Môđun cohen macaulay với chiều và một số kết quả trên môđun đối đồng điều địa phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM DƯƠNG THỊ GIANG MÔĐUN COHEN-MACAULAY VỚI CHIỀU > s VÀ MỘT SỐ KẾT QUẢ TRÊN MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 2013... Mở đầuCho R,m là vành giao hoán đị

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

DƯƠNG THỊ GIANG

MÔĐUN COHEN-MACAULAY VỚI CHIỀU

> s VÀ MỘT SỐ KẾT QUẢ TRÊN MÔĐUN

ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG

2013

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là hoàntoàn trung thực và không trùng lặp với đề tài khác Nguồn tài liệu sử dụngcho việc hoàn thành luận văn đã được sự đồng ý của cá nhân và tổ chức Cácthông tin, tài liệu trong luận văn này đã được ghi rõ nguồn gốc

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2013

Học viên

Dương Thị Giang

Xác nhận Xác nhậncủa trưởng khoa chuyên môn của người hướng dẫn khoa học

TS Nguyễn Thị Dung

Tôi xin trân trọng cảm ơn trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, lãnh đạokhoa Toán, lãnh đạo khoa Sau đại học của Trường đã tạo mọi điều kiện thuậnlợi giúp đỡ tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập của mình.

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô đã tham gia giảng dạy cho lớp Caohọc chuyên ngành Toán khoá 19

Cuối cùng tôi xin cảm ơn những người thân yêu trong gia đình, bạn bè đãluôn cho tôi niềm tin và động lực để học tập tốt

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2013

Học viênDương Thị Giang

Mục lục

Trang

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Mục lục .iii

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Tập iđêan nguyên tố liên kết 3

1.2 Hệ tham số 5

1.3 Hàm tử mở rộng 6

1.4 Môđun đối đồng điều địa phương 7

1.5 Về một số mở rộng của lớp môđun Cohen-Macaulay 8

Chương 2 Môđun Cohen-Macaulay với chiều > s 16

2.1 Dãy chính quy với chiều > s 16

2.2 Môđun Cohen-Macaulay với chiều > s 23

Chương 3 Một số kết quả trên môđun đối đồng điều địa phương 30

3.1 a-dãy lọc chính quy 30

3.2 Một số kết quả trên môđun đối đồng điều địa phương 31

Kết luận .38

Tài liệu tham khảo 39

Mở đầu

Cho (R,m) là vành giao hoán địa phương, a là một iđêan của R, M là

R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d và cho s > −1 là một số nguyên.Khái niệm M-dãy với chiều > s đã được đưa ra bởi Brodmann-Nhàn [BN]như là một sự mở rộng của khái niệm dãy chính quy suy rộng được giớithiệu bởi Nhàn [N] trước đó Với khái niệm này, các khái niệm dãy chínhquy, f-dãy quen biết và dãy chính quy suy rộng đã tương ứng trở thành các

M-dãy với chiều > −1, 0, 1 (xem [BN], [CST], [N], ) Năm 2009, dùngkhái niệm M-dãy với chiều > s, N Zamani [NZ] đã giới thiệu khái niệmlớp môđun thỏa mãn mọi hệ tham số là M-dãy với chiều > s và gọi làmôđun Cohen-Macaulay với chiều > s Khi đó, các lớp môđun quen biếttrong đại số giao hoán là Cohen-Macaulay, f-môđun giới thiệu bởi Cường-Schenzel-Trung [CST], f-môđun suy rộng đưa ra bởi Nhàn-Morales [NM]tương ứng trở thành các trường hợp đặc biệt của môđun Cohen-Macaulay vớichiều > −1, 0, 1

Luận văn nhằm trình bày lại các kết quả và chứng minh chi tiết bài báo của

N Zamani [NZ] "Cohen-Macaulay Modules in Dimension > s and Results

on Local Cohomology" đăng trên tạp chí Communication in Algebra năm

2009 Luận văn được chia thành3chương Chương 1dành để nhắc lại một sốkiến thức cơ sở có liên quan đến nội dung của luận văn như tập iđêan nguyên

tố liên kết, hệ tham số, hàm tử mở rộng, môđun đối đồng điều địa phương,

Để theo dõi một cách tương đối hệ thống, Mục 1.5 của Chương 1 nhắc lạikhái niệm dãy chính quy, dãy chính quy lọc, dãy chính quy suy rộng và tươngứng là các lớp môđun Cohen-Macaulay,f-môđun, f-môđun suy rộng và một

số tính chất của chúng

Nội dung chính của luận văn được trình bày trong Chương 2 và Chương

3 Chương 2 của luận văn trình bày khái niệm dãy chính quy với chiều > s

trong bài báo của Brodmann-Nhàn [BN] và một số tính chất của dãy nàythông qua tập support và chiều của môđun mở rộng Ext của M Cho s > 0

là một số nguyên, a là iđêan của R, khi đó nếu dim M/aM > s thì mỗi

M-dãy với chiều > s trong a luôn có thể mở rộng được thành một M-dãyvới chiều > s cực đại và tất cả các M-dãy với chiều > s cực đại trong a

