Giải một số bài toán của hình học phẳng bằng phương pháp diện tích

Việc sử dụng phương pháp diện tích vào giải các bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức và tìm cực trị trong hình học phẳng thường không gặp nhiều trong sách giáo khoa Toán học vì c

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học

Ths Phan Hồng Trường

HÀ NỘI - 2011

Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành nhất đến thầy giáo Phan Hồng

Trường, người đã hướng dẫn và giúp đỡ em trong quá trình chuẩn bị và hoàn thành khóa

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan khóa luận “Giải một số bài toán của hình học phẳng bằng phương

pháp diện tích” do tôi viết Đó là kết quả của sự tìm tòi, tổng hợp từ các tài liệu tham

khảo và sự hướng dẫn của thầy giáo Phan Hồng Trường

Khóa luận không trùng với kết quả nghiên cứu của các tác giả khác

Hà Nội, tháng 05 năm 2011

Sinh viên

Nguyễn Thị Mai

pháp hay, có thể cho ta lời giải ngắn gọn hợp lý Ngoài ra, ta còn có thể rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh Việc sử dụng phương pháp diện tích vào giải các bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức và tìm cực trị trong hình học phẳng thường không gặp nhiều trong sách giáo khoa Toán học vì chúng tương đối khó Nhưng đó là một trong những dạng toán thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi ở bậc Trung học cơ sở, đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trường chuyên

Với mong muốn ứng dụng phương pháp diện tích giải bài toán hình học phẳng và được sự gợi ý, hướng dẫn của thầy giáo Phan Hồng Trường, em đã thực hiện khóa luận “

Giải một số bài toán của hình học phẳng bằng phương pháp diện tích.”

2 Mục đích nghiên cứu

Khóa luận của tôi nhằm hai mục tiêu chính Một là, đưa ra hệ thống kiến thức cơ

bản để áp dụng giải bài toán hình học phẳng bằng phương pháp diện tích Hai là, ứng dụng phương pháp diện tích giải bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức và bài toán tìm cực trị trong hình học phẳng Ba là, hình thành một tài liệu tham khảo có thể dùng làm chuyên đề bồi dưỡng học sinh khá, giỏi ở bậc trung học cơ sở

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÍ THUYẾT

1.1 Kiến thức cơ bản

1.1.1 Quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu

Quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu thường được sử dụng dưới các dạng sau:

* Trong các tam giác vuông (có thể suy biến thành đoạn thẳng) có cạnh góc vuông AH

và cạnh huyền BC thì AH ≤ BC, xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi H trùng với B

* Trong các đoạn thẳng nối từ một điểm đến một đường thẳng, đoạn thẳng vuông góc với đường thẳng có độ dài nhỏ nhất

* Trong các đoạn thẳng nối hai điểm thuộc hai đường thẳng song song, đoạn thẳng vuông góc với đường thẳng có độ dài nhỏ nhất

* Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm đến một đường thẳng, đường xiên lớn hơn khi

và chỉ khi hình chiếu lớn hơn

1.1.2 Quan hệ giữa đoạn thẳng và đường gấp khúc

Với ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có:

* AB + AC ≥ BC Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A nằm giữa B và C

* AB - AC BC Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi B và C nằm cùng phía với A

1.1.3 Các bất đẳng thức trong đường tròn

* Đường kính là dây cung lớn nhất của đường tròn

* Trong hai dây cung của một đường tròn, dây cung lớn hơn khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm đến dây nhỏ hơn

* Trong hai cung nhỏ của một đường tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi góc ở tâm lớn hơn

* Trong hai cung nhỏ của một đường tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi dây căng cung lớn hơn

1.1.4 Một số bất đẳng thức đại số

* Bất đẳng thức Cauchy

Cho hai số không âm x, y Khi đó, ta có x + y ≥ 2 xy Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

oVới ba số dương a, b, c ta luôn có a + b + c 3

b + c c + a a + b 2

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

oNếu x + y = a (với a là hằng số) thì hoặc

* Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau

* Nếu một đa giác được chia thành những đa giác không có điểm trong chung thì diện tích của đa giác ban đầu bằng tổng diện tích của những đa giác đó

