Bài tập toán cao cấp tập 3

Tính các đạo hàm riêng cấp mól của các hàm số sau... Theo hướng nào thì vận tốc biến thiên của z có giá trị tuyột đối lón nhất.. Tại những điểm nào thì gradu .vuông góc vdfi trục Oz, tại

0 f(x, y) =

h) f(x, y) =

1

y - x X cos^ y

shx - sin y ’

3 Tính các đạo hàm riêng cấp mól của các hàm số sau

Tính Uj(,Uy

c) z = z(x, y) là hàm số ẩn xác định bởi hệ thức

Giứng minh rằng

z đ) F(u, v) là một hàm sỏ' khả vi 2 = z(x, y) là hàm số ẩn xác định bởi

F(cx - az» cy - bz) = 0 Chứng minh rằng

X + y + z = 0

= l

g) y = y(x) là hàm sô' ẩn xác định bởi hệ thức ,

X'^ + y‘^ - 3xy - 1 = 0 Tim khai triển hữu hạn đến cấp 3 của y(x) ở lân cận cùa điểm X = 0 h) Tim khai triển hữu hạn đến cấp 3 ò lân cận điểm X = 0 cùa hàm số

y = y(x) xác định bởi hệ thức

arctg(xy) + 1 =

12 Tính các đạo hàni rtcng câ'p hai của các hàm số sau

a) f(x, y) = x^y + ; b) f(x, y) = sin(x + y) + cos(x ~ y)

14 a) Ỷim hàm sô' u(x, y) thoả mãn phương trình u 'j [ y = 0

b) Tim hàm sô' u(x, y) thoả mãn phương trình u "2 = 0

X ,

c) Tim hàm số u(x, y, z) thoả mãn phưcmg trình u’^y 2 = 0

d) T ẳiti hàm số u(x, y) biết rằng

u" = 12x^y + 2 u' = x’ - 3 0 x y \ u (0 ,0 )= 1, u(l, 1) = - 2

c) Tim hàm số u(x, y), biết rằng

u’^ = X" - 2xy“ + 3, Uy = - 2x^y + 3

0 Tim hàm sổ' u(x, y) biết

(phương trình Laplace Irong khống gian R^).

c) Cùng câu hỏi như câu b) với hàm sô'

u(x, y, z) = arctg— + arctg— + arctg —

Z X 2 Z y 2 =(z" r ' xy-'

17 a) Chứng minh rằng hàm số

/ \ I

bằng cách đổi biến số u = xy, V = —.

19 a) Tính đạo hàm của hàm số u = xy^z^ tại điểm M(j(U 2, -1> theo hướng xác định bời vectơ MọMị với M |(0 ,4, - 3 ) ;

b) Tính đạo hàm của hàm sô' z = - x y + tại điểm M (l, 1) theo hưómg cùa vectơ V = 6Ỉ + 8J ;

c) Tính đạo hàm của hàm số z = In(x^ + y^) tại điểm M(3, 4) theo hướng của vectơ grạdz ®

d) Tíriíi đao hàm của hàm số z = arcsin - Ị - tai điểm Mq( 1, 1, Ị)

0 Tính đạo hàm của hàm sổ'

1

^ + y ^ +

theo hưótig cùa vectơ ĩ có các cosin chỉ hưóng là (cosa, cosp, cosy)

20 a) Cho hàm số u = x^y^z^ Tính gradu và ^ tại M q ( 1, -1 , 3)

biết rằng ĩ được xác định bải vectơ M q M ị với M|(0, I, 1).

b) Cho hàm số u = xsinyz Xác định gradu và ^ tại MọCl, 3,0) biết

91 rằng ĩ được xác định bcfi vectơ V = ĩ + 2 J - k.

c) Xét hàm số z = xe^ tại điểm M q (2, 0) Tính vận tốc biến thiên của hàm số đó theo hưóng từ M q đến M|(5, 4) Theo hướng nào thì vận tốc biến thiên của z có giá trị tuyột đối lón nhất Tính giá trị ấy.

d) Tim đô lón và hưómg cùa gradu, u = x^+ y.^ + - 3xyz tại điểm

M q ( 1,2, 1) Tại những điểm nào thì gradu vuông góc vdfi trục Oz, tại những điểm nào thì gradu triệt tiêu.

