Hình thành kĩ năng giải toán hình học phẳng bằng phương pháp diện tích cho học sinh lớp 8 trung học cơ sở

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINHNẠI LƯU RĂM CHƠ HÌNH THÀNH KĨ NĂNG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH CHO HỌC SINH LỚP 8 TRUNG HỌC CƠ SỞ Chuyên ngành: Lý luận

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NẠI LƯU RĂM CHƠ

HÌNH THÀNH KĨ NĂNG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH CHO HỌC SINH LỚP 8

TRUNG HỌC CƠ SỞ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Nghệ An, 2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NẠI LƯU RĂM CHƠ

HÌNH THÀNH KĨ NĂNG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH CHO HỌC SINH LỚP 8

TRUNG HỌC CƠ SỞ

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp giảng dạy bộ môn Toán

Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Chiến Thắng

Nghệ An, 2015

Lêi c¶m ¬n

Trong quá trình nghiên cứu và viết luận văn tôi đã nhận được sự quan tâm, hướng dẫn, giúp đỡ của nhiều tập thể, cá nhân trong và ngoài trường Đại học Vinh.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban Giám hiệu, ban chủ nhiệm khoa sau đại học trường Đại học Vinh; Khoa liên kết đào tạo trường Đại học Kinh tế - Công nghiệp Long An; cùng tất cả quý thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy trong suốt quá trình tôi học tập nghiên cứu và hoàn thành các chuyên đề thạc sĩ khóa 21, ngành Toán của trường Đại học Vinh đặt tại trường Đại học Kinh tế - Công nghiệp Long An

Tôi cũng xin cảm ơn Lãnh đạo và các thầy cô giáo trong cơ quan Phòng Giáo dục và Đào tạo huyện Ninh Phước tỉnh Ninh Thuận – nơi tôi đang công tác; Ban Giám hiệu, tổ Toán các trường THCS Huỳnh Phước, THCS Trương Định, THCS Phan Đình Phùng huyện Ninh Phước, tỉnh Ninh Thuận đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong quá trình tiến hành khảo sát thực trạng dạy học và thực nghiệm sư phạm.

Đặc biệt, tôi xin được gởi lời cảm ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Chiến Thắng, đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình để tôi hoàn thành tốt luận văn này.

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp

đã tạo điều kiện và khích lệ tôi hoàn thành luận văn.

Tuy đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót cần được góp ý, sửa chữa Rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và bạn đọc.

Tác giả

Nại Lưu Răm Chơ

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

4 Khách thể, đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3

5 Giả thuyết khoa học 3

6 Phương pháp nghiên cứu 3

7 Đóng góp của luận văn 4

8 Cấu trúc của luận văn 4

PHẦN NỘI DUNG 5

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VỀ HÌNH THÀNH KĨ NĂNG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH 5

1.1 Những vấn đề chung về kĩ năng 5

1.1.1 Khái niệm kĩ năng 5

1.1.2 Vấn đề kĩ năng trong đổi mới phương pháp dạy học 6

1.1.3 Vai trò của môn Toán 7

1.2 Sự hình thành kĩ năng và vai trò của kĩ năng 8

1.2.1 Sự hình thành kĩ năng 8

1.2.1.1 Phân loại kĩ năng trong môn toán 9

1.2.1.2 Mối quan hệ giữa tư duy và kĩ năng 13

1.2.1.3 Rèn luyện kĩ năng liên quan đến năng lực của học sinh 15

1.2.1.4 Những sai lầm trong giải toán của HS là căn cứ để rèn luyện kĩ năng 21

1.2.2 Vai trò của kĩ năng 23

1.3 Chủ đề diện tích đa giác ở trường Trung học cơ sở 23

1.3.1 Mạch kiến thức diện tích đa giác ở trường Phổ thông 23

1.3.1.1 Diện tích trong chương trình Tiểu học 24

1.3.1.2 Diện tích trong chương trình Trung học cơ sở 25

1.3.1.3 Diện tích trong chương trình Trung học phổ thông 27

1.3.2 Nội dung và yêu cầu dạy học chủ đề diện tích đa giác ở trường Trung học cơ sở 27

1.3.3 Các dạng toán về diện tích trong sách giáo khoa 30

1.4 Kĩ năng giải toán Hình học phẳng bằng phương pháp diện tích 30

1.4.1 Lý luận về giải toán 30

1.4.2 Đặc điểm của Hình học 35

1.4.3 Kĩ năng giải toán Hình học phẳng bằng phương pháp diện tích 37

1.5 Một số khó khăn trong việc hình thành cho học sinh kĩ năng giải toán Hình học phẳng bằng phương pháp diện tích 38

1.6 Kết luận Chương 1 41

CHƯƠNG 2 KHẢO SÁT THỰC TRẠNG HÌNH THÀNH KĨ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ

42 2.1 Khái quát chung về khảo sát thực trạng 42

2.1.1 Mục tiêu khảo sát 42

2.1.2 Nội dung khảo sát 42

2.1.3 Đối tượng khảo sát 42

2.1.4 Phương pháp khảo sát 42

2.2 Kết quả khảo sát thực trạng 43

2.2.1 Thực trạng hình thành kĩ năng cho HS của GV trong dạy học 43

2.2.2 Thực trạng hình thành kĩ năng của HS trong quá trình học tập 49

2.3 Kết luận Chương 2 53

CHƯƠNG 3 HÌNH THÀNH KĨ NĂNG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH CHO HỌC SINH LỚP 8 TRUNG HỌC CƠ SỞ 55

3.1 Những căn cứ để hình thành kĩ năng giải toán hình học phẳng bằng phương pháp diện tích 55

3.2 Hình thành kĩ năng giải toán hình học phẳng bằng phương pháp diện tích 55

3.2.1 Rèn luyện cho học sinh khả năng tính diện tích và nắm vững bản chất của diện tích 56

3.2.2 Rèn cho học sinh khả năng đọc và vẽ hình liên quan đến diện tích 62 3.2.3 Rèn cho học sinh khả năng tìm ra thuật giải, tựa thuật giải để giải bài toán hình học phẳng nhờ kiến thức về diện tích 67

3.2.4 Rèn cho học sinh khả năng phân tích, dự đoán khi giải bằng phương pháp diện tích 80

3.2.5 Rèn luyện cho học sinh khả năng suy luận, suy diễn khi giải toán hình học phẳng bằng phương pháp diện tích 86

3.2.6 Rèn cho học sinh khả năng thiết lập, nghiên cứu, lợi dụng các sự tương ứng khi giải toán 92

3.2.7 Rèn luyện cho học sinh khả năng chuyển đổi ngôn ngữ, cách phát biểu lại bài toán giải bằng phương pháp diện tích 97

3.2.7.1 Chuyển đổi từ ngôn ngữ tự nhiên sang ngôn ngữ Toán học 98

3.2.7.2 Chuyển đổi từ ngôn ngữ Đại số sang ngôn ngữ Hình học 100

3.2.7.3 Chuyển đổi từ ngôn ngữ Hình học sang ngôn ngữ Đại số 101

3.2.8 Rèn cho học sinh khả năng phát hiện và sửa chữa những sai lầm khi giải toán Hình học phẳng bằng phương pháp diện tích 103

3.2.8.1 Những sai lầm phổ biến của học sinh khi giải toán Hình học phẳng bằng phương pháp diện tích 104

3.2.8.2 Các biện pháp hạn chế và khắc phục sai lầm 113

3.3 Kết luận Chương 3 116

CHƯƠNG 4 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 117

4.1 Mục đích thực nghiệm 117

4.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm 117

4.2.1 Tổ chức thực nghiệm 117

4.2.2 Nội dung thực nghiệm 117

4.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm 118

4.3.1 Nội dung đề kiểm tra (45 phút) 118

4.3.2 Phân tích sơ bộ về đề kiểm tra 119

4.3.3 Phân tích kết quả thực nghiệm sư phạm 120

4.4 Kết luận Chương 4 122

PHẦN KẾT LUẬN CHUNG 124

TÀI LIỆU THAM KHẢO 125

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

1.1 Điều 24 Luật Giáo dục quy định “Phương pháp giáo dục Phổ

thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động…, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”

