Tớnh chu diện tớch của cỏc hỡnh tạo bởi cỏc đường thẳng: Ph ơng pháp: +Dựa vào các tam giác vuông và định lý Py ta go để tính độ dài các đoạn thẳng không biết trực tiếp đợc.. Đ ờng trò
Trang 1CHủ đề 1: Căn thức - rút gọn biểu thức
I căn thức:
Kiến thức cơ bản:
1 Điều kiện tồn tại : A Có nghĩa A 0
2 Hằng đẳng thức: A2 A
3 Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phơng: A.B A. B (A 0 ;B 0 )
4 Liên hệ giữa phép chia và phép khai phơng:
B
A B
A
(A 0 ;B 0 )
5 Đa thừa số ra ngoài căn: A2 B A B (B 0 )
6 Đa thừa số vào trong căn: A B A2.B
(A 0 ;B 0 )
A B A2.B
(A 0 ;B 0 )
7 Khử căn thức ở mẫu: A A B
B B (AB0;B0)
8 Trục căn thức ở mẫu: A A B
B
B (B 0)
B A
B A C B A
C
) ( (A0;B0;A B )
Bài tập:
Tìm điều kiện xác định: Với giá trị nào của x thì các biểu thức sau đây xác định:
1) 2 x 3 2)
2
2
4
5
2
x
5) 3 x 4 6) 1 x2 7)
x
2 1
3
5 3
3
x
Rỳt gọn biểu thức
1) 8 3 2 10 2 5
4) 2 2 3 2 2 3 2 5 14
5) 2 32 4 2 3
6) 15 6 6 33 12 6
7) 15 200 3 450 2 50 : 10
8)
1 5
1 1
5
1
9)
2 3 4
2 2
3
4
2
10)
2 1
2 2
11) ( 2 3 3 2 ) 2 2 6 3 24
12) ( 28 2 14 7 ) 7 7 8
13) ( 3 2 ) 2 ( 3 1 ) 2 14)
5 7
5 7 5 7
5 7
15) 4 7 4 7
16) 2 3 14 5 3 2 17) 4x (x 12)2(x2)
18) x 2y (x2 4xy 4y2 ) 2 (x 2y)
1) 2x 1 5
2) 10 3x 2 6
3) 9 (x 1 ) 21
4) 2x 50 0
5) 3 2 12 0
x
Trang 26) (x 3) 9
7) 4 2 4 1 6
x
x
8) ( 2 1 ) 2 3
x
9) 4 2 6
x
10) 4 ( 1 ) 2 6 0
x
11) 3 x 1 2 12) 3 3 2 2
x
3
x x x 14) x2 7x x2 7x 8 12
So sánh
1) 6 2 2 và 9
2) 11 3 và 2
3) 3 2 và 2 6
4) 2003 2005 và 2 2004 5) 1
3 2 và 5 1 6) 2005 2003 và 2003 2001
Tìm GTNN, GTLN
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2x 3 1 , giá trị đó đạt đợc khi x bằng bao nhiêu?
2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1
1
x x , giá trị đó đạt đợc khi x bằng bao nhiêu?
