ị a x + ky c trong (55 a> b , c v à a ', b', c/ là các s ố th ư c k h ô n g đ ồ n g th ờ i b ằ n g k h ô n g , [ a x + b y = c

T h e o đ ịn h th ứ c C ra m e : D = a b ; D * c b ; = a c

a ' b' ' X c' b' » y

a ' c'

* N ế u D * 0 th ì h ệ có n g h iệ m d u y n h ấ t: X = y =

-5í-* N ế u D = D x = D - 0 t h ì h ê vô s ố n g h iệ m : 4 c - a x

l y = b

* N ếu

D - 0

D x 7* 0 th ì h ệ đ ã ch o vô n g h iệ m ,

LD y * 0

2 Hệ phương trinh bậc h a i ẩ n đối xứng loại I

' ỉ ( x ;y ) = a

Trang 8

Cách g iả i:

Đ ặ t s = X + y , p = xy, Đ K : s 2 - 4P > 0

(I) <=> -Ị g iải h ệ tìm được s , p K h i đó X, y là n g h iệ m của phương trìn h : [ G ( S ;P ) = 0

X 2 - s x + p = 0 T ìm được n g h iệ m X, y x em x é t điều k iệ n v à k ế t lu ậ n n g h iêm

3 H ệ p h ư ơ n g t r i n h đ ố i x ứ n g l o ạ ỉ I I

C h o h ệ p h ư ơ n g tr ì n h : ị \ a (II )

[ f ( y ; x ) = b

Cách g iả i:

T r ừ h a i p h ư ơ n g t r ì n h c ủ a h ệ cho n h a u t a được:

fí(x;y) - fl[y;x) = 0 <=> ( x - y ) g (x; y ) = 0 <=>

X é t từ n g trư ờ n g h ợ p v à t h a y v à o m ộ t p h ư ơ n g t r ì n h củ a h ệ b a n đ ầ u đ ể g iầ i S au đó k ế t

lu ậ n n g h iệ m n ế u có

4 H ệ p h ư ơ n g t r i n h đ ẳ n g c â p

T ro n g đó f ( x , y ) v à g ( x , y ) đ ẳ n g c ấ p b ậ c k gọi là h ệ đ ẳ n g c ấ p

★ Ltáị ý : H ệ (*) gọi là đ ẳ n g c ấ p b ậ c k n ế u các p h ư ơ n g t r ì n h f(x, y) v à g(x, y) p h ả i là đ ẳ n g

c ấ p b ậ c k fĩx, y) v à g(x, y ) đ ẳ n g c ấ p b ậ c k k h i:

f(x, y ) = m Kf(m x , m y ) v à g(x, y) = m kg(m x, m y)

Trang 9

rìn h :

k ế t

lẳ n g

Cách giải:

• X é t X = 0 th a y v à o h ệ có p h ả i là n g h iệ m h a y k h ô n g

• Với X ^ 0 d ặ t y = tx th a y v à o h ệ t a có

t x ) = a 0 í x k f ( 1; * ) ~ a ( ! )

Ịg (x ; tx ) = b Ị x kg ( l; t) = b (2)

T a th ư c h iệ n c h ia cá c v ế tư ơ n g ứ n g c ủ a (1) v à (2) đươc - , { = — v à g iả i p h ư ơ n g

g ( l ; t ) b

t r ì n h n à y t a dược n g h iệ m t rồ i th a y v à o tìm được n g h iệ m (x; y)

Chuyên đề 5: LƯỢNG GIÁC

| ễ CÁC CÔNG THỨC CÚ BẢN

1 Hộ thức cơ bản

s in 2 X + cos2x = 1

^_ s i n x ( 71 ,

t a n x - — — - X ĩ* — + k ĩt

c o tx = - Ề (x qé kjr)

sin X

ta n x co t X - 1

1 + t a n 2 X =

COS2X

1 +- c o t X = * 1

sin2 X

Trang 10

2 Giá trị cá c hàm lưựng g iá c c ủ a góc (cung) đặc bỉệt:

s in x

co sx

t a n x

c o tx

6

1

2

l ĩ

2

J L

J L

Vã

n

4

2

>/2

2

n

3

Vs

2

1^

2

Vã

~T ~ Vã

G iá t r ị c u n g X C u n g I C u n g II C ư n g I I I C u n g IV

-3 Cung liê n k ế t

a ) H a i c u n g đ ố i n h a u :

b) H a i c u n g b ù n h a u :

c) H a i c u n g p h ụ n h a u : cos

c o s ( - x ) = eosx;

s in ( - x ) = - s in x;

cos(ti — x) = - c o s x ; sin(7i - x) — sin x ;

