Về các tập giả giá và quỹ tích không cohen macaulay của các môđun hữu hạn sinh

Nếu được gọi là vành Cohen-Macaulay nếu nó là R-môđun Cohen-Macaulay.Lớp vành và môđun Cohen-Macaulay là một trong những lớp vành vàmôđun quan trọng nhất của Đại số giao hoán.. Quỹ tích

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

––––––––––––––––––––

NGUYỄN VIỆT HƯƠNG

VỀ CÁC TẬP GIẢ GIÁ VÀ QUỸ TÍCH KHÔNG COHEN - MACAULAY CỦA CÁC

MÔĐUN HỮU HẠN SINH

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS LÊ THỊ THANH NHÀN

Lời cảm ơn 1

1.1 Chuẩn bị về chiều 5

1.2 Chuẩn bị về dãy chính quy và độ sâu 9

1.3 Vành và môđun Cohen-Macaulay 11

1.4 Liên hệ với tính không trộn lẫn và tính catenary phổ dụng 14

1.5 Đặc trưng đồng điều của môđun Cohen-Macaulay 16

2 Giả giá và quỹ tích không Cohen-Macaulay 22 2.1 Tập giả giá và một số tính chất 22

2.2 Mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay qua giả giá 27

2.3 Quỹ tích không Cohen-Macaulay và điều kiện Serre 33

Tài liệu tham khảo 40

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, nghiêmkhắc của PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn Nhân dịp này tôi xin chân thànhbày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới GS TSKH Nguyễn Tự Cường, PGS TSNguyễn Quốc Thắng, PGS.TSKH Phùng Hồ Hải, TS Vũ Thế Khôi và cácthầy cô giáo Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tận tìnhgiảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập tại Trường

Tôi cũng rất biết ơn cán bộ, Giáo viên trường THPT Lương Ngọc Quyếnnơi tôi đang công tác, đã tạo mọi điều kiện để tôi hoàn thành kế hoạchhọc tập của mình

Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới người thân, bạn bè đã luôngiúp đỡ, động viên để tôi hoàn thành công việc

Lời nói đầu

Trong suốt luận văn, luôn giả thiết (R, m) là vành Noether địa phương

và M là R-môđun hữu hạn sinh Ta luôn có dim M ≥ depth M Nếu

được gọi là vành Cohen-Macaulay nếu nó là R-môđun Cohen-Macaulay.Lớp vành và môđun Cohen-Macaulay là một trong những lớp vành vàmôđun quan trọng nhất của Đại số giao hoán Chúng còn xuất hiện trongnhiều lĩnh vực khác của toán học như Đại số tổ hợp, Đại số đồng điều,Hình học đại số

Quỹ tích không Cohen-Macaulay của M, kí hiệu bởi nCM(M), đượcxác định bởi công thức

Nhiều nhà toán học đã chứng minh tính đóng của quỹ tích không Macaulay của các R-môđun hữu hạn sinh khi vành cơ sở R là vành thươngcủa vành Gorenstein (chẳng hạn như P Schenzel [S]) Cũng với giả thiếtnày, năm 1991, N T Cường [C] đã xác định chiều của nCM(M) thôngqua một bất biến gọi là kiểu đa thức của M

Cohen-Gần đây, năm 2010, N T Cường, N T K Nga, L T Nhàn [CNN] đãmô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay của M thông qua các tập giả giácủa M trong trường hợp tổng quát (không cần bất cứ điều kiện gì của R),

bởi M Brodmann và R.Y Sharp [BS1] như sau

Từ đó họ chứng minh tính đóng của nCM(M) dưới giả thiết R là vànhthương của vành Cohen-Macaulay (giả thiết này là yếu hơn vì mỗi vành

Gorenstein là vành cohen-Macaulay) Quỹ tích không Cohen-Macaulaycủa M còn được nghiên cứu trong mối quan hệ với tính catenary của vành

Mục đích chính của luận văn là trình bày lại chi tiết các kết quả trên về

của Nguyễn Tự Cường, Lê Thanh Nhàn và Nguyễn Thị Kiều Nga trongbài báo: On pseudo supports and non-Cohen-Macaulay locus of finitelygenerated modules, 323 (2010), 3029-3038 Bên cạnh đó, luận văn trìnhbày những tính chất cơ bản nhất của vành và môđun Cohen-Macaulay:chuyển qua đầy đủ, chuyển qua địa phương hóa, xét tính catenary phổdụng, xét tính không trộn lẫn và đặc trưng đồng điều

