SKKN một số phương pháp xác định giới hạn dãy số

Lời giới thiệu Bài toán tìm giới hạn dãy số là một trong các bài toán có trong cấu trúc đềthi trong các kỳ thi Học sinh giỏi khối 11 của Tỉnh qua các năm và trong cấu trúc đề thi THPT Q

MỤC LỤC

2.1.Tính giới hạn của dãy bằng cách xác định CTTQ của dãy 62.2.Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử

dụng tính đơn điệu và bị chặn

13

9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến 27

10 Đánh giá lợi ích thu được (kết quả thực hiện) 27

11 Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng sáng

kiến lần đầu.

28

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu

Bài toán tìm giới hạn dãy số là một trong các bài toán có trong cấu trúc đềthi trong các kỳ thi Học sinh giỏi khối 11 của Tỉnh qua các năm và trong cấu trúc

đề thi THPT Quốc Gia qua các năm kể từ khi Bộ GD&ĐT chuyển sang thi trắcnghiệm Trong đó xác định giới hạn của dãy bằng cách xác định CTTQ, lượng giáchóa, sử dụng tính đơn điệu của dãy và giới hạn của dãy tổng được khai thác chủyếu Trong năm học tôi được giao nhiệm vụ dạy Toán ở lớp đầu cao, dạy bồidưỡng Học sinh giỏi khối 11 nên việc nghiên cứu bài toán tìm giới hạn dãy số làbắt buộc Khi dạy phần giới hạn dãy số tôi thấy một số vấn đề sau cần giải quyết Một là: Theo quan điểm của ngành Giáo dục và thời lượng chương trìnhdạy học nên nội dung của chương dãy số đã được giảm tải đáng kể Tuy nhiên việcgiảm tải chỉ tập trung vào bài tập còn lí thuyết thì giảm tải không đáng kể vì đó làyêu cầu tối thiểu Nên khi giáo viên dạy lí thuyết chương này khá vất vả, học sinhhọc lí thuyết cũng rất vất vả nhưng khi làm bài tập trong Sách giáo khoa học sinhthấy rất đơn giản vì các bài tập hơi khó đã được giảm tải, các bài tập còn lại đềutương tự ví dụ đã có trong phần lí thuyết nên hầu hết học sinh làm bài theo cách rấtmáy móc ít hiểu rõ vấn đề do đó khi đề bài chỉ thay đổi một chút là học sinh sẽcảm thấy khó khăn, chán ngán

Hai là: Các vấn đề về dãy số ít xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh Đạihọc nên nhiều học sinh không hứng thú với nội dung này Tài liệu tham khảo vềdãy số cũng rất ít do đó những học sinh có nhu cầu tìm hiểu sâu thêm về dãy sốhoặc những học sinh có ý đinh ôn thi Học sinh giỏi rất khó tìm cho mình một cuốntài liệu dễ đọc

Từ thực trạng của vấn đề trên, tôi chọn nghiên cứu sáng kiến “Một số phương pháp xác định giới hạn dãy số” nhằm giúp học sinh có hứng thú

và giải quyết dễ dàng các bài toán liên quan đến giới hạn dãy số

2 Tên sáng kiến:

“ Một số phương pháp xác định giới hạn dãy số”

3 Tác giả sáng kiến:

- Họ và tên: Đào Xuân Tiến

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Yên Lạc 2 – huyện Yên Lạc –

tỉnh Vĩnh Phúc

- Số điện thoại: 0986968630 Email:daoxuantien101186@gmail.com.

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:

Đào Xuân Tiến – Trường THPT Yên Lạc 2 – huyện Yên Lạc – tỉnh VĩnhPhúc.