đều có độ dài như nhau và độ dài chung đó chính bằng số nguyên i nhỏ nhấtsao cho dim(Supp(Hai(M ))) > s, cũng chính là số nguyên i nhỏ nhất saocho dim(ExtiR(R/a, M )) > s Độ dài này được gọi là độ sâu với chiều > s

của M trong a, kí hiệu là depth(a, M, > s) Mục tiếp theo của Chương 2làcác kết quả chính của luận văn, trình bày khái niệm môđun Cohen-Macaulayvới chiều > s và chứng minh lại chi tiết các kết quả về đặc trưng của môđunCohen-Macaulay với chiều > s: M là Cohen-Macaulay với chiều > s nếu

và chỉ nếu (Supp(M ))>s là catenary, đẳng chiều (dim M = dim R/p vớimọi iđêan nguyên tố tối thiểu p ∈ (Supp(M ))>s) và Mp là Rp-môđunCohen-Macaulay với mọi p ∈ (Supp(M ))>s Hơn nữa, nếu giả thiết R làvành thương của vành Cohen-Macaulay thì M là môđun Cohen-Macaulayvới chiều > s nếu và chỉ nếu đầy đủ m-adic cM của M cũng là môđunCohen-Macaulay với chiều > s

Chương cuối cùng của luận văn chứng minh một số kết quả về tính hữuhạn của tập iđêan nguyên tố liên kết của một số môđun đối đồng điều địaphương của một môđun Cohen-Macaulay với chiều > s Chú ý rằng các kếtquả tương tự cũng đã được Hellus [H, Định lý 4] chứng minh cho trường hợp

M = R, trong đóRlà vành Cohen-Macaulay, Asadollahi-Schenzel [AS, Định

lý 1.1] mở rộng cho trường hợp M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng vàNhàn-Morales [NM, Định lý 4.1] chứng minh cho trường hợpM làf-môđunsuy rộng

Phần kết luận của luận văn tổng kết các kết quả đã đạt được

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, ta kí hiệu R là vành giao hoán, Noether và M là Rmôđun có chiều Krulldim M = d Các giả thiết khác về vành và môđun khicần sẽ được nhắc lại

-1.1 Tập iđêan nguyên tố liên kết

Định nghĩa 1.1.1 (i) Giả sửM là một R-môđun Một iđêan nguyên tố p của

Rđược gọi là iđêan nguyên tố liên kết củaM nếu tồn tại phần tử 0 6= x ∈ M

sao cho p = AnnR(x)

(ii) Môđun con Q của M được gọi là môđun con nguyên sơ của M nếu

M/Q 6= 0và với mỗia ∈ ZD(M/Q),tồn tạin ∈ N sao choan(M/Q) = 0

Khi đó p = pAnnR(M/Q) là một iđêan nguyên tố của R, ta nói Q là mộtmôđun con p-nguyên sơ của M

(iii) Cho N là môđun con của R môđun M ta nói N có phân tích nguyênsơ nếu tồn tại các môđun con nguyên sơ Qi với i = 1, , n, sao cho

N = Q1 ∩ ∩ Qn thành giao của hữu hạn các môđun con pi-nguyênsơ Nếu N = 0hoặc N 6= 0 có một phân tích nguyên sơ thì ta nóiN là phântích được Phân tích nguyên sơ này được gọi là tối thiểu (thu gọn) nếu cáciđêan nguyên tố pi là đôi một khác nhau và không có hạng tử Qi nào là thừa,

nghĩa là với mọi i = 1, , n

là các thành phần nguyên sơ củaN Nếu pi là tối thiểu trongAssRM/N thì

Qi được gọi là thành phần cô lập, ngược lại thì Qi được gọi là thành phầnnhúng

Mệnh đề 1.1.2 [Mat, Định lý 6.1, Định lý 6.3, Định lý 6.5]

(i) p là một iđêan nguyên tố liên kết của M khi và chỉ khi tồn tại N là

R-môđun con của M sao cho N đẳng cấu với R/p

(ii) Nếu p là một iđêan nguyên tố của vành R thì Ass(R/p) = {p}

(iii) Cho p là phần tử tối đại của tập iđêan có dạng Ann(x), trong đó

0 6= x ∈ M.Khi đó p ∈ Ass(M ).Vì thế,M 6= 0khi và chỉ khiAss(M ) 6= ∅

Hơn nữa, tập ZD(M )các ước của không củaM chính là hợp của các iđêannguyên tố liên kết của M