1.2 Chương trình Toán ở trường phổ thông ghi rõ “Môn Toán phải

góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình thành khả năng suy luận đặc trưng của toán học cần thiết cho cuộc sống…, rèn luyện kĩ năng vận dụng các kiến thức đã học vào việc giải các bài toán đơn giản của thực tiễn, phát triển khả năng suy luận có lý, hợp lôgic trong những tình huống cụ thể, khả năng tiếp cận và biểu đạt các vấn đề một cách chính xác…”

1.3 Đối với học sinh Trung học cơ sở, kĩ năng giải Toán thường thể

hiện ở khả năng lựa chọn một phương pháp giải thích hợp cho mỗi bài toán.Việc lựa chọn một cách giải hợp lí nhất, ngắn gọn và rõ ràng, trong sáng,không chỉ dựa vào việc nắm vững các kiến thức đã học, mà một điều kháquan trọng là hiểu sâu sắc mối liên hệ chặt chẽ giữa các phân môn Toán họckhác nhau trong chương trình học, biết áp dụng nó vào việc tìm tòi phươngpháp giải tốt nhất cho bài toán đặt ra

1.4 Dạy Toán ở trường Phổ thông không chỉ là dạy kiến thức mà còn

dạy cả kĩ năng, tư duy và tính cách Trong các nhiệm vụ đó, việc hình thành

và phát triển cho học sinh các kĩ năng toán học là rất quan trọng, bởi vì không

có kĩ năng thì không phát triển được tư duy và cũng không đáp ứng được yêu

cầu giải quyết vấn đề Tác giả Trần Khánh Hưng cho rằng: “Kĩ năng là một trong những yêu cầu quan trọng đảm bảo mối quan hệ giữa học và hành Dạy học sẽ không có kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc các định nghĩa, định

lí mà không biết vận dụng giải toán”.

1.5 Giải bài toán hình học phẳng bằng phương pháp diện tích là một

trong những chủ đề rất quan trọng của chương trình Toán bậc Trung học cơ

sở, nó chiếm một lượng kiến thức cũng như thời gian với tỉ lệ không nhiều sovới chương trình môn Hình học, nhưng dạng bài toán này được cho nhiềutrong thi tuyển sinh và rất cần thiết để ứng dụng thực tế

1.6 Khảo sát thực tiễn dạy học Toán ở nhà trường Phổ thông cho thấy,

việc rèn luyện kĩ năng giải Toán cho học sinh tuy cũng đã được chú ý, nhưngtính hệ thống và đầy đủ trong việc rèn luyện kĩ năng là chưa cao Giáo viêncho học sinh giải nhiều bài toán, nhưng việc phân loại các kĩ năng mang tínhđặc thù, cần thiết và tương ứng với các dạng bài toán cụ thể là chưa được thựchiện một cách hợp lí

- Học sinh còn gặp những khó khăn và sai lầm khi giải quyết các bàitoán hình học phẳng bằng phương pháp diện tích trong môn Hình học vì thiếunhững kĩ năng cần thiết

- Tuy đã có những đề tài nghiên cứu về kĩ năng, nhưng chưa có đề tài

nào nghiên cứu về “kĩ năng giải toán hình học phẳng bằng phương pháp diện tích cho học sinh lớp 8 Trung học cơ sở” trong chương trình Toán bậc THCS.

Vì những lý do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là: “Hình thành kĩ năng giải toán hình học phẳng bằng phương pháp diện tích cho học sinh lớp 8 Trung học cơ sở”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn là nghiên cứu những vấn đề liên quan tới kĩnăng giải các bài toán hình học phẳng bằng phương pháp diện tích của họcsinh lớp 8 THCS

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Hệ thống hoá các cơ sở lý luận về kĩ năng; cơ chế hình thành kĩ năng

và vai trò quan trọng của kĩ năng

- Đề xuất các căn cứ để xác định hệ thống những kĩ năng cơ bản và kĩ

năng đặc thù vận dụng trong quá trình giải toán Hình học phẳng bằng phương pháp diện tích cho học sinh lớp 8 trong chương trình Toán bậc THCS.

- Làm sáng tỏ các kĩ năng cơ bản và kĩ năng đặc thù khi giải các bài

toán trong hình học phẳng bằng phương pháp diện tích cho học sinh lớp 8.

- Đề xuất các tư tưởng chủ đạo nhằm hình thành kĩ năng giải toán hình học phẳng bằng phương pháp diện tích cho học sinh lớp 8

- Làm sáng tỏ những khó khăn, sai lầm của học sinh lớp 8 khi giải Toán hình học phẳng bằng phương pháp diện tích.

- Thực nghiệm sư phạm

4 Khách thể, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

a) Khách thể nghiên cứu: Hoạt động dạy học môn hình học cho họcsinh THCS

b) Đối tượng nghiên cứu: Một số kĩ năng giải toán hình học phẳng bằngphương pháp diện tích cho học sinh lớp 8 THCS

- Tổ chức thực nghiệm tại trường THCS Huỳnh Phước

5 Giả thuyết khoa học

Cần thiết làm sáng tỏ hệ thống các kĩ năng cơ bản, kĩ năng đặc thù vận dụng trong quá trình giải toán Hình học phẳng bằng phương pháp diện tích.

Trên cơ sở đó, có thể đề xuất các tư tưởng chủ đạo để hình thành các kĩ năngnày, nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học Toán ở trường THCS

6 Phương pháp nghiên cứu

6.1 Nghiên cứu lý luận

Phân tích, tổng hợp, hệ thống hóa các lý thiết về phương pháp dạy họctrong lý luận dạy học, sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập,

Phân tích nội dung, chương trình phần hình học phổ thông để từ đó đề

ra các biện pháp sư phạm góp phần hình thành kĩ năng giải toán hình họcphẳng bằng phương pháp diện tích cho học sinh lớp 8 Trung học cơ sở

6.2 Nghiên cứu thực tiễn

Dự giờ, quan sát dạy học chủ đề diện tích hình học phẳng của một sốgiáo viên có kinh nghiệm

Tìm hiểu thực trạng hình thành kĩ năng giải toán cho học sinh ở trườngTHCS của giáo viên hiện nay

Tìm hiểu các yếu tố hình thành kĩ năng giải toán hình học phẳng bằngphương pháp diện tích cho học sinh ở trường Trung học cơ sở, qua việc sửdụng phương pháp dạy học của giáo viên

7 Đóng góp của luận văn

Làm sáng tỏ các kĩ năng cơ bản và kĩ năng đặc thù, mang tính đầy đủ

và hệ thống trong quá trình giải các bài toán về Hình học phẳng bằng phương pháp diện tích; đề xuất các tư tưởng chủ đạo nhằm hình thành cho học sinh

THCS các kĩ năng này

8 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần Mở đầu, danh mục Tài liệu tham khảo và Phụ lục, luận văn

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VỀ HÌNH THÀNH KĨ NĂNG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH 1.1 Những vấn đề chung về kĩ năng

1.1.1 Khái niệm kĩ năng

Khi nghiên cứu khái niệm này ta có thể nhìn nó ở nhiều góc độ, nhiềulĩnh vực

Từ điển tiếng Việt cho rằng “ Kĩ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế”.

