Môđun cohen macaulay chính tắc

Schenzel đã chứng minh rằng nếu R là miền nguyên thì R là vành Macaulay chính tắc nếu và chỉ nếu R có một Macaulay hóa song hữu tỷ, tức là tồn tại một vành trung gian S giữa R và trường

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

MÔĐUN COHEN – MACAULAY CHÍNH TẮC

PHẠM ANH TUẤN

LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

THÁI NGUYÊN 2014

Lời nói đầu 2

1 Vành và môđun Cohen-Macaulay 4 1.1 Chiều Krull của môđun hữu hạn sinh 4

1.2 Đa thức Hilbert - Samuel 8

1.3 Dãy chính quy và độ sâu của môđun hữu hạn sinh 11

1.4 Vành và môđun Cohen-Macaulay 18

2 Môđun Cohen-Macaulay chính tắc 24 2.1 Biểu diễn thứ cấp 24

2.2 Dãy lọc chính quy chặt 29

2.3 Môđun Cohen-Macaulay chính tắc 32

Kết luận 41

Tài liệu tham khảo 42

1

2

Trong suốt luận văn này, luôn giả thiết R là vành giao hoán Noether với

iđêan tối đại duy nhất m Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull

dim M = d Chú ý rằng độ sâu của M không vượt quá chiều của nó, tức là ta luôn

có depth M ≤ dim M Nếu depth M = dim M thì ta nói M là môđun

Cohen-Macaulay Vành R được gọi là vành Cohen-Macaulay nếu nó là R-môđun

là Cohen-Macaulay Chú ý rằng nếu M là Cohen-Macaulay thì M là môđun

Cohen-Macaulay chính tắc, nhưng chiều ngược lại không đúng Năm 2004, P

Schenzel đã chứng minh rằng nếu R là miền nguyên thì R là vành Macaulay chính tắc nếu và chỉ nếu R có một Macaulay hóa song hữu tỷ, tức là tồn tại một vành trung gian S giữa R và trường các thương Q(R) của R sao cho S

Cohen-là R-môđun hữu hạn sinh và S Cohen-là vành Cohen-Macaulay Năm 2012, trong một

bài báo đăng trên Tạp chí Đại số, M Brodmann và Lê Thanh Nhàn đã đưa ra một số đặc trưng quan trọng của lớp môđun Cohen-Macaulay chính tắc

Mục đích của luận văn là trình bày lại các kết quả về môđun Macaulay chính tắc trong bài báo trên của M Brodmann và Lê Thanh Nhàn

Cohen-Luận văn gồm 2 chương Chương 1 trình bày lại các khái niệm và các kết quả quan trọng về vành và môđun Cohen-Macaulay Chương 2 là nội dung chính của luận văn, trình bày các kết quả về mô đun Cohen-Macaulay chính tắc

sĩ toán học, chuyên ngành Đại số và Lí thuyết số

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Cô giáo phụ trách Khoa Sau đại học, TS Ma Thị Ngọc Mai, và Thầy giáo trợ lí Sau đại học của Khoa Toán, TS Trần Nguyên An, đã quan tâm lo lắng cho tôi trong suốt thời gian học tập tại Trường

Tôi xin cảm ơn Bố mẹ tôi đã luôn động viên tôi, để tôi có đủ nghị lực hoàn thành chương trình và luận văn thạc sĩ

Vành và môđun Cohen-Macaulay

1.1 Chiều Krull của môđun hữu hạn sinh

Trong suốt tiết này, cho R là một vành giao hoán Noether (không nhấtthiết địa phương) Cho M là R-môđun hữu hạn sinh Trước hết chúng tanhắc lại khái niệm chiều cho các vành Noether

1.1.1 Định nghĩa Một dãy p0 ⊂ p1 ⊂ ⊂ pn các iđêan nguyên tốcủa R thỏa mãn điều kiện pi = pi+1 với mọi i được gọi là một dy iđêan

nguyên tố độ dài n của R Chiều (Krull) của vành R, kí hiệu là dim R,

là cận trên của các độ dài của các dãy iđêan nguyên tố của R

Chẳng hạn, để tính chiều của vành Z các số nguyên, ta thấy rằng dãy{0} ⊂ 2Z là một dãy iđêan nguyên tố độ dài 1 Chú ý rằng nếu I làmột iđêan nguyên tố của Z thì I = {0} hoặc I có dạng pZ với p là sốnguyên tố Do đó cận trên của các độ dài của các dãy iđêan nguyên tốtrong Z là 1 Vì thế dim Z = 1

