Các bất đẳng thức tam giác 6 Phát biểu định lý quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu 7/ Phát biểu định lý quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam g[r]
Trang 1Ôn tập hè Lớp 7 lên 8 Chuyên đề 1 :
Các phép tính trên tập hợp số hữu tỉ.
I Những kiến thức cần nhớ
1 Định nghĩa: Số hữu tỉ là số cú thể viết dưới dạng với a, b Z; b 0.
b
Tập hợp số hữu tỉ được kớ hiệu là Q.
2 Cỏc phộp toỏn trong Q.
a) Cộng, trừ số hữu tỉ:
Nếu ; (a,b,mZ,m0)
m
b y m
a x
m
b a m
b m
a y
m
b a m
b m
a y x y
b) Nhõn, chia số hữu tỉ:
* Nếu
d b
c a d
c b
a y x thỡ d
c y b
a x
* Nếu
c b
d a c
d b
a y x y x thỡ y
d
c y b
a x
1 :
) 0 (
Thương x : y cũn gọi là tỉ số của hai số x và y, kớ hiệu (hay x:y)
y x
Chỳ ý:
+) Phộp cộng và phộp nhõn trong Q cũng cú cỏc tớnh chất cơ bản như phộp cộng
và phộp nhõn trong Z
+) Với x Q thỡ
0
0
x nờu x
x nờu x x
Bổ sung:
* Với m > 0 thỡ
x mmxm
m x
m x m
x
0
0 0
*
y
x y
x
0
0
*
z voi yz xz
y
x
z voi yz xz
y
x
II Bài tập
Bài 1 Thực hiện phộp tớnh bằng cỏch hợp lớ
a)
14
17 9
4 7
5 18
17 125
11
Trang 2b) 1
2
1 2 3
1 3 4
1 4 4
3 3 3
2 2 2
1
1
Bài làm.
a)
125
11 2
1 2
1 125
11 9
4 18
17 7
5 14
17 125
4
1 4
3 3
1 3
2 2
1 2
1 4 ) 3 3 ( ) 2 2 ( ) 1 1
Bµi 2 TÝnh:
) 15 , 25 57 , 28 ( : 84 , 6
4 ) 81 , 33 06 , 34 ( ) 2 , 1 8 , 0 ( 5 , 2
) 1 , 0 2 , 0 ( : 3
3
2 21 4
Bài làm
2
1 7 2
7 13
2 26 2
7 2
13 : 26 2
7 2
1 5
30 : 26
2
7 42 , 3 : 84 , 6
4 25 , 0 2 5 , 2
1 , 0 : 3 : 26
A
*Bµi tËp luþªn
Bài 1: Thực hiện phép tính :
;
7 2 7 2
Bµi 2 : Thực hiện phép tính
a) 1 1 b) c) d)
5 21
8 6
12 4
e) 16 5 f ) g) h)
42 8
1
4 0,4 2
5
7 4,75 1
12
i) 9 35 k) m) n)
1 0,75 2
3
4
o) 2 1 p) q) r)
21 28
33 55
2
26 69
2 4 12
9 18
v) 2 4 1 x)
12 15 10
Bµi 3 Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
a) 1,25 33 b) c) d)
8
9 17
34 4
.
41 5
.