Tâm lý học đại cương cho rằng: “Kĩ năng là năng lực sử dụng các dữ liệu, các tri thức hay khái niệm đã có Năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất của sự vật và giải quyết thành công những nhiệm

vụ lý luận hay thực hành” Dù phát biểu ở góc độ nào đi chăng nữa thì ta vẫn

phải hiểu rằng kĩ năng là khả năng vận dụng kiến thức đã có (khái niệm, cáchthức, phương pháp) vào việc giải quyết nhiệm vụ được giao

Tuy nhiên trong thực tiễn dạy học ta thấy việc vận dụng kiến thức đãhọc vào nhiệm vụ cụ thể học sinh thường gặp nhiều khó khăn bởi vì các emkhông phát hiện được mối liên hệ giữa cái bản chất tri thức và đối tượng

Đối với HS Phổ thông, kĩ năng giải Toán thường thể hiện ở khả nănglựa chọn một phương pháp giải thích hợp cho mỗi bài toán Việc lựa chọnmột cách giải hợp lí nhất, ngắn gọn và rõ ràng, trong sáng, không chỉ dựa vàoviệc nắm vững các kiến thức đã học, mà một điều khá quan trọng là hiểu sâusắc mối liên hệ chặt chẽ giữa các chương, các phân môn của Toán học, cácmôn học khác trong chương trình học, biết áp dụng nó vào việc tìm tòiphương pháp giải tốt nhất cho bài toán đặt ra

Ví dụ 1.1: Cho tam giác ABC, có AB = 14cm, AC = 35cm, đường phân

giác AD = 12cm Tính diện tích tam giác ABC

Nhiều học sinh nghĩ rằng bài

toán này dễ, đơn giản, nhưng khi thực

hiện khá phức tạp mới tìm được kết

quả, dạng bài này học sinh phải dựng

thêm các yếu tố phụ, tạo tam giác

mới

- Vẽ DE//AB và từ D kẻ AD⊥

EF tính diện tích tam giác ADE, ADC

- Kẻ DK ⊥ AC tính diện tích

tam giác ADC

- Kẻ AH⊥ BC tính diện tích tam giác ABC

1.1.2 Vấn đề kĩ năng trong đổi mới phương pháp dạy học

Trong giai đoạn hiện nay, xã hội đòi hỏi con người có học vấn khôngchỉ có khả năng lấy từ trí nhớ các tri thức dưới dạng có sẵn đã lĩnh hội được ởtrường Phổ thông mà còn phải có năng lực chiếm lĩnh, sử dụng các tri thứcmới một cách độc lập, khả năng đánh giá các sự kiện, các tư tưởng, các hiệntượng một cách thông minh, sáng suốt khi gặp trong cuộc sống, trong laođộng, quan hệ với mọi người Nội dung học vấn trong nhà trường góp phầnquan trọng để phát triển hứng thú và năng lực nhận thức của học sinh, cungcấp cho học sinh những kĩ năng cần thiết trong việc tự học sau này

Khi nghiên cứu về tâm sinh lý của học sinh Việt Nam hiện nay chothấy có nhiều sự thay đổi, lí do là các em tiếp nhận nhiều nguồn thông tin đadạng, phong phú về nhiều mặt của cuộc sống Các em hiểu biết nhiều hơn,linh hoạt và thực tế hơn so với thế hệ cùng lứa tuổi trước đây, đặc biệt đối vớilứa tuổi học sinh THCS

Trong hướng dẫn thực hiện chương trình Sgk môn Toán phổ thông ghi

rõ: “Cách dạy truyền thống, thầy giảng dạy trò nghe, tiếp thu thụ động đã hạn chế hiệu quả của quá trình dạy và học Nếu tự tìm hiểu và phát hiện ra

Hình 1.1

những đặc trưng, các quy luật thì kiến thức thu được sâu sắc và ứng dụng hiệu quả hơn nhiều cho việc học tập tiếp theo và cho việc ứng dụng thực tiễn Tìm kiếm các phương pháp học tập chủ động sáng tạo từ lâu đã là mong muốn của các nhà giáo dục trên thế giới…”

Tóm lại, việc đổi mới phương pháp dạy học là hết sức cần thiết và cầnphải quan tâm, nhất là đối với những người làm giáo dục Đổi mới thực hiệntheo các xu thế sau:

- Đáp ứng được nhu cầu của sự phát triển kinh tế xã hội và cạnh tranhquốc tế trong tương lai

- Quan tâm nhiều hơn nữa trong việc rèn luyện sự phát triển tri thức cơbản, hình thành và phát triển tri thức phê phán và tri thức phương pháp Rènluyện các kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề Trong đó kĩ năng cơ bản,thói quen và năng lực tự học, năng lực vận dụng kiến thức vào cuộc sốngđược đặt lên hàng đầu Quá trình thực hiện đổi mới phương pháp dạy học nóichung và phương pháp dạy học toán nói riêng, việc rèn luyện kĩ năng là hếtsức quan trọng Bởi vì trong cuộc sống hàng ngày, trong từng vấn đề cụ thểđòi hỏi con người phải có những kĩ năng làm việc, kĩ năng giải quyết các vấn

đề đặt ra

1.1.3 Vai trò của môn Toán

Môn Toán trong nhà trường Phổ thông giữ một vị trí hết sức quan trọng

vì nó là môn học công cụ có tính trừu tượng và tính thực tiễn phổ dụng.Những tri thức và kĩ năng toán học trở thành công cụ để học tập các môn họckhác, đồng thời nó cũng là công cụ để nghiên cứu nhiều ngành khoa học khác,

là công cụ để tiến hành các hoạt động trong cuộc sống Cùng với tri thức môntoán cung cấp cho học sinh những kĩ năng như vẽ hình, kĩ năng tính toán, kĩnăng đọc và vẽ biểu đồ, kĩ năng đo đạc và ước lượng, kĩ năng sử dụng cáccông cụ toán học và máy tính điện tử

Môn Toán còn hình thành cho sự phát triển những phương pháp,phương thức tư duy hoạt động như toán học hóa tình huống thực tế, thực hiện

và xây dựng thuật toán phát triển, phát hiện và giải quyết vấn đề

Ngoài việc cung cấp cho học sinh những kiến thức và kĩ năng toán họccần thiết, môn toán còn góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung như phântích tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa; rèn luyện những đức tính phẩmchất người lao động mới đó là tính cẩn thận, tính chính xác, tính kỷ luật, tínhphê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mỹ, …

Từ những đặc điểm và vị trí của môn Toán, trong quá trình dạy học,người thầy cần xác định rõ nhiệm vụ của việc dạy học Toán đó là:

Truyền thụ kiến thức, kĩ năng vận dụng toán học vào thực tiễn Cụ thể làcung cấp cho học sinh một hệ thống vững chắc những tri thức, kĩ năng, phươngpháp toán học phổ thông, cơ bản và hiện đại sát với thực tiễn Theo tinh thầngiáo dục tổng hợp, đồng thời trao dồi cho học sinh khả năng vận dụng nhữnghiểu biết toán học vào việc học tập các môn học khác, vận dụng vào đời sốnglao động sản xuất, chiến đấu tạo tiềm lực tiếp thu khoa học kĩ thuật

- Phát triển năng lực trí tuệ chung

- Giáo dục tư tưởng chính trị, phẩm chất đạo đức và tính thẩm mỹ

- Bảo đảm chất lượng giáo dục phổ thông, đồng thời chú trọng pháthiện và bồi dưỡng năng khiếu toán cho học sinh

- Để hoàn thành nhiệm vụ dạy học môn Toán người thầy cần chú trọngphối hợp nhiều phương pháp dạy học, nhiều hình thức truyền thụ kiến thức đểđạt được những mục đích đề ra

1.2 Sự hình thành kĩ năng và vai trò của kĩ năng

1.2.1 Sự hình thành kĩ năng

Sự hình thành các kĩ năng đó là sự nắm vững cả một hệ thống phức tạp cácthao tác phát hiện và cải biến thông tin chứa đựng trong các tri thức và tiếp thuđược từ đối tượng, đối chiếu và xác lập quan hệ của thông tin với các hành động

