Một số mô hình toán kinh tế

Khi nghiên cứu các hiện tượng, vấn đề kinh tế- xãhội, các phương pháp trên thường không đem lại kết quả như mong muốn, bởi vì: - Những vấn đề kinh tế vốn dĩ là những vấn đề hết sức phức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

-TRẦN THỊ DÂN

MỘT SỐ MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Mục lục

Mở đầu 2

Chương 1 KHÁI QUÁT VỀ CÁC BÀI TOÁN KINH TẾ 4

1.1 Nhu cầu và mô hình toán học 4

1.1.1 Nhu cầu 4

1.1.2 Mô hình toán kinh tế: 5

1.1.3 Xây dựng mô hình toán kinh tế: 6

1.1.4 Một số vấn đề khi xây dựng mô hình toán kinh tế: 8

1.2 Một số mô hình thực tế 9

1.2.1 Bài toán sử dụng nguyên liệu 9

1.2.2 Bài toán vận tải: 11

1.2.3 Bài toán khẩu phần ăn: 12

1.3 Một số phương pháp giải 14

1.3.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính 14

1.3.2 Một vài phương pháp giải 16

Chương 2 MỘT SỐ MÔ HÌNH CỤ THỂ 32

2.1 Cân đối liên ngành tĩnh 32

2.1.1 Phát biểu bài toán 32

2.1.2 Bảng cân đối liên ngành dạng hiện vật 33

2.1.3 Bảng cân đối liên ngành dạng giá trị 42

2.2 Mô hình quản lý dự trữ 47

2.2.1 Phát biểu bài toán: 48

2.2.2 Các khái niệm và nguyên tắc chung của quản lý dự trữ 48

2.2.3 Xác định số lượng đặt hàng tối ưu và chi phí quản lý dự trữ (mô hình WILSON) 51 2.2.4 Một số ứng dụng mô hình WILSON 56

2.3 Bài toán lập lịch 62

2.3.1 Phát biểu bài toán 62

2.3.2 Thuật toán Jonhson giải bài toán lập lịch gia công trên hai máy 62

2.3.3 Kết quả thử nghiệm 66

Kết luận 71

Tài liệu tham khảo 72

Phụ lục 73

Mở đầu

Thời đại ngày nay chứng kiến nhiều phát triển đột phá tác động sâu sắc đến

sự phát triển kinh tế, văn hóa, xã hội Có được những thành quả đó, một phầnkhông nhỏ là sự phát hiện ra các quy luật tự nhiên, xã hội, từ đó có nhữngđịnh hướng đúng đắn cho bước phát triển tiếp theo Việc đưa ra những môhình toán học trong kinh tế chính là nhằm mục đích đó Thế giới đã ghi nhậncông lao của nhiều nhà khoa học trong lĩnh vực kinh tế thông qua giải Nobelhàng năm với những công trình xây dựng và phát triển các mô hình toán kinh tế

Với nguyện vọng muốn nghiên cứu thêm về các mô hình toán kinh tế cũngnhư những ứng dụng thực tế của chúng, tôi đã chọn đề tài “Một số mô hìnhToán kinh tế” làm Luận văn tốt nghiệp của mình

Mục đích của đề tài là tìm hiểu một số mô hình toán kinh tế thường gặp,cách giải quyết những bài toán kinh tế này và bước đầu ứng dụng qua những ví

dụ cụ thể

Luận văn gồm 2 chương không kể phần mở đầu, kết luận và phụ lục

Chương 1: trình bày những nét khái quát về mô hình toán kinh tế, một số

mô hình cụ thể và một vài phương pháp giải đã biết

Chương 2: trình bày ba mô hình cụ thể là bài toán cân đối liên ngành, môhình dự trữ và bài toán lập lịch Ngoài việc trình bày một cách hệ thống các

mô hình này, luận văn còn đưa ra những ví dụ trên những bộ số liệu cụ thể đểminh họa Riêng bài toán lập lịch đã được cài đặt bằng chương trình PASCAL

Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học, Đại học TháiNguyên dưới sự hướng dẫn của TS Vũ Mạnh Xuân Tác giả xin bày tỏ lòng kínhtrọng và biết ơn sâu sắc tới thầy về sự tận tình hướng dẫn trong suốt thời gian

tác giả làm luận văn.

Trong quá trình học tập và làm luận văn thông qua các bài giảng, tác giảthường xuyên nhận được sự quan tâm giúp đỡ và đóng góp ý kiến quý báu củacác thầy cô trong trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Từ đáy lòngmình, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy các cô

Xin chân thành cảm ơn các anh chị em học viên cao học K3A và các bạnđồng nghiệp đã động viên và khích lệ tác giả trong quá trình học tập, nghiêncứu và làm luận văn

Luận văn sẽ không hoàn thành được nếu không có sự thông cảm giúp đỡcủa người thân trong gia đình tác giả Đây là món quà tinh thần, tác giả xinkính tặng gia đình thân yêu của mình với tấm lòng biết ơn chân thành và sâu sắc

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, về cơ bản luận văn cũng đã đạt được các mụctiêu đề ra, song do điều kiện khách quan cũng như sức khỏe bản thân, luận vănchắc chắn còn nhiều khiếm khuyết Kính mong nhận được sự đóng góp của cácgiáo sư và đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn

Thái Nguyên, tháng 8 năm 2011

Tác giảTrần Thị Dân

Đã từ lâu khi con người muốn tìm hiểu, khám phá những hiện tượng trong

tự nhiên, họ đã biết quan sát, theo dõi và ghi nhận các hiện tượng này Kếtquả theo dõi được đúc kết thành kinh nghiệm và được lưu truyền qua các thế

hệ Đó là phương pháp trực tiếp quan sát trong nghiên cứu Đối với các sự vật,hiện tượng phức tạp hơn hoặc khi chúng ta chẳng những muốn tìm hiểu cáchiện tượng mà còn muốn lợi dụng chúng để phục vụ cho hoạt động của mìnhthì phương pháp quan sát là chưa đủ Trong trường hợp này, khi nghiên cứu cácđối tượng, các nhà khoa học hoặc là trực tiếp tác động vào đối tượng, hoặc sửdụng các mô hình tương tự (về mặt cấu trúc vật lý) như đối tượng, tiến hành thínghiệm, trực tiếp tác động vào đối tượng cần nghiên cứu, phân tích kết quả đểxác lập qui luật chi phối sự vận động của đối tượng Đó chính là phương pháp thínghiệm, thử nghiệm có kiểm soát và là phương pháp nghiên cứu phổ biến trongkhoa học tự nhiên và kĩ thuật Khi nghiên cứu các hiện tượng, vấn đề kinh tế- xãhội, các phương pháp trên thường không đem lại kết quả như mong muốn, bởi vì:

- Những vấn đề kinh tế vốn dĩ là những vấn đề hết sức phức tạp, đặc biệt lànhững vấn đề đương đại, trong đó có mối quan hệ đan xen, thậm chí tiềm ẩn

mà chúng ta không thể chỉ bằng quan sát là có thể giải thích được.

- Qui mô, phạm vi liên quan của những vấn đề kinh tế - xã hội nhiều khi rấtrộng và đa dạng, vì vậy khi dùng phương pháp thử nghiệm sẽ đòi hỏi chi phí rấtlớn về thời gian, tiền bạc và nhiều khi những sai sót trong quá trình thử nghiệm

sẽ gây ra hậu quả không thể lường trước được

- Ngay cả trong trường hợp có đủ điều kiện tiến hành các thử nghiệm trongnghiên cứu kinh tế thì kết quả thu được cũng kém tin cậy vì các hiện tượng kinh

tế - xã hội đều gắn với hoạt động con người Khi điều kiện thực tế khác biệt vớiđiều kiện thử nghiệm, con người có phản ứng khác nhau

Để nghiên cứu các hiện tượng, vấn đề kinh tế chúng ta phải sử dụng phươngpháp suy luận gián tiếp, trong đó các đối tượng trong hiện thực có liên quan tớihiện tượng, vấn đề ta quan tâm nghiên cứu sẽ được thay thế bởi "hình ảnh"củachúng: các mô hình của đối tượng và ta sử dụng mô hình làm công cụ phân tích

và suy luận Phương pháp này là phương pháp mô hình Nội dung cơ bản củaphương pháp mô hình bao gồm:

- Xây dựng, xác định mô hình của đối tượng Quá trình này gọi là mô hìnhhoá đối tượng

- Dùng mô hình làm công cụ suy luận phục vụ yêu cầu nghiên cứu Quá trìnhnày gọi là phân tích mô hình

Phương pháp mô hình khắc phục được hạn chế của các phương pháp trên,đồng thời với việc phân tích mô hình, phương pháp tạo khả năng phát huy tốthiệu quả của tư duy lôgíc, kết hợp nhuần nhuyễn giữa các phương pháp phântích truyền thống với hiện đại, giữa phân tích định tính với phân tích định lượng

Để có thể sử dụng có hiệu quả phương pháp mô hình hoá trong nghiên cứu kinh

tế vấn đề cốt lõi là xác lập được mô hình của đối tượng nghiên cứu

1.1.2 Mô hình toán kinh tế:

Vậy mô hình kinh tế, mô hình toán kinh tế là gì?

- Mô hình của các đối tượng trong lĩnh vực hoạt động kinh tế gọi là mô hìnhkinh tế.

- Mô hình toán kinh tế là mô hình kinh tế được trình bày bằng ngôn ngữtoán học

Bản chất của quá trình mô hình hoá một hiện tượng, một hệ thống kinh

tế là mô hình hoá quá trình vận động của nó, nghĩa là xây dựng phương trìnhtrạng thái cho nó Để xây dựng mô hình toán học của một hiện tượng, một hệthống kinh tế cụ thể, ta phải chọn các biến kinh tế cho nó, đó là các biến điềukhiển, các biến ngẫu nhiên (gọi là các biến vào) và các biến trạng thái, các biến ra(kết quả sản xuất), sau đó mô tả quan hệ giữa các biến đó bằng hệ thức toán học

1.1.3 Xây dựng mô hình toán kinh tế:

Việc mô hình hoá toán học các hiện tượng hoặc hệ thống kinh tế thườngđược tiến hành theo bốn bước sau

Bước 1: Xây dựng mô hình định tính cho đối tượng kinh tế cần nghiên cứu,nghĩa là xác định các yếu tố có ý nghĩa quan trọng nhất và xác lập các quy luật

mà các yếu tố kinh tế phải tuân theo Nói cách khác là phát biểu mô hình bằnglời, bằng biểu đồ cùng các điều kiện kinh tế, kĩ thuật, xã hội, tự nhiên và cácmục tiêu cần đạt được Để làm được điều đó cần:

- Xác định mục tiêu nghiên cứu đối tượng kinh tế cần mô hình (mục tiêunhận thức, phân tích, dự đoán, về đối tượng kinh tế đó)

- Nghiên cứu các học thuyết kinh tế, xã hội, khoa học kĩ thuật liên quan đếnđối tượng kinh tế cần nghiên cứu