(a) AssR(M0) ⊆ AssR(M ) ⊆ AssR(M0) ∪ AssR(M00);

(b) SuppR(M ) = SuppR(M0) ∪ SuppR(M00)

(vi) Cho M là R-môđun hữu hạn sinh Khi đó AssR(M ) là tập hữu hạn và

AssR(M ) ⊆ SuppR(M ) Hơn nữa, các phần tử tối thiểu của AssR(M ) và

SuppR(M ) là như nhau

1.2 Hệ tham số

Mục này dành để nhắc lại các khái niệm và các tính chất quan trọng về hệtham số trên vành giao hoán, Noether, địa phương(R,m) và M là R-môđunhữu hạn sinh (xem [Mat])

Định nghĩa 1.2.1 Một hệ gồm d phần tử x1, , xd ∈ m thoả mãn

`R(M/(x1, , xd)M ) < ∞ được gọi là một hệ tham số của M

Một dãy (xn) ⊆ Rđược gọi là một dãy Cauchy theo tôpô m-adic nếu vớimỗi k ∈ N cho trước, tồn tại số tự nhiên n0 sao cho xn− xm ∈ mk với mọi

n, m ≥ n0 Dãy (xn) ⊆ R được gọi là dãy không nếu với mỗi k ∈ N cho

trước, tồn tại số n0 sao cho xn ∈ mk với mọi n ≥ n0 Ta trang bị quan hệtương đương trên tập các dãy Cauchy như sau: Hai dãy Cauchy (xn), (yn)

được gọi là tương đương nếu dãy (xn − yn) là dãy không Kí hiệu bR là tậpcác lớp tương đương Chú ý rằng quy tắc cộng (xn) + (yn) = (xn + yn) vàquy tắc nhân(xn)(yn) = (xnyn) không phụ thuộc vào cách chọn các đại diệncủa các lớp tương đương Vì thế nó là các phép toán trên bR và cùng với haiphép toán này, bR làm thành một vành Noether địa phương với iđêan tối đạiduy nhất là m bR Vành bR vừa xây dựng được gọi là vành đầy đủ theo tôpô

m-adic của R

Một dãy (zn) ⊆ M được gọi là dãy Cauchy theo tôpô m-adic nếu với mỗi

k ∈ N cho trước, tồn tại số tự nhiên n0 sao cho zn − zm ∈ mkM với mọi

n, m ≥ n0 Từ khái niệm dãy Cauchy như trên, tương tự ta định nghĩa đượckhái niệm môđun đầy đủ theo tôpô m-adic trên vành bR Môđun này được kíhiệu là cM

Mệnh đề 1.2.2 [Mat, Định lý 14.1, Định lý 14.2].

(i) Phần tử x ∈ m là phần tử tham số của M khi và chỉ khi x /∈ p, với mọi

p ∈ Ass(M ) sao cho dim R/p = d Hệ các phần tử x1, , xd ∈ m là hệtham số củaM khi và chỉ khixi+1 ∈/ p,với mọi p ∈ AssR(M/(x1, , xi)M )

thoả mãn dim R/p = d − i, với mọi i = 1, , d − 1

(ii) Cho x1, , xt ∈ m là các dãy các phần tử, với t 6 d Khi đó

dim(M/(x1, , xt)M ) ≥ dim M − t

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1, , xt là một phần hệ tham số của M

(iii) Nếu x1, , xd là hệ tham số của M thì với mọi số nguyên dương

Trong phần này ta đưa ra khái niệm và các tính chất cơ bản của môđunExt

thường được dùng trong luận văn (xem [Mat])

Định nghĩa 1.3.1 Cho M, N là cácR-môđun và n > 0là một số tự nhiên.Môđun dẫn xuất phải thứ n của hàm tử Hom(−, N ) ứng với M được gọi làmôđun mở rộng thứ n của M và N, được kí hiệu là ExtnR(M, N )

Cụ thể, để xây dựng ExtnR ta lấy một giải xạ ảnh của M

→ Hom(P1, N ) u

∗ 2

→ Hom(P2, N ) →

Khi đó ExtnR(M, N ) = Ker u∗n+1/ Im u∗n là môđun đối đồng điều thứ n của

đối phức trên (môđun này không phụ thuộc vào giải xạ ảnh của M)

Mệnh đề 1.3.2 (i) Ext0R(M, N ) ∼= Hom(M, N )