Sự hình thành các kĩ năng xuất hiện trước hết như là những sản phẩmcủa những tri thức ngày càng được đào sâu Các kĩ năng được hình thành trên

cơ sở lĩnh hội các khái niệm về các mặt và các thuộc tính khác nhau của đốitượng đang được nghiên cứu Con đường chính của sự hình thành các kĩ năng

đó là dạy học sinh nhìn thấy những mặt khác nhau trong đối tượng, vận dụngvào đối tượng những khái niệm muôn hình, muôn vẻ diễn đạt các quan hệ đadạng của đối tượng này trong khái niệm

Trong dạy học hiện nay có thể dạy các kĩ năng cho học sinh bằng nhiềucon đường khác nhau Chẳng hạn, con đường dạy học nêu vấn đề, con đườngdạy học Algôrit hoá hay dạy học trên cơ sở định hướng đầy đủ, dạy học sinhchính là hoạt động tâm lý cần thiết đối với việc vận dụng tri thức Thông quagiải bài tập, thông qua nhiều hoạt động giáo dục khác…

1.2.1.1 Phân loại kĩ năng trong môn toán

Có nhiều cách phân loại kĩ năng

Theo tâm lý giáo dục, người ta thường chia kĩ năng học tập cơ bảnthành 4 nhóm: [21, tr.171]

a) Kĩ năng nhận thức

Kĩ năng nhận thức trong môn toán bao gồm nhiều khía cạnh đó là: kĩnăng nắm một khái niệm, định lí; kĩ năng áp dụng thành thạo mỗi quy tắc,trong đó có yêu cầu vận dụng linh hoạt, tránh máy móc,…

Ví dụ 1.2: Khi học xong công thức tính diện tích hình chữ nhật giáo

viên cần phải yêu cầu học sinh chứng minh, rút ra công thức tính diện tíchhình vuông, diện tích tam giác vuông… Chẳng hạn, một cách chứng minh

định lí Pitago bằng phương pháp diện tích Trên Hình 1.2, hai hình vuông

Môn Toán chứa đựng kĩ năng vận

dụng tri thức vào hoạt động giải bài toán,

kĩ năng toán học hoá các tình huống thực

tiễn (trong bài toán hoặc trong đời sống),

kĩ năng thực hành cần thiết trong đời sống

thực tế

Ví dụ 1.3: Khi học xong bài diện

tích đa giác học sinh sẽ biết được trên thực tế đời sống, vật thể cần tính diệntích không chỉ là một hình đặc biệt đã có công thức tính, mà thực tế nó khôngphải là hình đặc biệt như đã học Học sinh muốn tính diện tích phải biết tạo ranhững hình đặc biệt đã có công thức tính

Chẳng hạn, (Bài 40/Sgk, Toán 8, tập 1)

Tính diện tích thực của hồ nước có sơ đồ là phần tô màu trên (Hình 1.3)

(cạnh của mỗi hình vuông là 1cm, tỉ lệ 1

10000 ).

Hướng dẫn giải:

Diện tích phần tô màu trên hình gồm diện tích hình chữ nhật ABCD trừ

đi diện tích các hình tam giác AEN, JKL, DMN và các hình thang BFGH,CIJK Ta có:

Diện tích hình chữ nhật ABCD là 6x8 ô vuông

Diện tích tam giác AEN là 2 ô vuông

Diện tích tam giác JKL là 1,5 ô vuông

Hình 1.2

Diện tích tam giác DMN

Từ bài toán có thể ban đầu chưa liên quan đến kiến thức về diện tíchnhưng khi giải quyết bài toán thì phải vận dụng kiến thức này

Ví dụ 1.4: Từ điểm M tùy ý trong tam giác ABC, các đường thẳng

MA, MB, MC lần lượt cắt BC, CA, AB tại A1, B1, C1

Hình 1.3

- Các em sẽ huy động kiến thức đã học và kinh nghiệm giải, đối vớidạng này đa số các em nghĩ đến kiến thức hai tam giác đồng dạng, định líTalet, biến đổi dãy tỉ số bằng nhau Nếu biểu thị ngay từng tỉ số đó với tỉ sốdiện tích ∆CMA1 và ∆CAA1 thì không thể chứng minh được Đến đây ta tinchắc rằng sau khi thực hiện nhiều cách giải thì HS sẽ mất phương hướng vìbài toán khá phức tạp và bỏ cuộc Vậy có cách nào để giải đây? Hãy dự đoánxem? GV có thể gợi ý dự đoán bằng cách vẽ thêm đường phụ: Đó là hai

đường vuông góc hạ từ M, A xuống BC thì 1

MBC ABC

S MB

BB = S

1 1

(3)

AMB ABC

d) Kĩ năng tự kiểm tra đánh giá.

Các tác giả: Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy lại xem xét kĩ năng họctoán trên 3 bình diện: Kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn toán, kĩnăng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác, kĩ năng vận dụngtoán học vào đời sống

Kĩ năng tự kiểm tra đánh giá là bước cuối cùng của nhận thức, của kếtquả của một quá trình học tập một vấn đề nào đó

1.2.1.2 Mối quan hệ giữa tư duy và kĩ năng

Kĩ năng chỉ được hình thành thông qua quá trình tư duy để giải quyếtcác nhiệm vụ đặt ra Khi tiến hành tư duy sự vật thì chủ thể thường biến đổi,phân tích đối tượng để tách ra những khía cạnh, những thuộc tính mới Tất cảnhững điều này được ghi lại trong tri thức của chủ thể tư duy và được biểuhiện bằng các từ Quá trình tư duy diễn ra nhờ các thao tác phân tích, tổnghợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa cho tới khi hình thành được mô hình vềmột mặt nào đó của đối tượng, có ý nghĩa bản chất đối với việc giải bài toán

đã cho Ở đây mỗi bước, nhờ khám phá ra những khía cạnh mới của đối

tượng, thúc đẩy tư duy tiến lên, đồng thời quyết định bước tiếp theo của tưduy Vì các khía cạnh mới của đối tượng được phản ánh trong các khái niệm

mới, tư duy diễn ra như là một sự diễn đạt lại bài toán nhiều lần

Có kĩ năng giải các bài toán là một trong những cơ hội tốt nhất để rènluyện các thao tác tư duy như: Phân tích, so sánh, tổng hợp, khái quát hóa,đặc biệt hóa và phát triển các phẩm chất tư duy như: Tính linh hoạt, tính độclập, tính sáng tạo, tính phê phán Ngoài các chức năng nêu trên, việc giải cácbài toán còn là cơ hội hình thành ở HS thế giới quan duy vật biện chứng, cácphẩm chất đạo đức, thẩm mỹ Nó cũng là công cụ cho phép kiểm tra đánh giákết quả học tập của học sinh

Mỗi bài toán cụ thể được đặt ra ở một thời điểm nào đó của quá trìnhdạy học nói chung, trong một bài học nào đó nói riêng đều chứa đựng mộtcách tường minh hay ngầm ẩn những chức năng khác nhau Các chức năngnày không bộc lộ một cách riêng lẻ, tách rời nhau mà trong mối quan hệ mậtthiết với nhau Khi nhấn mạnh một chức năng cụ thể nào đó, ta muốn nóirằng, ở thời điểm đang xét chức năng này có vị trí trung tâm hơn so với cácchức năng khác

Kĩ năng và tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhau: Kĩ năng là cơ sở

để tiến hành các thao tác tư duy và kĩ năng chỉ được hình hành thông qua quátrình tư duy để giải quyết nhiệm vụ đặt ra