3) Cho hai số a, b không âm Chứng minh
2
a b
ab
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
4) Với a0;b chứng minh0
a b a b
5) Với a dơng, chứng minh
1 2
a a
6) Với ba số a, b, c không âm, chứng minh bất đẳng thức
a b c ab bc ca
II các bài toán rút gọn:
A.các b ớc thực hiên :
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn nếu đợc)
Tìm ĐKXĐ của biểu thức: là tìm TXĐ của từng phân thức rồi kết luận lại
Quy đồng, gồm các bớc:
+ Chọn mẫu chung : là tích các nhân tử chung và riêng, mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất
+ Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để đợc nhân tử phụ tơng ứng
+ Nhân nhân tử phụ với tử – Giữ nguyên mẫu chung
Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức
Thu gọn: là cộng trừ các hạng tử đồng dạng
Phân tích tử thành nhân tử ( mẫu giữ nguyên)
Rút gọn
B.Bài tập luyện tập:
Bài 1 Cho biểu thức : A = 2
1
x x x
x x x
với ( x >0 và x ≠ 1) 1) Rỳt gọn biểu thức A
2) Tớnh giỏ trị của biểu thức A tại x 3 2 2
Trang 3Bài 2 Cho biểu thức : P = 4 4 4
a a a
( Với a 0 ; a 4 ) 1) Rỳt gọn biểu thức P
2) Tỡm giỏ trị của a sao cho P = a + 1
Bài 3: Cho biểu thức A = 1 2
x x x x
x x
1/.Đặt điều kiện để biểu thức A cú nghĩa
2/.Rỳt gọn biểu thức A
3/.Với giỏ trị nào của x thỡ A< -1
Bài 4: Cho biểu thức A = (1 )(1 )
x x x x
x x
( Với x0;x1) a) Rỳt gọn A
b) Tỡm x để A = - 1
Bài 5 : Cho biểu thức : B =
x
x x
x 2 21
1 2
2 1
a; Tìm TXĐ rồi rút gọn biểu thức B
b; Tính giá trị của B với x =3
c; Tìm giá trị của x để
2
1
A
Bài 6: Cho biểu thức : P =
x
x x
x x
x
4
5 2 2
2 2 1
a; Tìm TXĐ
b; Rút gọn P
c; Tìm x để P = 2
1
2 2
1 ( : )
1 1
1
a a
a a a
a; Tìm TXĐ rồi rút gọn Q
b; Tìm a để Q dơng
c; Tính giá trị của Biểu thức biết a = 9 - 4 5
1 1
2
1
a a a
a a a a
a/ Tìm ĐKXĐ của M
b/ Rút gọn M
Tìm giá trị của a để M = - 4
Bài 9 : Cho biểu thức : K =
3 x
3 x 2 x 1
x 3 3 x 2 x
11 x 15
a Tìm x để K có nghĩa
b Rút gọn K
c Tìm x khi K=
2
1
d Tìm giá trị lớn nhất của K
Bài 10 : Cho biểu thức: G=
2
1 x x 1 x 2 x
2 x 1
x
2
1 Xác định x để G tồn tại
2 Rút gọn biểu thức G
3 Tính số trị của G khi x = 0,16
4 Tìm gía trị lớn nhất của G
5 Tìm x Z để G nhận giá trị nguyên
6 Chứng minh rằng : Nếu 0 < x < 1 thì M nhận giá trị dơng
7 Tìm x để G nhận giá trị âm
Trang 4Bài 11 : Cho biểu thức: P=
2
1 x : x 1
1 1 x x
x 1
x x
2
Với x ≥ 0 ; x ≠ 1
a Rút gọn biểu thức trên
b Chứng minh rằng P > 0 với mọi x≥ 0 và x ≠ 1
1 1 a 1
1 a a 2 2
1 a
2 2
1
2 2
a Tìm a dể Q tồn tại
b Chứng minh rằng: Q không phụ thuộc vào giá trị của a
Bài 13: Cho biểu thức :
A=
x
x x x y xy
x y
xy
x
1 2
2
2 2
3
a) Rút gọn A
b) Tìm các số nguyên dơng x để y = 625 và A < 0,2
5 a 2 1 : a 16
2 a 4 4 a
a 4 a
a
1)Rút gọn P
2)Tìm a để P = -3
3)Tìm các số tự nhiên a để P là số nguyên tố
-CHủ đề 2: hàm số - hàm số bậc nhất
I hàm số:
Khái niệm hàm số
* Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng x sao cho mỗi giá trị của x, ta luôn xác định đợc chỉ một giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số của x và x đợc gọi là biến số.