(ii) NếuM là xạ ảnh hoặc N là nội xạ thì ExtnR(M, N ) = 0 với mọin > 1

(iii) Nếu 0 → N0 → N → N00 → 0 là dãy khớp ngắn thì tồn tại các đồngcấu nối ExtnR(M, N00) → Extn+1R (M, N0) với mỗi n > 0 sao cho ta có dãykhớp dài

0 → Hom(M, N0) → Hom(M, N ) → Hom(M, N00) → Ext1R(M, N0)

→ Ext1R(M, N ) → Ext1R(M, N00) → Ext2R(M, N0) →

(iv) Nếu 0 → M0 → M → M00 → 0 là dãy khớp ngắn thì tồn tại các đồngcấu nối ExtnR(M0, N ) → Extn+1R (M00, N ) với mỗi n > 0 sao cho ta có dãykhớp dài

0 → Hom(M00, N ) → Hom(M, N ) → Hom(M0, N ) → Ext1R(M00, N )

→ Ext1R(M, N ) → Ext1R(M0, N ) → Ext2R(M00, N ) →

(v) Nếu M, N là hữu hạn sinh thì ExtnR(M, N ) là hữu hạn sinh với mọi n

1.4 Môđun đối đồng điều địa phương

Trước hết, ta nhắc lại khái niệm môđun đối đồng điều địa phương của mộtmôđun tùy ý (xem [BS])

Định nghĩa 1.4.1 ChoI là một iđêan củaR vàM là mộtR-môđun Môđun

đối đồng điều địa phương thứ i của M ứng với iđêan I, ký hiệu là HIi(M ),

được định nghĩa bởi

HIi(M ) = Ri(ΓI(M )),

trong đóRi(ΓI(M )) là môđun dẫn xuất phải thứi của hàm tửI-xoắn ΓI(−)

ứng với M

Cho I là một iđêan của R Sau đây là các tính chất δ-hàm tử, tính chấttriệt tiêu và không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương (xem [BS,

Định lý 6.1.2, Định lý 6.1.4])

Mệnh đề 1.4.2 (i) Cho 0 → L → Mf → N → 0g là một dãy khớp các

R-môđun Khi đó, ta có dãy khớp dài

(ii) HIi(M ) = 0 với mọi i > d Nếu (R,m) là vành địa phương, 0 6= M là

R-môđun hữu hạn sinh thì Hmd(M ) 6= 0

1.5 Về một số mở rộng của lớp môđun Cohen-Macaulay

Trước hết ta nhắc lại khái niệm dãy chính quy của một R-môđun M tuỳ

ý Đây là một loại dãy quan trọng trong nghiên cứu cấu trúc của vành vàmôđun

Định nghĩa 1.5.1 ChoM làR-môđun khác0 Một phần tử0 6= x ∈ R đượcgọi là phần tửM-chính quy nếuM 6= xM và xkhông là ước của 0 trongM.Dãy các phần tửx1, , xn ∈ R được gọi là M-dãy chính quy (hoặcM-dãy)nếu

(a) M/(x1, , xn)M 6= 0

(b) xi là phần tử M/(x1, , xi−1)M-dãy, với mọi i = 1, , n

Dãy các phần tửx1, , xn ∈ mđược gọi là M-dãy chính quy nghèo nếu nóchỉ thỏa mãn điều kiện (b) trong định nghĩa trên

Các kết quả sau đây cho ta các tính chất cơ bản của dãy chính quy (xem[Mat, Định lý 16.1, Mệnh đề 16.1] [BH, Mệnh đề 1.1.6])

Chú ý 1.5.2 (i) Nếu x1, , xn là M-dãy thì với mọi số nguyên dương

Mệnh đề 1.5.3 [Mat, Định lý 16.6] Cho M là mộtR-môđun hữu hạn sinh,

I là một iđêan của R sao cho IM 6= M Với mỗi số nguyên n cho trước,các mệnh đề sau là tương đương:

(i) ExtiR(N, M ) = 0 với mọi i < n và với mỗi R-môđun hữu hạn sinh N

sao cho Supp(N ) ⊆ V (I);

(ii) ExtiR(R/I, M ) = 0 với mọi i < n;

(iii) ExtiR(N, M ) = 0 với mọi i < n và với mỗi R-môđun hữu hạn sinh N

sao cho Supp(N ) = V (I);

(iv) Tồn tại M-dãy có độ dài nchứa trong I

Cho I là iđêan của vành R và M là R-môđun hữu hạn sinh sao cho

M 6= IM Khi đó mỗi dãy chính quy của M trong I đều có thể mở rộngthành dãy chính quy tối đại trongI, và các dãy chính quy tối đại của M trong

I có chung độ dài Độ dài chung này được gọi là độ sâu củaM trongI và được

kí hiệu là depth(I, M ) Nếu M = IM thì ta quy ước depth(I, M ) = ∞

Tiếp theo, ta đưa ra một số đặc trưng của độ sâu depth(I, M ) của M thôngqua chiều, hàm tử mở rộng và môđun đối đồng điều địa phương (xem [BH,

Bổ đề 1.2.4, Mệnh đề 1.2.12, Mệnh đề 1.2.13] [Mat, Định lý 16.7])

Mệnh đề 1.5.4 Ta có khẳng định sau

(i) depth M 6 dim R/p 6 dim M, với mọi p ∈ Ass M.