Tính chất của các thao tác và của các quá trình tư duy giải các bài toánphụ thuộc vào mục đích mà các thao tác nói trên hướng tới và vào nội dungcủa bài toán Bản thân hoạt động tư duy khi giải bất kì bài toán nào thể hiệntrong những biến đổi đối tượng của tư duy, tách ra trong đối tượng nhữngkhía cạnh và những thuộc tính ngày càng mới được ghi lại trong các kháiniệm và được biểu thị bằng các từ

Tuy nhiên, chủ thể phải nhận thấy cách diễn đạt nào phù hợp với đốitượng để tiến hành giải bài toán Ở mỗi cách diễn đạt mới là kết quả phân tích

và tổng hợp những dữ kiện của giai đoạn trước và được thể hiện trong cáckhái niệm Nhưng các khái niệm là sản phẩm của kinh nghiệm xã hội Khinghiên cứu đối tượng thì trong tri thức của chủ thể, tư duy sẽ ghi lại nhữngthuộc tính bản chất của đối tượng Chính từ các cách diễn đạt mới khai thácđược những tri thức về đối tượng đồng thời thúc đẩy tư duy tiến lên.L.Rubinstein đã chứng minh: Trong quá trình tư duy nhờ phân tích, tổng hợp,đối tượng tham gia vào những mối liên hệ ngày càng mới và do đó thể hiệnqua các phẩm chất ngày càng mới, những phẩm chất này được ghi lại trongkhái niệm mới Như vậy, từ đối tượng dường như có thể khai thác được nộidung ngày càng mới, nó dường như mỗi lần quay lại một mặt khác và trong

nó lại xuất hiện những thuộc tính mới

1.2.1.3 Rèn luyện kĩ năng liên quan đến năng lực của học sinh

- X.Roegiers: “Năng lực là sự thích hợp các kĩ năng tác động một cách

tự nhiên lên các nội dung trong loại tình huống cho trước để giải quyết những vấn đề do tình huống đặt ra” [40].

- Phạm Minh Hạc cho rằng: “Năng lực là một tổ hợp đặc điểm tâm lý của một người, tổ hợp này vận hành theo một mục đích nhất định tạo ra kết quả của một hoạt động nào đấy” [9]

Năng lực của con người thường được phân ra thành các năng lựcchung như hoạt động tổ chức - quản lý, hoạt động khoa học - công nghệ, hoạtđộng giáo dục dạy học, hoạt động kinh doanh…và năng lực chuyên biệt như

ca hát, thể thao, hội họa Năng lực biểu lộ ở tính nhanh, tính dễ dàng, chấtlượng tiếp nhận và thực hiện hoạt động, ở bề rộng của sự di chuyển, tính mới

mẻ, tính độc đáo của hoạt động giải quyết những vấn đề mới

Từ sự nghiên cứu của các tác giả ở trên chúng ta có thể nhận thấy rằng:Năng lực là tổ hợp các thuộc tính tâm lý (hoặc kĩ năng) của con người để thựchiện thành công một hoạt động nào đó Năng lực gắn với khả năng hoàn thànhmột hoạt động cụ thể, chỉ nảy sinh và quan sát được trong giải quyết những

yêu cầu mới mẻ và do đó nó gắn liền với tính sáng tạo tuy khác nhau về mức

độ Năng lực có thể rèn luyện để phát triển được, với các cá nhân khác nhauthì năng lực cũng khác nhau

a) Rèn luyện kĩ năng nhằm phát triển năng lực phát hiện phương pháp giải Toán của HS THCS.

- Năng lực phát hiện phương pháp giải Toán: Là năng lực hoạt động trí

tuệ của HS khi đứng trước những bài toán cụ thể, có mục tiêu và tính hướngđích cao, đòi hỏi huy động khả năng tư duy tích cực và sáng tạo, nhằm tìm ralời giải của bài toán sau một số bước thực hiện

Mối quan hệ biện chứng xét từ góc độ năng lực giữa phát hiện phươngpháp giải Toán - giải quyết bài toán được cấu thành một cách hữu cơ, hài hoàvới nhau Một tiến trình giải Toán được gọi là có kết quả tối ưu khi hình thành,phát triển được năng lực phát hiện phương pháp giải Toán trên cơ sở sáng tạo.Trong phương pháp luận duy vật biện chứng với việc dạy học, nghiên cứu

Toán học nói chung - giải Toán nói riêng, GS Nguyễn Cảnh Toàn nói: "Người

có óc sáng tạo là người có kinh nghiệm về phát hiện và giải quyết vấn đề đã đặt ra" [36] Năng lực phát hiện phương pháp giải Toán đòi hỏi tư duy sáng tạo

ở những mức độ khác nhau Tư duy sáng tạo sẽ nảy sinh và trở thành nhân tốcủa năng lực phát hiện phương pháp giải Toán khi HS đứng trước một bàiToán hàm chứa trong nội dung một tình huống có vấn đề và tìm phương thứcgiải quyết Trong quá trình phát triển năng lực phát hiện phương pháp giảiToán cần chú ý khai thác tiềm năng sáng tạo và rèn luyện khả năng đó qua việctìm kiếm các hướng giải khác nhau của cùng một bài Toán nhất định

Ta thấy rằng: Khi giải Toán được xem như một quá trình thì chiếnlược, các phương pháp, quy trình thủ thuật mà HS sử dụng để giải Toán sẽ lànhững điều quan trọng Chúng là những bộ phận cơ bản của quá trình giảiToán, được đặc biệt chú ý trong chương trình môn Toán

Khi giải Toán được xem như một kĩ năng cơ bản thì khả năng lựa chọncác phương pháp giải và các kĩ thuật giải là những vấn đề then chốt mà HSphải học khi giải quyết vấn đề.

Ví dụ 1.5: Cho tam giác ABC Điểm O nằm trong tam giác, OA cắt BC

ở A’; OB cắt AC ở B’; OC cắt AB ở C’

Chứng minh: OA OB OC 8

OA' OB' OC'× × ≥

Để giải bài tập này trước hết học sinh phải nhìn nhận dạng, suy nghĩphương pháp giải Bài toán trên còn có nhiều cách giải khác, nhưng nếukhông áp dụng phương pháp diện tích thì lời giải sẽ hết sức phức tạp và dàidòng Chú ý rằng trong các bài toán về bất đẳng thức hình học, người ta haysử dụng bất đẳng thức Côsi vì các đại lượng hình học là các đại lượng không

âm và bất đẳng thức Côsi phổ biến với HS THCS

S S

S S OA

+

Hình 1.5

Tương tự: 1 2

3

2 '

S S OB

1

2 '

S S OC

OC ≥ S

⇒ OA OB OC 8

OA' OB' OC'× × ≥ (đpcm)

Từ góc độ tâm lý học, có thể hiểu năng lực phát hiện phương pháp giảiToán của HS là những đặc điểm tâm lý cá nhân, đáp ứng cao yêu cầu lĩnh hộitri thức, có khả năng huy động các kiến thức, các kĩ năng khoa học, các thủpháp nhận thức, các cách thức giải quyết vấn đề trong hoạt động giải Toán,hướng đến việc góp phần hình thành các phẩm chất tư duy có tính mới mẻ(hình thành nhân cách lao động) với bản thân HS Năng lực sáng tạo của HStrong việc phát hiện phương pháp giải Toán được bộc lộ rõ trong hoạt độnggiải Toán, khi giải quyết các khâu trong tiến trình giải Toán Bàn về quá trìnhsáng tạo khoa học, có thể xem xét sự sáng tạo dưới dạng chu trình mở, trong đó

nhấn mạnh: "Kiến thức sáng tạo khoa học được xây dựng khi có động cơ giải quyết một vấn đề, tìm lời giải đáp cho một câu hỏi, một bài tập mà việc tìm tòi lời giải chính là phải tìm tòi một cái mới chứ không thể chỉ đơn thuần là sự lặp lại các kiến thức và cách thức hoạt động đã quen thuộc, đã biết” [25].