7 2
e) 2 21 11 f) g) h)
7 12
6
3,25 2 10
13
i) 3,8 2 9 k) m) n)
28
8 1 1
15 4
2
5 4
1 2
Bµi 4 Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
Trang 3a) 5 3: b) c) d) e)
2 4
4 : 2
3 1,8 :
4
17 4 :
15 3
12 34 :
21 43
f) 31 : 1 6 g) h) i)
2 : 3
1 : 5
3,5 : 23
5
k) 1 1 4 111 m) n) o)
3
7 55 12
1 : 6
: 5 2
p) 1 . 15 38 q)
15 17 32 17
4 Thùc hiÖn phÐp tÝnh: ( tÝnh nhanh nÕu cã thÓ )
a) 1 1 1 7 b)
i) 3 5 :2 21 8 :2 k)
m) 12.2 8: 31 2 5 .31 n) p)
7 9 2 7 18 2
.13 0,25.6
5.Thùc hiÖn phÐp tÝnh
a) 2 4. 1 3 b)
1 5 11 7
3 6
c) 5 . 3 13 . 3 d)
9 11 18 11
*N©ng cao
Bài 1: Rút gọn biểu thức:
a)
1
2
Bµi 2 Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
Trang 42
Bài 3 Thực hiện phép tính:
3
1 3
1
3
1 3
1 3
1 3
B
b, A=1+5+5 2 +5 3 +5 4 +…+5 49 +5 50
c, A=( 12 1).(12 1).(12 1) ( 12 1)
2 3 4 100
d, A=2 100 -2 99 +2 98 -2 97 +…+2 2 -2
Chuyên đề2:Các bài toán tìm x ở lớp 7
Trang 5A.Lý thuyết:
Dạng 1: A(x) = m (m Q) hoặc A(x) = B(x)
Cách giải:
Quy tắc : Muốn tìm x dạng: A(x) = B(x)
-Ta thực hiện các phép tính ở từng vế (nếu có)
-Chuyển các số hạng chứa x sang một vế,các số hạng không chứa x( số hạng đã biết ) chuyển sang vế ngược lại
-Tiếp tục thực hiện các phép tính ở từng vế (nếu có).Đưa đẳng thức cuối cùng về một trong các dạng sau:
1 x có một giá trị kiểu: ax = b ( a≠ 0) x=
2 x không có giá trị nào kiểu: ax = b ( a = 0)
3 x có vô số giá trị kiểu: ax = b ( a = 0, b = 0)
Sau đây là các ví dụ minh hoạ:
Dạng 2: |A(x)| = B ; ( B ≥ 0)
Cách giải:
Công thức giải như sau:
|A(x)| = B ; ( B ≥ 0) [)
Dạng 3 :|A(x)| = B(x)
Cách giải:
Công thức giải như sau:
1 |A(x)| = B(x) ; (B(x) 0) [)
2 |A(x)| = B(x) ; (B(x) <0) x không có giá trị nào
Dạng 4: + |B(x)| =0||
Cách giải:
Công thức giải như sau:
+ |B(x)| =0 || { = 0)
Dạng5: |A(x)| = |B(x)|
Cách giải:
|A(x)| = |B(x)| [)
Dạng 6: |A(x)| |B(x)| = c (c 0 ; c Q)
Cách giải:
Ta tìm x biết: A(x) = 0 (1) giải (1) tìm được x1 = m
Và tìm x biết: B(x) = 0 (2) giải (2) tìm được x2= n
Rồi chia khoảng để phá dấu GTTĐ ( dấu giá trị tuyệt đối)
TH1 : Nếu m > n x1 > x2 ; ta có các khoảng sau được xét theo thứ tự trước sau: x< x2 ; x2 x < x1 ; x1 x
+ Với x< x2 ta lấy 1 giá trị x = t (t khoảng x< x2;t nguyên cũng được) thay
vào từng biểu thức dưới dấu GTTĐ xem biểu thức đó dương hay âm để làm
căn cứ khử dâú GTTĐ để giải tiếp
+Với:x2 x < x1 hoặc x1 x ta cũng làm như trên
Trang 6TH2 : Nếu m < n x1 < x2 ; ta có các khoảng sau được xét theo thứ tự trước sau: x< x1 ; x1 x < x2 ; x2 x
+ Với x< x1 ta lấy 1 giá trị x = t (t khoảng x< x1;t nguyên cũng được) thay
vào từng biểu thức dưới dấu GTTĐ xem biểu thức đó dương hay âm để làm
căn cứ khử dâú GTTĐ để giải tiếp
+Với:x1 x < x2 hoặc x2 x ta cũng làm như trên
Chú ý:
1 Nếu TH 1 xảy ra thì không xét TH 2 và ngược lại ;vì không thể cùng một lúc xảy ra 2 TH
2 Sau khi tìm được giá trị x trong mỗi khoảng cần đối chiếu với khoảng đang xét xem x có thuộc khoảng đó không nếu x không thuộc thì giá trị x đó bị loại.