(ii) Cho I là iđêan của R Khi đó

depth(I, M ) = inf{i | ExtiR(R/I, M ) 6= 0} = inf{i | HIi(M ) 6= 0}

(iii) Giả sử depth(I, M ) = n Khi đó

AssR(ExtnR(R/I, M )) = AssR(HIn(M ))

(iv) Cho p ∈ Supp(M/IM ) \ {m} Khi đó, nếu x1, , xn là M-dãy thì

ExtnRp(Rp/IRp, Mp) ∼= HomR p(Rp/IRp, Mp/(x1/1, , xn/1)Mp)

Tiếp theo ta nhắc lại khái niệm môđun Cohen-Macaulay trên vành Noether

địa phương R, M là R-môđun hữu hạn sinh Đây là một lớp môđun có vaitrò quan trọng trong Đại số giao hoán, mà cấu trúc của chúng được biết đếnthông qua lý thuyết chiều, hệ tham số, môđun đối đồng điều địa phương, địaphương hoá Lớp môđun này được nhiều nhà toán học nghiên cứu và mởrộng thành những lớp môđun mới như lớp f-môđun, f-môđun suy rộng, (xem [Mat]

Định nghĩa 1.5.5 Môđun M được gọi là Cohen-Macaulay nếuM = 0hoặc

M 6= 0 và depth M = dim M Vành R gọi là Cohen-Macaulay nếu nó là

R-môđun Cohen-Macaulay

Mệnh đề 1.5.6 [Mat, Định lý 17.3] [BH, Định lý 2.1.2, Hệ quả 2.1.8].(i) Nếu M là Cohen-Macaulay thì với mọi p ∈ AssRM, ta có dim R/p =dim M Do đó M không có thành phần nguyên tố nhúng

(ii) M là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi mọi hệ tham số củaM đều là dãychính quy, khi và chỉ khi Hmi(M ) = 0, với mọi i 6= d

(iii) NếuM là Cohen-Macaulay thì Mp là Cohen-Macaulay trên Rp với mỗi

p ∈ Spec R và nếu Mp 6= 0 thì depth(p, M ) = depthRp Mp

(iv) Nếu x1, , xn là M-dãy thì M là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi

M/(x1, , xn)M là Cohen-Macaulay

Mệnh đề 1.5.7 (i) dimRM = dim

b

RMcvà depth M = depthM ;c(ii) M là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi cM là Cohen-Macaulay

Định nghĩa 1.5.8 Một dãy các phần tử x1, , xt trong m được gọi là mộtdãy chính quy lọc (f-dãy) của M nếu với mọi i = 1, , t ta có

(x1, , xi−1)M :M xi ⊆ [

n>0(x1, , xi−1)M :mn

Từ định nghĩa trên, ta có một số tính chất đơn giản sau của f-dãy

Chú ý 1.5.9 (i) Phần tử x ∈ m là f-dãy nếu và chỉ nếu x /∈ p, với mọi

p ∈ Ass(M ) \ {m} và một dãy các phần tử x1, , xt trong m được gọi là

f-dãy nếu và chỉ nếu xi ∈/ p, với mọi p ∈ Ass(M/(x1, , xi−1)M ) \ {m},với mọi i = 1, , t

(ii) Cho p ∈ Supp M \ {m}, x1, , xt ∈ p là một f-dãy khi và chỉ khi

x1/1, , xt/1làMp-dãy, theo Chú ý 1.5.2, (iii) Hơn nữa, theo Chú ý 1.5.2,(i), nếu x1, , xt ∈ p là f-dãy thì xn1

1 , , xnt

t cũng là một f-dãy với mọi

số nguyên dương n1, , nt

(iii) Ta có x1, , xt là f-dãy nếu và chỉ nếu

dim((x1, , xi−1)M :M xi/(x1, , xi−1)M ) 6 0

Cho I ⊆ m là một iđêan của R Kết quả sau cho ta điều kiện để tồn tạiphần tử chính quy lọc của M trong I và điều kiện cần và đủ để tồn tại một

f-dãy có độ dài ttrong I

Mệnh đề 1.5.10 (i) Nếu dim(HomR(R/I, M )) 6 0 thì tồn tại x ∈ I làphần tử f-dãy

(ii) Cho t > 0 là một số nguyên Khi đó các điều kiện sau là tương đương(a) dim(ExtiR(R/I, M )) 6 0, với mọi i < t;