* Hàm số có thể cho bởi công thức hoặc cho bởi bảng
II hàm số bậc nhất:
Kiến thức cơ bản:
Định nghĩa:
Hàm số bậc nhất có dạng: yaxb Trong đó a; b là các hệ số a 0
Nh vậy: Điều kiện để hàm số dạng: yaxb là hàm số bậc nhất là: a 0
Tính chất:
+ TXĐ: x R
+ Đồng biến khi a 0 Nghịch biến khi a 0
Đồ thị:
+ Đặc điểm: Đồ thị hàm số bậc nhất là đờng thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b Cắt trục hoành tại
điểm có hoành độ bằng
a
b
+ Từ đặc điểm đó ta có cách vẽ đồ thị hàm số y= ax+b:
Cho x = 0 => y = b => điểm (0;b) thuộc đồ thị hàm số y = ax+b
Cho y = 0 => b
x a
=> điểm ( b
a
;0) thuộc đồ thị hàm số y = ax+b
Đờng thẳng qua hai điểm (0;b) và ( b
a
;0) là đồ thị hàm số y = ax+b
Điều kiện để hai đờng thẳng: (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b, :
+ Cắt nhau: (d1) cắt (d2) a a '
*/ Để hai đờng thẳng cắt nhau trên trục tung thì cần thêm điều kiện b b '
*/ Để hai đờng thẳng cắt nhau trên trục hoành thì cần thêm điều kiện '
'
b b
a a
*/ Để hai đờng thẳng vuông góc với nhau thì : a a ' 1
+ Song song với nhau: (d1) // (d2) a a b b '; '
+ Trùng nhau: (d1) (d2) a a b b '; '
Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b là a
Trang 5+ Cách tính góc tạo bởi đờng thẳng với trục Ox là dựa vào tỉ số lợng giác
Trờng hợp: a > 0 thì góc tạo bởi đờng thẳng với trục Ox là góc nhọn tg a
Trờng hợp: a < 0 thì góc tạo bởi đờng thẳng với trục Ox là góc tù tg'a; 1800 '
Các dạng bài tập th ờng gặp:
Dạng 3: Tớnh gúc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox
Dạng 4: Điểm thuộc đồ thị; điểm không thuộc đồ thị.
Ph
ơng pháp: Ví dụ: Cho hàm số bậc nhất: y = ax + b Điểm M (x1; y1) có thuộc đồ thị không?
Thay giá trị của x1 vào hàm số; tính đợc y0 Nếu y0 = y1 thì điểm M thuộc đồ thị Nếu y0y1 thì điểm M không thuộc đồ thị
-Dạng 5: Viết phơng trình đờng thẳng:
Ví dụ: Viết phơng trình đờng thẳng y = ax + b đi qua điểm P (x0; y0) và điểm Q(x1; y1)
Ph
ơng pháp: + Thay x0; y0 vào y = ax + b ta đợc phơng trình y0 = ax0 + b (1)
+ Thay x1; y1 vào y = ax + b ta đợc phơng trình y1 = ax1 + b (2)
+ Giải hệ phơng trình ta tìm đợc giá trị của a và b
+ Thay giá trị của a và b vào y = ax + b ta đợc phơng trình đờng thẳng cần tìm
-Dạng 6: Chứng minh đờng thẳng đi qua một điểm cố định hoặc chứng minh đồng quy:
Ví dụ: Cho các đờng thẳng :
(d1) : y = (m2-1) x + m2 -5 ( Với m 1; m -1 )
(d2) : y = x +1
(d3) : y = -x +3
a) C/m rằng khi m thay đổi thì d1 luôn đi qua 1điểm cố định
b) Xác định m để 3 đờng thẳng d1 ;d2 ;d3 đồng qui
Giải:
a) Gọi điểm cố định mà đờng thẳng d1 đi qua là A(x0; y0 ) ta có :
y0 = (m2-1 ) x0 +m2 -5 Với mọi m
=> m2(x0+1) -(x0 +y0 +5) =0 với mọi m
Điều này chỉ xảy ra khi :
x0+ 1 =0 và x0+y0+5 = 0
suy ra : x0 = -1 và y0 = - 4
Vậy điểm cố định là A (-1; - 4)
b) +Ta tìm giao điểm B của (d2) và (d3):
Ta có phơng trình hoành độ : x+1 = - x +3 => x =1
Thay vào y = x +1 = 1 +1 =2 Vậy B (1;2)
Để 3 đờng thẳng đồng qui thì (d1)phải đi qua điểm B nên ta thay x =1 ; y = 2 vào phơng trình (d1) ta có:
2 = (m2 -1) 1 + m2 -5
m2 = 4 => m = 2 và m = -2
Vậy với m = 2 hoặc m = - 2 thì 3 đờng thẳng trên đồng qui
Bài tập :
Bài 1: Cho hai đường thẳng (d1): y = ( 2 + m )x + 1 và (d2): y = ( 1 + 2m)x + 2
1) Tỡm m để (d1) và (d2) cắt nhau
2) Với m = – 1, vẽ (d1) và (d2)trờn cựng mặt phẳng tọa độ Oxy rồi tỡm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d1) và (d2)bằng phộp tớnh
Bài 2: Cho hàm số bậc nhất y = (2 - a)x + a Biết đồ thị hàm số đi qua điểm M(3;1), hàm số đồng biến hay
nghịch biến trờn R? Vỡ sao?