- Xác định quan điểm của người nghiên cứu thông qua thực tiễn, lí luận vàcác mô hình liên quan đến đối tượng kinh tế cần nghiên cứu

Bước 2: Xây dựng mô hình toán học cho đối tượng kinh tế cần nghiên cứu,nghĩa là diễn tả lại dưới ngôn ngữ toán học cho mô hình định tính, bao gồm xácđịnh biến kinh tế và các ràng buộc của các biến kinh tế Nội dung gồm các viêc

Bước 4: Dựa vào các số liệu thu thập được, mô phỏng trên máy tính các tìnhhuống trong quá khứ và hiện tại, dự đoán và kiểm định sự phù hợp của mô hìnhđối với lí luận và thực tiễn Để nâng cao tính hiện thực của mô hình kinh tế đã

có, ta có thể thêm, bớt, thay đổi vai trò một số biến số kinh tế đã có, các tham

số và biến ngẫu nhiên, các hệ thức toán học ràng buộc của các biến kinh tế Đểphân tích sâu sắc hiện tượng hoặc hệ thống kinh tế đang xét, ta phân chia cácvấn đề nghiên cứa thành những chuyên đề độc lập và ứng với nó khái quát hoábằng các mô hình kinh tế con phù hợp, mỗi mô hình con lại nghiên cứu phântích như đã làm ở trên, sau đó lắp ghép các mô hình con thành một mô hìnhhoàn chỉnh mô phỏng đầy đủ đúng đắn, sâu sắc hiện tượng hoặc hệ thống kinh

tế cần nghiên cứu

1.1.4 Một số vấn đề khi xây dựng mô hình toán kinh tế:

1) Độ đo trong kinh tế là gì ?

Các đại lượng trong kinh tế rất đa dạng vì thế để có thể khảo sát cần có mộtcông cụ để so sánh giữa các đại lượng Chúng ta có thể hình dung vấn đề nàyqua một ví dụ đơn giản sau: " Trong mùa đông có thể bạn cần một bộ quần áo

ấm hơn một thiết bị giải trí, vì thế bạn sẽ đánh giá bộ quần áo ấm có giá trịhơn dù chúng có cùng giá thành như nhau Nhưng khi đã có một vài bộ quần áo

ấm rồi thì bạn lại đánh giá ngược lại, thiết bị giải trí kia có giá trị hơn bộ quần

áo ấm" Nên chúng ta cần phải tìm được một công cụ trong toán để so sánh 2đối tượng này

2) Bao quát được các tính chất đặc trưng

Khi muốn khảo sát một đối tượng nào đó chúng ta phải hiểu về nó Như vậy

để xây dựng được các mô hình toán trong kinh tế cần có những hiểu biết nhấtđịnh về kinh tế, các quan hệ giữa các đại lượng kinh tế, tầm quan trọng của mộtvài tham số đối với vấn đề chúng ta quan tâm Cần phải nắm được điều quantrọng nhất có ảnh hưởng quyết định tới vấn đề cần khảo sát là gì?

3) Tính toán các tham số

Các tham số sẽ quyết định kết quả khảo sát trên mô hình nhận được Cáctham số này nhận được từ quá trình theo dõi, nghiên cứu các số liệu thực tế củavấn đề cần khảo sát Quá trình tính toán các tham số đôi khi chiếm phần lớnthời gian trong quá trình xây dựng mô hình toán Điều này đặc biệt khó khăntại Việt Nam vì chúng ta chưa có hệ thống các dữ liệu thống kê chuẩn để phục

vụ cho nghiên cứu

1.2 Một số mô hình thực tế

1.2.1 Bài toán sử dụng nguyên liệu

Giả sử rằng để sản xuất n loại sản phẩm P 1 , P 2 , · · · , P n doanh nghiệp cầndùng m loại nguyên vật liệu S 1 , S 2 , · · · , S m Mỗi loại nguyên vật liệu có một dựtrữ nhất định, tương ứng bằng b 1 , b 2 , · · · , b m đơn vị Số đơn vị nguyên vật liệucần để sản xuất mỗi loại sản phẩm đã biết và được cho trong bảng 1.1

loại nguyên Dự trữ loại sản phẩmVật liệu Nguyên vật liệu P 1 P 2 P n

Vấn đề đặt ra là cần thiết lập một phương án sản xuất các loại sản phẩm

P 1 , P 2 , · · · , P n như thế nào để tổng thu nhập của doanh nghiệp là lớn nhất

Giả sử doanh nghiệp sản xuất x j đơn vị sản phẩm loại P j (j = 1, 2, · · · n); tấtnhiên mọi x j phải là số không âm (x j ≥ 0) Muốn vậy, doanh nghiệp cần dùng

Ví dụ : Để sản xuất 2 loại sản phẩm P 1 , P 2 cần dùng 2 loại nguyên vật liệu

S 1 , S 2 Các số liệu có liên quan được cho trong bảng dưới đây:

loại nguyên Dự trữ loại sản phẩmVật liệu Nguyên vật liệu P1 P2

x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0

Với hàm mục tiêu: F = 5x 1 + 4x 2 −→ max

Trong số tất cả các nghiệm không âm của hệ bất đẳng thức trên hãy tìm mộtnghiệm sao cho hàm mục tiêu F nhận giá trị lớn nhất

1.2.2 Bài toán vận tải:

Một hàng hoá cùng loại nào đó cần được vận chuyển từ m nơi giao (trạmphát)A 1 , A 2, ,A m với các lượng hàng dự trữ tương ứng là a 1 , a 2 , ,a m tới n nơinhận (trạm thu)B1, B2, ,B n với các yêu cầu tương ứng là b1, b2, ,b n Cước phívận chuyển một đơn vị hàng hoá từ nơi giaoA itới nơi nhậnB j làc ij đã biết trước