(b) I chứa một f-dãy có độ dài t

Nếu x1, , xt ∈ I là một f-dãy thì với mỗi p ∈ Spec(R) \ {m}, ta có

ExtnR(R/I, M )p ∼= Hom

Mệnh đề 1.5.11 (i) f-depth(I, M ) = 0 nếu và chỉ nếu tồn tại iđêan

p ∈ AssR(M ) \ {m} sao cho I ⊆ p Đặc biệt, nếu x ∈ I là phần tử

(iii) f-depth(I, M ) = f-depth(I,b M ).c

Theo Chú ý 1.5.9, (i), mỗi f-dãy là một phần hệ tham số Tuy nhiên điềungược lại nhìn chung không đúng Do đó dẫn đến khái niệm sau (xem [CST])

Định nghĩa 1.5.12 M được gọi là f-môđun nếu mọi hệ tham số của M là

f-dãy Một vành được gọi là f-vành nếu nó làf-môđun trên chính nó.Cho dim M > 0 Đặt U (M ) = {p ∈ Supp M : dim R/p > 0}

Mệnh đề 1.5.13 Các phát biểu sau là tương đương:

(i) M là f-môđun.

(ii) Với mỗi phần hệ tham số x1, , xt của M và mỗi iđêan nguyên tố

p ∈ Ass(M/(x1, , xt)M ) sao cho dim R/p ≥ 1, ta có dim R/p = d − t

(iii) depth Mp = d − dim R/p với mọi p∈ U (M )

(iv) htM(p) = htM(q) + ht(p/q) với mọi p,q ∈ U (M ) ∪ {m}và p ⊇ q, Mp

là môđun Cohen-Macaulay, với mọi p ∈ U (M ) và dim R/p = d với mọi

(i) Nếu cM là f-môđun thì M cũng là f-môđun

(ii) Giả sử rằng R là vành thương của vành Cohen-Macaulay Nếu M là

f-môđun thì cM cũng là f-môđun

Định nghĩa 1.5.15 [N, Định nghĩa 2.1] Một dãy các phần tử x1, , xr

trong m được gọi là một dãy chính quy suy rộng của M nếu xi ∈/ p, với mọi

p ∈ AssRM/(x1, , xi−1)M thỏa mãndim R/p > 1, với mọii = 1, , r

Một phần tửx ∈ mđược gọi là phần tử chính quy suy rộng củaM nếux /∈ p,

với mọi p ∈ AssRM sao cho dim R/p > 1

Từ khái niệm trên, ta thấy rằng mọi dãy chính quy đều là f-dãy và mọi

f-dãy đều là dãy chính quy suy rộng Tuy nhiên, điều ngược lại nhìn chungkhông đúng Một số kết quả sau được nhắc lại cần thiết cho các chứng minhcủa Chương 2(xem [N, Bổ đề 2.2])

Chú ý 1.5.16 Cho x1, , xr là một dãy các phần tử trong m Khi đó

(i)x1, , xrlà dãy chính quy suy rộng củaM nếu và chỉ nếux1/1, , xr/1

là một Mp-dãy với mọi p ∈ Supp M chứax1, , xr sao cho dim R/p > 1,trong đó xi/1 là ảnh của xi trong Rp, với mọi i = 1, , r

(ii) Nếu r 6 d − 2 thì mỗi hoán vị của một dãy chính quy suy rộng của M

có độ dài r lại là một dãy chính quy suy rộng của M

(iii) Nếux1, , xr là một dãy chính quy suy rộng củaM thì xn1

1 , , xnr

r làmột dãy chính quy suy rộng của M, với mọi số nguyên dươngn1, , nr

Kết quả sau là điều kiện để tồn tại một dãy chính quy suy rộng (xem [N,

(b) I chứa một dãy chính quy suy rộng của M có độ dài r Hơn nữa, nếu

x1, , xr ∈ I là một dãy chính quy suy rộng thì

(ExtrR(R/I; M ))p ∼= Hom(R/I; M/(x

1, , xr)M )p,

với mọi p ∈ Supp M sao cho dim R/p > 1

Cho I là một iđêan củaR, giả sử rằngdim(M/IM ) > 1 Khi đó mỗi dãychính quy suy rộng củaM trongI có độ dài hữu hạn và có thể mở rộng thànhdãy cực đại Khi đó theo Mệnh đề 1.5.17, tất cả các dãy chính quy suy rộngcực đại của M trong I có chung độ dài, độ dài chung này được gọi là độ sâusuy rộng của M trong I, kí hiệu là gdepth(I; M )

Vì mọi dãy chính quy đều là f-dãy và mọi f-dãy đều là dãy chính quysuy rộng nên ta có

depth(I; M ) 6 f-depth(I; M ) 6 gdepth(I; M )

Mệnh đề 1.5.18 Các mệnh đề sau là đúng

(i) Cho x1 ∈ I là một phần tử chính quy suy rộng của M Khi đó

gdepth(I; M ) = gdepth(I; M/x1M ) + 1

(ii) gdepth(I; M ) = min{gdepth(p; M ) | p ∈ V (I)}.