Tiếp theo, chúng ta nhắc lại khái niệm chiều Krull cho các môđun hữuhạn sinh Đặt AnnRM = {a ∈ R | aM = 0} Dễ thấy rằng AnnRM làmột iđêan của R

1.1.2 Định nghĩa Chiều (Krull) của M, kí hiệu là dim M, được định

nghĩa là chiều của vành thương R/ AnnRM

4

Chẳng hạn, xét R := Z là vành các số nguyên Xét M := Z/12Z làmột Z-môđun hữu hạn sinh Ta có AnnZM = 12Z Vì thế dim M làchiều của vành thương Z/12Z Vành thương này có 2 iđêan nguyên tố là3Z/12Z và 2Z/12Z Do đó dim M = 0.

Tiếp theo, chúng ta trình bày một số tính chất cơ sở về chiều Từ nay

về sau, với mỗi iđêan I của R ta kí hiệu Var(I) là tập các iđêan nguyên

tố của R chứa I Nhắc lại rằng tập giá của M, kí hiệu là SuppRM ,

được cho bởi công thức Supp M = {p ∈ Spec(R) | Mp = 0} Đốivới một R-mô đun L tùy ý (không nhất thiết hữu hạn sinh) ta luôn cóSuppRL ⊆ Var(AnnRL) Đặc biệt, từ giả thiết M là hữu hạn sinh tacòn có thêm bao hàm thức ngược lại, tức là SuppRM = Var(AnnRM ).Vì thế ta có mối liên hệ giữa chiều của M và chiều của SuppRM

1.1.3 Bổ đề dim M chính là cận trên của các độ dài của các dy

nguyên tố lồng nhau trong SuppRM

Một trong những kết quả cơ sở rất quan trọng về chiều là công thứctính chiều của vành đa thức (xem [Mat, Định lí 15.4])

1.1.4 Mệnh đề Kí hiệu R[x1, , xn] là vành đa thức n biến với hệ số

trên R Khi đó

dim R[x1, , xn] = n + dim R

Một iđêan nguyên tố p của R được gọi là một iđêan nguyên tố liên

kết của M nếu tồn tại 0 = x ∈ M sao cho p = AnnRx Tập cáciđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là AssRM Như phầntrên đã nhắc, vì M hữu hạn sinh nên SuppRM = Var(AnnRM ) Do

đó min SuppRM = min Var(AnnRM), trong đó với mỗi tập con T củaSpec(R) ta kí hiệu min(T ) là tập các phần tử tối thiểu của T theo quan hệbao hàm Theo [Mat, Định lí 6.5(iii)] ta có min Ass M = min Supp M.Vì vậy ta có thể tính chiều của các môđun hữu hạn sinh thông qua chiềucủa các iđêan nguyên tố liên kết

1.1.5 Bổ đề Tập các iđêan nguyên tố liên kết tối thiểu của M chính là

tập các iđêan nguyên tố tối thiểu chứa AnnRM Đặc biệt ta có

dim M = max{dim(R/p) | p ∈ AssRM}

1.1.6 Ví dụ Cho K là một trường và R = K[x, y, z là vành đa thức 3

biến với hệ số trên K Đặt M = R/(x2, y)R∩ (z3)R Khi đó AssRM ={p1, p2}, trong đó p1 = (x, y)R và p2 = zR Ta có dim(R/p1) = 1 vàdim(R/p2) = 2 Vì thế dim M = max{1, 2} = 2

Tiếp theo, chúng ta nhắc lại tính chất về chiều của vành các chuỗi lũythừa hình thức Đặt R[[x]] =
∞

i=0

aixi | ai ∈ R, ∀i Mỗi phần tử của

R[[x]] được gọi là một chuỗi lũy thừa hình thức của biến x với hệ số

R[[x]] là một vành giao hoán Noether Vành R[[x]] được gọi là vành các

chuỗi lũy thừa hình thức của biến x trên R Vành chuỗi lũy thừa hình

thức n biến x1, , xn với hệ số trên R, kí hiệu là R[[x1, , xn]], được

dim(R/J) = max{dim R/(x, y), dim(R/(y, z, t)} = 2

Nhắc lại rằng một vành giao hoán Noether được gọi là vành địa phương

nếu nó có duy nhất một iđêan tối đại Trong phần cuối tiết này, chúng

ta giả thiết (R, m) là một vành Noether địa phương với iđêan tối đại duynhất m Bây giờ chúng ta nghiên cứu chiều của môđun khi chuyển qua