21 Chứng minh rằng

a) Nếu U|, U 2 là hai hàm số khả vi, Cj, C 2 là hai hằng số thì

grad(C)Uj + C 2 U 2 ) = C|gradU| + C 2 građu 2 b) Nếu U 2 là hai hàm số khả vi thì

b) Khai triển hàm số f(x, y) = (x > 0) theo cống thức T;»ylor ở làn

a) z = trong miền D xác định bời < 4 ;

b) z = trong miển D xác định bời (x - + (y - \ I Ỉ Ỷ ^ 9

c) z = x^y(4 - X ~ y) trong miền đóng D giới hạn bởi các đườiig thẳng

X = 0, y = 0, X + y = 6.

d) z = x“ + 2xy + 4x + 8y trong miền đóng D giới hạn bởi các đường thẳng x = 0, x = l,y = 0, y = 2

e) z = + 3y^) trong miền D xác định bởi -h < I

0 z = sinx + sụiy + sin(x + y) trong miền đóng D giới hạn bởi các

đường tỉĩẳng x = 0 , x = ” , y = 0, y = - j

g) z = (a^ - c^)x^ + (b^ - c^)y" + - l(a - c)x^ + (b - c)y“ + c)^, với

a > b > c, trong miền D xác định bời X + y < 1.

25 Tim cực trị cùa hìim số

a) z = xy với điều kiện X + y = 1

b) z = — + — với điéu kiên ^

^ y

14

Do đó f(x, y) ^ 0 khi (x, y) —> (0, 0) iheo mọi đưòrng thẳng y = kx Điều dó khổng có nghĩa là giới hạn phái tìm bằng 0 Thật vậy, cho

Vậy khồng tồn tại giới hạn của f khi (x, y) -> (0, 0).

Khi đó - xy + > 0 Một mặt, ta có f(x, x) = ^ nên nếu

a + p - 2 < 0 thì giới hạn đã cho không tồn tại ; mặt khác, nếu a < 0, hoặc p < 0, thì không tồn tại lim f(x,y).

Khi (X, y ) -> (O, 0) ta c6 sin ^ 2 ^ sh ^ j - ~ ~~2^' ^

2y (x^ + y^ +z^)^

f(x y)| = (x^ + y^) sin 1 <

Do đồ khi (x, y) -► (O, 0), f(x, y) -> o = f(0, 0) Hàm số f(x, y) Uên tục tại (O, 0) Rõ ràng f(x» y) liên tục tại mọi (x, y) ^ (0, 0), vậy f(x, y) liên tục trêivR^.

Các đạo hàm riẻng fj^(x,y),fj(x,y) tổn tạỉ tại mọi (x, y) ^ (0, 0) Bây

giờ xét tại (0,0) Ta có Vx ^ 0, f(x, 0) = X s i n - j

Do đó f:(0,0) = lim f(h ,0) - f(0,0) = lim hsin-!r = 0

Với (x, y) ^ (0, 0), các đạo hàm riêng fx(x,y),fỳ(x,y) đểu tồn tại và liên tục

Xét lại (0, 0) la có

f(h,0) - f(0,0) fl(0 ,0 ) = l i m - ; -

Do đó khi (X, y) -> (0,0) theo đường y = tx thì

Do đó khi (x, y) -> (0,0) iheo đường X = ty thì fỳ (x, y) ->

giới hạn này cũng thay đổi theo t.