[ | - x ] = sinx;

ta n ( - x ) = - t a n X ;

co t ( - x ) = - c o t X

t a n (ti - x ) = - t a n X ;

cot (tĩ - x ) = — co t X

(H

Trang 11

d) H a i c u n g h ơ n k é m n h a u n : cos (7t +- x ) = ~ cos X ; t a n (n + x ) = t a n X

s in ( n + x ) = - sin X ; co t (tĩ + x ) = co t X

H ệ q u ả : cos(k.7u + x ) - ( - l ) k -COSX

sin (k rc + x ) = ( ~ l ) k *sinX

t a n (k ít + x ) - t a n X

c o s (k 2 n + x ) = c o s x

s in (k27i + x ) = s in X

c o t(k rt + x ) = co t X

e) H a i cu n g h ơ n k é m n h a u — : cos

i n ( f + x ) =

( H

-= - s in X

t a n

c o t

cosx

- c o t x

~ t a n X

a) C ô n g th ứ c cộng: s i n ( x + y ) = s in x c o s y 4- s in y c o s x

s in ( x - y ) = sin x cos y - s in y cos X

c o s (x + y ) = c o s x c o s y - s in X s in y

c o s (x ~ y ) = c o s x c o s y + s in x s in y

^ t ạ n x i t a n y

l ^ t a n x t a n y

Trang 12

_ \ c o t x c o t y - 1

c ot ( x + y ) = — —

cot X + cot y _, , _ X cot X cot y + 1

cot X — cot y

b) C ô n g th ứ c n h â n đôi: s i n 2 x = 2 s i n x c o s x

c os 2x = cos2x - s i n 2 X = 2cos2x - 1 = 1 “ 2 s i n 2 X.

.L o 2 t a n x

t a n 2 x = g—

1 “ t a n X c) C ô n g th ứ c n h â n 3: s in 3x = 3 s in X - 4 s i n 3 X

c o s3 x = 4 cos3 X - 3 cos X

d) C ô n g th ứ c h a b âc: s in X = ——— ; t a n X = —— -;

cos X - — - ; co t X = -

e) C ô n g th ứ c b iế n đổi t ổ n g t h à n h tíc h :

~ x + y X - y

cos X — cos y = - 2 s i n — —— s i n — ~~~

s ì n X + s i n y - 2 s i n — cos —

X y ỵ — y

s i n X - s i n y - ắ 2 c o s - - s i n — ~ ~

s i n ( x ± y)

t a n X ± t a n y = - — —

c o s x c o s y

s in (x ± y )

c o t X ± c o t y = — — —

-s in x -s in y

Trang 13

(3) cosx + s in X =

(4) cosx - s in X =

H ệ q u ả : (1) s in x + cos X = >/2 s in j

(2) s in x — cos X = 7 2 s in j

V ỗ c o s ^ x - —^

V2 c o s ^ x + — j ỉ) C ô n g th ứ c b iế n đ ổ i tíc h t h à n h tổ n g :

1 r cosẹx.cos y = — Ị_cos(x + y ) + c o s (x y )J

s i n x c o s y = — [ s i n ( x + y ) + s i n ( x - y ) ] cos x s ỉn y = -ỉ-ịj5in(x + y ) “ s i n ( x - y ) j g) C ô n g th ứ c c h ia đ ô i: Ị^Đặt t = t a n —j

H ệ q u ả.ệ N ếu ta đ ặ t t — ta n x

o _ 2 t * o _ 2 t

s in 2x = —3-: t a n 2x - —ỉ

c o s2 x - — -5-; C0t2x

Trang 14

II PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1 Phương trình cơ bán

a) P h ư ơ n g t r ì n h s in : & in X = s in a c» X - a + k 2 7 í

X = n - a 4- k 2 ĩ r( k 6 z ).