Rèn luyện kĩ năng phát huy năng lực phát hiện vấn đề thực chất là xácđịnh cho người học tìm ra mối liên hệ giữa thành phần chính trong bài toán,xử lí sự liên kết, phối hợp các tình huống vấn đề bằng cách thức gắn bó cácvấn đề cần giải quyết Nhằm mục đích phát huy cho người học có được cácyếu tố bản chất, thành phần của năng lực này

Ví dụ 1.6: Cho tam giác ABC cân ở A, AB = AC = 5cm, BC = 6cm.

Gọi O là trung điểm của đường cao AH Các tia BO và CO cắt cạnh AC và

AB lần lượt ở D và E Tính SADOE?

Gặp bài toán thông thường đòi hỏi người giải toán phải huy động cáckiến thức được học, đã biết từ đó tìm ra được phương pháp tối ưu và giảiquyết được vấn đề Qua bài toán rèn luyện cho các em HS có kĩ năng gì? Về

mặt tâm lý HS có khát vọng phát hiện ra phương pháp giải, thể hiện sự kiêntrì về mặt ý chí và niềm say mê, hứng thú Yêu cầu các em tổ chức các hoạtđộng nhận thức như hiểu bài toán, nắm được quá trình giải bài toán, rèn luyệnnăng lực khái quát hóa phát hiện vấn đề liên quan, tìm được nhiều mối liên hệ

⇒

3

1 AC

AD S

A E

Hình 1.6

⇒ SABC = 12cm2

2

4.6 2

Vậy SADOE = 1.12

6 = 2 cm2.Khi phát hiện ra được bản chất của bài toán thì việc mở rộng bài toánbằng con đường trừu tượng hóa không mấy khó khăn Như vậy, qua việc rènluyện HS kĩ năng phát hiện phương pháp giải toán đã giúp HS có được nhữngnăng lực sau:

- Năng lực nắm cấu trúc hình thức của bài toán, tri giác hệ thống hóakiến thức về giải Toán, năng lực tư duy bằng các cấu trúc rút gọn có thiênhướng về thao tác với các số liệu về giải Toán: kí hiệu, hình vẽ, dữ liệu, điềukiện, giả thiết, kết luận Biểu lộ sự phát triển mạnh, linh hoạt của tư duylôgic, tư duy sáng tạo Có tốc độ tư duy nhanh biểu hiện rõ nét của tư duy độclập, mềm dẻo trong giải Toán

- Năng lực hình thành và diễn đạt nội dung các bài toán theo các hướngkhác nhau, thông qua hoạt động sử dụng ngôn ngữ kí hiệu và các qui tắc toánhọc, đặc biệt là biết cách hướng tới cách diễn đạt có lợi cho bài toán đang cầngiải quyết, hoặc cách diễn đạt mà nhờ đó sẽ cho phép nhận thức bài toán mộtcách chính xác hơn, nhằm tránh những sai lầm, thiếu sót trong suy luận vàtính toán

- Năng lực nắm bắt, đưa ra những qui tắc thuật giải, tựa thuật giải từnhững tiền đề cho trước

Chẳng hạn, để so sánh hai độ dài nào đó bằng phương pháp diện tích, ta

có thể làm theo các bước sau:

+ Xác định quan hệ diện tích giữa các hình

+ Sử dụng các công thức diện tích để biểu diễn mối quan hệ đó bằngmột đẳng thức có chứa các độ dài

+ Biến đổi đẳng thức vừa tìm được ta có quan hệ về độ dài giữa haiđoạn thẳng cần so sánh.

Ví dụ 1.7: Cho ∆ABC vuông cân có AB = AC = 10cm ∆DEF vuôngcân ở D nội tiếp ∆ABC (D ∈ AB, E ∈ BC, F ∈ AC ) Xác định vị trí của D đểdiện tích DEF nhỏ nhất

GV hướng dẫn phân tích, tìm lời giải hãy thể hiện diện tích của tamgiác DEF, từ đó xác định mối quan hệ các độ dài trong công thức Từ đó tacần kẻ thêm các đường, để tạo ra các tam giác bằng nhau, suy ra các cạnhbằng nhau… Lập thành dạng (A+B)2≥ 0 hoặc (A-B)2≥ 0 …

Ta đã biết một số công thức tính diện tích của những hình đa giác Do

đó khi biết độ dài của một số yếu tố, ta có thể tính được diện tích của nhữnghình ấy Ngược lại nếu biết quan hệ diện tích của hai hình từ đó kết hợp vớiyếu tố đã biết khác, tổng hợp các kiến thức liên quan để suy ra điều cầnchứng minh

Rèn luyện kĩ năng cho HS, giáo viên cần chú ý các đối tượng học sinh,bởi vì việc nhận thức của mỗi một con người khác nhau Đối với đối tượng

HS yếu cần chú ý rèn luyện kĩ năng vận dụng, tiến tới nhận biết quy trìnhthực hiện các bước giải (tựa thuật toán) Đối với HS khá thì cần chú ý bồidưỡng kĩ năng suy luận, kĩ năng biến đổi, huy động kiến thức.…

1.2.1.4 Những sai lầm trong giải toán của HS là căn cứ để rèn luyện kĩ năng

Đã có nhiều quan điểm hoặc ý kiến được nêu ra xoay quanh vấn đề

sai lầm trong cuộc sống cũng như trong nghiên cứu khoa học Khổng Tử đã nói: “Sai lầm chân thật duy nhất là không sửa chữa sai lầm trước đó của mình” Albert Einstein nói về sai lầm trong nghiên cứu khoa học: “Nếu tôi mắc sai lầm thì chỉ một lần cũng là đủ rồi” Nhiều nhà khoa học đã nhấn

mạnh tới vai trò của việc sửa chữa sai lầm của học sinh trong quá trình

giảng dạy Toán, chẳng hạn, G.Pôlya đã phát biểu: “Con người phải biết

học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình” [25, tr.204], còn A A.

Stôliar thì nhấn mạnh rằng: “Không được tiếc thời gian để phân tích trên

giờ học các sai lầm của học sinh” Viện sĩ A N Kôlmôgôrôv viết: “Năng lực bình thường của học sinh trung học đủ để các em nắm được Toán học trong nhà trường phổ thông nếu có sự hướng dẫn tốt của thầy giáo” Như

vậy có thể khẳng định rằng, các sai lầm của học sinh trong giải Toán là cần

và có thể khắc phục được.

Thực tiễn trong dạy học cho thấy học sinh còn mắc rất nhiều kiểu sailầm Từ những sai lầm về tính toán đến những sai lầm về suy luận, sai lầmngôn ngữ, và thậm chí là những kiểu sai lầm rất ngớ ngẩn đến sai lầm tinh vi.Một nguyên nhân không nhỏ là giáo viên chưa chú trọng một cách đúng mứcviệc phát hiện, uốn nắn và sửa chữa các sai lầm cho học sinh ngay trong các

giờ học Toán Vì điều này nên ở học sinh nhiều khi gặp phải tình trạng sai lầm nối tiếp sai lầm.

Như vậy từ những khó khăn và sai lầm của học sinh khi giải Toánngười thầy có thể căn cứ vào đó để sửa chữa và rèn luyện cho các em kĩ nănggiải toán

Ví dụ 1.8: Cho tứ giác ABCD Chứng minh SABCD ≤1( )2

AC+BD

“=” xảy ra khi nào?

