“phương pháp diện tích trong giải toán hình học

Nói riêng về phần diện tích đa giác cũng gặp một số khó khăn nhất định, giáo viên thì chưa có chú ý đúng mực trong giảng dạy, học sinh chưa thành thạo vận dụng diện tích để giải bài toán

A PHẦN MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1 Thực trạng giảng dạy toán tại trường THCS Yên Đồng

Trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng HSG tại trường THCS Yên Đồng, chúng tôi thấy có nhiều học sinh chưa đạt được kết quả mong muốn, có

cả kết quả yếu kém

Nói riêng về phần diện tích đa giác cũng gặp một số khó khăn nhất định, giáo viên thì chưa có chú ý đúng mực trong giảng dạy, học sinh chưa thành thạo

vận dụng diện tích để giải bài toán Học sinh mới chỉ vận dụng diện tích trong

trường hợp đơn giản mà chủ yếu là những bài tập thuần túy về diện tích Trong

thực tế thì có nhiều dạng bài tập có vẻ như không liên quan gì đến diện tích

nhưng lại có thể giải bằng phương pháp diện tích rất có hiệu quả mà học sinh

không được biết, vì thế đã gặp nhiều khó khăn để tìm lời giải bằng phương pháp khác

Tìm hiểu trong thực tế, chúng tôi thấy các nguyên nhân sau:

Về phía học sịnh: Có em không nhớ một số kiến thức cơ bản, có em chưa biết đến bài toán cơ bản có nhiều ứng dụng, có em thì khả năng suy luận yếu,

các thao tác tư duy cơ bản chưa thành thạo, có em thì lười học, có em thì đạo

đức yếu, gia đình thiếu quan tâm…

Về phía giáo viên: Đa số giáo viên toán trường THCS Yên Đồng có ý

thức tự bồi dưỡng thường xuyên để nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ

Phương pháp giảng dạy đã có sự đổi mới theo hướng tích cực hóa các hoạt động

của học sinh, song bên cạnh đó vẫn còn gặp khó khăn trong công tác giảng dạy

và giáo dục học sinh Đặc biệt trong bồi dưỡng học sinh giỏi giáo viên chưa xác

định rõ trọng tâm kiến thức cần phải bồi dưỡng, vì thế đã giảng dạy tràn lan,

không có hiệu quả, còn học sinh thì vất vả tiếp thu bài giảng của giáo viên Từ

đó mà kết quả học tập của học sinh chưa được như mong muốn

2 Giải pháp

Dạy toán phải nhằm mục đích đào tạo con người năng động, sáng tạo Học sinh phải biết phương pháp học tập và nghiên cứu bộ môn Quá trình tìm lời giải cho một bài toán yêu cầu phải có khả năng phán đoán và tư duy nhạy bén, trong đó có hai điều kiện quan trọng phải có, đó là:

Nắm được kiến thức cơ sở: bao gồm các kiến thức cơ bản (định nghĩa,

định lý, tính chất, quy tắc, công thức, thuật toán); các bài toán cơ bản (bài toán

mà ở đó có kết quả hoặc phương pháp giải của nó có thể vận dụng để giải các bài toán khác)

Nắm được phương pháp suy luận: bao gồm các thao tác tư duy cơ bản

(phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa,…); các phương

pháp vận dụng kiến thức cơ sở để giải quyết một bài toán

Khi gặp một bài toán thì đòi hỏi phải biết phân tích, tìm hiểu bài toán và huy động được các kiến thức cơ sở có liên quan đến bài toán, từ đó giúp ta nhìn

nhận bài toán một cách đúng đắn, rồi đi đến phương pháp giải bài toán đó

Từ những tư tưởng nêu trên, chúng tôi thấy cần phải giúp học sinh nắm

được kiến thức cơ bản và phương pháp vận dụng để giải toán Chương trình

toán lớp 8, chúng tôi thấy phần diện tích đa giác và phương pháp vận dụng diện

tích đa giác là một mảng kiến thức cơ bản quan trọng, có nhiều ứng dụng kể cả

trong thực tiễn đời sống và trong toán học Có nhiều bài toán giải bằng phương pháp diện tích dễ hơn, sáng tạo hơn phương pháp khác Do đó chúng tôi chọn đề

tài nghiên cứu là “Phương pháp diện tích trong giải toán hình học”