đầy đủ m-adic

1.1.9 Định nghĩa Một dãy (xn) ⊆ R được gọi là một dy Cauchy theo

tôpô m-adic nếu với mỗi k ∈ N cho trước, tồn tại số tự nhiên n0 saocho xn ư xm ∈ mk với mọi n, m ≥ n0 Dãy (xn) ⊆ R được gọi là dy

không nếu với mỗi k ∈ N cho trước, tồn tại số n0 sao cho xn ∈ mk vớimọi n ≥ n0 Ta trang bị quan hệ tương đương trên tập các dãy Cauchynhư sau: Hai dãy Cauchy (xn), (yn) được gọi là tương đương nếu dãy

(xnưyn) là dãy không Kí hiệu R là tập các lớp tương đương Chú ý rằngquy tắc cộng (xn) + (yn) = (xn+ yn) và quy tắc nhân (xn)(yn) = (xnyn)không phụ thuộc vào cách chọn các đại diện của các lớp tương đương.Vì thế nó là các phép toán trên R và cùng với hai phép toán này, R làmthành một vành Noether địa phương với iđean tối đại duy nhất là m R.Vành R vừa xây dựng được gọi là vành đầy đủ của R theo tôpô m-adic.

Một dãy (zn) ⊆ M được gọi là dy Cauchy theo tôpô m-adic nếu với

mỗi k ∈ N cho trước, tồn tại n0 sao cho zn ư zm ∈ mkM Từ khái niệm

dãy Cauchy như trên, tương tự ta định nghĩa được khái niệm môđun đầy

đủ theo tôpô m-adic trên vành R Môđun này được kí hiệu là M

Kết quả sau đây cho ta công thức tính chiều của một môđun khi chuyểnqua đầy đủ m-adic (xem [Mat, Định lí 15.1(ii)])

1.1.10 Bổ đề dim M = dim(M)

1.1.11 Ví dụ Cho K là một trường và S = K[x1, , xn] là vành đathức n biến với hệ số trên K Đặt M = (x1, xn)S Khi đó M là iđêancực đại thuần nhất duy nhất của S Xét vành địa phương hóa R = SM

Rõ ràng R là vành địa phương với iđêan tối đại là m = (x1, xn)R

Chúng ta có thể kiểm tra được vành đầy đủ m-adic của R chính làK[[x1, , xn]] Do đó ta có

dim SM = dim K[[x1, , xn]] = n

1.2 Đa thức Hilbert - Samuel

Trong suốt tiết này, luôn giả thiết (R, m) là vành Noether địa phươngvới iđêan tối đại duy nhất m Cho M là R-môđun hữu hạn sinh vớidim M = d và I là một iđêan của R

Ta gọi I là iđêan nguyên sơ nếu I = R và từ điều kiện xy ∈ I kéo

theo x ∈ I hoặc tồn tại số n > 0 sao cho yn ∈ I với x, y ∈ R Chú ýrằng nếu I là iđêan nguyên sơ thì tập hợp

Rad(I) := {x ∈ R | ∃n ∈ N để xn ∈ I}

là một iđêan nguyên tố p của R và khi đó ta gọi I là iđêan p-nguyên sơ.

Chú ý rằng khi I nguyên sơ thì Rad(I) là iđêan nguyên tố, nhưng chiềungược lại không đúng Tuy nhiên, nếu Rad(I) là iđêan cực đại thì I làiđêan nguyên sơ

Một dãy các môđun con lồng nhau 0 = M0 ⊂ M2 ⊂ ⊂ Mn = M ,trong đó Mi = Mi+1 với mọi i, được gọi là một dãy môđun con độ dài

n Độ dài của M, kí hiệu là ℓR(M ), là cận trên của các độ dài củacác dãy môđun con của M Chú ý rằng ℓR(M ) < ∞ nếu và chỉ nếutồn tại một dãy môđun con bão hòa của M, tức là một dãy môđun con

0 = M0 ⊂ M2 ⊂ ⊂ Mn = M của M sao cho không thể chèn thêmbất cứ môđun con nào trong tất cả các mắt của dãy trên Trong trườnghợp này, mọi dãy môđun con của M đều có thể mở rộng thành một dãymôđun con bão hòa và mọi dãy môđun con bão hòa của M đều có chung

độ dài Chúng ta có thể kiểm tra các điều kiện tương đương sau đây chocác môđun có độ dài hữu hạn

1.2.1 Bổ đề Giả sử M = 0 Các phát biểu sau là tương đương

(i) M có độ dài hữu hạn;

(ii) AnnRM là iđêan m-nguyên sơ;

(iii) dim M = 0

Định lí sau đây cho ta 2 bất biến tương đương với chiều

1.2.2 Định lý ([Mat, Định lí 13.4]) Cho q là một iđêan m-nguyên sơ.