Khi gặp bài toán dạng này HS nghĩ ngay đến bất đẳng thức Côsi hoặc

HS chỉ nghĩ đến định lí nếu trong tam giác vuông thì diện tích bằng nửa tíchhai cạnh góc vuông phân tích hướng đó dẫn đến sai lầm trong suy nghĩ khôngthu được kết quả GV gợi ý lời giải bài toán này, ta đã sử dụng tính chất SABC

≤ 12AB.AC Tính chất này có thể dễ dàng chứng minh được nhờ vào định lí

giữa đường vuông góc và đường xiên (hoặc đánh giá từ SABC= 1

2AB.AC.sinA,sinA ≤ 1;00 < ≤Aˆ 900)

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

Ta có: SABCD = SAOB + SBOC + SCOD + SDOA

Khi giải xong bài tập GV yêu cầu HS

cần nhớ tính chất này SABC ≤ 12AB.AC để vận dụng vào làm bài tập, nhất làcác bài tập về bất đẳng thức và cực trị hình học

1.2.2 Vai trò của kĩ năng

Kĩ năng là thành tố cấu trúc nên mục tiêu dạy học và cũng là thành tốtạo nên năng lực của người học Do đó trong dạy học, tùy mục đích mà sửdụng kĩ năng tương ứng Mặc khác, kiến thức và kĩ năng tuy là hai thành tốnhưng chúng lại thống nhất và tác động lẫn nhau Nhờ có kiến thức mới hình

Hình 1.7

thành được kĩ năng, có kĩ năng tức là đã vận dụng được kiến thức Do vậynắm vững kiến thức là điều kiện để hình thành kĩ năng.

Chẳng hạn, bài tập cho tam giác ABC O là một điểm nằm trong tam

giác, các tia AO, BO, CO lần lượt cắt BC, CA, AB tại P, Q, R Chứng minh:

Khi học giải xong dạng Ví dụ 1.5 HS đã hình thành được kĩ năng giải

thì khi gặp lại những dạng toán này các em sẽ huy động các kiến thức đã họcgiải quyết các bài toán để tìm ra kết quả một cách thành thạo hơn

1.3 Chủ đề diện tích đa giác ở trường Trung học cơ sở

1.3.1 Mạch kiến thức diện tích đa giác ở trường Phổ thông

Diện tích được đưa vào giảng dạy ở các lớp 3, 4, 5 như những kiến thứcchuẩn bị cho việc học chính thức từ lớp 8 Khái niệm giới hạn, tích phân đượcgiảng dạy ở bậc Trung học phổ thông tạo điều kiện thuận lợi để học sinh bổsung kiến thức về diện tích Luận văn đặt trọng tâm nghiên cứu về dạy họcdiện tích ở bậc trung học cơ sở, đặc biệt là lớp 8

1.3.1.1 Diện tích trong chương trình Tiểu học.

Mục tiêu của bài đầu tiên, “Diện tích của một hình” là giúp học sinh:

- Làm quen với khái niệm diện tích Có biểu tượng về khái niệm diệntích qua hoạt động so sánh diện tích các hình

- Biết được: Hình này nằm trọn trong hình kia thì diện tích hình này bé

hơn diện tích hình kia Hình P được tách thành hai hình M và N thì diện tích hình P bằng tổng diện tích hai hình M và N [11, tr.234]

Nói cách khác, học sinh biết “so sánh diện tích hai hình trong một số trường hợp đơn giản (bằng cách đếm số ô vuông trong mỗi hình rồi so sánh các số ô vuông đó hoặc bằng cách chồng hình lên nhau)” [11, tr.51] Học

sinh có thể giải quyết bài toán so sánh diện tích hai hình trong phạm vi hìnhhọc mà không cần sử dụng công thức để chuyển sang phạm vi số Những

trích dẫn trên cho thấy về diện tích được tiếp cận từ quan điểm hình học.Bắt đầu, chương trình lớp 3 đưa vào các đơn vị đo diện tích, các quy tắctính diện tích của hình chữ nhật, hình vuông Lưu ý rằng, ở lớp 3, học sinh

chưa được học về biểu thức chứa chữ nên thay vì “công thức tính”, người ta nói đến “quy tắc tính” Để tính diện tích, học sinh áp dụng các quy tắc (phát biểu ở dạng lời) Tên gọi công thức chỉ xuất hiện sau khi học sinh học về biểu

thức chứa chữ ở lớp 4, và quy tắc tính diện tích hình chữ nhật được trình bày

lại dưới dạng một công thức ở trang 74, ở lớp 4 đưa vào công thức tính diện

tích hình bình hành, hình thoi Lớp 5 trình bày thêm công thức tính diện tíchhình tam giác, hình thang, hình tròn

Chương trình Tiểu học yêu cầu học sinh biết các đơn vị đo diện tích,biết tính diện tích theo quy tắc (công thức) Nói cách khác, đã có bước chuyển

từ phạm vi hình sang phạm vi số đối với diện tích

Chúng tôi còn thấy ở chương trình Tiểu học của Việt Nam có mối tươngquan ràng buộc giữa tập số, hình, đơn vị đo, công thức tính Quy tắc, côngthức tính diện tích hình chữ nhật có độ dài các cạnh là số tự nhiên được hợpthức bởi phép toán trên tập số tự nhiên Ngược lại, khi mở rộng tập hợp số,bài toán tính diện tích một hình (với việc chuyển đổi đơn vị đo) được sử dụng

để xây dựng phép tính trên tập số mới

1.3.1.2 Diện tích trong chương trình Trung học cơ sở

Nếu ở bậc Tiểu học, diện tích chỉ giữ vai trò kiến thức chuẩn bị, nằm rảirác, đan xen trong các lớp 3, 4, 5 thì ở bậc Trung học cơ sở, diện tích đa giác

là một chương riêng trong chương trình toán 8 Ở lớp 9, sách giáo khoa thừanhận công thức tính diện tích hình tròn, diện tích hình quạt tròn mà khôngđưa vào định nghĩa, tính chất diện tích trong phần lý thuyết Do đó, chúng tôitập trung nghiên cứu về diện tích đa giác ở lớp 8

Đối với bài toán diện tích, chương trình Hình học THCS đặt ra cácmục tiêu

* Về kiến thức:

Hiểu cách xây dựng công thức tính diện tích của hình tam giác, hình

thang, các hình tứ giác đặc biệt khi thừa nhận (không chứng minh) công thức tính diện tích hình chữ nhật.

* Về kĩ năng:

- Vận dụng được công thức tính diện tích các hình đã học

- Biết cách tính diện tích của các hình đa giác lồi bằng cách phân chia

đa giác đó thành các tam giác

Sách giáo viên lớp 8 có đề cập đến việc vận dụng các tính chất của diện tích, phân chia một hình thành các đa giác đơn giản thay vì chỉ chia thành các tam giác Theo mục tiêu trên, việc thiết lập các công thức, sử dụng công thức là trọng tâm của chương trình Nghiên cứu Sgv lớp 8, chúng tôi tìm thấy đoạn tài liệu tham khảo sau ở trang 167:

Diện tích đa giác

Trong toán học, người ta đã chứng minh được mệnh đề: Mỗi đa giác P bao giờ cũng tương ứng một và chỉ một số thực dương S p thỏa mãn các tínhchất sau:

1) Hai đa giác bằng nhau thì hai số tương ứng bằng nhau, có nghĩa là:

Nếu P = Q thì S P = S Q

2) Nếu có một đa giác được chia thành những đa giác không có điểmtrong chung thì số tương ứng với đa giác bằng tổng các số tương ứng với các

đa giác thành phần, có nghĩa là:

Nếu P P= ∪ ∪ ∪1 P2 P n và các P ( i i =1, )n không có điểm trongchung thì S P = S P1 ∪S P2 ∪ ∪ S P n

3) Hình vuông có cạnh bằng một đơn vị dài thì tương ứng với số 1

Số dương duy nhất thỏa mãn cả ba tính chất trên được gọi là diện tích

của đa giác P.