II ĐỐI TƯỢNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1 Đối tượng nghiên cứu

Diện tích đa giác và phương pháp vận dụng diện tích đa giác trong giải toán hình học lớp 8

2 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, cắt ghép hình III PHẠM VI VÀ MỤC ĐÍCH

1 Phạm vi: Do có sự hạn chế về thời gian nên đề tài chỉ đề cập đến phương

pháp diện tích trong giải toán hình học 8

2 Mục đích: Thực hiện đề tài này nhằm chia sẻ, trao đổi về chuyên môn với

đồng nghiệp, giúp giáo viên nâng cao hơn về trình độ chuyên môn về phần diện tích trong hình học Học sinh nắm được khái niệm diện tích và phương pháp vận dụng diện tích trong giải toán

B PHẦN NỘI DUNG

I ĐẶC ĐIỂM CHƯƠNG TRÌNH, SÁCH GIÁO KHOA HÌNH HỌC 8

Không xây dựng hình học như một khoa học suy diễn thuần túy (tức là

không xuất phát từ một hệ tiên đề rồi bằng các chứng minh chặt chẽ để đi đến các định lí, tính chất)

Giảm nhẹ chứng minh, nhưng yêu cầu rèn luyện suy luận chứng minh tăng dần Giúp học sinh khả năng phát triển tư duy lôgic, khả năng diễn đạt chính xác ý tưởng của mình, khả năng tưởng tượng và bước đầu hình thành cảm xúc thẩm mỹ qua học tập môn toán

Không dạy hình học không gian mà chỉ giúp học sinh nhận biết một số vật thể trong không gian, qua đó dần hình thành một số khái niệm cơ bản của hình học không gian

II PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC

1 Định hướng cơ bản của phương pháp diện tích

1.1 Vận dụng khái niệm diện tích đa giác và các tính chất của diện tích đa

- Nếu một đa giác được chia thành những đa giác không có điểm trong chung thì diện tích của nó bằng tổng diện tích của những đa giác đó

- Nếu chọn hình vuông có cạnh là 1cm, 1dm, 1m,… làm đơn vị đo diện tích thì đơn vị diện tích tương ứng là 1cm2, 1dm2, 1m2,…

1.2 Phương pháp cắt ghép hình

1.3 Phương pháp vẽ một đa giác có diện tích bằng diện tích của một đa giác

cho trước

1.4 Xây dựng công thức tính diện tích của một số đa giác đặc biệt và vận

dụng

1.5 Rèn luyện suy luận chứng minh và phương pháp tính

2 Xây dựng công thức tính diện tích của một số đa giác đặc biệt

2.1 Công thức tính diện tích hình chữ nhật

Ta thừa nhận công thức tính diện tích hình chữ nhật:

.

ABCD

S = AB BC ab=

GV đặt câu hỏi: Từ công thức tính diện tích hình chữ

nhật, có suy ra công thức tính diện tích hình vuông, tam giác

vuông không?

b

a

C D

HS thực hiện:

Hình vuông ABCD có cạnh bằng a cũng là hình chữ

nhật, nên ta có: S ABCD = AB BC = a.a=a 2

Từ tam giác ABC vuông tại B, AB=a, BC=b, ta vẽ hình

chữ

nhật ABCD, khi đó ta có:

ABC ADC S S

2

S =S +S = S

1 2

2

a

C D

b

a

C D

2.2 Công thức tính diện tích tam giác

GV đặt câu hỏi: Ta đã biết công thức tính diện tích tam

giác vuông, với tam giác nhọn, tam giác tù thì sao?

Giáo viên cho học sinh vẽ tam giác nhọn ABC, đường cao

AH Yêu cầu HS quan sát hình và nhận xét?

HS nhận xét khi vẽ đường cao AH, tam giác ABC được

h

a H

A

chia thành hai tam giác vuông AHB và AHC

GV yêu cầu HS tính diện tích tam giác ABC?

S =S +S = AH BH+ AH CH = AH BC = ah

Giáo viên cho học sinh vẽ tam giác tù ABC, C là góc tù, đường cao AH Yêu cầu HS quan sát hình và nhận xét?