Khi đó, ℓ(M/qnM ) là một đa thức với hệ số hữu tỷ khi n đủ lớn và

dim M = deg ℓ(M/qnM )

= inf

t| ∃x1, , xt ∈ m, ℓ(M/(x1, , xt)M ) < ∞

Đa thức ℓ(M/qnM ) trong định lí trên được gọi là đa thức Hilbert

-Samuel của M ứng với iđêan m-nguyên sơ q Vì R là vành Noethernên m là hữu hạn sinh Do đó tồn tại hữu hạn phần tử x1, , xt ∈ msao cho m = (x1, , xt)R Chú ý rằng ℓ(M/mM ) < ∞ Do đóℓ(M/(x1, , xt)M ) < ∞ Vì thế, theo Định lí 1.2.2 ta có hệ quả sau

1.2.3 Hệ quả dim M < ∞.

Giả sử x ∈ m Đặt M1 = M/xM và dim M1 = k Theo Định lítrên, tồn tại x1, , xk ∈ m sao cho ℓ(M1/(x1, , xk)M1) < ∞ Do đóℓ(M/(x, x1, , xk)M) < ∞ Theo Định lí 1.2.2 ta có d
k + 1 Do đó

dư 1
k Vì thế

dim(M/xM) ≥ d ư 1 với mọi x ∈ m

Bằng quy nạp theo số phần tử của dãy và sử dụng Định lí 1.2.2 ta có thểchỉ ra được kết quả sau

1.2.4 Hệ quả Nếu x1, , xr ∈ m thì ta có

dim(M/(x1, , xr)M ) ≥ d ư r

1.2.5 Định nghĩa Một hệ (x1, , xd) ⊆ m được gọi là một hệ tham

số của M nếu ℓ(M/(x1, , xd)M) < ∞ Một hệ (x1, , xr) ⊆ m với

r
d, được gọi là một phần hệ tham số của M nếu

dim(M/xM) = dim(R/(xR + AnnRM)) ≥ dim(R/p) = d,

điều này là vô lí Vì vậy chúng ta có tiêu chuẩn để một phần tử x ∈ m

là phần tử tham số như sau

1.2.6 Bổ đề Giả sử dim M = d Cho x ∈ m Khi đó x là phần tử

tham số của M nếu và chỉ nếu x / ∈ p với mọi p ∈ AssRM thỏa mn

dim(R/p) = d

1.2.7 Ví dụ Cho R = K[[x, y, z]] là vành các chuỗi lũy thừa hình thức

3 biến với hệ số trên một trường K Đặt M = R/J, trong đó J =(x2, y3)R ∩ zR Ta có R là vành địa phương với iđêan tối đại duy nhất

m = (x, y, z)R và AssRM = {p1, p2}, trong đó p1 = (x, y)R và p2 = zR

Ta có dim(R/p1) = 1 và dim(R/p2) = 2 Do đó

dim M = max{dim(R/p1), dim(R/p2)} = 2

Lấy f = x và g = y + z Rõ ràng f, g ∈ m Rõ ràng f /∈ p2 và p2 làiđêan nguyên tố liên kết quy nhất của M có chiều 2 nên f là phần tửtham số của M Ta có (x2, y3)R∩ zR = (zx2, zy3)R Vì thế

M/f M ∼= R/(x, zx2, zy3)R = R/(x, zy3)R = R/((x, z)R∩ (x, y3)R)

Ta có AssR(M/f M ) = {q1, q2}, trong đó q1 = (x, z)R và q2 = (x, y)R.Vì thế g /∈ q1 và g /∈ q2 Do đó g là phần tử tham số của M/f M Suy ra(f, g) là một hệ tham số của M.

1.3 Dãy chính quy và độ sâu của môđun hữu hạn sinh

Trong tiết này, luôn giả thiết (R, m) là vành Noether địa phương và M = 0

là một R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d Với mỗi x ∈ R ta đặt

(0 :M x) ={m ∈ M | xm = 0}

Chú ý rằng (0 :M x) là môđun con của M

1.3.1 Định nghĩa (i) Một phần tử x ∈ R được gọi là phần tử không là

ước của không đối với M nếu (0 :M x) = 0 Phần tử x ∈ R được gọi là

phần tử M-chính quy nếu (0 :M x) = 0 và M = xM

(ii) Một dãy các phần tử (x1, , xk) trong R được gọi là M -dy chính

quy hay M-dy nếu M = (x1, , xk)M và xi là M/(x1, , xiư1)M chính quy với mọi i = 1, , k