.Vậy f(x, y) liên tục trên các dạo hàm riêng f^(x,y),fý(x,y) tồn

Bây giờ xét tại X = 0 Nếu y 0, ta c ó

Vậy các đạo hàm riêng fx(x,y), fỳ(x,y) cũng tổnctại tại X = 0 Từ các

kếĩ quả trên, ta thấy rằng fỷ(x,y) liên tục trên R^, nhưng fx(x,y) liên tục trên R^/(0,0).

Do đó khi (x, y) —> (0, 0) thì f(x, y) -> 0 = f(0, 0), hàm số f(x, y) cũng liên tục tại (0,0), vậy nó liên tục trên R

Vói (x, y) ^ (0, 0), các đạo hàm riêng fx(x,y),fý(x,y) đêu tồn tại và liên tục

(y^ - x^)siny - y(x^ + y^)cosx + 2xysinx

Bạn đọc hãy chứng minh cặng không tổn tại các giới hạn

lỉm fi(x.y), lim fv(x,y).

.2 1

7 1 /, \ y V y 1

8 a) z = sin(x + y ).

dz = cos(x^ + y^) d(x^ + y^) = cos(x^ + y^) (2xdx + 2ydy)

b) z = e’' (cosy + xsiny)

2 '^ = e*(cosy + xsiny + siny)

■ z = arctg - , l ' " x — - arctgỉ + arctg— V

1 - ^

V

= 3 + ^ = 3,02

2.3

Do đó

F;(x,y) x(3y^- x^) b) Ta có

Do đó y' =

c) Ta có

F(x, y) = xe^ + ye^ - = 0 Fj^(x,y) = + ye’^ - ye’^y

Fỳ(x,y) = xe^ + e’^ - xe^y

Láy dao hám hai vé' dáng thúrc náy, ta diroc

( x- y) y" + (l -y ')y '= 1 +y*

F ; ( x , y ) = 5 y ‘' + 6 x 2 y

2x(3y^ + lOx^) y(5y^+6x^) ■

F'(x,y,z) = 2xyz^ + 3x^yz - 1

k) Ta có

F(x,y,z)=xe^ +yz+ze’‘ =0 F^(x,y,z) =

Do đó

z ‘x =

m) Ta có

F(x, y, z) = xyz - cos(x + y + z) = 0 Fx(x,y,z) = yz + sin(x + y + z)

11 a) Ta có f(0,02 ; 0.99) = f(0 + Ax, 1 + Ay), ưong đó Ax = 0,02,

Ay = -0,01 Theo công thức tính gần đúng bằng vi phân toàn phần, ta có

f(0 + Ax, 1 + Ay) « f(0, 1) + f;(0,l)Ax + fỷ(0,l)Ay

thế X = 0, y = 1 vào phưcmg ưình

thế X = 0, y = ! vào đẳng thức ấy, ta được fj^(0,l) = l Lây đạo hàm theo

y hai vế của phương trình (*), ta được

Mặt khác, lấy dạo hàm theo X hai vế của hệ thức

ze* = + yệ ta đuạc (zc^ +

e ’^ ( x + 1)

e " ( z + l )

40

đ) Lần lượt lấy đạo hàm theo X rồi lấy đạo hàm theo y hai v ế của

(2x + 2zz; )(z - y Z y ) + (2y + 2zzy )yz; = yf

Nhưng theo giả thiết

Giải hộ phương trình ấy đối vóri y’(x), z'(x), ta được

Lấy đạo hàm hai vế hộ thức (*), ta được *■

6x + 6yy' + 3y^y" - 6ỵ' - 3xy" = 0 (**)

Thế X = 0 vào hồ thức (**)» ta được y"(0) = 0 Lại lấy đạo hàm hai vế

Chú thich : Câu này còn có thể giải bằng cách khác Ta viết khai triển hữu hạn của y(x) trong lân cận ư dưới dạng