(iii)

gdepth(I; M ) = min{i | dim(ExtiR(R/I; M )) > 1}

= min{i| ∃ p ∈ Supp(HIi(M )) sao cho dim R/p > 1}

Giả sử rằng dim(M/IM ) > 1 Khi đó mỗi phần tử chính quy suy rộng

đều là phần tử tham số, do đó mỗi dãy chính quy suy rộng đều là một phần

hệ tham số của M Tuy nhiên điều ngược lại nhìn chung không đúng và điềunày cho phép ta đi đến khái niệm sau

Định nghĩa 1.5.19 [NM, Định nghĩa 2.1] M được gọi là f-môđun suy rộngnếu mọi hệ tham số của M là dãy chính quy suy rộng Một vành được gọi là

f-vành suy rộng nếu nó là f-môđun suy rộng trên chính nó

Ta dễ thấy rằng mọi f-môđun là f-môđun suy rộng, mọi môđun chiều 2

là f-môđun suy rộng, và mọi miền nguyên chiều 3là f-vành suy rộng Cho

dim M > 1 Đặt T (M ) = {p ∈ Supp M : dim R/p > 1}

Mệnh đề 1.5.20 [NM, Mệnh đề 2.2] Các phát biểu sau là tương đương:(i) M là f-môđun suy rộng

(ii) Với mỗi phần hệ tham số x1, , xr của M và mỗi iđêan nguyên tố

p ∈ Ass(M/(x1, , xr)M )sao cho dim R/p ≥ 2, ta có dim R/p = d − r

(iii) depth Mp = d − dim R/p với mọi p∈ T (M )

(iv) htM(p) = htM(q) + ht(p/q) với mọi p,q ∈ T (M ) ∪ {m}với p⊇ q, Mp

là môđun Cohen-Macaulay, với mọi p ∈ T (M ) và dim R/p = d, với mọi

p ∈ min T (M )

Mệnh đề 1.5.21 [NM, Hệ quả 2.3] Các phát biểu sau là đúng:

(i) Nếu cM là f-môđun suy rộng thì M cũng là f-môđun suy rộng

(ii) Giả sử rằng R là vành thương của vành Cohen-Macaulay Nếu M là

f-môđun suy rộng thì cM cũng là f-môđun suy rộng

Chương 2

Môđun Cohen-Macaulay với chiều > s

Trong chương này, ký hiệu (R,m) là vành Noether địa phương, a là mộtiđêan của R và M là R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M = d

Chương này nhắc lại khái niệm và một số tính chất củaM-dãy chính quy vớichiều > s được giới thiệu bởi M Brodmann và L T Nhàn [BN] Khái niệmnày dẫn đến một lớp môđun mới gọi là Cohen-Macaulay với chiều> s được

đưa ra bởi N Zamani [NZ] Các đặc trưng của lớp môđun này qua đầy đủ

m-adic của M, địa phương hóa Mp của M, tính chất catenary và tính đẳngchiều tới các thành phần nguyên tố có chiều > s của tập Supp M đã đượcchứng minh lại một cách chi tiết trong chương này

2.1 Dãy chính quy với chiều > s

Các kết quả trong mục này được trích trong bài báo của M Brodmann và L

T Nhàn [BN]

Định nghĩa 2.1.1 Cho s > −1 là một số nguyên và x1, , xn là một dãycác phần tử trong m Với mỗi i = 1, , n, đặt Mi = M/(x1, , xi−1)M

Ta nói dãy x1, , xn là một M-dãy với chiều > s nếu xi ∈/ p với mọi

p ∈ Ass(Mi) thỏa mãn dim R/p > s với mọii

Chú ý 2.1.2 (i) Từ các Định nghĩa 1.5.1, 1.5.8 và 1.5.15, ta thấy rằng

x1, , xn là một M-dãy với chiều > −1, 0, 1 nếu và chỉ nếu nó tương ứng

là một M-dãy, f-dãy và dãy chính quy suy rộng của M

(ii) Vì mỗi phần tử x tránh các iđêan nguyên tố với chiều > s thì cũng tránhcác iđêan nguyên tố với chiều > s + 1 nên mỗi M-dãy với chiều > s đều làmột M-dãy với chiều > s + 1