-1.3.2 Chú ý Nếu (x1, , xk) ⊆ m thì theo Bổ đề Nakayama ta có

M = (x1, , xn)M Trong trường hợp này (x1, , xk) là M -dãy nếu

và chỉ nếu xi không là ước của không đối với môđun M/(x1, , xiư1)Mvới mọi i = 1, , k

1.3.3 Ví dụ Cho R = K[[x, y, z, t]] là vành các chuỗi lũy thừa hình

thức trên một trường K Khi đó x + y, y, z2, t3 là một R-dãy Thật vậy,

ta kiểm tra được (0 :R x + y) = 0; (0 :R/(x+y)R y) = 0 và

1.3.4 Bổ đề Cho x, x1, , xk ∈ m Khi đó ta có

(i) x là M-chính quy nếu và chỉ nếu x / ∈ p với mọi p ∈ AssRM.(ii) (x1, , xk) là M -dy nếu và chỉ nếu với mọi i = 1, , k ta có

xi ∈ p với mọi p ∈ Ass/ R(M/(x1, , xi ư1)M ).

Chứng minh. Bằng quy nạp theo số phần tử của dãy, ta chỉ cần chứngminh khẳng định (i) là đủ Giả sử x ∈ m là phần tử M-chính quy Khi đó(0 :M x) = 0 Lấy p ∈ AssRM Khi đó p = AnnRm với 0 = m ∈ M.Suy ra pm = 0 Nếu x ∈ p thì xm = 0 và do đó 0 = m ∈ (0 :M x), vô

lí Do đó x /∈ p

Ngược lại, giả sử x /∈ p với mọi p ∈ AssRM Nếu (0 :M x) = 0 thìtồn tại p ∈ AssR(0 :M x) ⊆ AssRM Vì p ⊇ AnnR(0 :M x) nên x ∈ p,mâu thuẫn Vậy (0 :M x) = 0 và do đó x là M -chính quy

Bổ đề 1.3.4 là một tiêu chuẩn tốt để kiểm tra một M-chính quy Taminh họa điều này thông qua ví dụ về dãy chính quy trong Ví dụ 1.3.3

1.3.5 Ví dụ Cho R = K[[x, y, z, t]] là vành các chuỗi lũy thừa hình

thức trên một trường K Khi đó x + y, y, z2, t3 là một R-dãy Thật vậy,

ta có Ass R = {0} Do đó x + y /∈ p với mọi p ∈ Ass R Do đó x làR-chính quy Ta có AssR(R/(x + y)R) = {p}, trong đó p = (x + y)R.Vì y /∈ p nên y là R/(x + y)R-chính quy Ta có AssR(R/(x + y, y)R) =AssR(R/(x, y)R) = {q}, trong đó q = (x, y)R Rõ ràng z2 ∈ q Do đó z/

là R/(x + y, y)R-chính quy Cuối cùng, ta có AssR(R/(x + y, y, z2)R =AssR(R/(x, y, z2)R) = {r}, trong đó r = (x, y, z)R Rõ ràng t3 ∈ r Do/

đó t3 là R/(x + y, y, z2)R-chính quy Vậy, x + y, y, z2, t3 là một R-dãy.Trước khi trình bày về sự tồn tại một dãy chính quy với độ dài chotrước, chúng ta cần nhắc lại một số khái niệm về môđun đối đồng điều địaphương Với I là iđêan của R và L là một R-môđun tùy ý (không nhấtthiết hữu hạn sinh), ta đặt (0 :L I) ={m ∈ L | Im = 0} Dễ thấy (0 :L I)

là một môđun con của L và ta có (0 :L I) ⊆ (0 :L I2) ⊆ (0 :L I3) ⊆ Vì thế ΓI(L) := 

(0 :L In) là một môđun con của L Nếu f : L → L′

là đồng cấu các R-môđun thì ta có đồng cấu f∗ : ΓI(L) → ΓI(L′) chobởi f∗(x) = f (x) Chúng ta có thể kiểm tra đ−ợc ΓI(−) là hàm tử khớptrái, hiệp biến từ phạm trù các R-môđun đến phạm trù các R-môđun Tagọi ΓI(−) là hàm tử I-xoắn.