Hãy lập phương án vận chuyển sao cho thoả mãn các điều kiện được đặt ra

hiển nhiên tổng này phải bằng lượng hàng hoá khả năng của trạm này, tức là:

Hệ gồm m + n phương trình đại số tuyến tính với m × n ẩn

Với hàm mục tiêu tuyến tính :

1.2.3 Bài toán khẩu phần ăn:

Để giữ gìn sức khoẻ và khả năng lao động của con người, mỗi ngày chúng

ta cần phải được bổ sung vào cơ thể thông qua các bữa ăn một lượng nhấtđịnh các chất dinh dưỡng B i (i = 1, 2, m) như: prôtit, mỡ, muối khoáng, nước

và vitamin hàm lượng mỗi chất dinh dưỡng đó có trong các loại thức ăn P j

(j = 1, 2, , n) là khác nhau Thông thường hàm lượng các chất dinh dưỡng cótrong các loại thức ăn đã biết trước và nó được cho trong một bảng số với kíhiệu a ij là hàm lượng chất dinh dưỡng B i có trong một đơn vị thức ăn loại P i

Biết đơn giá của một đơn vị thức ăn loại P j là c j (j = 1, 2, n).Cần phải xácđịnh khẩu phần thức ăn như thế nào để giá thành của nó là nhỏ nhất mà vẫn

đảm bảo cho cơ thể một lượng dinh dưỡng mỗi loại B i không ít hơn nhu cầu tốithiểu hàng ngày là b i (i = 1, 2, m).

Tuy bài toán này có tên gọi là bài toán khẩu phần ăn song nó được ứngdụng vào rất nhiều lĩnh vực kinh tế khác nhau, đặc biệt trong các lĩnh vực côngnghiệp chế biến, trong đó có lĩnh vực hoá dầu

Để giải bài toán này ta đặtx j là lượng thực phẩm loạiP j có trong khẩu phầnthức ăn mà con người cần dùng Khi đó tổng số chất dinh dưỡng loạiB icó trongkhẩu phần thức ăn đó là:

1.3 Một số phương pháp giải

1.3.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính

QHTT là bài toán tìm cực tiểu (hay cực đại) của một hàm tuyến tính f (x)

trên một khúc lồi D ⊂ R n được xác định bởi một hệ phương trình hay bấtphương trình tuyến tính cho trước

Bài toán này có dạng : Tìm các biến số x 1 , x 2 , , x n thoả mãn điều kiện :

án, kí hiệu là D, gọi là miền ràng buộc hay miền chấp nhận được Hãy tìm mộtphương án tối ưu hay một lời giải cho bài toán đã cho?

Bài toán có ít nhất một phương án tối ưu gọi là bài toán có lời giải Bài toánkhông có phương án tối ưu (miền ràng buộc rỗng D = ∅) hoặc có phương ánnhưng không có phương án tối ưu, do hàm mục tiêu giảm vô hạn (bài toán min)hoặc tăng vô hạn (bài toán max), gọi là bài toán không có lời giải

Chú ý:

1) Các ràng buộc chính của bài toán được sắp xếp theo thứ tự : trước hếtcác rằng buộc ( ≤), rồi đến các rằng buộc ( ≥) và sau cùng là các ràng buộc (=)

2) m 1 là các số ràng buộc ( ≤), m 2 là các số ràng buộc ( ≥), m là là tổng các

ràng buộc chính, x j là biến số của bài toán, n 1 là số ràng buộc x j ≥ 0, n 2 là sốràng buộcx j ≤ 0(có thể n 1 = 0, n 2 = 0) Nếu không có ràng buộc( ≤)thì m 1 = 0,

không có ràng buộc ( ≥) thì m 2 = 0, không có ràng buộc (=) thì m = m 1 + m 2

3) Với bài toán bất kì , bao giờ ta cũng có thể viết các ràng buộc chính ởdạng sao cho mọi b i ≥ 0, (i = 1, 2, , m) ( nếu b j < 0 ta nhân cả hai vế của ràngbuộc i với ( −1), rồi đổi chiều dấu bất đẳng thức và sắp xếp lại thứ tự các ràngbuộc chính nếu cần)

Ví dụ: Bài toán vận tải đã xét ở mục (1.2.2)

Bài toán qui hoạch tuyến tính chính tắc được viết lại dưới dạng với (b ≥ 0) :

min {f(x) =< c, x >: Ax = b, x ≥ 0}

1.1) Đường lối chung

Phương pháp đơn hình dựa trên hai nhận xét sau:

- Nếu bài toán QHTT có phương án tối ưu thì có ít nhất một đỉnh của D làphương án tối ưu

- Đa diện lồi Dcó một số hữu hạn đỉnh Như vậy phải tồn tại một thuật toánhữu hạn Thuật toán gồm 2 giai đoạn :

Giai đoạn 1 Trước hết tìm 1 phương án cực biên (một đỉnh)

Giai đoạn 2 Kiểm tra điều kiện tối ưu đối với phương án đó

- Nếu điều kiện tối ưu được thoả mãn thì phương án đó là tối ưu nếu không

ta chuyển sang phương án cực biên mới sao cho cải tiến giá trị hàm mục tiêu.-Kiểm tra điều kiện tối ưu đối với phương án mới

Người ta thực hiện một dãy các thủ tục như vậy cho đến khi nhận được phương

án tối ưu, hoặc đến tình huống bài toán không có phương án tối ưu

1.2) Cơ sở của thuật toán

Xét bài toán QHTT dưới dạng chính tắc:

+) Bài toán (1.16) -(1.18) không suy biến

+) Biết trước một phương án cực biên x0 của bài toán

Ở phần sau sẽ nêu cách giải quyết những bài toán không thoả mãn các giả thiếtnày

Không giảm tổng quát, giả sử phương án cực biên x0 có dạng:

x0 = (x01, x02, · · · , x0m , 0, 0, · · · , 0), x0j ≥ 0(j = 1, 2, , m).

