Bài giảng Toán cao cấp: Chương 3 - GV. Ngô Quang Minh

Dưới đây là bài giảng Toán cao cấp: Chương 3 - Hàm số và giới hạn. Mời các bạn tham khảo bài giảng để hiểu rõ hơn về bổ túc hàm số; giới hạn của hàm số; đại lượng vô cùng bé – vô cùng lớn; hàm số liên tục. Bài giảng phục vụ cho các bạn chuyên ngành Toán học và những ngành có liên quan.

Trang 1

§1 Bổ túc về hàm số

§2 Giới hạn của hàm số

§3 Đại lượng vô cùng bé – vô cùng lớn

§4 Hàm số liên tục

………

§1 BỔ TÚC VỀ HÀM SỐ

1.1 Khái niệm cơ bản

1.1.1 Định nghĩa hàm số

• Cho X Y  ¡ khác rỗng ,

Ánh xạ f X:  với Y xay f x ( ) là một hàm số

Khi đó:

– Miền xác định (MXĐ) của f, ký hiệu D f , là tập X

– Miền giá trị (MGT) của f là:

G y f x x X 

– Nếu f x( )1 f x( )2   thì f là đơn ánh x1 x2

– Nếu f(X) = Y thì f là toàn ánh

– Nếu f vừa đơn ánh vừa toàn ánh thì f là song ánh

VD 1

a) Hàm số f :¡¡ thỏa yf x( ) 2 là đơn ánh x

b) Hàm số f :¡ [0; ) thỏa ( ) là toàn ánh x2 c) Hsố f : (0;  ¡ thỏa ( ) ln) f x  x là song ánh

• Hàm số y f x ( ) được gọi là hàm chẵn nếu:

( ) ( ), f

f x f x  x D

• Hàm số y f x ( ) được gọi là hàm lẻ nếu:

( ) ( ), f

f x  f x  x D

Ø

Ø Chương Chương 3 3 Hàm Hàm số số và và giới giới hạn hạn

Nhận xét

– Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung

– Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ

1.1.2 Hàm số hợp

• Cho hai hàm số f và g thỏa điều kiện G g  D f

Khi đó, hàm số h x( ) ( f g xo )( )f g x[ ( )] được gọi là

hàm số hợp của f và g

Chú ý

(f g xo )( ) ( g f xo )( )

VD 2 Hàm số y2(x21)2  là hàm hợp của x2 1

2 ( ) 2

f x  x  và x g x( )x2 1

Ø

Ø Chương Chương 3 3 Hàm Hàm số số và và giới giới hạn hạn 1.1.3 Hàm số ngược

• Hàm số g được gọi là hàm số ngược của f,

ký hiệu g f  1, nếu x g y ( ),  y G f

Nhận xét

– Đồ thị hàm số y f x  1( ) đối xứng với đồ thị của hàm số y f x ( ) qua đường thẳng y x

VD 3 Cho f x  thì ( ) 2x

1

2 ( ) log

f x  x , mọi x > 0

Ø

1.2 Hàm số lượng giác ngược

1.2.1 Hàm số y = arcsin x

• Hàm số ysinx có hàm ngược trên ;

2 2

  

 

  là

1:[ 1; 1] ;

2 2

f   

xayarcsinx

VD 4 arcsin 0 0 ;

arcsin( 1)   ; 2

arcsin 3

2  3

Ø

Chú ý

arcsin arccos , [ 1; 1]

2

x x   x

1.2.2 Hàm số y = arccos x

• Hàm số ycosx có hàm ngược trên [0; ] là

f 1: [ 1; 1] [0; ]  

x ay arccosx

VD 5 arccos0

2



 ; arccos( 1)  ;

3 arccos 2  ; 6 arccos21 2 3

Trang 2

1.2.3 Hàm số y = arctan x

• Hàm số ytanx có hàm ngược trên ;

2 2

  

  là

2 2

f    



¡

x ayarctanx

VD 6 arctan 0 0 ;

arctan( 1)   ; 4

arctan 3

3





Quy ước. arctan  , arctan 

1.2.4 Hàm số y = arccot x

• Hàm số ycotx có hàm ngược trên (0; ) là

f 1:¡(0; )

x ay arc cotx

VD 7 cot0

2

arc  ;  cot( 1) 3

4

arc   ; cot 3

6

arc  

Quy ước. arccot( ) 0,arccot(   )