Luận văn chia làm 2 chương Chương I trình bày các tính chất cơ bản

về vành và môđun Cohen-Macaulay Các nghiên cứu về quỹ tích khôngCohen-Macaulay và các tập giả giá của các môđun hữu hạn sinh được viếttrong Chương II

Vành và môđun Cohen-Macaulay

Trong suốt luận văn này, cho R là một vành giao hoán Noether và M là

vành và môđun Cohen-Macaulay, chúng ta nhắc lại một số khái niệm vàtính chất về chiều và độ sâu

1.1 Chuẩn bị về chiều

nguyên tố độ dài n của R Chiều (Krull) của vành R, kí hiệu là dim R, làcận trên của các độ dài của các dãy iđêan nguyên tố của R Chiều (Krull)

1.1.2 Ví dụ (i) Trong vành Z các số nguyên, dãy {0} ⊂ 2Z là một dãyiđêan nguyên tố độ dài 1 Vì các iđêan nguyên tố của Z là {0} và cáciđêan có dạng pZ với p là số nguyên tố, nên cận trên của các độ dài củacác dãy iđêan nguyên tố trong Z là 1 Vì thế dim Z = 1

Một trong những phương pháp tính chiều của các môđun hữu hạn sinhtrên vành Noether là thông qua chiều của các iđêan nguyên tố liên kết,

được nêu trong bổ đề sau đây Nhắc lại rằng một iđêan nguyên tố p của R

được gọi là một iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại 0 6= x ∈ M

1.1.3 Bổ đề Tập các iđêan nguyên tố liên kết tối thiểu của M chính là

Mệnh đề sau đây cho ta công thức tính chiều của vành đa thức (xem[Mat, Định lí 15.4])

được gọi là một chuỗi lũy thừa hình thức của biến x với hệ số trong R

duy nhất m thì R[[x]] cũng là vành địa phương với iđêan tối đại duy nhất

dim(R/I) = max{dim(R/(x, y)), dim(R/(z))} = 3

dim(R/J ) = max{dim R/(x, y, z), dim(R/(y, z, t)} = 1

1.1.7 Định nghĩa Vành Noether R được gọi là vành địa phương nếu nó

có duy nhất một iđêan tối đại

Từ nay về sau, luôn giả thiết (R, m) là vành địa phương với m là iđêantối đại duy nhất và M là R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d

1.1.8 Định nghĩa Một iđêan I của R được gọi là iđêan nguyên sơ nếu

trong trường hợp này ta gọi I là iđêan p-nguyên sơ

Định lí sau đây, gọi là Định lí đa thức Hilbert - Samuel, cho ta 2 bấtbiến tương đương với chiều.

1.1.9 Định lý ([Mat, Định lí 13.4]) Cho q là một iđêan m-nguyên sơ Khi

1.1.10 Nhận xét Vì R là vành Noether nên m là hữu hạn sinh Do đó

thức Hilbert - Samuel ta suy ra dim M < ∞

Chứng minh Bằng quy nạp ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp r = 1

Định lí đa thức Hilbert - Samuel, d = dim M 6 k + 1 Do đó d − 1 6 k,vô lí

r 6 d, được gọi là một phần hệ tham số của M nếu

k ∈ N cho trước, tồn tại số n0 sao cho xn ∈ mk với mọi n ≥ n0 Ta trang

bị quan hệ tương đương trên tập các dãy Cauchy như sau: Hai dãy Cauchy

chọn các đại diện của các lớp tương đương Vì thế nó là các phép toán

là vành đầy đủ theo tôpô m-adic của R

dãy Cauchy như trên, tương tự ta định nghĩa được khái niệm môđun đầy

Kết quả sau đây khẳng định rằng chiều của một môđun là không đổikhi chuyển qua đầy đủ m-adic (xem [Mat, Định lí 15.1(ii)])

1.2 Chuẩn bị về dãy chính quy và độ sâu

(ii) Cho I là một iđêan của R Một M-dãy chính quy x1, , xt ∈ I

là M-dãy chính quy

1.2.2 Bổ đề Cho I là một iđêan của R Khi đó mỗi M-dãy chính quytrong I luôn mở rộng được thành một M-dãy chính quy cực đại và hai

Từ Bổ đề 1.2.2 ta có khái niệm sau

1.2.3 Định nghĩa Độ dài của một M-dãy chính quy tối đại trong I đượcgọi là độ sâu của M trong I và được kí hiệu là depth(I, M) Khi I = mthì ta viết depth(M) thay cho depth(m, M) Ta gọi depth M là độ sâucủa M