Đ ă c b i ệ t : s i n x “ 1 X = —■ + k2rc

2

s in x - - 1 <=> X — — - r + k 2 ĩt

2

s in x = 0 <-> X - kĩT

b) P h ư ơ n g t r i n h cos: co sx = c o s a <=> X = a + k.2ĩĩ x b) P h ư ơ n g t r i n h cos: co sx = c o s a <=> ( k E 1 ắ

|_x = - a + k2n:

Đ ặ c b iệ t: c o s x = 1 <=> X = k 2 ít

cos X = ~ 1 <=> X “ (2 k + l)ĩt - Yà cos x - 0 < = > x - ^ + kn.

2

Đ ã c b iê t: t a n x - l « - x = — + krc

4

t a n x = - l< = > x = ~ “ + k7E

4

ta n x = 0 <=> X kĩi

d) P h ư ơ n g t r ì n h c o ta n : co tx = c o t a <=> X = a + k7ĩ(k e Z ) (x * k n )

Đ ă c b iệ t: co t X = 1 <-> X = — + k7ĩ

4

c o t X = 1 <=> X = — — + kíu

4

co t X = 0 X — ~ + kít.

2

Trang 15

2 Phương trình bậc XI th eo m ột hàm số lượng giác

Cách g iả i: Đ ặ t t = s i n X (h o ặ c cos X , tan X , c o t x) t a có ph ư ơ n g trìn h :

a nt" + a n_1t n 1 + + a 0t° - 0 (n ếu t = sin x ) h o ặ c t = cosx th ì điều k i ệ n củ a t : — 1 < t < 1

3 Phương trinh bậc n h ấ t theo sỉnx và cosx

a s i n x + b c o s x = c (1)

a 2 + b 2 5Ế 0 đ iề u k i ệ n có n g h iệ m : a 2 + b 2 > c2

Cách g iả i: C h ia 2 v ế c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h cho Va^ + b 2 v à s a u đó đư a về p h ư ơ n g t r ì n h

lư ợ n g g iá c cơ b ả n

4 Phương trình đ ẳn g c ấ p bậc hai đối với sỉn x và cosx

a s in 2 X + b s in x.cox + c cos2 X = d

Cách g iả i:

X é t c o s x - 0 <=> X = — + k í t ( k e Z ) có p h ả i là n g h iệ m k h ô n g ?

K ét c o s x 0 C h ia 2 v ế c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h ch o cos2x v à đ ặ t t = t a n X

5 Phương trinh d ạn g

a (sin x ± cos x ) + b sinx cos X = c

Cách g iã i:

Đ ặ t t = s in X ± cos X = \Í2s in Đ K : -y /2 < t < V2)

t2 = 1 ± 2 s in x c o s x => sin x c o sx = ±

2

t 2 - 1

V ậy phư ơ ng t r ìn h đ ã ch o trở t h à n h a t ± b - = c, giải phương t r ìn h bậc 2 th e o t

Trang 16

Chuyên đê 6: Tổ H0P - XÁC SUÂT

I TỔ HỘP

1 Hoán vị:

p n = n! = 1.2 .n (với n e PO , 0! : ^ l ắ

2 Chỉnh hợp: AỈ = 7 n ‘ - (1 < k ^ n ).

(n - k )!

T ín h c h ấ t: P n = A "

3 Tế hợp: c ; = - (nn ' k)i (0 < k < n).

4 Các tính chất: p„ - Aĩ ; Aỉ -Cỉ.k!; ci = c;-k ; c&ỉ + ci_,

5 Nliị thức Niu-tơn:

(a + b)" = c ° a " + CỊìa n l b 1 + c ị a n-2b 2 + + C ”-2a 2bn-2 + c^-|a 1b n

6 H ệ q u ả : * (1 + x)n = c ° + xC* + x2C2 a + + x nc^

* c ° +C* + + C^ = 2"

* c s - c i + c * - , + ( - i ) " c ; =0

7 S ố h ạ n g tổ n g qu át trong kh ai tr iể n (a + b)“ là: Tk+1 =

II XÁC SUẤT

* X ác s u ấ t c ủ a b iế n c ố A: P ( A ) = (o - “ l )

T r o n g đó n ( A ) là sô" p h ầ n tử c ủ a b iế n cô" A, n ( Q ) l à sô"

m ẫ u n

CỊ; ( l < k < n).

“1 + C "a °b n

.a "-k.bk ( n e N * )

p h ầ n tử c ủ a k h ô n g g ia n

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	537,29 KB