- 3x(l + aịX + a2X^ + a3X^ + 0(x^)) - l = 0, V X € ư

Nhưng (1 + a|X + 32 X^ + a 3 X^ + 0(x^)^ = 1 + afx^ + 3hịX +

VhdLjy} + 3ajx^ + 3 a 3 X^ + 0 (x^) -3 x (l + ajX + 82 X^ + a 3 X^+ 0(x^)) = -3x - 3a^x^ - 3 a 2 X^ + O(x^)

a j - 1 = 0

di2 “ ^ 1 “ 0

1 + — 3 ^ 2 3 â | j — 0

2

Nghiệm của hệ phưcmg trình ấy là aj = 1, a 2 = 0 ,33 = —J

Vậy khai triển hữu hạn phải tìm là

y(x)= 1 + X - + 0(x^).

y(x) = a|X + a 2 X + 33X + 0(x' ) (Vì y(0) = 0) Thế biểu thức ấy vào hệ thưc F(x, y) = 0, ta được Vx € u

f(x,y) = sin(x + y) + cos(x - y)

f;(x,y) = cos(x + y) - sin(x - y)

fỳ(x,y) = cos(x + y) + sin(x ~ y)

f* 2 (x,y) = -sin(x -f y) - cos(x - y)

h ) f ( x , y ) = c o s ( a x + e ^ )

fi(x,y) = -sin(ax '+ ê).a,

fý(x,y) = -sin(ax + ê).ê

f" 2 (x,y) = -cos(ax + c^).â

X

fxy(x,y) = -cos(ax + ê)aê

f" 2 (x,y) = -cos(ax + ê).ê^ - sin(ax + ê).ệ

Chú íhíi li : f^’y(0,0) ^ fỳ'^(0,0), theo định lí Schwarz các đạo hàm

riêng cấp 2 fj^'y(x,y), fÿ^(x,y) không iién lục tại (0, 0) Ta có thể thấy lại điẻu đó Thật vậy, vófi X -y , ta có

r ^ r- X +3x^y^ +4xy'*

(X + y r Khi (x, y) ^ (0,0) dọc theo trục hoành, f^'y(x,y) 0

Khi (x, y) (0, 0) dọc theo đưcmg y = X, fjjy(x,y) —> ^ 0

Do đó fi'y(x,y) và fỊ,',(x,y) gián đoạn tại (0,0)

(0,0) = (f;)y (0 ,0 ) = lim ^x(Q>k) - ụ o f i ) ^

= lim - ^ = -1 k->0 k

Ta cöng CÓ kết luận như ở câu trên.

14 a) Vì u’jjy = (u'x )y = O, nên u'^ không phụ thuộc y, hay

trong đó f là một hàm số luỳ ý Do đó

u(x, y) = F(x) + G(y), trong đó F(x) là một hàm số khả vi tuỳ ý (vì là nguyên hàm của hàm sô' tuỳ ý f(x), G(y) là một hàm số tuỳ ý (G(y) đóng"vai trò cùa hằng sô' tuỳ ý khi lấy tích phân đối với x).

d) Từ hệ thức

u " 2 = 12x^y + 2.

suy ra

u'^ = 4x^y + 2x + f(y),

trong đó f ià một hàm số khả vi tuỳ ý Do đó

u(x, y) = x \ + + xf(y) + g(y),

g là môt hàm số khả vi tuỳ ý Lấy đạo hàm hai vế đối với y, ta được

Theo giả thiết

So sánh hai biểu thức của U y , ta được

f(y) = 0 z:> f(y) = c

trong đó c là hằng số tuỳ ý Vậy

(x^ + u(x,y) = — + 2xy + ^ + C = + c.

Vì vậy

r - x.3r u"a =

- 3rx^

Cũng vậy, ta được

u"2 = y

' g ’(r) + - g ( r ) = 0 Hay

■ g ' ( r ) _ 2

g(r) r Lấy nguyên hàm hai vế» ta đừợc

>nlg(r)| = -21n|r| + InUl = I n ^

r

trong đó A là một hằng số tuỳ ý Vậy

g(r) =

r Nhưng g(r) = f (r) = do đó

f(r) = - - + B, trong đó B cũng là một hằng số tuỳ ý.