HS nhận xét khi vẽ đường cao AH, tam giác vuông AHB được chia thành hai tam giác, gồm tam giác vuông AHC và tam giác tù ABC

GV yêu cầu HS tính diện tích tam giác ABC?

HS thực hiện:

S S S AH BH AH CH AH BC ah

GV yêu cầu HS tổng quát hóa từ các trường hợp trên, hãy

rút ra công thức tính diện tích tam giác?

HS thực hiện: Với tam giác ABC bất kỳ, đường cao AH, ta có công thức tính diện tích như sau:

ABC

S = AH BC= a h (trong đó BC=a, AH=h)

Xây dựng công thức tính diện tích tam giác bằng phương pháp cắt ghép hình

GV hướng dẫn HS xây dựng công thức tính diện tích tam giác bằng phương pháp cắt ghép hình GV giao cho các nhóm HS tấm bìa hình tam giác

(đủ các dạng tam giác vuông, nhọn, tù), kéo, băng dính và yêu cầu HS cắt tấm bìa hình tam giác thành các mảnh để ghép lại thành một hình chữ nhật? Từ kết quả nhận được, hãy đưa ra công thức tính diện tích tam giác?

HS thực hiện:

Nhóm 1 (tam giác nhọn)

Cắt một tam giác nhọn thành ba mảnh gồm 1 hình thang và 2 hình tam giác vuông rồi ghép lại được một hình chữ nhật có kích thước là a và h/2

Từ kết quả trên, cho thấy diện tích hình tam giác bằng diện tích hình chữ nhật, tức là 1 .

2

ABC

S = a h

h

B

A

C

a h

a

E

I

H

I

H A

C B

A

C B

Qua hoạt động này, HS có thể tìm ra một cách khác để chứng minh công

thức tính diện tích tam giác nhọn (dựng hình chữ nhật có diện tích bằng diện

tích hình tam giác) Cụ thể như sau:

Dựng hình chữ nhật BCED sao cho đường thẳng DE trùng với đường trung bình MN của tam giác ABC Khi đó đường cao AH ⊥ DE tại I trung điểm của AH, BD=AH/2=h/2

Ta có ∆BDM=∆AIM, ∆CEN=∆AIN ⇒S BDM =S AIM, S CEN =S AIN

1 2

Nhóm 2 (tam giác nhọn)

a/2

h

a a

h

E N

D M

E D

H H

C B

Cắt một tam giác nhọn thành ba mảnh gồm 1 hình ngũ giác và 2 hình tam giác vuông rồi ghép lại được một hình chữ nhật có kích thước là a/2 và h

Từ kết quả trên, cho thấy diện tích hình tam giác bằng diện tích hình chữ nhật, tức là 1 .

2

ABC

S = a h

Nhóm 3 (tam giác vuông)

Cắt một tam giác vuông thành 2 mảnh gồm

1 hình thang vuông và 1 hình tam giác vuông rồi

ghép lại được một hình chữ nhật có kích thước là

c và b/2

Từ kết quả trên, cho thấy diện tích hình tam

giác bằng diện tích hình chữ nhật, tức là

1

.

2

ABC

S = b c

b/2

c b

c

P N M

N M

C

C

Nhóm 4 (tam giác tù)

Cắt một tam giác tù thành 2 mảnh gồm 1 hình thang và 1 hình tam giác vuông rồi ghép lại được một hình bình hành có hai cạnh là a và c/2 Cắt hình bình hành nhận được thành 2 mảnh gồm 1 hình thang vuông và 1 hình tam giác vuông rồi ghép lại ta được một hình chữ nhật có kích thước là a và h/2

Từ kết quả trên, cho thấy diện tích hình tam giác bằng diện tích hình bình hành và diện tích hình chữ nhật, tức là 1 .

2

ABC

S = a h

h/2

a a

h

a

A

B

A

B

A

B

2.3 Công thức tính diện tích hình thang

GV cho hình thang ABCD, AB//CD Hãy chia hình thang ABCD thành 2 tam giác rồi tính diện tích hình thang theo hai đáy và đường cao?