Bài 3: Cho hàm số bậc nhất y = (1- 3m)x + m + 3 đi qua N(1;-1), hàm số đồng biến hay nghịch biến? Vỡ sao?
Dạng1: Xỏc dịnh cỏc giỏ trị của cỏc hệ số để hàm số đồng biến, nghịch biến, hai đường thẳng song song; cắt
nhau; trựng nhau
Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b
Xỏc định toạ độ giao điểm của hai đường thẳng (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b,
Ph
ơng pháp: Đặt ax + b = a,x + b, giải phơng trình ta tìm đợc giá trị của x; thay giá trị của x vào (d1) hoặc (d2)
ta tính đợc giá trị của y Cặp giá trị của x và y là toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng
Tớnh chu diện tớch của cỏc hỡnh tạo bởi cỏc đường thẳng:
Ph ơng pháp: +Dựa vào các tam giác vuông và định lý Py ta go để tính độ dài các đoạn thẳng không biết trực tiếp đợc Rồi tính chu vi tam giác bằng cách cộng các cạnh
+ Dựa vào công thức tính diện tích tam giác để tính S
Trang 6Bài 4: Viết phương trỡnh đường thẳng (d) biết (d) song song với (d’): y = x
2
1
và cắt trục hoành tại điểm cú hoành độ bằng 10
Bài 5: Viết phương trỡnh đường thẳng (d), biết (d) song song với (d’) : y = - 2x và đi qua điểm A(2;7).
Bài 6: Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua hai điểm A(2; - 2) và B(-1;3).
Bài 7: Cho hai đường thẳng : (d1): y = 1 2
2x và (d2): y = x2
a/ Vẽ (d1) và (d2) trờn cựng một hệ trục tọa độ Oxy
b/ Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d1) và (d2) với trục Ox , C là giao điểm của (d1) và (d2) Tớnh chu vi và diện tớch của tam giỏc ABC (đơn vị trờn hệ trục tọa độ là cm)?
Bài 8: Cho các đờng thẳng (d1) : y = 4mx - (m+5) với m0
(d2) : y = (3m2 +1) x +(m2 -9)
a; Với giá trị nào của m thì (d1) // (d2)
b; Với giá trị nào của m thì (d1) cắt (d2) Tìm toạ độ giao điểm khi m = 2
c; C/m rằng khi m thay đổi thì đờng thẳng (d1) luôn đi qua điểm cố định A ;(d2) đi qua điểm cố định B Tính BA
?