1.2.4 Chú ý (i) Theo Bổ đề Nakayama ta có M 6= mM do đó nếu

(ii) Phần tử x ∈ m là M-chính quy nếu và chỉ nếu x /∈ p với mọi

(iii) Nếu a ∈ I là M-chính quy thì

depth(I, M ) = depth(I, M/aM ) + 1

1.2.5 Bổ đề Ta có depth(M) 6 dim R/p với mọi p ∈ Ass(M)

Chứng minh Cho p ∈ Ass M Ta chứng minh bằng quy nạp theo dim R/p.Nếu dim R/p = 0 thì m = p và do đó m ∈ Ass(M) Theo Chú ý 1.2.4(ii),

ta có depth M = 0, kết quả đúng trong trường hợp này

Giả sử dim R/p > 0 Nếu m ∈ Ass M thì theo chứng minh trên ta có

tránh nguyên tố, tồn tại a ∈ m sao cho a /∈ p với mọi p ∈ Ass M Do đó

cho Q ⊇ p + Ra Vì a /∈ p nên dim(R/Q) < dim(R/p) Vì thế theo giảthiết quy nạp ta có depth(M/aM) 6 dim(R/Q) < dim(R/p) Theo Chú

ý 1.2.4 ta có

depth(M ) = depth(M/aM ) + 1 6 dim(R/Q) + 1 6 dim R/p

Kết quả sau đây khẳng định rằng độ sâu không thay đổi khi chuyểnqua đầy đủ (xem [Mat, Bài tập 16.7 -Trang 133])

1.3 Vành và môđun Cohen-Macaulay

Luôn giả thiết (R, m) là vành Noether địa phương và M là R-môđun hữuhạn sinh với dim M = d

Từ các Bổ đề 1.1.3 và 1.2.5 ta có ngay kết quả sau

1.3.1 Hệ quả dim M ≥ depth M

1.3.2 Định nghĩa Môđun M được gọi là môđun Cohen-Macaulay nếu

Cohen-Macaulay nếu R xét như R-môđun là Cohen-Cohen-Macaulay

Dưới đây là một số ví dụ về vành và môđun Cohen-Macaulay

1.3.3 Ví dụ Cho K là một trường và x, y, z là các biến và R = K[[x, y, z]].Khi đó:

(i) R là vành Cohen-Macaulay;

(ii) Môđun M = R/((x2, z) ∩ (y, z)) là Cohen-Macaulay;

Chứng minh Rõ ràng R là vành địa phương với iđêan tối đại duy nhất là(x, y, z)

(i) Ta có dim R = dim K[[x, y, z]] = 3 Rõ ràng x, y, z là một R-dãychính quy Vì thế depth R = dim R = 3 Do đó R là Cohen-Macaulay

dim M = max{dim R/(x, z), dim R/(y, z)} = 1

Vì (x, y, z) /∈ Ass M nên depth M > 0 Do đó depth M = dim M = 1.Vì thế M là Cohen-Macaulay

(iii) Ta có Ass N = {(y, z), (x)} Vì thế

dim N = max{dim R/(x), dim R/(y, z)} = 2

Theo hệ quả 1.3.1 ta có depth N 6 dim(R/(y, z)) = 1 Do đó N không

là môđun Cohen-Macaulay

Từ Bổ đề 1.1.14 và Bổ đề 1.2.6 ta thấy rằng tính Cohen-Macaulay cóthể chuyển qua đầy đủ

Kết quả tiếp theo khẳng định rằng tính Cohen-Macaulay có thể chuyểnqua thương cho một dãy chính quy

chiều là d − r

Chứng minh Bằng quy nạp, ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp r = 1.Giả sử x là M-chính quy Khi đó, theo Chú ý 1.2.4 ta có depth(M/xM) =

đó dim(M/xM) 6 d − 1 Vì thế dim(M/xM) = d − 1 Suy ra M làCohen-Macaulay nếu và chỉ nếu dim M = depth(M) = d nếu và chỉ nếu

dim(M/xM ) = d − 1 = depth M − 1 = depth(M/xM ),

nếu và chỉ nếu M/xM là Cohen-Macaulay chiều d − 1

Theo chứng minh Hệ quả 1.3.5 ta thấy rằng mỗi dãy chính quy của M

là một phần hệ tham số của M Tiếp theo chúng ta nghiên cứu tính chấtCohen-Macaulay khi chuyển qua địa phương hóa

mọi p ∈ Supp M

với mọi q ∈ Ass M Vì thế tồn tại x ∈ p sao cho x /∈ q với mọi q ∈ Ass M.Suy ra x là M-chính quy Đặt N = M/xM Vì M là Cohen-Macaulay

Do đó x/1 là Mp-chính quy Theo Hệ quả 1.3.5 ta suy ra Mp là môđunCohen-Macaulay.