Kí hiệu : J 0 = {j : x 0

j > 0 } = {1, 2, · · · , m}

các véctơ A j , j ∈ J 0 là độc lập tuyến tính và |J0 | = m (do x0 không suy biến )

Hệ véctơ A j , j ∈ J 0 gọi là cơ sở của phương án x0. Để cho tiện, đôi khi tacũng gọi J 0 ( với các tính chất như trên) là cơ sở của x0. Các véctơ A j và cácbiến x j với j ∈ J 0 được gọi là các véctơ cơ sở và biến cơ sở tương ứng với x0.

Các véctơ A j và các biến x j với J 0 gọi là các véctơ và biến phi cơ sở

Kí hiệu B là ma trận lập nên bởi các véctơ cơ sở đang xét:

B = {A 1 , A 2 , , A m } khi đó,B có hạng bằngm và tồn tại ma trận nghịch đảo

Định lý 1:(Dấu hiệu tối ưu)

Nếu với phương án cực biên x0 của bài toán ta có hệ thức

∆ k ≤ 0, ∀(k = 1, 2, , n) (1.22)

thì x0 là phương án tối ưu

Định lý 2: (Dấu hiệu bài toán không có lời giải)

Nếu đối với phương án cực biên x0 tồn tại k / ∈ J 0 sao cho ∆ k > 0 và

z ij ≤ 0, ∀j ∈ J 0 thì bài toán đã cho không có phương án tối ưu và hàm mụctiêu giảm vô hạn trong miền ràng buộc của bài toán

Định lý 3: (Cải tiến phương án hiện có) Nếu tồn tại chỉ số s / ∈ J 0 sao cho

∆ s > 0 và z ij > 0 với ít nhất một j ∈ J 0 thì tìm được phương án cực biên mới x1

1.3) Thuật toán đơn hình

Dựa trên cơ sở lý thuyết vừa trình bày, ta có thuật toán sau để giải bài toánQHTT chính tắc gọi là thuật toán đơn hình

Bước 1: Tìm một phương án cực biên ban đầu x0 với cơ sở J 0 và A j , j ∈ J 0

gồm m véctơ cột độc lập tuyến tính của A (Cách tìm sẽ trình bày ở mục sau)

Với mỗi k / ∈ J 0 xác định các hệ số khai triển z jk theo (1.19), tính giá trị mụctiêu theo (1.20) và tính ước lượng của biến x k theo (1.21) Để cho gọn ta đặt:

z i0 = x0i, (i = 1, 2, , m)

Bước 2: (Kiểm tra tối ưu) Nếu zm+1,k ≤ 0, (∀k = 1, 2, , n) thì phương án x0

hiện có là phương án tối ưu theo (Định lý1) thì dừng thuật toán Trái lại chuyểnsang bước 3

Bước 3: (Kiểm tra bài toán không có lời giải) Nếu có 1 ≤ k ≤ n sao cho

tối ưu và hàm mục tiêu không bị chặn dưới trong miền ràng buộc của bài toántheo (định lý2) thì dừng thuật toán Trái lại chuyển sang bước 4

Bước 4: (Tìm véctơ đưa vào cơ sở) Với mỗi k (1 ≤ k ≤ n) mà z m+1,k > 0đềutồn tại i (i = 1, 2, m) với z ik > 0

Chọn s thoả mãn: z m+1,s = max {z m+1,k ; zm+1,k > 0, k ≥ 1}. Đưa véctơ A s vào

cơ sở

Bước 5: (Tìm véctơ đưa ra khỏi cơ sở) Tính giá trị θ 0 theo hệ thức

Giả sử tên của biến cơ sở thứ r là i r Đưa véc tơ A i ra khỏi cơ sở

Bước 6 (Xây dựng phương án cực biên mới)

Lập phương án mới x1 theo (1.23) với cơ sở mới là J 1 = (J ∪ s) Tính các hệ

số z 0

jk mới (i = 1, 2, , m + 1; k = 0, 1, , n). Trở lại thực hiện bước 2 và tiếp tụcthuật toán cho tới khi nhận được phương án tối ưu (bước 2) hoặc phát hiện bàitoán không có phương án tối ưu (bước 3) thì dừng

Với giả thiết bài toán không suy biến thì thủ tục giải nêu trên phải dừng saumột số hữu hạn bước lặp, bởi vì mỗi lần thực hiện bước 6 ta nhận được phương

án cực biên mới tốt hơn phương án phương án cực biên trước đó và số phương

án cực biên của bài toán là hữu hạn

Để tránh phải tính toán lại các hệ số z ik mỗi khi thay đổi từ cơ sở cũ sang

cơ sở mới (bước 6) ta có thể sử dụng các công thức sau đây gọi là công thức đổi

Mỗi bảng gồm m + n cột: cột biến cơ sở (ghi tên m biến cơ sở đối với phương

án đang xét), cột hệ sốC B (ghi hệ số mục tiêu của các biến cơ sở) và cột phương

án (ghi giá trị các biến cơ sở) tiếp theo là n cột ứng với n biến của bài toán

x 1 , x 2 , , x n , phía dưới tên biến ghi hệ số mục tiêu của nó Trong cột x k ghi các

hệ số khai triển của véctơ A k theo các véctơ cơ sở đang xét (véctơ Z k ) Ngoàidòng tiêu đề đã nêu, mỗi bảng có m + 1 dòng: m dòng đầu tương ứng với m

ràng buộc chính trong bài toán Dòng cuối cùng gọi là dòng mục tiêu, lần lượtghi giá trị hàm mục tiêu (phần tử z m+1,0 ) và ghi các ước lượng ∆ k của biến

x k , (k = 1, 2, , n), (các phần tử zm+1,kk ≥ 1) Theo (1.21): ∆ k = C B Z k − c k , ∀k