1.3.6 Định nghĩa Cho L là R-môđun và I là iđêan của R Môđun dẫn

suất phải thứ n của hàm tử I-xoắn ΓI(−) ứng với L đ−ợc gọi là môđun

đối đồng điều thứ n của L với giá I và đ−ợc kí hiệu là Hn

0→ Γ(E0) u∗0

→ Γ(E1) u∗1

→ Γ(E2) → Khi đó Hn

I(L) = Ker u∗n/ Im u∗n−1 là môđun đối đồng điều thứ n của đốiphức trên, môđun này không phụ thuộc vào việc chọn giải nội xạ của L

1.3.7 Chú ý Ta luôn có H0

I(L) ∼= ΓI(L) Thật vậy, với kí hiệu nh−trong định nghĩa trên, ta có H0

I(L) = Ker u∗0 Do ΓI(−) là khớp trái vàvì α : L → E0 là đơn cấu nên đồng cấu cảm sinh α∗ : ΓI(L) → Γ(E0)

là đơn cấu và Im α∗ = Ker u∗0 Do đó ta có HI0(L) ∼= ΓI(L)

1.3.8 Chú ý Nếu L là môđun nội xạ thì Hn

I(L) = 0 với mọi n > 0.Thật vậy, ta có 0 → L 1L

→ L → 0 là một giải nội xạ của L Vì thếsau khi tác động ΓI(−) vào giải nội xạ này ta đ−ợc một đối phức, lấy

đối đồng điều của đối phức này ta đ−ợc Hn

I(L) = 0 với mọi n > 0

Nhắc lại rằng R-môđun L được gọi là I-xoắn nếu L = ΓI(L) Sau

đây là những tính chất cơ bản của môđun đối đồng điều địa phương

1.3.9 Một số tính chất (Xem [BS]) Cho L là một R-môđun Các phát

biểu sau là đúng.

(i) Nếu L là I-xoắn thì Hi

I(L) = 0 với mọi i ≥ 1

(ii) Hi

I(L) là I-xoắn với mọi i Đặc biệt, HIj(HIi(L)) = 0, ∀j > 0

(iii) Nếu 0 → L′ → L → L′′ → 0 là dy khớp ngắn các R-môđun thì

tồn tại với mỗi số tự nhiên n một đồng cấu δn : HIn(L′′) → HIn+1(L′) sao

cho ta có dy khớp dài

I Cho r = 1 Khi đó HI0(M ) = 0 Ta chỉ ra rằng I ⊆ p với mọi

p ∈ AssRM Thật vậy, nếu tồn tại p ∈ AssRM sao cho I ⊆ p thì

(i)⇔(ii) Cho (x1, , xr) là một M -dãy trong I Ta chứng minh bằngquy nạp theo r rằng Hi

I(M ) = 0 với mọi i < r Cho r = 1 Vì x1 ∈ I là

M -chính quy nên 0 = (0 :M x1) ⊇ (0 :M I) Do đó (0 :M In) = 0 vớimọi n, tức là H0

I(M ) = 0, kết quả đúng với r = 1

Cho r > 1 Theo chứng minh trên ta có H0

I(M ) = 0 Vì (x2, , xr) làmột M/x1M -dãy trong I nên theo giả thiết quy nạp ta có Hi

1.3.11 Ví dụ Cho K là một trường và R = K[[x, y, z, t]] là vành các

chuỗi lũy thừa hình thức với hệ số trên K Đặt M = R/(x + y2)R.Khi đó y, z, t là một M-dãy tối đại trong m = (x, y, z, t)R Do đó ta có

Hmi(M) = 0 với mọi i < 3

1.3.12 Định nghĩa Một M-dãy (x1, , xk) các phần tử trong I được

gọi là M-dy tối đại trong I nếu không tồn tại một phần tử y ∈ I sao

cho (x1, , xk, y) là M-dãy

Trước khi trình bày tính chất của dãy chính quy tối đại, chúng ta cầnmối quan hệ giữa dãy chính quy và phần hệ tham số sau đây

1.3.13 Bổ đề Mỗi M-dy trong m là một phần hệ tham số của M.

Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta chỉ cần chứng minh cho trườnghợp dãy chính quy gồm 1 phần tử Cho x ∈ m là một phần tử M-chính quy Theo Bổ đề 1.3.4, x /∈ p với mọi p ∈ AssRM Suy ra

m ∈ Ass/ RM Vì thế d := dim M > 0 Lấy q ∈ AssR(M/xM ) sao chodim(R/q) = dim(M/xM ) Khi đó x ∈ q và tồn tại p ∈ min AssRM saocho p ⊆ q Do x /∈ p và x ∈ q nên

dim(M/xM ) = dim(R/q)
dim(R/p)ư 1
d ư 1

Ta luôn có dim(M/xM) ≥ d ư 1 Vì thế dim(M/xM) = d ư 1 và do

đó x là phần tử tham số của M

1.3.14 Mệnh đề Nếu M = IM thì mỗi M-dy trong I đều mở rộng

được thành một M-dy tối đại trong I và hai M-dy tối đại trong I có chung độ dài Độ dài chung này chính là số nguyên i nhỏ nhất sao cho

