Các bài tập mẫu và lời giải bài tập Xác suất thống kê của thầy Trần Ngọc Hội
Trang 1
BÀI GIẢI
XÁC SUAT THONG KE
Câu 1 Có hai kién hang I và II, mỗi kiện chứa 15 sản phẩm Số sản phẩm tốt có trong kiện I và II lần lượt là 5 và 10 Từ kiện I lấy ra 1 gản phẩm và từ kiện II lấy ra 2 sản phẩm Chọn ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ 3 sản phẩm có được Tính xác suất được ít nhất 1 sản phẩm
tốt
Lời giải
Gọi A là biến cố trong 2 sản phẩm chọn ra sau cùng có ít nhất 1 sản phẩm tốt
A;= 0, 1, 2, 3) là biến cố có j sản phẩm tốt và (3 - j) sản phẩm xấu có trong 3 sản phẩm lấy từ hai kiện I và II Khi đó Ao, Ay, Ao, As
là một hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi Theo công thức xác suất đầy
đủ, ta có P(A) = P(Ao)P(A/Ao) + P(A¡)P(A/A4) + P(A2)P(A/A¿) + P(A;)P(A/Az)
Ta có:
11
P(A/A,) = C102 =2
G3
P(A/A,) = P(A/Ag) = 1
Bây gid ta tinh P(A,); P(Ag); P(As)
- Goi B, G = 0, 1) lan lượt là các biến cố có ¡ sp tốt và (1 — i) sp xau được chọn ra từ kiện I Khi đó Bọ, B; xung khắc và ta có:
P(B,) _ CÓ — 10,
1¬0
Cis 15
- Goi Ơ; 0= 0, 1, 2) lần lượt là các biến cố có j sp tốt và (2 - j) sp xau được chọn ra từ kiện II Khi đó Cọ, C;, C¿ xung khắc và ta có:
0 x2 P(C,) = Cu; _ 10
1 r1 P(C,) = C.C; _ 50
2 \0
45
P(C,) _ CuC: = 105"
Ci
- B; va C; độc lập
- Tổng số sp tốt có trong 3 sp chọn ra phụ thuộc vào các biến cố B,
va C; theo bang sau:
Co | Ci | Ce Bo|O |1 12 Bi{1 [2 [38
Ta có:
A, = BoC, + By Co;
Ay = BoCe + Bi Ci;
A3 = B,Co
Từ đây, nhờ các công thưé cộng và nhân xác suất ta tính được:
P(A,) = P(B,)P(C,) + P(B,)PC,) = =.= + 2 = (À0 BME) + PB INC) = T5-T05 ° 18'10g— 68
P(A,) = P(B,)P(C,) + P(B, )P(C,) = = + = = =
P(A,) = P(B,)P(C,)=-—.-—==
Ae PB CD) TE T05 7
Suy ra xác suất cần tìm là
P(A)= 24451421 =0,8201 6338 9ˆ 7
Câu 2 Có hai máy sản xuất cùng một loại sản phẩm Tỉ lệ sản phẩm loại tốt của máy I là 75%, của máy II là 90% Cho máy I sản xuất 1
Trang 2
gản phẩm, máy II sản xuất 2 sản phẩm Gọi X là số sản phẩm tốt có trong 3 sản phẩm thu được
a) Tìm luật phân phối của X
b) Thông thường trong 3 sản phẩm thu được có bao nhiêu sản phẩm
tốt?
Lời giải
Gọi Xị, X; lần lượt là các ĐLNN chỉ số sp tốt do máy I, máy II sản xuất; do lấy từ lô hàng Khi đó Xị, X: độc lập và ta có:
- Xị có phân phối nhị thức X, ~ Bin, pị); nị = 1; pị¡= 0,75 Cu thể ta có:
P(X, = 0) = Ciptat = 0,25;
P(X, = 1) = C'pia! = 0,75
- X; có phân phối nhị thức X; ~ Bins, pz); ne = 2; pe = 0,9 Cu thể ta có:
P(X, =1) = Copia} = 2.(0,9)(0,1) = 0,18;
P(X, = 2) = Cop2qd = 0,9)? = 0,81
a) Ta có X = Xị + X¿ Luật phân phối của X có dang:
X|0 1 2 8 P| Po pi Pez ps
trong đó:
Po = P(X = 0) = P(X, = 0)PŒ; = 0) = 0,0025;
bị = PŒX = 1)= PŒ¡ = 0)PŒX¿ = 1) + PCR, = DPR = 0) = 0,0525;
Đa= P(X= 2) = P(X, = 0)PŒ%;› = 2) + P(X, = 1)P(X, = 1) = 0,3375;
p3 = P(X = 3) = P(X, = 1)P(X, = 2) = 0,6075
Vậy luật phân phối của X là:
P | 0,0025 | 0,0525 | 0,8375 | 0,6075
b) Từ luật phân phối của X ta thấy Mod(X) = 3 Do đó thông thường trong 3 sản phẩm thu được có 3 sản phẩm tốt
Câu 3 Để theo dõi sự phát triển chiều cao của một giống cây trồng trong một nông trại, người ta quan sát một mẫu và có kết qủa sau:
X(em) 70-74 | 74-78 | 78-82 | 82-86 | 86-90 | 90-94 | 94-98
Lời giải
Ta có:
e Cỡ mẫu la n = 138
e Kỳ vọng mẫu của X là
X= > = 84,0290(cm)
e Phuong sai mau của X là:
§` = —>Xón, - X” =(6,7673)”(em”),
e© Phương sai mẫu đã hiệu chỉnh của X là:
S= —_§ = (6,7919)°(em?)
n —
a) Nếu muốn ước lượng chiều cao trung bình của giống cây trồng trên
với độ tin cậy 99% và độ chính xác 1,4em thì cân phải điều tra
thêm bao nhiêu cây nữa?
Đây là bài toán xác định cỡ mẫu khi ước lượng kỳ vọng của X với
độ chính xác ¢ = 1,4cm va do tin cay y = 1- a = 99% = 0,99
Vi n > 30, o”® = D(X) chua biết nên ta có công thức tính độ chính xác của ước lượng:
Trang 3
3
£=7Z„—=
n
trong đó 0(z„) = y/2 = 0,99/2 = 0,495 Tra bảng giá trị hàm Laplace
ta được z„= 2,58 Suy ra
ne (28) _ Gia ~ 156,66
£ 1,4
Thực tế yêu cầu:
n >[156,66]= 157
Vì nị¡ = 156 > 138 (138 là cỡ mẫu đang có) nên ta cần điều tra thêm
ít nhất là 157 — 138 = 19 cây nữa
b) Những cây trồng có chiều cao từ 86em trở lên được gọi là những cây cao llãy ước lượng tỉ lệ cây cao với độ tin cậy 96% Với độ tin cậy đó, nếu trong nông trại có 10000 cây thì số cây cao tối đa khoảng bao nhiêu?
Đây là bài toán ước lượng khoảng cho tỉ lệ p các cây cao với độ tin cậy y = l- œ = 96% = 0,96 Ta có công thức ước lượng khoảng :
sa, FOB) " [E0 EU)
trong đó o(z„) = y/2 = 0,96/2 = 0,48 Tra bảng giá trị hàm Laplace ta được z„ = 2,06 Mặt khác, trong n = 138 cây có m = 54 cây có chiều cao từ 86em trở lên nên tỉ lệ mẫu cây cao là Fạ = 54/138 = 0,3913
Vậy ước lượng khoảng là:
(0,3913 — 2,06 0,3915 — 0.3913) 0 3913 +92,06 0,39130 — 0,3913)
= (0,3057; 0, 4769) Nói cách khác, với độ tin cậy 96%, tỉ lệ cây cao nằm trong khoảng từ
30,57% đến 47,69%
Khi trong nông trại có 10000 cây, gọi m là số cây cao có trong
nông trại, Ta có tỉ lệ cây cao là m/10000
Số cây cao tối đa có trong nông trại tương ứng với giá trị tối đa của
tỉ lệ cây cao Do đó trước hết ta ước lượng bên trái cho tỉ lệ p các cây cao với độ tin cậy y = 1- a = 96% = 0,96 (œ = 0,04)
Ta có công thức ước lượng khoảng bên trái:
(Cø;E\ +22, [Fo = Fy),
n
trong đó (zg,) = (1- 20)/2 = y /2 = 0,92/2 = 0,46 Tra bang gia tri ham Laplace ta được zs„= 1,75 Suy ra giá trị tối đa của tỉ lệ cây cao
là:
F + 222 hà = 0,8913 +1,75 —ee = 0,4640
n
Như vậy, với độ tin cậy 96%, ta có
< 0,4640 cm < 4640
1000
Vậy với độ tin cậy 96%, sơ cây cao tối đa có trong nông trại là 4640
Câu 4 Năng suất trung bình của giống lúa cũ là 5tấn/ha Năm nay, người ta sử dụng một giống lúa mới Khảo sát 100ha trồng giống lúa mới thì thấy năng suất trung bình đạt 5,2tấn/ha và phương sai
mẫu 0,25tấn”
a) Với mức ý nghĩa 1%, có thể cho rằng giống lúa mới có năng suất cao hơn giống lúa cũ hay không?
b) Một tài liệu cho rằng năng suất trung bình của giống lúa mới là 5,3tấn/ha Hãy nhận định về tài liệu này với mức ý nghĩa 2%
Lời giải
Gọi X là năng suất của giống lúa mới Giả thiết cho ta:
e Cỡ mẫu n = 100
e Kỳ vọng mẫu của X là X = 5,2(tấn/ha)
e Phương sai mẫu hiệu chỉnh của X là SỞ x 0,25(tấn”)
e D6 léch mau hiệu chỉnh của X là 8» 0,ỗ(tấn)
a) Đây là bài toán kiểm định giả thiết về kỳ vọng = MŒX) với mức ý nghĩa œ = 1% = 0,01:
Hạ: = 5 với giả thiết đối Hy: p > 5
Vì n>30; øˆ= DŒK) chưa biết, nên ta kiểm định như sau:
Bước 1: Ta có
„_ (Ä -Hun _ (5,2-5)/100 _
Trang 4
Bước 2: Tra bảng gid tri ham Laplace để tìm zz„ thoả
0(Za„¿) = (1— 2œ}/⁄2 = 0,98/2 = 0,49
ta được Zo = 2,38
Buéc 3: Kiém dinh Vi z = 4 > 2,33 = z, nén ta bac bo giả thiết Ho: u = 5, nghia la chap nhan Hi: p > 5
Kết luận: Với mức ý nghĩa 1%, có thể cho rằng giống lúa mới có năng suất cao hơn giống lúa cũ
b) Đây là bài toán kiểm định giả thiết về kỳ vọng = MŒX) với mức ý nghĩa œ = 2% = 0,02:
Họ: = 5,3 với giả thiết đối H;: h z 5,3
Vì n>30; ø” = DŒX) chưa biết, nên ta kiểm định như sau:
Bước 1: Ta có
„_ (Ä-buNn _ (5,2-5,3100 _
Bước 2: Tra bảng gid tri ham Laplace để tìm zz„ thoả
0(Zz¿) = (1— œ})/⁄2 = 0,98/2 = 0,49
ta được z„= 2,33
Bước 3: Kiểm định Vì Izl = 2< 2,33 = z„ nên ta chấp nhận giả
thiết Hạ: u = 5,3
Kết luận: Với mức ý nghĩa 2%, tài liệu về năng suất trung bình của giống lúa mới là phù hợp
