Số phức - Dao đông cơ

ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÝ Bên cạnh các phương tiện thông thường dùng để giải các bài toán có liên quan đến các hàm điều hòa, tôi thấy có một phương tiện khác cũn

ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÝ

Bên cạnh các phương tiện thông thường dùng để giải các bài toán có liên quan đến các hàm điều hòa, tôi thấy có một phương tiện khác cũng rất hữu hiệu, HS có thể vận dụng nó dễ dàng

để giải nhanh các bài toán trên với sự hổ trợ của máy tính bỏ túi, đó là số phức

Trong khuôn khổ của bài viết này tôi xin chỉ trình bày các vấn đề sau:

- Dùng số phức trong bài toán viết phương trình dao động điều hòa

- Dùng số phức trong phép tổng hợp các hàm điều hoà

Nếu có dịp thuận tiện tôi sẽ trình bày tiếp vấn đề dùng số phức trong các bài toán điện xoay chiều

I- NHẮC LẠI MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ SỐ PHỨC:

1- Số phức x là số có dạng x a bi 

a phần thực: Re x a ; b phần ảo: Im x b , i đơn vị ảo: 2

1

i 

2- Biểu diễn số phức x a bi  trên mặt phẳng phức:

* r : mođun của số phức , r a2b2

* : acgumen của số phức, tan Im

Re

  

3- Dạng lượng giác của số phức:

x a bi r   (cosisin ) * cos

a r

b r















Theo công thức Ơle: cosisine i

4- Biểu diễn một hàm điều hoà dưới dạng số phức:

Hàm điều hòa x A cos( t)

Nếu biểu diễn dưới dạng vectơ quay tại t = 0:

0 | |

Ox OA



   









Ta thấy: a = A cos , b = A sin

=> tại t = 0 có thể biểu diễn x bởi số phức :

x a bi A(cos isin ) A e i

Vậy một hàm điều hòa (xét tại t = 0) có thể viết dưới các dạng số phức

như sau:

Với :

2 2

tan

a











y

b

r 

O

M

a x

y

b A 

O a x

5- Cách chuyển từ 1 hàm điều hòa sang hàm số phức bằng máy fx-570:

- Sử dụng Mode 2, R (Radian)

- x A cos( t)x A e i   a bi

Thao tác trên máy fx-570MS: Bấm A SHIFT, , , ,   sẽ có a; bấm tiếp SHIFT , sẽ có bi Thí dụ :

* Chuyển 5 2 cos(100 )

4

x t  sang dạng phức Chỉ cần vào Mode 2, R (Radian)

Bấm 5 2

4

SHIFT   ; = , ta có 5 ; sau đó bấm SHIFT = ,ta có 5i

Vậy: 5 2 cos(100 )

4

Tương tự:

* 2 3 cos(10 ) 3 3

6

s t  s  i

* x5 3 cos(10.t)x5 3

* u100 2 cos100 tu100 2

6- Cách chuyển từ 1 hàm số phức sang hàm điều hòa bằng máy fx-570:

\ Sử dụng Mode 2, R (Radian)

\ x a bi   xAcos( t)

Thao tác:

Máy fx-570ES: Bấm a bi SHIFT , , 2,3 sẽ có A 

Máy fx-570MS: bấm SHIFT, +,=  A, bấm tiếp SHIFT, =  

Thí dụ:

* Hãy chuyển dạng phức u(100 100 3 ), i  100 sang dạng điều hòa

Thao tác trên máy: Bấm 100 100 3

4

i SHIFT 

- Máy fx-570ES: bấm tiếp SHIFT 2,3 200

3



- Máy fx-570MS: bấm tiếp SHIFT + , =  200, bấm tiếp SHIFT, = 1, 047

3



Vậy: u(100 100 3 ), i  100 200cos(100 )

3

II- ÁP DỤNG VÀO VẬT LÝ:

a – Viết phương trình các dao động điều hòa:

a 1 - Cơ sở lý thuyết:

(0) (0)

0

cos cos

v





Vậy 0

(0)

b









a 2 - Phương pháp giải:

Biết lúc t = 0 có:

(0)

(0) (0)

a x

v

v

















a 3- Thao tác trên máy tính (fx 570): Mode 2, R (radian), Bấm : (0) (0)

v





\ Với máy fx 570 ES : bấm tiếp SHIFT 2 và 3, máy sẽ hiện A  , đó chính là biên độ A

và pha ban đầu 

\ Với máy fx 570 MS : bấm tiếp SHIFT, +(#A), = (Re-Im) máy sẽ hiện A, sau đó bấm SHIFT, = (Re-Im) máy sẽ hiện 

a 4 - Thí dụ:

1.Vật m dao động điều hòa với tần số 0,5Hz, tại gốc thời gian nó có li độ x(0) = 4cm, vận tốc v(0) = 12,56cm/s, lấy  3,14 Hãy viết phương trình dao động

Lược giải:

(0)

(0)

4

4

a x

b











shift      x t  cm

2 Vật m gắn vào đầu một lò xo nhẹ, dao động điều hòa với chu kỳ 1s người ta kích thích dao động bằng cách kéo m khỏi vị trí cân bằng ngược chiều dương một đoạn 3cm rồi buông Chọn gốc tọa độ ở VTCB, gốc thời gian lúc buông vật, hãy viết phương trình dao động

Lược giải:

(0)

(0)

3

0

a x

b











; bấm -3,shift23 3  x3cos(2t)cm

3 Vật nhỏ m =250g được treo vào đầu dưới một lò xo nhẹ, thẳng đứng k = 25N/m Từ VTCB người ta kích thích dao động bằng cách truyền cho m một vận tốc 40cm/s theo phương của trục lò xo Chọn gốc tọa độ ở VTCB, gốc thời gian lúc m qua VTCB ngược chiều dương, hãy viết phương trình dao động

Lược giải:

(0)

(0)

0

4

a x k













shift    x t cm

a 5 - Tiện lợi:

Nhanh, HS chỉ cần tính ω, viết đúng các điều kiện ban đầu và vài thao tác bấm máy.

b – Tổng hợp các dao động điều hòa:

b 1 - Cơ sở lý thuyết:

x A t A t  A t

1 2

1 2

1 2

a a a

b b b

x A e A e Ae x A t





B 2- Thao tác trên máy tính (fx 570): Mode 2, R (radian)

Bấm A shift1, ,1A shift2, ,2

\ Với máy fx 570 ES : bấm tiếp SHIFT 2 và 3 máy sẽ hiện A  , đó chính là biên độ

A và pha ban đầu  của dao động tổng hợp

\ Với máy fx 570 MS : bấm tiếp SHIFT +(#A ), và = (Re-Im) máy sẽ hiện A, sau

đó bấm SHIFT = (Re-Im) máy sẽ hiện 

b 4 - Thí dụ:

1 Tìm dao động tổng hợp của hai DĐĐH cùng phương sau

2

2

j







Cách bấm máy: 5 5 3; ;

2

shift 

  (máy hiện :5 5 3

2



bấm tiếp SHIFT 2 và 3 máy sẽ hiện 10

3



3

2 Tìm dao động tổng hợp của bốn DĐĐH cùng phương sau

2

6

i





2

i





x3 4 3 cos(20 )t  x14 3, 6

6

i







        , SHIFT, 2, 3 máy sẽ hiện 6 6

4



 

6 6 cos(20 )( )

4

3 Hai chất điểm M1,M2 chuyển động trên hai đường thẳng song song, theo phương Ox



1 2 | | | 2 1| 3 3 3 ; 23 6

M M   x x  x   x    shift  

Vậy: 1 2 | 6cos(2 ) | ( )

6

M M  t cm

b 1 - Tiện lợi:

Đơn giản và nhanh, có thể cộng trừ dễ dàng nhiều hàm điều hòa trên cùng một phép toán