Xây dựng công thức tính diện tích hình thang bằng phương pháp cắt ghép hình

GV hướng dẫn HS xây dựng công thức tính diện tích hình thang bằng phương pháp cắt ghép hình GV giao cho các nhóm HS tấm bìa hình thang, kéo,

băng dính và yêu cầu HS cắt tấm bìa hình thang thành các mảnh để ghép lại

thành một hình chữ nhật? Từ kết quả nhận được, từ đó hãy đưa ra công thức tính diện tích hình thang?

HS thực hiện cắt ghép hình:

HS thực hiện:

Kẻ đường chéo AC, khi đó hình thang ABCD được

chia thành hai tam giác không có điểm trong chung Ta

có:

1 2

ADC

S = AH CD, 1 .

2

ABC

S = AH AB

1 2

C

D H

h h

b a

S

N Q

O N

G F

G F

B A

Từ kết quả ghép hình, HS thấy rằng diện tích hình thang bằng diện tích hình chữ nhật, kích thước hình chữ nhật nhận được là h và

2

a b+ Ta có:

.

2

ABCD

a b

=

Từ cách cắt ghép này, HS sẽ tìm được một cách khác để chứng minh công

thức diện tích hình thang (dựng hình chữ nhật có kích thước bằng chiều cao và

độ dài đường trung bình của hình thang, sau đó chứng minh hai hình có diện tích bằng nhau)

GV yêu cầu HS từ công thức tính diện tích hình thang, hãy suy ra công

thức tính diện tích hình bình hành ABCD?

HS thực hiện:

Vì hình bình hành cũng là hình thang nên ta có:

1 2 1

2

ABCD

S AH AB CD

AH AB AB AH AB

C

D H

HS có thể thực hiện việc cắt ghép hình để tìm ra công thức tính diện tích hình bình hành

2.4 Công thức tính diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc

GV cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc tại H Hãy tính diện tích tứ giác ABCD theo AC và BD?

HS thực hiện:

Đường chéo BD chia tứ giác ABCD thành hai tam

giác không có điểm trong chung Ta có:

1 .

2

ADB

S = AH BD, 1 .

2

DCB

S = CH BD

.

S S S AH BD CH BD

AH CH BD AC BD

H A

C

HS có thể thực hiện việc cắt ghép hình để tìm ra công thức tính diện tích

tứ giác có hai đường chéo vuông góc (tương tự như đã làm ở trên)

GV yêu cầu từ công thức tính diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông

góc, hãy suy ra công thức tính diện tích hình thoi ABCD?

HS thực hiện:

Vì hình thoi có hai đường chéo vuông góc,

nên tương tự theo cách tính trên, ta có

1 2

ABCD

S = AC BD

GV đặt câu hỏi: Còn công thức nào khác để

tính diện tích hình thoi không?

H

C

O

A

HS có thể tính diện tích hình thoi theo công thức tính diện tích hình bình hành, S ABCD =AH CD.

HS có thể thực hiện việc cắt ghép hình để tìm ra công thức tính diện tích hình thoi (tương tự như đã làm ở trên)

3 Một số kết quả có nhiều ứng dụng (bài toán có nhiều ứng dụng)

3.1 Tam giác ABC, có M nằm trên cạnh BC (M khác B và C)

Ta có ABM

ACM

S ==== CM , đặc biệt nếu M là trung điểm của BC thì S ABM ====S ACM

3.2 Tứ giác ABCD là hình thang (AB//CD) Ta có: S ACD =S BCD

3.3 ABCD là hình bình hành, M là điểm bất kỳ trên cạnh AB

Khi đó ta có 1

2

MCD ABCD

3.4 Tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC Khi đó ta có

1 4

AMN

ABC

S

S ====

3.5 Hai tam giác có tỉ số các cạnh tương ứng bằng k thì tỉ số diện tích của

hai tam giác bằng k 2

4 Một số dạng bài toán giải bằng phương pháp diện tích

4.1 Dạng bài về cắt và ghép hình, vẽ một đa giác có diện tích bằng diện tích của một đa giác cho trước

Bài 1 (Bài 11 SGK) Cắt hai tam giác vông bằng nhau từ một tấm bìa Hãy ghép

2 tam giác đó đề tạo thành:

a) Một tam giác cân b) Một hình chữ nhật c)Một hình bình hành

Diện tích của

các hình tam giác

cân, hình chữ nhật,

hình bình hành đều

bằng nhau, vì chúng

cùng bằng hai lần

diện tích tam giác

vuông

Các hình tam giác cân, hình chữ nhật, hình bình hành đã

được ghép từ hai tam giác vuông bằng nhau

Bài 2 (Bài 33 SGK) Vẽ hình chữ nhật có một cạnh bằng đường chéo của một

hình thoi cho trước và có diện tích bằng diện tích của hình thoi đó Từ đó suy ra cách tính diện tích hình thoi

Lời giải

- Giả sử cho trước hình thoi ABCD có hai

đường chéo cắt nhau tại O

- Dưng qua A, C hai đường thẳng vuông góc

với AC

- Dựng qua D đường thẳng vuông góc vơi hai

đường thẳng đã dựng ở trên lần lượt tại F, E

- Khi đó ACEF là hình cần dựng

E

O A

C B

Thật vậy: Theo cách dựng ta có ACEF là hình chữ nhật

∆AFD=∆CED=∆BOA=∆BOC ⇒SABCD=SACEF=AF.AC=1

2AC.BD

4.2 Dạng bài về tính toán

Bài 1 (Bài 24 SGK) Tính diện tích của tam giác cân có cạnh đáy bằng a và cạnh

bên bằng b

Lời giải

Tam giác ABC cân tại A, AB=AC=b, BC=a

Kẻ đường cao AH, ta có BH=CH=a

2

Theo định lý Pytago ta có AH= 2 a 2 4b 2 a 2

b

−−−−

− =

− =

− =

− =

b

a

B A

Từ đó ta có SABC=1 AH.BC 1 a 4b 2 a 2

−−−−

====

Bài 2 (Bài 53 SBT) Qua tâm O của hình vuông ABCD cạnh a, kẻ đường thẳng l

cắt cạnh AB và CD lần lượt tại M và N Biết MN=b Hãy tính tổng các khoảng

cách từ các đỉnh của hình vuông đến đường thẳng l theo a và b (a và b có cùng

đơn vị đo)

Lời giải

Kẻ AP, BQ, CR, DS vuông góc với đường thẳng l Đặt h1=BQvà h2=AP

Ta có ∆MAO=∆NCO (gcg), suy ra OM=ON=b

2 Hai tam giác vuông

∆APO=∆CRO (cạnh huyền-góc nhọn), vậy AP=CR=h2 Tương tự có BQ=DS=h1

§Ó tÝnh tæng h1+h2, ta tÝnh SAOB theo hai c¸ch kh¸c

nhau:

(((( ))))

S =S +S = BQ.OM+ AP.OM=

2

AOB

1

S =

4a (2)

Từ (1) và (2) ta có: 2 (((( )))) 2

b

Suy ra AP+BQ+CR+DS= (((( 1 2)))) 2

2

2 h + + + +h = = = = a

b

2

1

h M

R S

Q P

O

C B

N

Bài 3 Từ đỉnh B và C của tam giác cân ABC (AB= AC) ta

nối với trung điểm O của đường cao AH Các đường đó cắt

AC, AB tại D , E Hãy tính S AEOD Biết S ABC = 12 (cm 2 )

Lời giải:

Vì tam giác ABC là tam giác cân nên AH là đường cao vừa

là đường trung tuyến nên BH=HC

E

F

D

O

H

A

Từ H kẻ đường thẳng song song với BD cắt AC tại F

Trong ∆BCD có HF//BD và BH=HC ⇒FC=FD

Trong ∆AHF có OD//HF và OA=OH ⇒AD=DF

Do vậy suy ra AD=1

3AC, cho nên SAOD=1

3SAOC (1) (vì chung đường cao hạ từ O)

Dễ thấy SAOC =1

4 SABC (2)

Từ (1) và (2) ⇒ SAOD = 1

12SABC Suy luận tương tự ta có SAOE = 1

12SABC Suy ra: SAEOD= SAOD +SAOE= 1

6SABC=2(cm2 )