Bài 9: Cho hàm số : y = ax +b
a; Xác định hàm số biết đồ thị của nó song song với y = 2x +3 và đi qua điểm A(1,-2)
b; Vẽ đồ thị hàm số vừa xác định - Rồi tính độ lớn góc tạo bởi đờng thẳng trên với trục Ox ?
c; Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với đờng thẳng y = - 4x +3 ?
d; Tìm giá trị của m để đờng thẳng trên song song với đờng thẳng y = (2m-3)x +2
Bài 10: Cho hai hàm số bậc nhất:
2
1 3
ym x
y m x (2)
Với giỏ trị nào của m thỡ:
a) Đồ thị của hàm số (1) và (2) là hai đường thẳng cắt nhau?
b) Đồ thị của hàm số (1) và (2) là hai đường thẳng song song?
c) Đồ thị của hàm số (1) và (2) cắt nhau tại một điểm trờn trục tung?
d) Đồ thị của hàm số (1) và (2) cắt nhau tại một điểm trờn trục hoành?
e) Đồ thị của hàm số (1) và (2) cắt nhau tại điểm cú hoành độ bằng 4?
Bài 11: Cho đường thẳng ym 2x2 (d)
a) Chứng minh (d) luụn đi qua một điểm cố định với mọi giỏ trị của m
b) Tỡm m để khoảng cỏch từ gốc toạ độ đến đường thẳng (d) bằng 1
c) Tỡm m để khoảng cỏch từ gốc toạ độ đến đường thẳng (d) cú giỏ trị lớn nhất
CHủ đề 3: hình học
I hệ thức trong tam giác vuông :
Hệ thức giữa cạnh và đ ờng cao:
, 2
,
2 a.b ;c a.c
b a2 b2 c2
,
,
h ab, c,
c
b
h
,
,
2
1
1
1
c
b
h ,
, 2
2 ,
, 2
2
.;
b
c b
c c
b c
b
Trang 7Hệ thức giữa cạnh và góc:
Tỷ số l ợng giác:
Sin Cos Tg Cotg
Tính chất của tỷ số l ợng giác:
1/ Nếu 90 0 Thì:
Sin Cos
Cos Sin
Tg Cotg
Cotg Tg
2/Với nhọn thỡ 0 < sin < 1, 0 < cos < 1
*sin2 + cos2 = 1 * sin
tg cos
cotg
sin
*tg cotg =1
Hệ thức giữa cạnh và góc:
+ Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân Sin góc đối:
ba.SinB.;ca.SinC
+ Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân Cos góc kề:
ba.CosC.;ca.CosB
+ Cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân Tg góc đối:
bc.TgB.;c b.TgC
+ Cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân Cotg góc kề:
bc.CotgC.;cb.CotgB
Bài Tập áp dụng:
Bài 1: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A Biết AB = 4 cm, AC = 3 cm Giải tam giỏc ABC
Bài 2: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú AH vuụng gúc BC, BH = 7cm, HC = 3cm Giải tam giỏc ABC? Bài 3: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú AH vuụng gúc BC, AH = 4,8cm; BC =10cm Giải tam giỏc ABC? Bài 4: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú AH là đường cao, AH = 4cm, HC = 3cm Giải tam giỏc ABC?
Bài 5: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, AC = 5cm, B = 400. Giải tam giỏc ABC?
Bài 6: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú AH là đường cao AH = 3cm, C = 400 Giải tam giỏc ABC?
Bài7: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú AH là đường cao, HC= 4cm, B = 550 Giải tam giỏc ABC?
Bài 8: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, cú AH là đường cao, AM là đường trung tuyến, biết AM = 5, AH = 4
Giải tam giỏc ABC?
Bài 9: Cho tam giỏc ABC cú AB = 11cm; ABC 380; ACB 300, N là chõn đường vuụng gúc kẻ từ A đến
BC Hóy tớnh AN, AC
Bài 10: Cho tam giỏc ABC cú 0
105
A , 0
45
B , BC = 4cm Giải tam giỏc ABC.
Bài 11: Cho tam giỏc ABC cú BC = 12cm, 0 0
60 ; 40
B C Tớnh a) Đường cao CH và cạnh AC
b) Diện tớch tam giỏc ABC
Bài 12: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, AB = 6cm, AC = 8cm
a) Tớnh BC, B C; ?
b) Phõn giỏc của gúc A cắt BC tại D Tớnh BD, CD
c) Từ D kẻ DE và DF lần lượt vuụng gúc với AB, AC Tứ giỏc AEDF là hỡnh gỡ? Tớnh chu vi và diện tớch của tứ giỏc AEDF
Bài 13:
Trang 8II Đ ờng tròn:
.Sự xác định đSự xác định đ ờng tròn: Muốn xác định đợc một đờng tròn cần biết:
+ Tâm và bán kính,hoặc
+ Đờng kính( Khi đó tâm là trung điểm của đờng kính; bán kính bằng 1/2 đờng kính) , hoặc
+ Đờng tròn đó đi qua 3 điểm ( Khi đó tâm là giao điểm của hai đờng trung trực của hai đoạn thẳng nối hai trong ba điểm đó; Bán kính là khoảng cách từ giao điểm đến một trong 3 điểm đó)
Tính chất đối xứng:
+ Đờng tròn có tâm đối xứng là tâm của đờng tròn
+ Bất kì đờng kính vào cũng là một trục đối xứng của đờng tròn
1 Quan hệ giữa đ ờng kính và dây:
+ Đờng kính (hoặc bán kính) Dây Đi qua trung điểm của dây ấy
2 Quan hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây:
+ Hai dây bằng nhau Chúng cách đều tâm
+ Dây lớn hơn Dây gần tâm hơn
Vị trí t ơng đối của đ ờng thẳng với đ ờng tròn:
+ Đờng thẳng không cắt đờng tròn Không có điểm chung d > R (d là khoảng cách từ tâm đến đờng thẳng; R là bán kính của đờng tròn)
+ Đờng thẳng cắt đờng tròn Có 1 điểm chung d < R
+ Đờng thẳng tiếp xúc với đờng tròn Có 2 điểm chung d = R
Tiếp tuyến của đ ờng tròn:
1 Định nghĩa: Tiếp tuyến của đờng tròn là đờng thẳng tiếp xúc với đờng tròn đó
2 Tính chất: Tiếp tuyến của đờng tròn thì vuông góc với bán kính tại đầu mút của bán kính (tiếp điểm)
3.Dấu hiệu nhhận biết tiếp tuyến: Đờng thẳng vuông góc tại đầu mút của bán kính của một đờng tròn là tiếp tuyến của đờng tròn đó
Một số Bài Tập tổng hợp học kỳ I:
Bài 1 Cho tam giác ABC (AB = AC ) kẻ đờng cao AH cắt đờng tròn tâm O ngoại tiếp tam giác tại D
a/ Chửựng minh: AD là đờng kính
b/ Tính góc ACD
c/ Biết AC = AB = 20 cm , BC =24 cm tính bán kính của đờng tròn tâm (O)
Bài 2 Cho ( O) và A là điểm nằm bên ngoài đờng tròn Kẻ các tiếp tuyến AB ; AC với đờng tròn
( B , C là tiếp điểm )
a/ Chứng minh: OA BC
b/Vẽ đờng kính CD chứng minh: BD// AO
c/Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC biết OB =2cm ; OC = 4 cm?
Bài 3: Cho đờng tròn đờng kính AB Qua C thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến d với đờng tròn G ọi E , F lần
lợt là chân đờng vuông góc kẻ từ A , B đến d và H là chân đờng vuông góc kẻ từ C đến AB Chứng minh:
a/ CE = CF
b/ AC là phân giác của góc BAE
c/ CH2 = BF AE
Bài 4: Cho đờng tròn đờng kính AB vẽ các tiếp tuyến Ax; By từ M trên đờng tròn ( M khác A, B) vẽ tiếp tuyến
của đơng tròn, nó cắt Ax ở C cắt B y ở D gọi N là giao điểm của BC và AO Chứng minh rằng
a/ CN NB
AC BD
b/ MN AB
c/ góc COD = 900
Bài 5 : Cho ủửụứng troứn (O), ủửụứng kớnh AB, ủieồm M thuoọc ủửụứng troứn Veừ ủieồm N ủoỏi xửựng vụựi A qua M.
BN caột ủửụứng troứn ụỷ C Goùi E laứ giao ủieồm cuỷa AC vaứ BM
a)CMR: NE AB
b) Goùi F laứ ủieồm ủoỏi xửựng vụựi E qua M CMR: FA laứ tieỏp tuyeỏn cuỷa (O)
c) Chửựng minh: FN laứ tieỏp tuyeỏn cuỷa ủtroứn (B;BA)
d/ Chửựng minh : BM.BF = BF2 – FN2
Baứi 6: Cho nửỷa ủửụứng troứn taõm O, ủửụứng kớnh AB = 2R, M laứ moọt ủieồm tuyứ yự treõn nửỷa ủửụứng troứn
Trang 9( M A; B).Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn.Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba lần lượt cắt Ax và By tại C và D
a) Chứng minh: CD = AC + BD và góc COD = 900
b) Chứng minh: AC.BD = R2
c) OC cắt AM tại E, OD cắt BM tại F Chứng minh EF = R
d) Tìm vị trí của M để CD có độ dài nhỏ nhất
Bài 7: Cho đường tròn (O; R), đường kính AB Qua A và B vẽ lần lượt 2 tiếp tuyến (d) và (d’) với đường
tròn (O) Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng (d) ở M và cắt đường thẳng (d’) ở P Từ O vẽ một tia vuông góc với MP và cắt đường thẳng (d’) ở N
a/ Chứng minh OM = OP và tam giác NMP cân
b/ Hạ OI vuông góc với MN Chứng minh OI = R và MN là tiếp tuyến của đường tròn (O)
c/ Chứng minh AM.BN = R2
d/ Tìm vị trí của M để diện tích tứ giác AMNB là nhỏ nhất Vẽ hình minh hoạ
Bài 8: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Từ một điểm M trên nửa đường tròn ta vẽ tiếp
tuyến xy Vẽ AD và BC vuông góc với xy
a/ Chứng minh rằng MC = MD
b/ Chứng mihn AD + BC có giá trị không đổi khi điểm M chuyển động trên nửa đường tròn
Bài 9: Cho đường tròn (O) và điểm A cố định trên đường tròn Gọi xy là tiếp tuyến với đường tròn tại A Từ
một điểm M nằm trên xy, vẽ tiếp tuyến MB với đường tròn Gọi H là trực tâm của tam giác MAB
a) Chứng minh ba điểm M, H, O thẳng hàng?
b) Tứ giác AOBH là hình gì?
c) Khi M di chuyển trên xy thì H di chuyển trên đường nào?
Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A(AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) có đường kính BC Kẻ dây AD
vuông góc với BC Gọi E là giao điểm của DB và CA Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt BC ở
H, cắt AB ở F Chứng minh:
a) Tam giác EBF cân
b) Tam giác HAF cân
c) HA là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Bài 11: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R Kẻ các tiếp tuyến Ax, By cùng phía với nửa
đường tròn đối với AB.Vẽ bán kính OE bất kì Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại E cắt Ax, By theo thứ tự ở
C, D
a) Chứng minh CD = AC + BD
b) Tính số đo góc COD Chứng minh R2 = AC.BD
c) Gọi I là giao điểm của OC và AE, goi K là giao điểm của OD và BE Tứ giác EIOK là hình gì? Vì sao? d) Xác định vị trí của bán kính OE để tứ giác EIOK là hình vuông
e) Tính diện tích tứ giác ABDC theo bán kính R của (O),biết AC = R2
Bài 12: Cho đoạn thẳng AB, điểm C nằm giữa A và B Vẽ về một phía của AB các nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB, AC, CB Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn lớn tại D DA,
DB cắt các nửa đường tròn có đường kính AC, CB theo thứ tự tại M, N
a) Tứ giác DMCN là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh hệ thức DM.DA = DN.DB
c) Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến chung của các nửa đường tròn có đường kính AC, CB
d) Điểm C ở vị trí nào trên AB thì MN có độ dài lớn nhất?