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:

Sáng kiến “ Một số phương pháp xác định giới hạn dãy số” được áp

dụng bồi dưỡng HSG khối 11 và ôn thi THPT Quốc Gia

Những vấn đề tôi trình bày trong bản sáng kiến với mục đích sau:

Một là: Truyền đạt đến học sinh một cái nhìn toàn diện về giới hạn dãy sốtheo quan điểm của học sinh trung học phổ thông không chuyên Hệ thống và phântích các bài tập về giới hạn dãy số một cách logic từ khó đến rất khó

Hai là: Qua việc luyện tập các bài toán về giới hạn dãy số ta sẽ thấy nó làcác phép thế tuyệt đệp, nó là phép quy nạp từ các vấn đề đơn giản đến phức tạptổng quát là phép biến đổi điển hình của đại số và giải tích

Ba là: Hướng dẫn học sinh tìm lời giải một cách tự nhiên cho các bài toán

về giới hạn dãy số chánh sự gượng ép máy móc

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:

Ngày 28/02/2020

7 Mô tả bản chất của sáng kiến:

7.1 Về nội dung sáng kiến

PHẦN I: CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1.Phương pháp quy nạp toán học

1 (

2 1

2 2

3 3

3 1

2 2

1 2 1

n

n 2

1

11 Với mọi số tự nhiên n 3, ta có : 2n  2n 1

12 Với mọi số tự nhiên n 2, ta có :

1 1

1

3

1 2

1 1

2

) 1 ( sin 2

sin

sin

2 sin sin

x

x n nx nx

x x

2 cos 2

) 1 ( sin

cos

2 cos cos

1

x

nx x

n nx

x x

Trong đó u n u n( ) và gọi u là số hạng đầu, 1 u là số hạng thứ n n và là số hạng

tổng quát của dãy số

1.2.2 Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn

* Dãy số  u gọi là dãy số tăng nếu n *

Vậy: Nếu u n1  u n 0,  n *suy ra  u n là dãy số tăng.

Nếu un1 un  0,    n *suy ra  u là dãy số giảm n

* Nếu tồn tại số M sao cho u n M,   n *thì  u n bị chặn trên

* Nếu tồn tại số m sao cho u n m,   n *thì   un bị chặn dưới

* Nếu dãy số   un bị chặn trên và bị chặn dưới thì gọi là dãy só bị chặn

1.2.3.Một vài dãy số đặc biệt

* Cấp số cộng

* Dãy số  u n là cấp số cộng  u n1 u nd ,n  N*, trong đó (d0) , d là số không đổi gọi là công sai của cấp số cộng

* Dãy số  u là cấp số nhân n  u n1 u q n ,n  N*, trong đó q là số không

đổi gọi là công bội của cấp số nhân

* Nếu dãy số  u là cấp số nhân thì n 1

1 n n

PHẦN II GIỚI HẠN DÃY SỐ

2.1.Tính giới hạn của dãy bằng cách xác định CTTQ của dãy

* Kiến thức sử dụng:

- Các công thức đối với các dãy số quen thuộc

- Tính chất của các dãy số là cấp số cộng, cấp số nhân

642

)12(

531

2 2

2 2

2 2

2 2

)14(6

)12)(

1(.4

6

)14)(

12(2)2(

642

)2(

321

2 2

2 2

n n

n n

n n

12

u n

u n

n v

Bài 2 Cho dãy số ( )u với n

113

11)2

11(

Bài 5 Cho dãy số 1 1 1 1

11

1 1

n n u u u

n n

lim ( : lim  ( 2  1)  2 )

n u

ĐS u

2.2.Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử dụng tính đơn điệu và bị chặn.

* Cơ sở lý thuyết:

a) Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn.

b)Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn

- Nếu dãy số ( )u thỏa mãn điều kiện n u n M,  n * và tồn tại giới hạn limu n

thì limu n M ; nếu dãy số ( )u thỏa mãn điều kiện n u n m,  n * và tồn tại giớihạn limu thì lim n u n m

- Giả sử dãy số ( )u có giới hạn hữu hạn thì n limu n limu n10

Áp dụng tính chất trên ta có thể tính được giới hạn của các dãy cho bởi hệthức truy hồi Dạng bài tập này khá phổ biến trong các đề thi HSG cấp tỉnh, các đềthi Olympic 30/4, các đề thi HSG cấp Quốc gia và Quốc tế

Phương pháp này tỏ ra rất hiệu quả khi giải quyết các bài toàn tìm giới hạn của dãy

số cho bởi hệ thức truy hồi Sau đây ta xét một số ví dụ minh họa

Vậy ( )u bị chặn dưới Ta có lim n u  n 2

Bài 2.2.2 Cho dãy số ( )u xác định bởi n 

1 1

n u u

u

n

n Tính lim u n

Lời giải:

Trước hết ta sẽ chứng minh dãy số ( )u tăng và bị chặn trên n

Chứng minh dãy ( )u tăng bằng quy nạp, tức là n u n1u n, n 1

Vậy dãy số ( )u bị chặn trên bởi 2 Do đó dãy số ( ) n u có giới hạn hữu hạn, giả sử n

limu n a thì a 2 Từ hệ thức truy hồi, lấy giới hạn hai vế ta có limu n1 lim

a

a a

a a a

Vì a 2 nên a = 2 limun = 2.

Nhận xét:

*Với ví dụ này ta có thể tìm được CTTQ của dãy ( )u là n

1 ,

2

cos

u n n tuy nhiên việc xác định CTTQ của ( )u không phải là đơn n

giản và mất nhiều thời gian Với kĩ thuật tính giới hạn như bài giải trên, bài toánđược giải quyết gọn nhẹ

* Tổng quát hóa bài toán :

Cho dãy số  u xác định bởi n 1

cho trước Hãy tìm lim un

Bài 2.2.3 Cho dãy số ( )u xác định bởi n 

2 1

n u u u u u

n n

Nên dãy số (un) là dãy số dương tăng  u n u1 1 , n 1

Hơn nữa, ta thấy n 3 ,u n  u n1  u n2  u n  u n  2 u n

Hay un2  4 un  un  4( do un  0)  Nên ( )u bị chặn trên bởi 4 n

Do đó dãy số ( )u có giới hạn hữu hạn Giả sử limu n n = a, khi đó a 1

Từ hệ thức truy hồi suy ra limun+1 = lim u n  lim u n1

2 2010

1

u u

n n n

Chứng minh rằng dãy ( )u có giới hạn và tính giới hạn đó n

Lời giải:

Trước hết ta nhận xét rằng u n  0, với mọi n

Thật vậy, ta có u n = 2010 > 0 Giả sử u k  0 , k  1, ta chứng minh u k1  0

Từ hệ thức truy hồi suy ra

k

k k k

k k

u

u u u

u u

2

2011 0

2011

2

2 1

2 1

n n

u

u u

u

2

1 2

2011 2

Theo bất đẳng thức Cosi, ta có:

2 1

Mặt khác ta có:

2 1

Nên ( )u là dãy số giảm và bị chặn bởi 2011 do đó dãy ( ) n u có giới hạn hữu n

hạn giả sử limu n a , khi đó 0a2010

Và ta có

2 1

20112

n n

n

u u

b) Từ câu a) và nhận xét trên suy ra dãy ( )u có giới hạn Giả sử lim n u n a

thì a 0 Do đó lim[u n1(1 u n)] lim u n1.lim(1 u n)a(1 a)

Mặt khác từ giả thiết suy ra lim[ 1(1 )] 1 (1 ) 1

Vậy dãy số ( )u có giới hạn hữu hạn Giả sử lim n u n  , khi đó  0

Từ hệ thức truy hồi suy ra: 1

22 2

n

n n

u u u

u

u u

14

32

11

2 2

3 2

1 2

Do đó dãy số giảm và bị chặn dưới nên tồn tại giới hạn Suy ra limu n = 0

Bài 2 Cho dãy số u1= 2020 và 1

u n

)1(

u u u

Xét hiệu 0

1 3

2 2 2

n

u

u u u

u Do đó dãy số giảm và bị chặn dưới nên tồn tại giới hạn Suy ra limu  n 1

Bài 5 Cho dãy số

n n

n n

n

2

2

21

22

1 1

n u u u

n n

2.3.Phương pháp lượng giác hóa



n n

Vậy lim u n 0

Bài 2.3.2 Cho dãy số

1

2 1

4 1

n n

u u

n n

n n n

a a

a a

u u u

3

cos2

11

1



n n

222

2

222

1

n n

u

u u

31

Các bài toán về tìm giới hạn của tổng ta thu gọn tổng đó bằng cách phân tích hạng tử tổng quát thành hiệu các hạng tử nối tiếp nhau để các hạng tử có thể triệt tiêu, cuối cùng đưa tổng đó về biểu thức chỉ còn chứa x n , sau đó tìm limx n

 là một dãy đơn điệu tăng và không bị chặn Tìm giới hạncủa dãy số  y n n1

 trong đó y n được xác định bởi công thức:

n n

Ta có thể chứng minh limx n =  với cách khác:

Dễ thấy (x n ) là dãy tăng, giả sử limx n = a (a1)

Nên ta có a  a a( 1)(a2)(a3) 1

Suy ra a 2 = a(a+1)(a+2)(a+3) + 1 hay a 4 + 6a 3 + 10a 2 + 6a +1 = 0

Rõ ràng phương trình này không có nghiệm thỏa mãn a1 Vậy limx n = 

Bài 2.4.3 Cho dãy số   un xác định bởi

1

2 1

(theo giả thiết quy nạp)

Vậy dãy số   un tăng

Ta lại chứng minh   un không bị chặn trên

Giả sử   un bị chặn trên   lim un Đặt lim un   x x  1 và lim un1  x

4

( 2,3, ) 2

2 42

Vậy (yn) có giới hạn hữu hạn và limyn = 6

Bài 2.4.5 Cho dãy số (u n) xác định như sau:

1

2019 1

u u

u u

u u

n n

2018 2

1 4 1

3

2 1

1

n u

u u

u

n n n

Bài 4 Cho dãy số ( )u xác định bởi: n

1

* 2

1

2

,20192020

Bài 5 Cho dãy ( )u xác định bởi n 1 2

k k

u u

2 1 1

n u u u a u

n n

1

1lim

2 1

1

n u u u u

n n n

Tính

1

1lim

2

2 1 1

n u u u

n n

Tính

1

1lim

7.2 Về khả năng áp dụng của sáng kiến

Sáng kiến được áp dụng bồi dưỡng cho học sinh ôn thi HSG tỉnh Vĩnh

Phúc khối 11

Ngoài ra sáng kiến còn áp dụng để giảng dạy cho khối 12 ôn thi THPTQuốc Gia

8 Những thông tin cần được bảo mật: Không

9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:

Sáng kiến được áp dụng cho học sinh có lực học khá và giỏi.

10 Đánh giá lợi ích thu được ( kết quả thực hiện)

Trên đây là một số bài tập về tính dãy số cơ bản và nâng cao nhằm củng cố, hướng dẫn học sinh khá, giỏi và đặc biệt là các em học sinh ôn HSG khối 11 Trong quá trình giảng dạy tôi đã hướng dẫn học sinh trong lớptôi và các em trong đội tuyển các dạng bài tập trên

Qua kiểm tra đánh giá lớp 11A1 đạt kết quả tỉ lệ: Giỏi 25%, Khá: 44%, Trung bình: 31%

Qua đó các em học sinh trong đội tuyển dự thi HSG khối 11 của Tỉnh có 70% các em làm tốt câu này

Một số kiến nghị:

+ Trên đây chỉ là một số bài tập dạng bài tập cơ bản và nâng cao về tìm giới hạn của dãy số Các dạng bài tập này chưa dùng ứng dụng của đạo hàm về tính giới hạn dãy số

+ Mặc dù tôi đã có cố gắng song do còn hạn chế về trình độ chuyên môn, kinh nghiệm giảng dạy nên tài liệu này vẫn còn nhiều thiếu sót Rất mong các thầy,

cô giáo đóng góp ý kiến cho tôi để tôi có thể hoàn thiện tài liệu tốt hơn

11 Danh sách nh ng t ch c/cá nhân ã tham gia áp d ng sáng ki n l nững tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần ổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần ức/cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đã tham gia áp dụng sáng kiến lần ụng sáng kiến lần ến lần ầnu

đã tham gia áp dụng sáng kiến lầnần

TÀI LIỆU THAM KHẢO

- Sách giáo khoa đại số và giải tích 11 (Chương trình nâng cao).-Tạp chí Toán học và tuổi trẻ

- Đề thi HSG các tỉnh, thi HSG Quốc Gia

-Nguồn internet