Để xây dựng các bảng đơn hình kế tiếp ta lần lượt thực hiện các việc 1.1)- 1.3)như sau:

• Tìm cột quay:

Nếu dòng mục tiêu không có phần tử dương ở các cột khác với cột phương

án, nghĩa làz m+1,k = ∆ k ≤ 0, ∀k = 1, 2, , n thì phương án hiện có là tối ưu.Trái lại, chọn cột x s với

làm cột quay (Đưa biến x s vào cơ sở mới)

• Tìm dòng quay Nếu cột quay không có phần tử dương ở các dòng khácvới dòng mục tiêu thì hàm mục tiêu sẽ giảm vô hạn và bài toán không cóphương án tối ưu

Trái lại, chia các phần tử trong cột phương án cho các phần tử dương tươngứng trong cột quay Dòng ứng với tỉ số nhỏ nhất được chọn được chọn làmdòng quay Phần tử ở dòng quay, cột quay gọi là phần tử quay, phần tửnày luôn dương và thường được khoanh tròn hoặc để trong ô được tô bóng

mờ Cụ thể dòng quay là dòng r thoả mãn (1.23) Biến cơ sở ở dòng này

bị này bị loại khỏi cơ sở cũ, chẳng hạn đó là biến x ir

• Biến đổi bảng đơn hình

+ Đổi cột Biến cơ sở : Biến cơ sở mới là x s thay cho biến cơ sở cũ là x ir ởdòng r

+ Đổi cột Hệ số C B : Hệ số mục tiêu c s thay cho hệ số c ir ở dòng r

+ Xác lập các véctơ đơn vị: Ghi số 1 vào ô có cùng tên biến trên dòng vàcột của nó, ghi số 0 vào các ô còn lại của cột vừa ghi số 1 (Cột ứng vớibiến cơ sở là cột đơn vị)

+ Biến đổi dòng quay (công thức (1.24) với i = r):

Hình 1.2:

* Trường hợp bài toán suy biến thì trong quá trình thực hiện thuật toán đơnhình có thể xảy ra hiện tượng: Tỉ số nhỏ nhất θ 0 đạt tại nhiều chỉ số, do đó cónhiều biến đạt tiêu chuẩn loại khỏi cơ sở cũ Nếu gặp hiện tượng này thì ở bướclặp sau đó có thể xảy ra θ 0 = 0 Khi đó, phương án cực biên và trị hàm mục tiêukhông đổi, chỉ có cơ sở của nó thay đổi (Chú ý là giá trị hàm mục tiêu giảm

một lượng bằng tích (θ 0 × ∆ s = 0 do θ 0 = 0) Vì thế, sau một số phép biến đổiđơn hình ta có thể gặp lại cơ sở cũ, tình huống đó gọi là hiện tượng xoay vòng.Nếu không có biện pháp khắc phục thì thuật toán đơn hình không thể kết thúc

Sau đây là qui tắc đơn giản để tránh xoay vòng do R.G.Bland đề xuất năm1977:

1) Chọn cột x s có chỉ số s nhỏ nhất mà ∆ s > 0 làm cột quay (đưa vectơ A s

vào cơ sở)

2) Nếu có nhiều biến đạt tiêu chuẩn loại khỏi cơ sơ cũ thì ta chọn biến có chỉ

số nhỏ nhất Dòng chứa biến cơ sở này được chọn làm dòng quay

Tuy nhiên do hiện tượng xoay vòng rất hiếm gặp trong thực tiễn nên khi cónhiều khả năng chọn cột (dòng) quay ta có thể chọn tuỳ ý một trong số các cột(dòng) đó

1.5) Tìm phương án cực biên và cơ sở ban đầu

Trường hợp 1:Hệ ràng buộc lấy dấu ( ≤)

Ta thêm vào vế trái của hệ ràng buộc các ẩn số phụ x n+1 ≥ 0; i = 1, 2, , m

để biến hệ bất phương trình thành hệ phương trình Trong hàm mục tiêu các

ẩn số phụ có hệ số bằng 0 Ta có bài toán tương đương

F (x) = f (x) = c 1 x 1 + c 2 x 2 + · · · + c n x n + 0x n+1 + 0x n+2 + · · · + 0x n+m −→ min

Giả thiết rằng b i , (i = 1, 2, , m). Bài toán trên sẽ gọi là bài toán xuất phát,

ta sẽ giải bài toán mở rộng sau, gọi là bài toán (M) :

có các biến giả bằng 0

Nếu(x 1 , x 2 , , x n )là một phương án của bài toán xuất phát thì(x 1 , x 2 , , x n , 0, 0, , 0)

là một phương án của bài toán (M) và ngược lại

Chú ý:

Để giải một bài toán qui hoạch tuyến tính tuỳ ý ta thực hiện các bước sau:

+) Đổi bài toán tìm cực đại ban đầu (f → max) thành bài toán tìm cực tiểu

biên x0= (0, 0, 1, 2). Cơ sở của x0 là {A3 , A 4 }.Quá trình giải thể hiện ở bảng 1.3như sau:

Bài toán đặt ra có thể phát biểu theo ngôn ngữ hình học như sau: trong sốcác đường mức cắt tập D, hãy tìm đường mức với giá trị mức lớn nhất.