………

Ø

§2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

2.1 Các định nghĩa

Định nghĩa 1

• Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b) Ta nói f(x) có giới

hạn là L (hữu hạn) khi xx0[ ; ]a b, ký hiệu

0

lim ( )

x x f x L

  , nếu   cho trước ta tìm được 0  0

sao cho khi 0 x x0   thì ( )f x    L

Định nghĩa 2 (định nghĩa theo dãy)

• Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b) Ta nói f(x) có giới

hạn là L (hữu hạn) khi xx0[ ; ]a b, ký hiệu

0

lim ( )

x x f x L

  , nếu mọi dãy {x n} trong ( ; ) \ { }a b x mà 0

0

n

x  thì lim ( )x nf x n  L

Ø

Ø Chương Chương 3 3 Hàm Hàm số số và và giới giới hạn hạn Định nghĩa 3 (giới hạn tại vô cùng)

• Ta nói f(x) có giới hạn là L (hữu hạn) khi x  ,

ký hiệu lim ( )

  , nếu   cho trước ta tìm 0

được N > 0 đủ lớn sao cho khi x > N thì f x( )   L

• Tương tự, ký hiệu lim ( )

  , nếu   cho 0

trước ta tìm được N < 0 có trị tuyệt đối đủ lớn sao cho khi x < N thì f x( )   L

Định nghĩa 4 (giới hạn vô cùng)

• Ta nói f(x) có giới hạn là  khi x , ký hiệu x0 0

lim ( )

x x f x

  , nếu   lớn tùy ý cho trước ta M 0 tìm được   sao cho khi 0 0 x x0   thì ( )

f x M

Ø

• Tương tự, ký hiệu

0

lim ( )

x x f x

   , nếu M  có trị 0

tuyệt đối lớn tùy ý cho trước ta tìm được   sao cho 0

khi 0  x x0   thì ( )f x M

Định nghĩa 5 (giới hạn 1 phía)

• Nếu f(x) có giới hạn là L (có thể là vô cùng) khi x x0

với xx0 thì ta nói f(x) có giới hạn phải tại x0 (hữu

hạn), ký hiệu

0 0

lim ( )

x x f x L

   hoặc

0

lim ( )

x xf x L

• Nếu f(x) có giới hạn là L (có thể là vô cùng) khi x x0

với x  thì ta nói f(x) có giới hạn trái tại x x0 0 (hữu

hạn), ký hiệu

0 0

lim ( )

x x  f x  hoặc L

0

lim ( )

x xf x L

Chú ý

x x f x L x xf x x xf x L

Ø

Ø Chương Chương 3 3 Hàm Hàm số số và và giới giới hạn hạn 2.2 Tính chất

Cho

0

lim ( )

x x f x  và a

0

lim ( )

x x g x  Khi đó: b

1)

0

lim [ ( )]

x x C f x C a (C là hằng số)

2)

0

lim [ ( ) ( )]

x x f x g x   a b

3)

0

lim [ ( ) ( )]

x x f x g x  ; ab

4)

0

( )

x x

f x a b

g x b

5) Nếu f x( )g x( ), x (x0 ; x0  thì a b)  6) Nếu f x( )h x( )g x( ), x (x0 ; x0  và )

lim ( ) lim ( )

x x f x x x g x  thì L

0

lim ( )

x x h x  L

Trang 3

VD 1 Tìm giới hạn

2 1 2 lim

3

x x x

x L

x





 



  



 

A L  ; B 9 L  ; C 4 L  ; D 1 L  0

Giải Ta có:

2. 1 2 2

3

x x x

x





 



     

Định lý

Nếu

lim ( ) 0, lim ( )

x x u x  a x x v x  thì: b

0 ( ) lim [ ( )]v x b

Các kết quả cần nhớ

1)

x x   x x  

2) Xét

1

lim

x

L









   , ta có:

a) n n

a L b

 nếu n m ; b) L  nếu n m0  ; c) L   nếu n m 3)

Ø

2 2

3 lim 1

x x

x L

x





   



A L  ; B L e ; C 3 L e ; D 2 L  1

4) Số e:

 1

0

1

 

Giải

2

3

2 1

2 l

2

1 i

x

x x

x



    

Ø

Khi x   thì 23 0, 2 23 3

2

2 1

2

3 lim 1

x x x

x







Ø

VD 3 Tìm giới hạn  2 41

0

lim 1 tan x x



A L  ; B L  ; C 1 L4e; D L e

2

1 1 tan

t 4 0

an 2

tan

x x



2 2

1 tan.

1 4

4

2 tan 0

lim 1 tan

x x x

 

 



………

Ø

§3 ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ – VÔ CÙNG LỚN 3.1 Đại lượng vô cùng bé

a) Định nghĩa

Hàm số  được gọi là đại lượng vô cùng bé (VCB) ( )x

khi x nếu x0

0

lim ( ) 0

   (x có thể là vô cùng) 0

VD 1 ( ) tan sin 1x  3  là VCB khi x x ; 1

2

1 ( ) ln

x

  là VCB khi x  

Trang 4

b) Tính chất của VCB

1) Nếu ( ), ( )x  là các VCB khi x x  thì x0

   và ( ) ( )( )x ( )x x  là VCB khi x x x0

2) Nếu  là VCB và ( )( )x  bị chận trong lân cận x x 0

thì ( ) ( )x  là VCB khi x x x0

3)

0

      , trong đó ( ) là x

VCB khi x x0

c) So sánh các VCB

• Định nghĩa

Cho ( ), ( )x  là các VCB khi x x , x0

0

( ) lim ( )

x x

x



Khi đó:

– Nếu k  , ta nói ( )0  là VCB cấp cao hơn ( ) x  , x

ký hiệu ( ) 0( ( ))x  x – Nếu k  , ta nói  là VCB cấp thấp hơn ( )( )x  x

– Nếu 0 k  , ta nói ( ) và ( )x  là các VCB x

cùng cấp

– Đặc biệt, nếu k  , ta nói ( )1  và ( )x  là các VCB x

tương đương, ký hiệu ( )x :( )x

Ø

VD 2

• 1 cosx là VCB cùng cấp với x khi 2 x  vì: 0

2

2sin

4 2

x x

 

 

• sin 3(2 x1) 9(: x1)2 khi x  1

Ø

• Tính chất của VCB tương đương khi x → x0

1) ( )x :( )x      ( )x ( ) 0( ( )) 0( ( ))x x  x 2) Nếu ( )x :( ), ( )x x :( )x thì ( )x :( )x 3) Nếu 1( )x :1( ), ( )x 2x :2( )x thì

1( ) ( )x 2x 1( ) ( )x 2x

4) Nếu ( ) 0( ( ))x  x thì   ( )x ( )x :( )x

Ø

• Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao

Cho ( ), ( )x  là tổng các VCB khác cấp khi x x x0

thì

0

( )

lim

( )

x x

x





 bằng giới hạn tỉ số hai VCB cấp thấp

nhất của tử và mẫu

3

0

cos 1 lim

x

L





Giải

3

4

(1 cos

x

L

x

x x











2 0

1 cos 1 lim

2

x

x x





Ø

• Các VCB tương đương cần nhớ khi x → 0

1) sinx x : ; 2) tanx x: ; 3) arcsinx x : ; 4) arctanx x: 5)

2

1 cos

2

x x

 : ; 6) e x : ; 1 x

7) ln(1 : ; 8) 1x) x n x 1 x

n

  :

Chú ý

Nếu u x là VCB khi ( ) x  thì ta có thể thay 0 x bởi

( )

u x trong 8 công thức trên

Trang 5

VD 4 Tính giới hạn

2 2 0

ln(1 2 sin ) lim

sin tan

x

L





Giải Khi x  , ta có: 0

ln(1 2 sin ) 2 sin 2 2

Vậy L   2

3 0

lim

sin 2

x

L



   



Vậy

0 1 2 lim

x

x L

x



Giải Khi x  , ta có: 0 tan x x2 : (cấp 2), 2 sin x3: (cấp 3), x3 sin 1 1 1 1

2

x

x  :  x : (cấp 1)

Ø

Chú ý

Quy tắc VCB tương đương không áp dụng được cho

hiệu hoặc tổng của các VCB nếu chúng làm triệt tiêu tử

hoặc mẫu của phân thức

VD 6

2 0

( )

x



 

lim tan lim

       (Sai!)