I(M ) = 0 với mọi i
r Tương tự nhưtrong chứng minh Mệnh đề 1.3.10, ta có thể chỉ ra bằng quy nạp theo

k rằng HIi(M/(x1, , xk)M ) = 0 với mọi i
r ư k và mọi k
r

Do đó H0

I(M/(x1, , xr)M )) = 0 Vì thế tồn tại một phần tử trong

I là M/(x1, , xr)M-chính quy Điều này là mâu thuẫn với tính tối

đại của M-dãy (x1, , xr) Do đó các M -dãy tối đại trong I đều cóchung độ dài và độ dài chung này chính là số nguyên i bé nhất sao cho

HIi(M ) = 0

Mệnh đề trên cho phép chúng ta định nghĩa đ−ợc khái niệm độ sâucủa môđun hữu hạn sinh nh− sau.

1.3.15 Định nghĩa Cho M = IM Khi đó độ dài của một M-dãy chính

quy tối đại trong I đ−ợc gọi là độ sâu của M trong I, và đ−ợc kí hiệu là depth(I; M ) Độ sâu của M trong iđêan cực đại m đ−ợc gọi là độ sâu

của M và đ−ợc kí hiệu là depth(M)

Từ định nghĩa trên, ta suy ra một số tính chất đơn giản sau đây

1.3.16 Hệ quả Cho M = IM Các phát biểu sau là đúng.

(i) depth(I; M) = inf{i | Hi

(iv) depth R[[x1, , xn]] = depth R + n

Chứng minh (ii) Cho m ∈ AssRM Nếu depth(M ) > 0 thì tồn tại x ∈ m

là M-chính quy Suy ra 0 :M x = 0 Suy ra 0 :M m = 0 Vì m ∈ Ass Mnên m = AnnRm với 0 = m ∈ M Suy ra mm = 0 Suy ra m ∈ 0 :M m

Do đó 0 :M m = 0 Điều này là vô lí Do đó depth M = 0 Giả sửdepth M = 0 Nếu Hm0(M) = 0 thì 0 :M m = 0 do Hm0(M ) là m-xoắn

Do đó m /∈ AssRM Do đó ta chọn đ−ợc x ∈ m sao cho x /∈ p với mọi

p ∈ Ass M Suy ra x là M-chính quy, tức là depth M > 0 Điều này làvô lí Giả sử H0

m(M) = 0 Vì ℓ(H0

m(M )) < ∞ nên m ∈ AssRH0

m(M ).Vì H0

m(M ) ⊆ M nên m ∈ AssRM

Phát biểu (i) suy ra ngay từ Mệnh đề 1.3.14

(iii) Giả sử depth R = t Khi đó tồn tại một dãy chính quy tối đại(a1, , at) của R trong m Suy ra (a1, , at, x1, , xn) là một dãychính quy tối đại của depth(R[[x1, , xn]]) trong n = (m, x1, , xn).Chú ý rằng n là iđêan tối đại của R[[x1, , xn]]

1.4 Vành và môđun Cohen-Macaulay

Trong suốt tiết này, luôn giả thiết (R, m) là vành Noether địa phương và

M là R-môđun hữu hạn sinh với chiều dim M = d Trước khi định nghĩakhái niệm vành và mô đun Cohen-Macaulay, chúng ta cần so sánh chiều

và độ sâu của M Trước hết, chúng ta cần bổ đề sau

1.4.1 Bổ đề depth(M)
dim(R/p) với mọi p ∈ AssR(M)

Chứng minh. Cho p ∈ AssRM Ta chứng minh quy nạp theo dim(R/p).Nếu dim(R/p) = 0 thì m = p, do đó m ∈ AssR(M ) Vì thế depth M = 0,kết quả đúng trong trường hợp này

Giả sử dim(R/p) > 0 Nếu m ∈ AssRM thì ta có depth(M ) = 0,

do đó kết quả là hiển nhiên đúng Giả sử m /∈ AssRM Khi đó m ⊆ qvới mọi q ∈ AssRM Do AssRM là tập hữu hạn nên theo Định lí tránhnguyên tố, tồn tại a ∈ m sao cho a /∈ q với mọi q ∈ AssRM Do đó a

là M-chính quy Chọn p1 là một iđêan nguyên tố tối thiểu chứa p + Ra.Khi đó p1 ∈ AssR(M/aM ) Vì dim(R/p) > 0 nên a /∈ p Rõ ràng

a ∈ p1 Do đó dim(R/p1) < dim(R/p) Vì thế theo giả thiết quy nạp,depth(M/aM)
dim(R/p1) < dim(R/p) Suy ra

depth(M) = depth(M/aM) + 1
dim(R/p1) + 1
dim(R/p)