Nếu dịch chuyển song song các đường mức theo hướng vectơ pháp tuyến củachúng~n = (c 1 , c 2 )thì giá trị mức sẽ tăng lên, nếu dịch chuyển theo hướng ngượclại thì giá trị mức sẽ giảm Vì vậy để giải bài toán đặt ra ta có thể tiến hànhnhư sau:

Bắt đầu từ một đường mức cắt D ta chuyển dịch song song các đường mứctheo hướng vectơ pháp tuyến ~n = (c 1 , c 2 ) cho đến khi nào việc dịch chuyển tiếptheo làm cho đường mức không còn cắt D nữa thì dừng; giao điểm của D(có thểnhiều điểm) nằm trên đường mức cuối cùng này sẽ là lời giải tối ưu cần tìm, còngiá trị của hàm mục tiêu tại đó chính là giá trị tối ưu của bài toán

Ví dụ 1: Ta xét “Bài toán nguyên liệu”:

x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0

Bài toán này chỉ có 2 ẩn nên các bất phương trình là các nửa mặt phẳngtrong không gian 2 chiều (mặt phẳng), ta biểu diễn các mặt phẳng này trên toạ

độ Đề-các vuông góc Tập hợp các điểm trên mặt phẳng toạ độ thoả mãn tất

cả các bất đẳng thức của hệ ràng buộc lập thành 1 đa giác lồi được gọi là đagiác lồi các nghiệm của hệ bất phương trình đã cho Các cạnh của đa giác lồinằm trên các đường thẳng mà phương trình của nó nhận được bằng cách thayđổi các bất đẳng thức bằng các đẳng thức, đa giác lồi chính là giao của các nửamặt phẳng giới hạn bởi các đường này

Với bài toán trên ta thể hiện các đường thẳng trên mặt phẳng toạ độ hình 1.3a

(IV ) (F ) O

x2

x1

6 4 3

2 4 8 (III)

(IV ) (F ) O

x2

x1

6 4 3

2 4 8

hinh 1.3aCác đường thẳng này đựơc biểu diễn ở hình trên trong đó các mũi tên chỉhướng nửa mặt phẳng thoả mãn bất đẳng thức

Hàm mục tiêu f (x) = 5x 1 + 4x 2 là hàm tuyến tính của các ẩn x 1 , x 2 Một câuhỏi đặt ra là những điểm nào làm cho hàm f nhận cùng một giá trị C và đượcsắp xếp như thế nào trên mặt phẳng Để trả lời câu hỏi này ta chỉ cần cho hàm

f nhận giá trị C và xét phương trình:

5x 1 + 4x 2 = C

Phương trình này xác định một đường thẳng trên mặt phẳng, nó cũng là quỹtích của các điểm mà hàm f nhận giá trị C cho trước và được gọi là đường mứchay đường đẳng giá của hàm mục tiêu f

Thay đổi giá trị C ta nhận được họ các đường thẳng song song với nhau.Hiển nhiên, qua mỗi điểm của mặt phẳng chỉ có duy nhất 1 đường thẳng thuộc

họ các đường thẳng đó đi qua Như trong hình học giải tích ta đã biết, họ cácđường thẳng này cùng vuông góc với 1 vectơ (pháp tuyến) có tọa độ (5,4) Vìcần tìm giá trị của hàm f −→ maxnên ta dịch chuyển đường đẳng giá theo chiềuvectơ pháp tuyến, điểm cuối cùng thuộc đa giác lồi và nằm trên đường đẳng giá

sẽ là điểm cho giá trị hàm mục tiêu lớn nhất

Với bài toán này, điểm cuối cùng thuộc đa giác lồi và nằm trên đườngđẳng giá là điểm Q(2, 3) Vậy lời giải tối ưu của bài toán là x 1 = 2; x 2 = 3

và f max = 5.2 + 4.3 = 22

Nghiệm tương ứng của bài toán là phương án sản xuất tốt nhất đảm bảo cho

xí nghiệp có thu nhập cao nhất trong phạm vi giới hạn các nguồn dự trữ vậtliệu có nghĩa là nếu sản xuất : 2 đơn vị sản phẩm P 1 và 3 đơn vị sản phẩm P 2

thì xí nhgiệp có tổng thu nhập lớn nhất f max = 22

mà giá thành của nó lại nhỏ nhất là khẩu phần thức ăn gồm: 12 đơn vị thựcphẩmP 1 và 1 đơn vị sản phẩm P 2 giá thành tương ứng là f min = 2.12 + 5.1 = 29

Tóm lại: Qua hai ví dụ trên cho ta thấy rằng nếu nghiệm của bài toán tồn tại

và duy nhất thì nó đạt tại đỉnh nào đó của đa giác lồi các nghiệm nếu nghiệm

là không duy nhất thì tập hợp các nghiệm là vô hạn và chúng đạt ở tất cả cácđiểm của một cạnh nào đó (và tất nhiên nó cũng đạt trên các đầu mút của cạnhđó) thuộc đa giác lồi các nghiệm Như vậy luôn tìm được một đỉnh của đa giáclồi các nghiệm để nghiệm tối ưu đạt được tại đó (nếu nó tồn tại)

Ví dụ 3: Ta xét một ví dụ đơn giản của bài toán trong không gian 3 chiều :Cho hệ bất đẳng thức:

Ta giải bài toán này như sau: Trong không gian 3 chiều ta đưa vào hệ toạ

độ vuông góc Ox 1 x 2 x 3 Những điểm có toạ độ thoả mãn hệ bất đẳng thức trênlập nên một đa diện lồi và được gọi là đa diện lồi các nghiệm của hệ đó Cácdiện của đa giác lồi đó nằm trên những mặt phẳng, phương trình của nhữngmặt phẳng này nhận đựơc bằng cách thay các dấu bất đẳng thức trong hệ ràngbuộc bằng dấu đẳng thức, hình (1.4) thể hiện các mặt phẳng và nghiệm của bàitoán

Hình 1.4:

Nếu cho hàm mục tiêu tuyến tính F nhận giá trị C,

ở đây F = −x 1 − 2x 2 − 3x 3 = C, nó sẽ xác định trong không gian một mặtphẳng được gọi là mặt mức (mặt đẳng giá) Cho C những giá trị khác nhau tađược họ các mặt phẳng song song với nhau

Véctơ −→G chỉ chiều mà khi dịch chuyển theo chiều đó hàm mục tiêu F giảmnhững giá trị lớn hơn đến những giá trị nhỏ hơn Véctơ ngược −→G là véctơ pháptuyến của mặt đẳng giá vectơ này có toạ độ− →n = (−1, −2, −3), Trên hình (1.4) tathấy mặt đẳng giá có giá trị nhỏ nhất sẽ chứa đỉnh N = (0, 0, 4) Do đó nghiệmtối ưu của bài toán QHTT mà ta đang xét là x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = 4 và giá trịhàm mục tiêu F min = −12.

Tương tự như các ví dụ trên ta có thể biểu diễn bằng hình học, giải thíchđược ý nghĩa và tìm được lời giải của các bài toán quy hoạch tuyến tính kháctrong không gian 2 chiều, 3 chiều và có thể mở rộng cho không gian n chiều Tuy nhiên, trong không gian n chiều với n > 3ta rất khó tưởng tượng, bởi vì nókhông thể nhận biết được bằng trực quan

Chương 2

MỘT SỐ MÔ HÌNH CỤ THỂ

Chương này trình bày ba mô hình toán kinh tế đó là: Mô hình cân đối liênngành tĩnh; mô hình quản lý dự trữ và bài toán lập lịch

2.1 Cân đối liên ngành tĩnh

Mô hình cân đối liên ngành dùng để phân tích, lập kế hoạch sản xuất vàphân phối sản phẩm ở các mức độ khác nhau: từ các xí nghiệp riêng lẻ, các công

ty, tổng công ty, các ngành, cho đến toàn bộ nền kinh tế quốc dân Nó cho phépxây dựng mô hình toán kinh tế dạng hệ phương trình và ma trận, do đó có khảnăng áp dụng các phương pháp tính toán hiện đại

2.1.1 Phát biểu bài toán

Giả sử trong nền kinh tế quốc dân có n ngành, mỗi ngành xuất hiện hai lần:một lần xuất hiện với tư cách là ngành sản xuất và một lần xuất hiện với tưcách là ngành tiêu thụ Chẳng hạn một ngành A với tư cách là một trong n

ngành đã sản xuất ra sản phẩm sau đó đầu tư cho các ngành còn lại hoặc chínhngành A Nói một cách khác thì các ngành còn lại hoặc chính ngành A đã tiêuthụ sản phẩm của ngành A (đầu ra) và đầu ra của các ngành khác sẽ tác độngvào nó như là đầu vào Yêu cầu đặt ra là hãy phân tích mối quan hệ đầu vào -

ra giữa n ngành nói trên từ đó lập kế hoạch sản xuất và phân phối sản phẩmcho n ngành sao cho phù hợp trong nền kinh tế quốc dân?

2.1.2 Bảng cân đối liên ngành dạng hiện vật

Trước khi giải bài toán ta xác lập mô hình toán học

Ta có bảng cân đối liên ngành dạng hiện vật (hình 2.1):

Hình 2.1:

Các hình vuông trong bảng gọi là các hình vuông cân đối, trong đó:

- Hình vuông I: Chứa các luồng tư liệu sản xuất liên ngành

- Hình vuông II: Trình bày sản phẩm cuối cùng và tổng sản phẩm của cácngành

- Hình vuông III: Chỉ ra thu nhập quốc dân của các lĩnh vực về mặt cơ cấugiá trị

- Hình vuông IV: Phản ánh tổng thu nhập của nền kinh tế quốc dân và phânphối của nó

Nếu biết các hệ số chi phí trực tiếp thì ta có thể giải được bài toán sau:

1 Đã cho biết các giá trị sản cuối cùngy i , i = 1, 2, · · · , n. Yêu cầu đặt ra: Tìmtổng sản phẩm x i , i = 1, 2, · · · , n? Để giải quyết bài toán này ta chuyển tất cảcác ẩn số x i sang vế trái, còn vế phải là các y i đã biết:

2 Sau khi tìm được tổng sản phẩm x i , i = 1, 2, · · · , n,nhờ các ma trận chi phí

ta có thể xác định được các luồng cân đối:

x ij = a ij x j (2.9)

và lập bảng cân đối liên ngành

3 Đã cho các tổng sản phẩm x i , i = 1, 2, · · · , n. Yêu cầu đặt ra là: Tìm cácgiá trị của các hàm sản phẩm cuối cùng y i , i = 1, 2, · · · , n? Từ (2.7) ta có ngay:

Bài toán này được giải quyết như sau:

là 14.

Ví dụ 2: Giả sử có 3 ngành 1) Chăn nuôi; 2) Trồng trọt; 3) Chế biến Đốivới ngành này cho ma trận các chi phí trực tiếp và các tổng sản phẩm: