Chứng minh rằng đường thẳng qua I và trung điểm một cạnh của tứ giác thì vuông góc với cạnh đối diện.. Bài 6.[r]
Trang 1ĐỀ CƯƠNG ÔN TÂP HỌC KÌ I MÔN TOÁN LỚP 10 NÂNG CAO
-- -Phần 1 Lý thuyết
A- Đại số
Chương I Mệnh đề- tập hợp
+ Biết khái niệm về mệnh đề, các loại mệnh đề phức hợp (mệnh đề phủ định, mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương đương, mệnh đề chứa lượng từ) Biết cách xét giá trị chân lý của các mệnh đề đó Chứng minh định lý bằng phương pháp phản chứng
+ Nắm vững định nghĩa tập hợp con, tập hợp bằng nhau, các phép toán tập hợp (giao, hợp, hiệu của hai tập hợp) và làm các dạng bài tập về tập con của R
Chương II Hàm số
+ Biết cách tìm tập xác định, xét tính chất biến thiên của hàm số trên một khoảng, xét tính chẵn, lẻ của hàm số Biết định nghĩa đồ thị của hàm số và cách tìm công thức của hàm số khi cho một đồ thị tịnh tiến theo các véctơ cùng phương với các trục tọa độ
+ Biết cách xét tính biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số y ax 2bx c y ax b , Biết cách sử dụng đồ thị hàm số yf x
để suy ra đồ thị các hàm số y f x ,yf x
, và vận dụng đồ thị để biện luận số nghiệm của các phương trình có dạng f x m
Chương III Phương trình và hệ phương trình
+ Biết rõ định nghĩa phương trình và các phép biến đổi tương đương, phép biến đổi phương trình
hệ quả
+ Giải và biện luận được các phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
+ Biết cách giải một số phương trình đơn giản quy về phương trình bậc nhất, bậc hai như phương trình đa thức bậc ba, bậc bốn (dạng đặc biệt), phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình chứa căn thức, … Giải phương trình bằng các phương pháp đặc biệt như dặt ẩn phụ, đánh giá hai vế…
+ Biết cách giải các hệ phương trình bậc hai đơn giản, hệ phương trình đối xứng
B- Hình học
Chương I Véctơ
+ Phân biệt được véctơ với đoạn thẳng, biết khái niệm hai véctơ cùng phương, cùng hướng, hai véctơ bằng nhau Biết cách dựng tổng, hiệu của hai véctơ, tích của véctơ với một số Nắm được các tính chất về phép toán véctơ và vận dụng giải toán (chú ý các quy tắc 3 điểm cho tổng, hiệu các véctơ, điều kiện cùng phương của hai véctơ, điề kiện ba điểm thẳng hàng)
+ Các dạng bài tập cơ bản: chứng minh đẳng thức véctơ, tìm quỹ tích, dựng điểm thỏa mãn hệ thức véctơ, phân tích véctơ theo cơ sở, chứng minh 3 điểm thẳng hàng…
+ Nắm được định nghĩa tọa độ điểm trên trục, công thức Chales, tọa độ điểm trên mặt phẳng Oxy
và các công thức về tọa độ điểm, tọa độ véctơ
Chương II Tích vô hướng của hai véctơ và ứng dụng.