Nói cách khác, ta có ánh xạ S từ tập hợp M các đa giác P vào tập hợp

Nhờ ánh xạ trên, ta có thể đặt tương ứng mỗi đa giác P với một số dương duy nhất S P mà ta gọi là diện tích của đa giác P.

Đưa ra mệnh đề trên, Việt Nam đã lựa chọn xây dựng khái niệm diệntích thông qua giải quyết bài toán trong lý thuyết độ đo Sự tồn tại và duynhất của hàm độ đo được thừa nhận, vấn đề còn lại là xác định quy tắc tìm

ảnh của hàm độ đo ấy, hay nói cách khác là cách xác định số thực dương S P gắn với đa giác P Chính vì thế mà các công thức tính diện tích được quan

1.3.1.3 Diện tích trong chương trình Trung học phổ thông

Ở lớp 10, ngoài công thức 1

2

S = a h , học sinh được học thêm một

số công thức tính diện tích tam giác trong chương hệ thức lượng trong tamgiác như:

S = p p a p b p c( − )( − )( − ) , 1

.sin2

S = a b C,

4

a b c S

R

= , S = p r

Đến lớp 12, học sinh làm quen với khái niệm diện tích hình thang cong Tích phân được sử dụng như một công cụ hữu hiệu để hợp thức các công thức tính diện tích, thể tích đã học và để tính diện tích một số hình phẳng

Như vậy, bậc Trung học phổ thông (lớp 10, lớp 12) cung cấp thêm cáccông cụ để tính diện tích một hình, mà trong đó tích phân là một công cụ khámạnh Chúng ta cũng cần lưu ý rằng ở bậc Trung học phổ thông, chương trìnhkhông đưa vào các tính chất của diện tích cho trường hợp hình phẳng tổngquát Các tính chất của diện tích được ngầm thừa nhận, mở rộng cho trườnghợp hình không là đa giác

1.3.2 Nội dung và yêu cầu dạy học chủ đề diện tích đa giác ở trường Trung học cơ sở

* Các tính chất cơ bản của diện tích đa giác:

1 Nếu một đa giác được chia thành các đa giác không có điểm chung

thì diện tích của nó bằng tổng diện tích của các đa giác đó (tính cộng)

2 Các đa giác bằng nhau có diện tích bằng nhau (tính bất biến)

3 Hình vuông có cạnh bằng một đơn vị dài thì diện tích của nó là một

đơn vị vuông (tính chuẩn hóa)

4 Hai tam giác có cùng chiều cao thì tỉ số diện tích bằng tỉ số hai đáytương ứng với hai chiều cao

5 Hai tam giác có chung cạnh thì tỉ số diện tích bằng tỉ số hai chiềucao ứng với cạnh đó

6 Tam giác đều cạnh a có diện tích

2

3 a

* Các công thức tính diện tích của các đa giác đặc biệt:

1 Công thức tính diện tích hình chữ nhật:

Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó

S = a.b

2 Công thức tính diện tích hình vuông:

Diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh của nó

3 Công thức tính diện tích tam giác:

a) Diện tích tam giác:

Diện tích tam giác bằng nửa tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó

b) Diện tích tam giác vuông:

Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông

4 Công thức tính diện tích hình thang:

Diện tích hình thang bằng nửa tích của tổng hai đáy với chiều cao

Diện tích của tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau bằng nửa tích của hai đường chéo đó.

7 Công thức tính diện tích của hình thoi:

Diện tích hình thoi bằng nửa tích của hai đường chéo.

* Các nội dung rèn luyện kĩ năng:

- Tính diện tích các hình đặc biệt, một đa giác

1.3.3 Các dạng toán về diện tích trong sách giáo khoa

Qua thống kê các bài tập hình học chương II, sách giáo khoa lớp 8chương trình hiện hành có liên quan đến diện tích đa giác là 41 bài tập, chủyếu thuộc dạng toán:

Dạng 1: Tính diện tích bằng cách dùng hình vẽ (cắt dán, đo) có 7 bài

Dạng 2: Dùng công thức tính diện tích đa giác đặc biệt có 14 bài (gồm

6, 7, 9, 10, 14, 15, 17, 18, 21, 24, 26, 29, 32)

Dạng 3: Dùng tính chất của diện tích đa giác để giải bài toán có liên

quan đến diện tích có 20 bài (13, 16, 20, 23, 28, 30, 33, 34, 36, 37, 38, 40, 41,

42, 43, 44, 45, 46, 47) Ngoài ra còn có các dạng toán liên quan đến diện tíchtrong sách bài tập hiện hành có nâng cao, trong tài liệu bồi dưỡng học sinh

minh hoặc tiềm ẩn, nghĩa là sẽ hiện ra sau những biến đổi nhất định, các điều

kiện có liên quan đến bài toán Bộ phận thứ hai là yêu cầu gồm những thông

tin mà bài toán đòi hỏi phải tìm ra Đối với những bài toán phức tạp thì giữađiều kiện và yêu cầu là một khoảng cách khá xa, vì vậy để làm sáng tỏ cácyêu cầu cần trải qua nhiều quá trình lập luận, nhiều mắt xích lôgic Người giải

toán cần làm sáng tỏ những thông tin còn ở dạng tiềm ẩn từ những điều kiện

đã biết, cần phát hiện ra những mối liên hệ mới và hình thành những mâu thuẫn mới nhưng bớt phức tạp hơn, và cứ thế dần dần làm sáng tỏ yêu cầu cần

đạt tới của bài toán

Bài tập toán có vai trò quan trọng trong môn Toán Điều căn bản là bài

tập có vai trò giá mang hoạt động của học sinh Thông qua giải bài tập, học

sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thểhiện định nghĩa, định lí, quy tắc, phương pháp, những hoạt động Toán học

phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học, những hoạt độngtrí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ.

- Hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những giai đoạn khácnhau của quá trình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn

- Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những thao tác tư duy, hình thànhnhững phẩm chất trí tuệ

- Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩmchất đạo đức người lao động mới

Phương pháp chung để giải bài Toán

Một số người có tham vọng muốn có một thuật giải tổng quát để giảimọi bài toán Đó là điều ảo tưởng Ngay cả đối với những lớp bài toán riêngbiệt cũng có trường hợp có, trường hợp không có thuật giải Tuy nhiên, trang

bị những hướng dẫn chung, gợi ý cách suy nghĩ tìm tòi, phát hiện cách giảibài toán lại là có thể và cần thiết

Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của G.Pôlya (1975) về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễndạy học, có thể nêu lên phương pháp chung để giải bài toán như sau:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

Phát biểu đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bàitoán; phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh; có thể dùng côngthức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài

Bước 2: Tìm cách giải

Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán:biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đãcho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải vớimột bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơnhay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thùvới từng dạng toán như chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng

hình, toán quỹ tích,

Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệthoá kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liênquan,

Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách giải hợp línhất

Bước 3: Trình bày lời giải

Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp việc phải làm thành một chươngtrình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải

Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.Sau đây là một ví dụ minh họa

Ví dụ 1.9: Cho tam giác ABC vuông ở A M là một điểm thay đổi trên

cạnh BC Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu của điểm M trên AC và AB Với vịtrí nào của điểm M trên cạnh BC thì diện tích tứ giác AQMP lớn nhất

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

Để tìm vị trí của điểm M trên cạnh BC, sao cho diện tích APMQ lớnnhất, ta phải xét mối liên hệ giữa diện tích tứ giác APMQ với diện tích tamgiác ABC

Bước 2: Tìm cách giải

Hướng 1: Ta thấy SAPMQ = SABC – (SBQM + SCPM ) Vậy diện tích tứ giác

APMQ lớn nhất khi và chỉ khi SBQM + SCPM nhỏ nhất, tỉ số BQM CPM

ABC

S S S

+ nhỏ nhất