1.2.1.3 Các công thức tính diện tích tam giác

Cho ABC có BC = a, CA = b, AB = c

* ha, hb, hc lần lượt là các đường cao của tam giác hạ từ các đỉnh A, B, C

* R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác

* p = a + b + c

2 là nửa chu vi tam giác

Diện tích ΔABC (kí hiệu là S) được tính theo các công thức sau:

1.2.1.4 Các công thức tính diện tích đa giác

1 Diện tích của hình chữ nhật: S = ab (Với chiều dài

và chiều rộng lần lượt là a và b)

b a

2 Diện tích của hình vuông bằng bình phương cạnh của nó: S = a2

(a là cạnh của hình vuông)

3 Diện tích hình thang bằng nửa tích của tổng độ dài

hai đáy với chiều cao: S = 1 a + b h

4 Diện tích hình bình hành bằng tích của một cạnh với chiều cao tương ứng: S = ah

5 Diện tích tứ giác bằng tổng diện tích của hai tam

giác chia bởi một đường chéo của tứ giác:

ABCD ABC ADC

A

B

D C

6 Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc bằng nửa tích độ dài hai đường

chéo

7 Diện tích hình thoi bằng nửa tích độ dài hai đường chéo

8 Diện tích đa giác: Việc tính diện tích của một đa giác bất kỳ thường được quy về

việc tính diện tích của các hình đặc biệt kể trên

9 Diện tích hình tròn có bán kính R là: S=πR2

1.2.2 Phương pháp diện tích

Chúng ta đã biết một số công thức tính diện tích của các đa giác như công thức tính diện tích tam giác, tứ giác, hình thang, hình bình hành… và một số tính chất về tỉ số diện tích Khi biết một số yếu tố như độ dài đoạn thẳng, số đo góc, số đo chu vi … của các hình ta có thể tính được diện tích của các hình đó Ngược lại, nếu biết quan hệ diện tích giữa các hình ta có thể suy ra quan hệ của các yếu tố trên

Như vậy sử dụng các công thức tính diện tích và tỉ số diện tích có thể giúp ta so sánh

và thiết lập mối quan hệ giữa các hình với nhau như ba đường thẳng đồng quy, hai đường thẳng song song …

Để giải một số bài toán hình học phẳng bằng phương pháp diện tích ta thực hiện theo các bước sau:

1 Xác định quan hệ diện tích giữa các hình

2 Sử dụng công thức diện tích, tính chất và tỉ số diện tích để biểu diễn mối quan

hệ đó

3 Biến đổi mối quan hệ trên ta suy ra kết luận của bài toán

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH TRONG GIẢI BÀI TOÁN

HÌNH HỌC PHẲNG

2.1 Các biện pháp thực hiện

2.1.1 Sử dụng trực tiếp các công thức tính diện tích đa giác

Ta sử dụng công thức tính diện tích đa giác phẳng đã nêu ở chương 1

2.1.2 Sử dụng các tính chất 2.1.2.1 Tính chất 1

Cho ABC, N là điểm giữa BC sao cho BN = k CN thì ABN

Cho hai tam giác ABC và DBC chung cạnh BC Gọi AH và DK là hai đường cao của

ABC và DBC Khi đó ta có ABC

D E

E

C B

A

A

B

C E

D

F

C B

A A

2.2 Bài toán áp dụng

Trong hình học phẳng có nhiều dạng toán mà khi áp dụng phương pháp diện tích sẽ

cho ta lời ngắn gọn, độc đáo Ở đây, tôi xin trình bày ba dạng toán cơ bản nhất Một là,

bài toán chứng minh đẳng thức hình học Hai là, bài toán chứng minh bất đẳng thức Ba

là, bài toán cực trị

2.2.1 Bài toán chứng minh đẳng thức

Bài 1: Cho tứ giác ABCD Các đường thẳng AB và CD cắt nhau tại E Gọi F và

G theo thứ tự là trung điểm của các đường chéo AC và BD Chứng minh rằng

A

B

D C

M C

D

H

Ta có: SESG = SAEG - SAGF - SAEF

= SABG+ SEGB - SAGF - SAEF

ABD EGD AGC AEC

1

= S + S - S - S 2

1 ABCD BCE ABCG BCE

S + S - S - S 2

o Bài toán tương tự: “ Giả sử đường thẳng qua G song song với AC và đường thẳng

qua F song song với BD cắt nhau tại một điểm thì các đoạn thẳng nối điểm đó với các

trung điểm của các cạnh tứ giác chia tứ giác thành bốn phần tương đương”

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD Gọi P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của

các cạnh CD, DA, AB, BC Vẽ bốn đường thẳng nối lần lượt các đỉnh A, B, C, D với

các điểm P, Q, R, S Chứng minh rằng tứ giác tạo bởi các đường thẳng này có diện

G

Suy ra SABCD = 5SEFGH hay SEFGH = 1

5SABCD

Nhận xét

o Vì tứ giác EFGH là hình bình hành nên bài toán có thể phát biểu như sau:

“Cho hình bình hành EFGH Trên tia đối của tia EF, GF, HG, EH lần lượt lấy các

điểm C, D, A, B sao cho E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng HB, EC,

FD, GA Chứng minh rằng S EFGH = 1

5 S ABCD .”

o Khi tứ giác ABCD hay EFGH không phải là hình bình hành thì kết quả trên cũng

đúng nên ta có bài toán sau:

“Cho tứ giác EFGH Trên tia đối của tia EF, GF, HG, EH lần lượt lấy các điểm C, D,

A, B sao cho E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng HB, EC, FD, GA

S

5S

Thay “ 1 ” bởi “m” thì SABCD = [ 2m(m + 1) + 1].SEFGH

Như vậy ta lại được một bài toán mới:

“Cho tứ giác EFGH Trên tia đối của tia EF, GF, HG, EH lần lượt lấy các điểm C,

= = = = m

HE EF FG GH

Chứng minh rằng: S ABCD = [ 2m(m + 1) + 1].S EFGH ”

Bài 3: Trên các cạnh BC, AC, AB của tam giác ABC lấy các điểm A 1 , B 1 , C 1 Chứng minh rằng AA 1 , BB 1 , CC 1 đồng quy khi và chỉ khi

AC BA CB = 1

C B A C B A (Định lý Xeva khi ba điểm A 1 , B 1 , C 1 nằm trên ba cạnh của tam giác)

A C

M

P N

A

B

C A

B C

M

1 1

Gọi P là giao điểm của BB1 và CC1; A1 là giao điểm của AP và BC Do AA1', BB1,

CC1 đồng quy tại P nên theo chứng minh điều kiện cần ta có: 1 1 1

Bài toán còn có thể phát biểu như sau:

“Về phía ngoài ΔABC dựng các tam giác ABD, BCE, CAF sao cho các

điểm D, E, F theo thứ tự nằm bên trong các góc ACB, BAC, CBA

Tìm điều kiện để AE , CF, CD đồng quy.”

Bài 4: Cho hình bình hành ABCD, trên cạnh BC và CD lần lượt lấy các điểm

ND Xét APQ và AMN có

AC

M

PN

A

B

CA

Q A

Bài 5: Cho D, E theo thự tự là hai điểm trên cạnh AB, AC của ΔABC sao

cho AD = DB, AE = 2EC Gọi F là giao điểm giữa BE và CD Chứng minh rằng

Gọi I là trung điểm của AE mà ta lại có AD =

DB (gt) nên DI là đường trung bình của

AC

M

PN

A

B

CA

Q

A

B

C E

F

I

Ta có:

2 EFC

2 CDI

Trên tia đối của tia CA lấy điểm A'sao cho CA'= c Từ A'dựng đường thẳng

vuông góc với AC, lấy điểm B'sao cho A'B' = b

AC

M

PN

A

B

CA

b

A' A

B

C b

F c

J

N D'

Bài 7: Cho tam giác ABC Trên cạnh BC lấy hai điểm M và N Chứng minh

rằng · MAB = NAC · khi và chỉ khi MB NB AB 2

=

MC NC AC

Lời giải

BA

AC

M

PN

A

B

CA

J K

MC NC AC (3) nhưng MAB · NAC ·

Khi đó trên BC lấy điểm N' sao cho MAB · · N'AC

Theo chứng minh trên ta có:

2

MB N'B AB

=

MC N'C AC (4)

2.2.2 Bài toán chứng minh bất đẳng thức

Bài 1: Cho nửa đường tròn tâm O bán kính AB = 2R và M là một điểm thuộc

nửa đường tròn khác A và B Tiếp tuyến của (O) tại M cắt tiếp tuyến tại A, B lần lượt

tại các điểm C, D

Chứng minh rằng SACM + SBDM R2

Lời giải

Ta có BD// AC (cùng vuông góc với AB) suy ra tứ

giác ABCD là hình thang

Vậy ta có SABCD

AC + BD AB 2

A

B

D C

M C

Dấu “ = ” xảy ra khi M là trung điểm của cung AB

Bài 2: Cho ABC, về phía ngoài tam giác dựng các tam giác

A

B

C B

A

C

M

P N

BCA1 CAB1 ABC1 BCA1 CAB1 ABC1

a Gọi diện tích ΔABC, ΔHBC, ΔHCA, ΔHAB lần lượt là S, S1, S2, S3 Ta có S =

S1 + S2 + S3 . Xét ΔABC và ΔHBC, theo tính chất

AC

M

PN

A

B

CA

BC

M

1 1

Bài 4: Qua một điểm cho trước trong tam giác, kẻ ba đường thẳng song song

với các cạnh của tam giác Các đường thẳng này chia tam giác thành sáu phần, ba phần trong đó là các tam giác có diện tích là S , S , S1 2 3 Gọi S là diện tích của tam giác đã cho

Gọi S, S , S , S1 2 3 theo thứ tự là diện

tích của ΔABC, ΔIKM, ΔEJM, ΔHFM

Theo tính chất 4, ta có

2 1

=

B A

G

A

B

C B

A C

M

P N

A

B

C A

N P

Q

A

B

C E

F I

Giả sử ABCD là tứ giác lồi có chu vi l

AC

M

PN

A

B

CA

F c

J

K H

Bài 6: Cho hình thang ABCD (AB//CD) Hai đường chéo AC và BD cắt nhau

tại P Chứng minh rằng S PAB + S PCD 1

2S ABCD

Lời giải

Gọi S , S , S , S1 2 3 4 lần lượt là diện tích

của các tam giác PAB, PAD, PDC và PBC

Từ A và C kẻ AH BD, CK BD, ta có:

BA

AC

M

PN

A

B

CA

F c

Kẻ AH, CK vuông góc với BD, gọi AC BD

A

B

D C

M C

MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất

Lời giải

a Gọi S, S1, S2, S3 lần lượt là diện tích của các ΔABC, ΔMBC, ΔMAC, ΔMAB Ta có ΔBMA và Δ BMA1 là hai tam giác có cùng chiều cao hạ từ đỉnh B và có hai đáy tương

=

A M S (1)

BA

AC

M

PN

A

B

CA

BC

M

1 1

1

Tương tự, xét ΔCMA và ΔCMA1 Theo tính chất trên ta có

1

2

S AM

Bài 3: Cho ΔABC và ba điểm A', B', C' lần lượt nằm trên ba cạnh BC, CA,

AB sao cho AA', BB', CC' đồng quy tại O (A', B', C' không trùng với các đỉnh của

tam giác) Tính giá trị nhỏ nhất của tổng A'B + B'C + C'A

A'C B'A C'B

Lời giải

Kẻ BH AA', CK AA' (H,K AA ) Xét ΔAA'B và ΔAA'C có cùng chiều cao

hạ từ đỉnh A nên theo tínhchất 2 ta có AA'B

AA'C

S A'B = A'C S (1)

G

A

B

C B

A C

M

P N

A

B

C A

B C

Chứng minh tương tự, ta được BOC

BOA

S B'C = B'A S (5) và

COA

COB

S C'A = C'B S (6)

Nhân từng vế của các đẳng thức (4), (5), (6), ta được:

AOB BOC COA

AOC BOA COB

Dấu “=” xảy ra A'B = B'C = C'A

A'C B'A C'B , khi đó A', B', C' lần lượt là trung

điểm của BC, CA, AB Vậy min A'B + B'C + C'A 3

A'C B'A C'B khi A', B', C' lần

lượt là trung điểm của BC, CA, AB

Bài 4: Cho ΔABC và điểm P nằm trong tam giác Các đường thẳng PA, PB, PC cắt các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại các điểm A', B', C' Tính giá trị lớn nhất

G

A

B

C B

A C

M

P N

A

B

C A

Q A

Tương tự, theo tính chất 2 ta cũng có:

3

S CC' =

Tương tự SPC'A' = S - S k2 và SPA'B' = S - S k3 Do đó, ta có

S' = S + S + S = k 3S - S + S + S = 2kS S

= 2k S' (*) Theo bất đẳng thức Côsi ta có: S + S2 3 2 S S2 3 mà S - S = S + S1 2 3 hay

S 4 khi P là trọng tâm ΔABC

Bài 5: Cho ABC Hai điểm M, N lần lượt chuyển động trên các cạnh BC và

AM sao cho

AN 1

=

AM k ( k >1) Qua N kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại

D và đường thẳng song song với AB cắt AC tại E Tìm giá trị lớn nhất của diện tích

tam giác ADE

Lời giải

B A

G

A

B

C B

A C

M

P N

A

B

C A

J

N D'

ADN ADE AD'M

AD'M 1 AE'MD' ADE 12 AE'MD'

Ta có D'M // AC, MC I AD' = B nên

2 BD'M

Dấu “ = ” xảy ra khi BM = MC BM = BC

BC BC M là trung điểm của BC Vậy M là trung điểm của BC thì diện tích ΔADEnhỏ nhất

Bài 6: Trong các tam giác có đáy bằng a, chiều cao ứng với cạnh đáy là h, tam giác nào có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất?

Giải

BA

AC

M

PN

A

B

CA

Do đó r lớn nhất khi và chỉ khi AB + AC nhỏ nhất ( do a, h không đổi)

Gọi d là đường thẳng đi qua A song song BC và d cách BC một khoảng là h

Lấy D đối xứng với C qua d thì AC = AD (tính chất phép đối xứng trục)

Ta có AB + AC = AB + AD BD Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ A, B, D thẳng hàng hay

A là giao điểm của d và BD Khi đó, ta có A A' hay ABC cân tại A

Vậy trong các tam giác có đáy bằng a, chiều cao ứng với cạnh đáy là h thì tam giác cân

có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất

Nhận xét:

Bài toán tương tự:

“Trong các tam giác có chu vi cho trước, tìm tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất.”

“Chứng minh rằng trong các tam giác cùng chu vi thì tam giác đều có diện tích lớn nhất.”

Bài 7: Cho tứ giác ABCD, gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và

BC, đường thẳng CM cắt DN tại E và đường thẳng BM cắt AN tại F Tìm giá trị nhỏ

nhất của tổng AF + BF + CE + DE

NF MF ME NE

Lời giải

BA

AC

M

PN

A

B

CA

BCM

J

N A'