Chú ý rằng dim M = max{dim(R/p) | p ∈ AssRM} Vì thế từ các

Bổ đề 1.4.1 ta có ngay kết quả sau

1.4.2 Hệ quả dim M ≥ depth M.

1.4.3 Định nghĩa Môđun M được gọi là môđun Cohen-Macaulay nếu

M = 0 hoặc depth M = dim M Vành R được gọi là vành

Cohen-Macaulay nếu R xét như R-môđun là Cohen-Macaulay

Dưới đây là một số ví dụ về vành và môđun Cohen-Macaulay.

1.4.4 Ví dụ Cho K là một trường và x, y, z là các biến và R = K[[x, y, z, t]].

Đặt M = R/((x2, z, t)∩ (y, z, t)) và N = R/((x2)∩ (y, z2)) Khi đó:

(i) R là vành Cohen-Macaulay;

(ii) M là R-môđun Cohen-Macaulay;

(iii) N không là R-môđun Cohen-Macaulay

Chứng minh. Rõ ràng R là vành địa phương với iđêan tối đại duy nhất

là (x, y, z) và M, N là các R-môđun hữu hạn sinh

(i) Ta có dim R = dim K[[x, y, z, t]] = dim K + 4 = 4 Vì x, y, z, t làmột R-dãy chính quy nên 4 = dim R ≥ depth R ≥ 4 Do đó dim R =depth R = 4, tức là R là vành Cohen-Macaulay

(ii) Ta có AssRM = {(x, z, t), (y, z, t)} Do đó

dim M = max{dim R/(x, z, t), dim R/(y, z, t)} = 1

Vì (x, y, z, t) /∈ AssRM nên theo Hệ quả 1.3.16 ta có depth M > 0 Do

đó depth M = dim M = 1 Vì thế M là R-môđun Cohen-Macaulay

(iii) Ta có AssRN = {(y, z), (x)} Vì thế

dim N = max{dim R/(x), dim R/(y, z)} = 3

Theo hệ quả 1.4.2 ta có depth N
dim(R/(y, z)) = 2 Do đó N không

là R-môđun Cohen-Macaulay

Tiếp theo chúng ta nghiên cứu tính Cohen-Macaulay khi chuyển qua

đầy đủ m-adic

1.4.5 Mệnh đề Các phát biểu sau là đúng.

(i) depth(I, M) = depth(I R, M ) Đặc biệt depth(M ) = depth( M )

(ii) M là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi  M là Cohen-Macaulay.

Chứng minh. (i) Theo Hệ quả 1.3.16 ta có

depth M = inf{i | HIi(M ) = 0}

Đặt depth(I; M) = k Khi đó Hi

I(M ) = 0 với mọi i < k và HIk(M ) = 0.Chú ý rằng ánh xạ tự nhiên R → R là hoàn toàn phẳng, do đó nếu

1.4.6 Mệnh đề Cho (x1, , xr) ⊆ m là một M-dy chính quy Khi đó

M là R-môđun Cohen-Macaulay chiều d nếu và chỉ nếu M/(x1, , xr)M

là R-môđun Cohen-Macaulay chiều d ư r Đặc biệt, mỗi dy chính quy của M là một phần hệ tham số của M.

Chứng minh. Bằng quy nạp theo r, ta chỉ cần chứng minh cho trườnghợp r = 1 là đủ Giả sử x ∈ m là một phần tử M-chính quy Theo

Hệ quả 1.3.16 ta có depth(M/xM) = depth M ư 1 Theo Hệ quả 1.2.4

ta có dim(M/xM) ≥ d ư 1 Vì x là M-chính quy nên x /∈ p với mọi

p ∈ AssRM Do đó dim(M/xM)
dư 1 Vì thế dim(M/xM) = d ư 1.Suy ra M là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu dim M = depth(M) = dnếu và chỉ nếu dim(M/xM) = dư1 và depth(M/xM) = depth M ư1 =

dư 1 Do đó M là Cohen-Macaulay chiều d nếu và chỉ nếu M/xM làCohen-Macaulay chiều d ư 1

Tiếp theo chúng ta nghiên cứu tính không trộn lẫn của vành và môđun

Cohen-Macaulay Theo M Nagata [Na], M được gọi là không trộn lẫn