+ Định nghĩa giá trị lượng giác của góc bất kì, thuộc các công thức cơ bản và biết cách xét dấu các giá trị lượng giác
+ Nắm vững định nghĩa và các tính chất tích vô hướng của hai véctơ Ứng dụng giải bài tập: Chứng minh đẳng thức, hai đường thẳng vuông góc, tính góc giữa hai véctơ, bài tập quỹ tích…
+ Thuộc và biết cách sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác, công thức đường trung tuyến, công thức diện tích Ứng dụng vào giải tam giác, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức về các yếu tố trong tam giác
Lưu ý: Đề kiểm tra học kì I gồm có 2 phần, phần trắc nghiệm có 25 câu (5 điểm) và phần tự luận (5
điểm), thời gian làm bài kiểm tra là 90 phút
-Phần II Bài tập
Trang 2Học sinh nên làm tất cả các bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập Có thể tham khảo thêm một số bài tập sau (Các bài có dánh dấu * dành cho học sinh khá, giỏi)
A- Đại số:
Bài 1 Cho các tập con của R là A=[-2; 3], B ;1 và C=(m+1; m+2) Tìm tất cả các giá trị của m sao
cho:
Bài 2 Cho các tập hợp Ax R / 2 x2 x1 x3 0
và Bx R m x m / 1
1 Hãy biểu diễn tập A trên trục số
2 Tìm tất cảc các giá trị của m để BA
Bài 3 Tìm tập xác định các hàm số sau:
2
1
x
5 4
x
f x
c) 3 2 2 1
6
f x
Bài 4 Cho các hàm số: f x x1 2m 1 3x
và g x 4x m 1
Tìm tất cả các giá trị của m sao cho:
a) Với mọi x nếu f(x) có nghĩa thì g(x) có nghĩa
b) Với mọi x nếu f(x) có nghĩa thì g(x) vô nghĩa
c) Tồn tại x sao cho f(x) và g(x) đều có nghĩa
Bài 5 Xét tính chất biến thiên của các hàm số sau trên các tập D cho trước:
a) f x x2 4x1 ,D2;
b) 1 , 2;
2
x
c) 2 , ; 1
1
x
x
2 , 2;
1
x
x
e) f x x1x D, 1;
f) f x x33x2 4 ,x D R
Bài 6 Xét tính chất chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a) f x 2 x2
b) f x x3 3x
c) f x x2 x1 x2 x 1
3 1 1 3
f x
2 1
x
f x
f)
2
f x
Bài 7 Tìm tọa độ giao điểm các đồ thị hàm số sau:
a) y x 2 x1 , y x 3 3x21 b)
2
2 1
1
x
Bài 8 Cho hàm số y x 2 2m 1x m 1
có đồ thị là (Pm)
a) Tìm quỹ tích các đỉnh của họ parabol (Pm)
b) Tìm m để (Pm) cắt trục Ox tại hai điểm M, N sao cho MN=2
c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số khi m= -1
d) Tìm k để phương trình
2 4
có 4 nghiệm phân biệt
Bài 9 Cho hàm số y ax 2 bx c có đồ thị là parabol (P) đỉnh S(1; -3) và đi qua điểm A(2; -2)
a) Xét tính biến thiên và vẽ (P)
b) Tìm k để các phương trình sau đây có nhiều nghiệm nhất:
i)
2 2 2 1 2
ii)
iii)
Trang 3c) Cho đường thẳngy kx k 1, chứng minh rằng với mọi k đường thẳng luôn cắt (P) tại hai điểm
A, B phân biệt Tìm quỹ tích trung điểm I của AB Tìm giá trị của k để độ dài AB nhỏ nhất
Bài 10 Vẽ các parabol sau đây trên cùng trục số yx2 4x1 , y x 2 2x 3, từ đó tìm tất cả các giá trị của m để phương trình x24x m 1 x2 2x m 3 0
có đúng 3 nghiệm
Bài 11 Giải và biện luận các phương trình sau:
a) 3m 2 x1 m x2 1
b)
2 3
1 1
m x
d) m1x2 2mx m 2 0
e)
2 1
x x
2 1
x m
x
Bài 12 a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, họ các parabol y mx 2 2m1x 3m2
luôn đi qua hai điểm cố định A, B Hãy tính khoảng cách của hai điểm cố định đó
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, họ các parabol y mx 2 2m 1x 3m2
không bao giờ đi qua hai điểm cố định A, B trên đường thẳng y 3 2x Hãy tính khoảng cách của hai điểm cố định đó
c) Cho hàm số
2 2
y
x m
(Cm) và điểm A(a, b) với a, b cho trước Hỏi có bao nhiêu đồ thị của (Cm) đi qua A?