1 Chú ý rằng nếu chọn a = -1 , B = 0, ta đưọíc f(r) = Vậy hàm số

Chú thích ỉ : Ta nhận xét rằng biểu thức của hàm số z chứa f trong đó

f là một hàm sô' bất kì khả vi liên tục hai lần, mà hệ thức ta cần chứng minh không chứa f một cách tường minh Do đó, sau khi tính được

/yN

Vx ỉ «

-/ \ I

• 1 + xg

/ \ I

x^z'^2 + 2xyZxy + y^z'ỳ2 = 0

Đó chính là phương trình (♦) mà ta phải chứng minh

b) Để giài phưomg trình(*), la đổi biến số

Do đó

< 2U = O

l'y]

í ^ ì + xg

^x;

z = f(v) + ug(v) trong đó f, g là những hàm sô' tuỳ ý, thoả mãn phương trình ấy (>.em bài tập 14, b).

z ¡2 = a(az'^2 - az”v) - a(az"v,„'- az"í ) =

= a^z", - 2a^z" + a^z":

Ta đã biết rằng phưomgtrình đó được thoả mãn bởi hàm số '

z = f(u) + g(v), trong đó là hai hàm s t khả vi tuỳ ý (xem bài tập 14, a) Vậy hàm số phải tìm là

2 = f(y + ax) + g(y - ax).

b) Đổi biến sô' u = xy, \ = —, ta có

Dát g = Zy, ta d ii^

ugu = g Hay

g = u.h(v) Nhimg g = Zy, vay

z = y H(v) + K(u), trong dó H(v) la mót nguyén hám cüa h(v), K(u) la mót hám s6 bá'l kí Tóm iai hám s6 phái tim la

z(x, y) = xyH

/ \

y

KX + K(xy), trong dó H va K la hai hám s ó khá vi tuy y.

19 a) Goi 1 la vecto don vi cüa M ^M j Vi vecto M^Mj có toa dó

Do đó nếu hướng của 1 ĩríing với hướng của gradz í hì

v a o c /

2 u r

Đạơliàni ấy bằng građu khi và chĩ khi hướng của ĩ trùng với hướng

u’x = sinyz, u 'y = xzcosyz, u '2 = xycosyz

Vectơ gradu vuông góc với trục*Oz khi toạ độ thứ ba của nó triệt tiêu, tức là khi X = xy Vectơ gradu triệt tiêu khi cả ba toạ<ĩộ của nó

22 a) Theo công thức Taylor, ta có

trong đó R„ là phần dư Vì f(x, y) là một đa thức bậc hai đối với X, y nên các đạo hàm riêng "Câp lớn hơn hai của nó đéu bằng không, b o đó

f ' 2„(x.y) = (2y - l)x>' ^ + y(y - l)x^ ^ Inx

* y

f 2 (x,y) = x^"' In x(I + y In x) + x^"’ In X =

xy

= x^” '(yln^x + 2 lnx) fy3(x.y) = xi'ln^x

Do đó - rt = i - 4 = - 3 < D, vậy Mq là điểm cực trị Đó là điểm cực tiểu vì r > 0, = z(Mo) = z ( - l , 1) = 0.

Tại các điểm M |, M 2» ta có - rt = 2.8 = 16 > 0 Vậy M ị, M 2 không

là điểm cực trị.

Tại các điểm M3, M5, - rt = 4.4 = 16 > 0 Do đó hàm số không đạt cực trị tại M3, M5

Tại các điểm M 4, M5, M7, Mjị, ta có - It = -4 8 = -3 2 < 0 Vậy đó

là các điểm cực trị Tại các điểm ấy r = 4 > 0, các điểm ấy là các điểm cực tiểu :

*

Z ( M 4 > = Z ( M , ) = 2 ( M 7 ) = Z ( M s ) = 2 „ i „ = - |

4 > 0 Väy các điểm ấy không ỉà điểm cực trị.