3 Nếu có 3;4;5…Biểu thứccó dấu GTTĐ chứa x thì cần sắp xếp các
x 1 ;x 2 ;x 3 ;x 4 ;x 5 ;…Theo thứ tự rồi chia khoảng như trên để xét và giải.Số
khoảng bằng số biểu thức có dấu GTTĐ+1
Dạng 7:(biểu thức tìm x có số mũ) Dạng []n = m hoặc
A(x) = mn
B Bài tập:
DẠNG 1 :
Bài 1 Tỡm x, biết:
;
13
11 28
15 42
5
13
11
x
13
11 28
15 42
5 13
11
x
12 5 42
5 28 15
13
11 28
15 42
5 13
11
x x
x
Bài 2 Tìm x, biết:
3
1 5
2 3
1
5
3 4
1 7
3
x
KQ: a) x = ; b)
-5
2
140 59
*Bài tập luyện
Bài 1: Tìm x biết
Trang 73 2 5 2 2 13 3 5
x b x c x
Bài 2:T×m x biÕt
* N©ng cao
Tìm x, biết
a) x+ (x+ 1) +( x+ 2)+ …+(x+2003) = 2004
c) 3: 12 52 25 d)
D¹ng 2
Bài 1: ×m x biÕt
a)|x–1,7|=2,3;
15
x
Gi¶i
15 28 3
4
6 , 1 5
4
6 , 1 5
4
6 , 1 15
4
75 , 3 15 , 2 15
4
15 , 2 75 ,
3
15
4
15 , 2 75
,
3
15
4
x
x
x
x
x
x
x
x
a) x – 1,7 = 2,3
x- 1,7 = -2,3
x= 2,3 + 1,7
x = -2,3 + 1,7
x = 4
x = -0,6
Bµi 2 : T×m x
Trang 8a) 3 1 0; ) 3 ;1 ) 7 5
2
1 4
3
x
Bµi 3 T×m x
1
5
3 1
4 2
* Bµi tËp n©ng cao:
Bài 1:T×m x
a) 3x 4 3y 5 0
x+ + y+ + z+ £
x+ + y- + x+ + =y z
x+ + y- + z+ £
Bµi 3: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau:
4
A= x- B= 1,5+ 2- x 2 1 107
3
B= x+ + x+ + x+ |x - 1| |x - 4| |1993 - x| |1994 - x|
g) C= x 2 + |y - 2| -5
h) A =3,7 + ; i) B = -14,2 ; k) C = || || |4x - 3| + +17,5 ||
n) M = |x - 2002| + |x - 2001|
*D¹ng 3
Bài 1:T×m x
a) (x – 2) 2 = 1 ; b) ( 2x – 1) 3 = -27; c) 16 1
2n
Bài 2: Tính x2 nếu biết: x 3 ; x 8
* Bµi tËp n©ng cao:
Trang 9Bµi 1:T×m x biÕt
a) (x -)3 =
b) (x +)2 =
c) (x - 1)x+2 = (x - 1)x+6 vµ xZ
Bµi 2 : Tìm x, biết :
a) x 4; (x 1) 2 1; x 1 5
Bµi 3 : Tìm x, biết
a) 2 2
x y
b) 5 (x-2).(x+3) =1
b) -(x-y) 2 =(yz-3) 2
Bµi 3: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau:
a; A = (x4 + 5)2 ; B = (x - 1) (2 + y + 2)2 C= x 2 + |y - 2| -5
DẠNG 4: TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU.
Bài 1: Tìm hai số x, y biết :
a) và x + y = 16 b) 7x = 3y và x – y = – 16.
3 5
x y
c) và a + 2b – 3c = -20 d) và a – b + c = – 49.:
2 3 4
2 3 5 4
a b b c
x
*N©ng cao
x
x
x
2009 2008 2007 2006
x x x x
3, T×m c¸c sè a 1 , a 2 , ,a 9 biÕt: a1 1 a2 2 a9 9 vµ a 1 + a 2 + + a 9 = 90
Trang 10
4,
6,
7,
1, 64
8,
9,
10,
2
x
x
x
x
x x
x
Chuyên đề 3 : tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau
I Toựm taột lyự thuyeỏt:
2/ Baứi taọp:
Bài tập
Baứi 1: Tỡm x trong caực tổ leọ thửực sau:
3,15= 7,2
10,5= x
41
x 10
4
=
e) 2,5:x = 4,7:12,1
+ Tổ leọ thửực laứ moọt ủaỳng thửực giửừa hai tổ soỏ: a c hoaởc a:b = c:d.
b= d
- a, d goùi laứ Ngoaùi tổ b, c goùi laứ trung tổ.
+ Neỏu coự ủaỳng thửực ad = bc thỡ ta coự theồ laọp ủửụùc 4 tổ leọ thửực :
a c a; b b; d c; d
b= d c= d a= c a= b
-+ Neỏu coự a b c thỡ ta noựi a, b, c tổ leọ vụựi ba soỏ 3; 4; 5.
3= 4 = 5 + Muoỏn tỡm moọt thaứnh phaàn chửa bieỏt cuỷa tổ leọ thửực, ta laọp tớch theo ủửụứng cheựo roài chia cho thaứnh phaàn coứn laùi:
Tửứ tổ leọ thửực x a x m.a…
Trang 11Baứi 2: Tỡm x trong tổ leọ thửực:
-= +
2
6 = 25
=
Baứi 3: Tỡm hai soỏ x, y bieỏt: x y vaứ x +y = 40.
7 13=
Baứi 4 : Chửựng minh raống tửứ tổ leọ thửực a c (Vụựi b,d 0) ta suy ra ủửụùc :
b= d
+
= +
Baứi 5 : Tỡm x, y bieỏt :
a) x 17 vaứ x+y = -60 ; b) vaứ 2x-y = 34 ; c) vaứ x 2 + y 2 =100
y = 3
19= 21
9 = 16
Baứi 6 : Ba voứi nửụực cuứng chaỷy vaứo moọt caựi hoà coự dung tớch 15,8 m3 tửứ luực khoõng coự nửụực cho tụựi khi ủaày hoà Bieỏt raống thụứi gian chaỷy ủửụùc 1m 3 nửụực cuỷa voứi thửự nhaỏt laứ 3 phuựt, voứi thửự hai laứ 5 phuựt vaứ voứi thửự ba laứ 8 phuựt Hoỷi moói voứi chaỷy ủửụùc bao nhieõu nửụực ủaày hoà.
HD : Goùi x,y,z laàn lửụùt laứ soỏ nửụực chaỷy ủửụùc cuỷa moói voứi Thụứi gian maứ caực voứi ủaừ chaỷy vaứo hoà laứ 3x, 5y, 8z Vỡ thụứi giaỷn chaỷy laứ nhử nhau neõn : 3x=5y=8z
Baứi 7 : Ba hoùc sinh A, B, C coự soỏ ủieồm mửụứi tổ leọ vụựi caực soỏ 2 ; 3 ; 4 Bieỏt raống toồng soỏ
ủieồm 10 cuỷa A vaứ C hụn B laứ 6 ủieồm 10 Hoỷi moói em coự bao nhieõu ủieồm 10 ?