Bài 13 1 Tìm những điểm mà họ đồ thị sau luôn không đi qua:
a) ym1 x2 2mx 3m2
b)
1
y
x
2 Tìm những điểm cố định của họ đồ thị sau:
a) y=(3m-1)x+2m+5 b) y=(m+1)x2 +2mx -3m+4 c) y= mx− 2m −7
y=(m−1)|x|− 2m
x2
+√x+1
Bài 14 Cho phương trình: x2 2m1x m 1 0
.Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn
1) 2 nghiệm cùng âm
2) x1=2x2
3) x +1=2x2
4) x1x22 0
5) x12x22 x x1 2 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 15 Cho phương trình: x2 m2x3m 1 0
1) Giả sử phương trình có 2 nghiệm là x1 và x2
a) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 độc lập với m
b) Lập phương trình bậc hai theo tham số m nhận
;
làm nghiệm
2) Tìm m để :
5 2
3) Lập phương trình bậc hai nhận 2 nghiệm là x1-2 và x2-2 từ đó suy ra giá trị của m để phương trình bài ra có 2 nghiệm lớn hơn 2
Bài 16 Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai và thỏa mãn điều kiện:
Trang 4
2 1
1) Lập phương trình bậc hai nói trên
2) Tìm m sao cho: x12x22 2
Bài 17 Cho các số a, b, c thỏa mãn hệ điều kiện:
4 4
a b c
ab bc ca
1) Lập phương trình với tham số c nhận 2 nghiệm là a, b
2) Chứng minh rằng:
8 0
3
c
Bài 18 Giải các phương trình sau:
a) 2x1 3 x 1 2 4x b) 2x 5 2 x1 4 x
c) x3 4 3 2 x 1 x d) x4 4x3x2 4x 1 0
e) x4 5x310x 4 0 f)x2 3x12 3x2 3x x 3
g) x14x34 82
h) x1 x 2 x3 x 4 144
i)
1 2 4 3
x
Bài 19 Cho hai phương trình x2 x m0 và x2mx 1 0 Tìm m để hai phương trình nói trên có nghiệm chung; tương đương
Bài 20 Cho hệ phương trình:
1 Giải và biện luận hệ phương trình trên
2 Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) sao cho
a) x và y đều dương
b) x+y = 2
3 Tìm các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm (x;y) là cặp số nguyên
4 Tìm hệ thức liên hệ giữa x;y độc lập với m
Bài 21 Cho hệ phương trình
1 Giải và biện luận hệ phương trình
2 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x, y) sao cho:
a) x +y =3
b) x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 22 Giải các hệ phương trình sau:
a) 2 2
5 5
x y xy
12 10
xy x y
8
x y
2 2
2 3 0
2 3 0
e)
3
3
3 2
3 2
3 3
3 3
1 2 1 2 1
2 1 1 2 7
Bài 23 Cho hệ phương trình:
4 4
Trang 51) Giải hệ phương trình khi m = 7
2) Tìm m để hệ phương trình có duy nhất nghiệm
Bài 24 Cho hệ phương trình: 2 2 2
2 1
2 3
Tìm a để hệ phương trình có nghiệm và tích xy đạt giá trị nhỏ nhất
B- Hình học.
Bài 1 Cho 4 điểm phân biệt A, B, C, D có M, N là trung điểm của AB, CD.
a) Chứng minh rằng: AD BC 2MN
b) Lấy các điểm I, J thỏa mãn: IA xID 0
và JB xJC 0
Chứng minh rằng MN đi qua trung điểm của IJ
Bài 2 Cho tam giác ABC trực tâm H, nội tiếp đường tròn (O).