Tại các điểm M5 Mjj, ta có s = 0, r = t = 2, - rt = - 4 < 0 Vậy z đạt cực tiểu tại M 5, Mg,

Cho p, q đồng thời triột tiêu, ta được hệ phương trình sau :

Tai các điểm M l, M4, ta có r = 4>Æa 2>/3

4 - ^ 3 3 •

Tai các điểm Mo, M ■ í -í 3, ta có r =

3^ ọ

do đó s - rt = - 4 < 0 Hàm số đạt cực tiểu tại M 2, M3,

s = \ 4 Ì

3 ’

Z m i n = z (M 2 ) = 2 (M 3 ) = - ^ /

V

r = 2 + 6(x + y)

s = - 2 + 6(x + y)

t = 2 + 6(x + y)

2

Tại gốc O, s - rt = 0, a chưa kết luận được ngay

Ta có z(0, 0) = 0, z(h, h) = (2h)-’ = 8h^, nó đổi dấu khi h đổi dấu, vậy gốc o không là điểm cực trị Do đó hàm sô' không có cực trị.

gì Ta có z (M q ) = z(0„Ọ) Hãy xét giá trị của z ờ lân cận điểm M(J

z„ì„ = z(M ,) = z(M 2) = - 8

78

Tại điểm Mq, ta c ó r = -4 , s = 4, t = - 4 , s - rt = 0 Ta chưa kết luận ngay được Ta có

xy^{9x + 4y + 2) = 0 x^y^(9x + 8 y + 3) = 0

Tính các đạo hàm riêng cấp hai, ta được

r = y^9x + 4y + 2) + 9xy^ = 2(9x + 2y + 1 )y^

s = 2xy^(9x + 8y + 3) + 9x^y^ = xy^27x + 16y + 6)

t = 2x^y(9x + 8y + 3) + 8x y = 2x^y(9x + 12y + 3)

A - z(h, y„ + k) - z(0 y„) = h^(y„ + k)’ [3h + 2(y„ + k) + I ]

= h^(y„ + k)^y„ + k)(2y„ + 1 + 3h + 2k).

Khi h, k khá nhỏ, số gia A luôn cùng dấu với Vo(2yQ + 1), vậy A > 0

nếu yọ(2yo + 1) > 0, t ứ C 'là nếu ~ hoặc Yo > 0, Ạ < 0 nếu

Ar

- 2 < yo < ^ Zn^in( 0 , Vo) = 0 nếu Yo = hoảc > 0,

2max(^’yo) = 0 nếu - ^ < Yo < 0 Các điểm (0, 0)» 0, - không

phải là điểm cực trị của z vì số gia A thay đổi dấti trong mọi lân cận đủ

bé của các điểm ấy.

Cũng vậy, nếu xét dấu của số gia của hàm số z tại các điểm (X q , 0) trôn trục Ox, ta thấy i-ằng số gia

ùT = z(Xo, k) - z(Xo, 0) = xồk^(3Xo + 2k + 1)

thay đổi dấu khi k đổi dấu và có giá trị tuyệt đối khá bé Vậy các

Tóm lại z đạt cực điểm tại điểm -J và tại các điểm (0, y^)

\ 9 4 y ' vói y^j < - i hoặc yo> 0, đạt cực đại tại các điểm (0, Ỵq) với —ị < Yq < 0

3

Ta phải tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số ấy khi - 2 < X < 2

Dể thấy rằng nó đạt giá trị lớn nhất bằng 4 khi X = ±2, và đạt giá trị nhỏ nhất bằng - 4 khi X = 0 So sánh với giá trị của X tại điểm tới hạn (0 ,0 ) , ta thấy rằng hàm sô' 2 đạt giá trị lớn nhất bằng 4 tại hai điểm (-2, 0), (-2 , 0), đạt giá trị bé nhất bằng - 4 tại hai điểm ( 0, - 2), (0 , 2).