(iii) Một iđêan a của R chứa một M-dãy x1, , xn với chiều > s, với mọi

n > 1 nếu và chỉ nếu dim M/aM 6 s Trong trường hợp này cận trên củacác độ dài của mỗi M-dãy với chiều > s chứa trong a là vô hạn

Bổ đề 2.1.3 Các mệnh đề sau là tương đương:

(i) x1, , xn là M-dãy với chiều > s

(ii) Với mọi i = 1, , n, ta luôn có

dim((x1, , xi−1)M :M xi)/(x1, , xi−1)M 6 s

(iii) x1/1, , xn/1 làMp-dãy nghèo, với mọi p ∈ Supp M chứax1, , xn

sao cho dim R/p > s

Chứng minh Bằng quy nạp theo n, ta chỉ cần chứng minh (i) ⇔ (ii) chotrường hợp n = 1 Cho x là phần tử M-dãy với chiều > s Giả sử phảnchứng rằng dim(0 :M x) > s Khi đó tồn tại p ∈ Ass(0 :M x) sao cho

dim R/p > s Do đó x ∈ p và p ∈ Ass M kéo theo x không là M-dãy vớichiều > s Điều này mâu thuẫn với giả thiết Suy radim(0 :M x) 6 s

Ngược lại, cho dim(0 :M x) 6 s và giả sử phản chứng rằng x không là

M-dãy với chiều> s Khi đó tồn tại p ∈ Ass M thoả mãn dim R/p > s saocho x ∈ p.Vì p ∈ Ass M nên tồn tại 0 6= a ∈ M sao cho p= ann a Suy ra

dim(0 :M x) > dim(0 :M p) > dim(Ra) = dim R/p > s

Điều này dẫn đến mâu thuẫn với giả thiếtdim(0 :M x) 6 s.Do đó ta có điềuphải chứng minh

(iii)⇔(i) Cho p ∈ Supp M sao chodim R/p > s.Vì trong vành địa phươnghóa Rp, ta có pRp là iđêan cực đại duy nhất nên điều kiện x /∈ p, với mọi

p ∈ Supp M sao cho dim R/p > s tương đương với điều kiện x /∈ qRp, vớimọi qRp ∈ Ass Mp sao cho q ⊆ p Vậy x1, , xn là M-dãy với chiều > s

khi và chỉ khi x1/1, , xn/1 là Mp-dãy chính quy nghèo

Để tiện cho việc ký hiệu, với mỗi tập con X của tập Spec R, ta đặt

(X)>i = {p ∈ X : dim R/p > i} và (X)>i = {p ∈ X : dim R/p > i}

Mệnh đề 2.1.4 [BN, Bổ đề 2.4] Cho s > 0 là số nguyên, a là iđêan của R.(i) Cho n > 0 là một số nguyên Khi đó dim(Supp(Hai(M ))) 6 s, với mọi

i < n khi và chỉ khi tồn tại M-dãy với chiều > s có độ dài n trong a

(ii) Nếu dim M/aM > s thì mỗi M-dãy với chiều > s trong a luôn có thể

mở rộng được thành một M-dãy với chiều > s cực đại và tất cả các M-dãyvới chiều > s cực đại trong a có độ dài như nhau và độ dài chung đó bằng

số nguyên i nhỏ nhất sao cho dim(Supp(Hai(M ))) > s

(iii) Nếu dim(M/aM ) 6 s thì tồn tại một M-dãy với chiều > s trong a có

độ dài n với mỗi số nguyênn > 0

Chứng minh (i) Giả sử rằng dim(Supp(Hai(M ))) 6 s mọii < n Bằng quynạp theo n ta đi chứng minh tồn tại dãy x1, , xn ∈ a là một M-dãy vớichiều > s Cho n = 1 Khi đó dim(Supp(Ha0(M ))) 6 s Do vậy a * p mọi

p ∈ (AssRM )≥s+1, vì thế tồn tại một phần tử x1 ∈ a là M-chính quy vớichiều > s Cho n > 1 và đặt x1 = x Khi đódim(0 :M x) 6 s Từ dãy khớp

0 → 0 :M x → M → M/(0 :M x) → 0, ta có dãy khớp các môđun đối

đồng điều địa phương

Hai(M ) → Hai(M/(0 :M x)) → Hai+1(0 :M x),

với mọi i ≥ 0 Vì dim(0 :M x) 6 s, ta có dim(Supp(Hai(0 :M x))) 6 s vớimọii ≥ 0 Do đó, theo giả thiết dim(Supp(Hai(M/(0 :M x)))) 6 s với mọi