**Bài tập nâng cao
Bài;1Tìm các số tự nhiên a và b để thoả mãn và (a, b) = 1
28
29 5 6
7
b a
b a
Bài:2: Tìm các số tự nhiên a, b, c, d nhỏ nhất sao cho:
; ;
5
3
b
a
21
12
c
b
11
6
d c
Bài;3:Chứng minh rằng nếu thì (giả thiết các tỉ số đều
d
c b
a
d c
d c b a
b a
3 5
3 5 3 5
3 5
có nghĩa)
Bài;5: Biết
c
bx ay b
az cx a
cy
Chứng minh rằng:
z
c y
b x
a
Bài:6:Cho tỉ lệ thức Chứng minh rằng:
d
c b
a
22 22 và
d
c
b a
cd
ab
2
d c
b a d c
b a
Bài:7:Tìm x, y, z biết:
Trang 12; và
3
2
y
x
5 4
z
y x2 y2 16
Bài; 8:Tìm x, y, z biết và
216
3 64
3 8
2x2 2y2 z2 1
Bài;9: CMR: nếu thì (Giả sử các tỉ số đều có nghĩa)
d
c b
a
bd b
bd b
ac a
ac a
5 7
5 7 5 7
5 7
2
2 2
2
Bài:10: Cho Chứng minh rằng:
d
c b
) (
) (
d c
b a cd
ab
Bài:11:Biết
c
bx ay b
az cx a
cy
Chứng minh rằng:
z
c y
b x
a
Bài:12:Cho a, b, c, d khác 0 thoả mãn: b2= ac ; c2 = bd
Chứng minh rằng:
d
a d c b
c b a
3 3 3
3 3 3
Bài;13: Cho a, b, c khác 0 thoả mãn:
a c
ca c b
bc b a
ab
Tính giá trị của biểu thức: 2 2 2
c b a
ca bc ab M
Bài:14: Tìm tỉ lệ ba đường cao của tam giác biết rằng nếu cộng lần lượt độ dài
từng cặp hai cạnh của tam giác đó thì tỉ lệ các kết quả là 5 : 7 : 8
Bài:15: Tìm x, y, z biết rằng: 4x = 3y ; 5y = 3z và 2x - 3y + z =6
Bài:16: Cho tỉ lệ thức: Chứng minh rằng ta có:
d
c b
a
d c
d c
b a
b a
2003 2002
2003 2002
2003 2002
2003 2002
Bài:17: Tìm x, y biết rằng 10x = 6y và 2x2 y2 28
Bài:18:Cho biết Chứng minh:
d
c b
a
d c
d c
b a
b a
2005 2004
2005 2004
2005 2004
2005 2004
Bài:19: Cho a, b, c là ba số khác 0 và a2 = bc Chứng minh rằng:
b
c a b
c
2 2
2 2
Chuyên đề 4:: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
I/ Hệ thống lý thuyết
1/ Nờu quy tắc cộng hai số nguyờn ( cựng dấu ; khỏc dấu )
2/ Nờu quy tắc nhõn dấu , chia dấu ( cựng dấu , khỏc dấu )
3/ Nờu quy tắc chuyển vế ; quy tắc bỏ dấu ngoặc
4/ Đơn thức là gỡ ? Hai đơn thức đồng dạng? Nờu quy tắc cộng hai đơn thức đồng dạng ?
5/ Nờu quy tắc nhõn hai đơn thức ?
Trang 136/ Đa thức là gì ? Nêu quy tắc cộng trừ hai đa thức ?
Các dạng tốn : Nêu các bước làm từng dạng tốn sau
Dạng 1: Tính hay thu gọn biểu thức ; cộng trừ đa thức một biến
Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức
Dạng 3:Tìm nghiệm của đa thức f (x )
Dạng 4: Tìm bậc của đa thức , hệ số cao nhất , hệ số tự do của đa thức một biến Dạng 5 : Kiểm tra xem x =a cĩ là nghiệm của đa thức P (x ) hay khơng ?
Dạng 6: Chứng minh đa thức khơng cĩ nghiệm ?
II/ BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài tập 1: Tính giá trị của biểu thức sau tại x = 1; y = -1; z = 3
2 2
2x y xyz
Bài 2: Thu gọn các đơn thức:
a) 1 2 2 b) -54y 2 bx ( b là hằng số) c)
xy (3x yz ) 3
2
2
Bài 3: Cho hai đa thức : 5 2 4 3 1
4
4
a) Hãy thu gọn và sắp xếp hai đa thức trên.
b) Tính f(x) + g(x) và f(x) - g(x)
Bài 4: Cho đa thức f(x) = -15x3 + 5x 4 – 4x 2 +8x 2 – 9x 3 – x 4 + 15 – 7x 3
a) Thu gọn đa thức trên.
b) Tính f(1) ; f(-1)
đơn thức: Thu gọn đơn thức, tìm bậc, hệ số.