a) Chứng minh rằng: OA OB OC OH
b) Qua các đỉnh A, B, C kẻ các đường thẳng song song với nhau các đường tròn (O) tại điểm thứ hai
là A’, B’, C’ Chứng minh rằng trực tâm các tam giác ABC’, BCA’, CAB’ thẳng hàng
Bài 3 Cho tam giác ABC có đường cao AH, gọi M, N là trung điểm BC, AH Trên cạnh AC lấy điểm K,
gọi L là hình chiếu của K trên BC, đường thẳng qua K song song với BC cắt cạnh AB tại S Chứng minh rằng MN đi qua trung điểm của LS
Bài 4 Cho tam giác ABC trọng tâm G Gọi I là điểm thỏa mãn: IA2IB3IC0
a) Hãy trình bày cách dựng điểm M
b) Chứng minh rằng 2 3
MCA MAB MBC
c) Gọi J là điểm đối xứng của I qua G Chứng minh rằng 3JA2JB JC 0
Bài 5 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Gọi G là điểm thỏa mãn GA GB GC GD 0
, I là điểm đối xứng của O qua G Chứng minh rằng đường thẳng qua I và trung điểm một cạnh của tứ giác thì vuông góc với cạnh đối diện
Bài 6 Cho tam giác ABC đều cạnh là a có tâm O.
a) Tính OA OB OB OC OC OA. . .
b) Chứng minh rằng MA MB MB MC MC MA . . .
không đổi khi M chạy trên đường tròn (ABC) c) Lấy I, K thỏa mãn AB 3AI
, AK x AC
Tìm x sao cho BK và CI vuông góc
Bài 7 Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH Gọi D là hình chiếu của H lên AB Chứng minh rằng
đường thẳng qua A và vuông góc với CD đi qua trung điểm của HD
Bài 8 * Cho tứ giác ABCD có AC, BD cắt nhau tại O Gọi M, N là trọng tâm hai tam giác OAB, OCD còn
P, Q là trực tâm tam giác OAD, OBC Chứng minh rằng MN vuông góc với PQ
Bài 9 * Cho tứ giác ABCD nội tiếp được Chứng minh rằng: AB CD AC BD
Bài 10 Cho ABCD là hình chữ nhật, chứng minh rằng với điểm M bất kì thì MA2 +MC2 =MB2 +MD2
Bài 11 Cho tam giác ABC có trọng tâm G, Chứng minh rằng:
a)
3
b) Với M bất kì thì
3
Bài 12 Cho tam giác vuông cân ABC đỉnh A, lấy M, N là các điểm thỏa mãn BC3BN AM, x AB
a) Tính góc hợp bởi hai đường thẳng AM, CN khi x= ½
b) Tìm x sao cho góc hợp bởi hai véctơ AM CN,
là 450
Trang 6Bài 13 Cho tam giác ABC có A45 ,0 B75 ,0 c 6 Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác, bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp và diện tích tam giác
Bài 14 Cho tam giác ABC có cotA2 cot BcotC
Chứng minh rằng hai đường trung tuyến xuất phát
từ B, C vuông góc với nhau Tìm giá trị nhỏ nhất của cosA
Bài 15 Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh thỏa mãn a4 b4c4
Chứng minh rằng tam giác có ba góc nhọn và tan tanB C2sin2 A
Bài 16 Cho tam giác ABC không phải tam giác cân tại A và thỏa mãn: bm b cm c
Chứng minh rằng: b2c2 2a2 và tam giác ABC có hai góc không vượt quá 600
Bài 17 Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:
a)
cot
4
gA
S
b)
cot cot cot
4
S
c) a2cotgA b 2cotgB c 2cotgC 4S
Bài 18 * Cho tam giác ABC có M, N, P là trung điểm các cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng:
cotAMB+cotBNC+cotCPA=0
Chứng minh rằng công thức trên cũng đúng nếu M, N, P là các điểm trên các cạnh BC, CA, AB mà đường thẳng qua các điểm này tương ứng vuông góc với BC, CA, AB đồng quy
Bài 19 * Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta luôn có:
a) a2b2c2 4S 3
b) xa2yb2zc2 4S xy yz zx trong đó x, y, z có 2 trong 3 số x+y, y+z, z+x dương
c)
2 3
Bài 20 * Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), điểm M bất kì nằm trong tam giác Các đường thẳng
AM, BM, CM cắt đường tròn tại điểm thứ 2 là D, E, F Chứng minh rằng:
a)
DEF
ABC
b) Nếu M trùng với trọng tâm tam giác ABC thì S DEF S ABC