1.4 Liên hệ với tính không trộn lẫn và tính catenary phổ

dụng

Trong tiết này chúng ta trình bày mối quan hệ giữa tính Cohen-Macaulay,tính không trộn lẫn và tính catenary phổ dụng của vành R

tồn tại một dãy nguyên tố bão hòa giữa q và p và các dãy nguyên tố bãohòa giữa q và p đều có chung độ dài

1.4.2 Chú ý Vì R là vành địa phương nên dim R < ∞ Do đó với mỗicặp iđêan nguyên tố q ⊂ p, luôn tồn tại một dãy nguyên tố bão hòa giữa

Chú ý rằng với mỗi d ≥ 3, luôn tồn tại một miền nguyên Noether địaphương không catenary chiều d Các tính chất sau đây dễ dàng suy ra từ

Định nghĩa 1.4.1

1.4.3 Bổ đề Các phát biểu sau là đúng

(i) Mọi vành Noether địa phương chiều 2 đều là catenary

(ii) Vành thương của vành catenary là catenary

Theo M Nagata [Na] định nghĩa, M được gọi là môđun không trộn lẫn

nếu dim M = dim(R/p) với mọi p ∈ min Ass M Môđun M được gọi là

đẳng chiều

Mệnh đề sau đây khẳng định tính đẳng chiều của các môđun Macaulay

Cohen-1.4.4 Mệnh đề Giả sử M là môđun Cohen-Macaulay Khi đó

depth(M ) = dim M = dim R/pvới mọi p ∈ Ass(M) Đặc biệt, Ass(M) = min Ass M và M là đẳngchiều

Chứng minh Vì M là Cohen-Macaulay nên depth(M) = dim M Theocác Bổ đề 1.1.3, 1.2.5 ta có depth(M) = dim M = dim R/p với mọi

1.4.5 Định nghĩa Vành R được gọi là catenary phổ dụng nếu mọi đại sốhữu hạn sinh trên R đều catenary

Chú ý rằng nếu S là một đại số hữu hạn sinh trên R thì khi đó tồn tại

Vì vành thương của vành catenary là catenary nên vành R là catenary

đây ta đặc trưng tính catenary phổ dụng (xem [Mat, Định lí 31.7])

1.4.6 Mệnh đề Các phát biểu sau là tương đương

(i) R là catenary phổ dụng

(ii) Vành đa thức một biến R[x] là catenary

(iii) R là tựa không trộn lẫn

Kết quả chỉ ra tính không trộn lẫn và tính catenary phổ dụng khi M làCohen-Macaulay.

1.4.7 Định lý Giả sử M là Cohen-Macaulay Khi đó

(i) M là không trộn lẫn

b

là catenary phổ dụng

1.5 Đặc trưng đồng điều của môđun Cohen-Macaulay

Tiết này nhằm trình bày một đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay thôngqua môđun đối đồng điều địa phương Các thuật ngữ và kết quả của tiếtnày được tham khảo từ cuốn sách của M Brodmann và R Y Sharp [BS].1.5.1 Định nghĩa Cho I là iđêan của R Với mỗi R-môđun L ta định

n≥0

Với mỗi R-môđun L, một giải nội xạ của L là một dãy khớp

trong đó mỗi Ei là môđun nội xạ Chú ý rằng với mỗi môđun đều nhúng

được vào một môđun nội xạ, vì thế, mỗi môđun đều có giải nội xạ

1.5.2 Định nghĩa Cho L là R-môđun và I là iđêan của R Môđun dẫn

∗ 1

phức trên, môđun này không phụ thuộc vào việc chọn giải nội xạ của L.Cho I là iđêan của R Nhắc lại rằng R-môđun L được gọi là I-xoắn

sao cho ta có dãy khớp dài

Từ nay về sau, luôn giả thiết (R, m) là vành Noether địa phương, M

là R-môđun hữu hạn sinh chiều d Trước hết ta có tính chất đơn giản sau

m(M )

Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp theo d = dim M ≥ 0 Cho

với mọi j > 0 Chú ý rằng dim(M) = d Vì thế dim(M/xM) = d−1 Do

Tiếp theo là đặc trưng của độ sâu

1.5.7 Mệnh đề Cho I là iđêan của R Khi đó tồn tại M-dãy chính quy

nạp theo n rằng có dãy M-chính quy độ dài n trong I Cho n = 1 Khi

Phần tiếp theo trình bày một số tính chất Artin của môđun đối đồng

điều địa phương Nhắc lại rằng một R-môđun A được gọi là Artin nếu mọidãy giảm các môđun con của A đều dừng, nghĩa là nếu

Kết quả sau đây là một đặc trưng quan trọng của môđun Cohen-Macaulaythông qua tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương

1.5.9 §Þnh lý M lµ Cohen-Macaulay nÕu vµ chØ nÕu Hi

Cohen-Giả giá và quỹ tích không

Cohen-Macaulay

Mục đích của chương này là nghiên cứu quỹ tích không Cohen-Macaulaycủa M trong mối quan hệ với các tập giả giá của M Trước hết chúng tatrình bày khái niệm và tính chất của các tập giả giá Trong suốt chươngnày, luôn giả thiết (R, m) là vành Noether địa phương và M là R-môđunhữu hạn sinh chiều d

2.1 Tập giả giá và một số tính chất

Tập giả giá được giới thiệu bởi M Brodmann và R Y Sharp trong [BS1].2.1.1 Định nghĩa Cho i ≥ 0 là một số nguyên Tập giả giá thứ i của M,

2.1.2 Bổ đề Với mỗi tập con T của Spec(R) và mỗi số nguyên i ≥ 0, đặt

Suy ra i − dim(R/p) ≥ 0, tức là i ≥ dim(R/p)

2.1.3 Định nghĩa Cho R-môđun A

(i) Ta nói A là môđun thứ cấp nếu A 6= 0 và phép nhân bởi x trên A làtoàn cấu hoặc lũy linh với mọi x ∈ R Trong trường hợp này tập hợp cácphần tử x ∈ R sao cho phép nhân bởi x trên A là lũy linh làm thành mộtiđêan nguyên tố p và ta gọi A là p-thứ cấp

được gọi là một biểu diễn thứ cấp của A Biểu diễn thứ cấp này được gọi

phụ thuộc vào biểu diễn thứ cấp tối thiểu của A Tập này được gọi là tập

Sau đây là một số tính chất cần thiết của tập iđêan nguyên tố gắn kết

dùng để chứng minh các kết quả của luận văn

2.1.4 Bổ đề ([Mac]) Cho A là R-môđun Artin Khi đó

(i) A có biểu diễn thứ cấp tối thiểu

Với cấu trúc này, mỗi tập con của A là R-môđun con nếu và chỉ nếu nó

2.1.5 Bổ đề ([BS, 8.2.4, 8.2.5]) Với A là R-môđun Artin ta có

b

RA Tính chất sau đây, gọi là tính chất dịch chuyển địa phương yếu, cho

Khi vành R là đầy đủ, ta có tính chất sau đây gọi là tính chất dịch

chuyển địa phương cho môđun đối đồng điều địa phương

2.1.7 Bổ đề (xem [BS]) Cho p ∈ Spec(R) Nếu R đầy đủ thì

Chứng minh Giả sử p ∈ Psuppi

Vì thế theo nguyên lí nâng địa phương yếu (xem Bổ đề 2.1.6) ta suy ra

các bất biến này Nhắc lại rằng một R-môđun L được gọi là phẳng nếu

Chứng minh Cho p ∈ Psuppi

đó Hi−dim(R/p)

p b R

b p

Psupp1(R) = {m} và vì thế psd1

b

(ii) Ta biết rằng tồn tại những miền nguyên Noether địa phương chiều 3

không catenary, chẳng hạn một miền nguyên như thế đã được M

Brod-mann xây dựng từ năm 1980 Cho (R, m) là miền nguyên Noether chiều 3

2.2 Mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay qua giả giá

Trong tiết này, vẫn luôn giả thiết (R, m) là vành Noether địa phương và

niệm quỹ tích không Cohen-Macaulay của các môđun hữu hạn sinh

2.2.1 Định nghĩa Quỹ tích không Cohen-Macaulay của M, kí hiệu bởi

Định lí sau đây là một trong 3 kết quả chính của luận văn, mô tả quỹ

tích không Cohen-Macaulay của M thông qua các tập giả giá