4x y xy 9x y
x x y x y
đa thức : Bài tập áp dụng : Thu gọn đa thức, tìm bậc, hệ số cao nhất.
A x y x x y x x y x y
B x y xy x y x y xy x y
giá trị của đa thức ( biểu thức):
Bài tập áp dụng :
Bài 1 : Tính giá trị biểu thức
a A = 3x 3 y + 6x 2 y 2 + 3xy 3 tại 1; 1
x y
b B = x 2 y 2 + xy + x 3 + y 3 tại x = –1; y = 3
Bài 2 : Cho đa thức
P(x) = x 4 + 2x 2 + 1;
Q(x) = x 4 + 4x 3 + 2x 2 – 4x + 1;
Trang 14Tính : P(–1); P( ); Q(–2); Q(1); 1
2
Cộng, trừ đa thức nhiều biến:
Bài tập áp dụng:
Bài 1 : Cho đa thức :
A = 4x 2 – 5xy + 3y 2 ; B = 3x 2 + 2xy - y 2
Tính A + B; A – B
Bài 2 : Tìm đa thức M,N biết :
a M + (5x 2 – 2xy) = 6x 2 + 9xy – y 2
b (3xy – 4y 2 )- N= x 2 – 7xy + 8y 2
Cộng trừ đa thức một biến:
Bài tập áp dụng :
Bài 1: Cho đa thức
A(x) = 3x 4 – 3/4x 3 + 2x 2 – 3
B(x) = 8x 4 + 1/5x 3 – 9x + 2/5
Tính : A(x) + B(x); A(x) - B(x); B(x) - A(x);
Bài 2: Cho các đa thức P(x) = x – 2x 2 + 3x 5 + x 4 + x
Q(x) = 3 – 2x – 2x 2 + x 4 – 3x 5 – x 4 + 4x 2
a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức trên theo lũy thừa giảm của biến.
b) Tính P(x) + Q(x) và P(x) – Q(x).
c) Chứng minh rằng x = 0 là nghiệm của P(x) nhưng khơng là nghiệm của Q(x) nghiệm của đa thức 1 biến :
Bài tập áp dụng :
Bài 1 : Tìm nghiệm của đa thức f(x) = x 4 + 2x 3 – 2x 2 – 6x - x 4 +2x 2 -x 3 +8x-x 3 -2
Bài 2 : Tìm nghiệm của các đa thức sau.
f(x) = 3x – 6; h(x) = –5x + 30 g(x)=(x-3)(16-4x)
Bài 3 : Cho đa thức P(x) = mx – 3 Xác định m biết rằng P(–1) = 2
Bài 4 : Cho đa thức Q(x) = -2x 2 +mx -7m+3 Xác định m biết rằng Q(x) cĩ nghiệm là -1.
*Bµi tËp luyƯn
BÀI 1: Tính giá trị của biểu thức: A = 4x2 - 3x -2 tại x = 2 ; x = -3 ; B = x2
+2xy-3x3+2y3+3x-y3 tại x = 2 ; y = -1
x2+2xy+y2 tại x= 2; y = 3; C= 3x2 -2x- 5 tại x= 5/3
BÀI 2: Tính: a) A x2y x2y x2y b)
2
5 5
, 0
4
3 2 3 2 3
BÀI 3: Trong các đơn thức sau: a, b là các hằng số, x, y là các biến:
y x ax
5
4 3
1
4
3 bx ay
4
1 )
ax
15
4 (
8
3 2 3
xy z
xy
E = 6 2 2 4
5
12
.
.
4
1
y x y
x
a) Thu gọn các đơn thức trên
b) Xác định hệ số của mỗi đơn thức