Ø

VD 7

3

cos 1

2 sin

x



 là VCL khi x  ; 0

3

cos 4 3

  là VCL khi x  

Nhận xét Hàm số f x là VCL khi ( ) x thì x0

1

( ) là VCB khi x x0

3.2 Đại lượng vô cùng lớn a) Định nghĩa

Hàm số f x được gọi là đại lượng vô cùng lớn (VCL) ( ) khi x nếu x0

0

lim ( )

x x f x

   (x có thể là vô cùng) 0

Ø

b) So sánh các VCL

Cho f x g x là các VCL khi ( ), ( ) x , x0

0

( ) lim ( )

x x

f x k

g x

  Khi đó:

– Nếu k  , ta nói ( )0 f x là VCL cấp thấp hơn ( ) g x

– Nếu k  , ta nói f x là VCL cấp cao hơn ( )( ) g x

– Nếu 0 k  , ta nói ( )f x và ( ) g x là các VCL

cùng cấp

– Đặc biệt, nếu k  , ta nói ( )1 f x và ( ) g x là các VCL

tương đương Ký hiệu f x( ):g x( )

Ø

VD 8

• 3

3

x là VCL khác cấp với 31

2x x khi x  vì: 0

3

2

• 2 x3  :x 1 2 x3 khi x  

Trang 6

• Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp

Cho f x và ( )( ) g x là tổng các VCL khác cấp khi x x0

thì

0

( )

lim

( )

x x

f x

g x

 bằng giới hạn tỉ số hai VCL cấp cao nhất

của tử và mẫu

Giải

3

lim

3 3

x

x A

x



3 7

1

2 2

x B

x x

VD 9 Tính các giới hạn:

3

3cos 1 lim

x

A





 ;

lim

x

B





………

Ø

§4 HÀM SỐ LIÊN TỤC

4.1 Định nghĩa

• Số x0 được gọi là điểm cô lập của f(x) nếu D f

 0 : x (x0 ; x0 )\ { }x0 thì x D f

• Hàm số f x liên tục tại ( ) x nếu 0

lim ( ) ( )

x x f x f x

• Hàm số f x liên tục trên tập X nếu ( )( ) f x liên tục tại

mọi điểm x0 X

Quy ước

• Hàm số f x liên tục tại mọi điểm cô lập của nó ( )

Ø

Ø Chương Chương 3 3 Hàm Hàm số số và và giới giới hạn hạn 4.2 Định lý

• Tổng, hiệu, tích và thương của các hàm số liên tục tại

x là hàm số liên tục tại 0 x 0

• Hàm số sơ cấp xác định ở đâu thì liên tục ở đó

• Hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó

Ø

• Định lý

Hàm số f x liên tục tại ( ) x nếu 0

lim ( ) lim ( ) ( )

x xf x x xf x f x

4.3 Hàm số liên tục một phía

Hàm số f x được gọi là liên tục trái (phải) tại ( ) x nếu 0

lim ( ) ( )

x xf x f x

lim ( ) ( )

x xf x f x

Ø

VD 1 Cho hàm số

x





Giá trị của  để hàm số liên tục tại x  là: 0

A   ; B 0 1

2

  ; C   ; D 1 3

2

 

Giải Ta có

0

lim ( ) (0)

x f x f

Mặt khác, khi x ta có: 0

 2

x

Trang 7

0

1 lim ( )

2

x f x



Hàm số f x liên tục tại ( ) x  0

1 lim ( ) lim ( ) (0)

2

VD 2 Cho hàm số ln(cos )2 2, 0

( ) arctan 2

x





Giá trị của  để hàm số liên tục tại x  là: 0

A 17 12

  ; B    ; C 1712    ; D 32   32

Giải Khi x  , ta có: 0 arctan2x2x2:3x2;

2

Ø

Hàm số f x liên tục tại ( ) x  0

0

1

6



2

ln(cos ) 2 lim ( ) 1

6

x



Ø

Ø Chương Chương 3 3 Hàm Hàm số số và và giới giới hạn hạn 4.4 Phân loại điểm gián đoạn

• Nếu hàm số f x không liên tục tại ( ) x thì 0 x được gọi 0

là điểm gián đoạn của f x ( )

• Nếu tồn tại các giới hạn:

lim ( ) ( )

x xf x f x

lim ( ) ( )

x xf x f x

nhưng f x( )0  ,

0 ( )

f x và

0

( )

f x không đồng thời bằng

Ngược lại, x là điểm gián đoạn loại hai 0

………

Định dạng
Số trang	7
Dung lượng	831,88 KB