Bài giảng Toán cao cấp - Chương 3: Không gian vectơ (2019)

Bài giảng Toán cao cấp - Chương 3: Không gian vectơ cung cấp cho người học các kiến thức: Subspaces of Rn, spanning sets, independence, bases of vector spaces, column space and row space of a matrix, dimensions. Mời các bạn cung tham khảo nội dung chi tiết.

KHÔNG GIAN VECTƠ CHƯƠNG 3

NỘI DUNG

oSubspaces of Rn

oSpanning sets

oIndependence

oBases of vector spaces

oDimensions

oColumn space and row space of a matrix

KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VEC TƠ

TÍNH CHẤT

KHÔNG GIAN R3

Phép cộng hai vec tơ:

Phép nhân vec tơ với một số:

Sự bằng nhau của hai vec tơ:

 V1 là không gian vec tơ Ký hiệu: R3

Tương tự ta có không gian Rn

1 1, ,2 3 | 1, ,2 3

V x x x x x x R

VECTOR N CHIỀU

(x1, x2) // vector in R2

(x1, x2, x3) // vector in R3

(x1, x2, x3, x4) // vector in R4

(x1, x2, …, xn) // vector in Rn

A vector (x1, x2, …, xn) in Rnis also called a point in Rn (0, 0, …, 0): the zero vector in Rn

PHÉP CỘNG VÀ NHÂN VÔ HƯỚNG TRONG R N

u = u1, u2, …, un)

v = (v1, v2, …, vn)

Vector addition:

u + v = (u1+ v1, u2+ v2, …, un+ vn)

Scalar multiplication:

cv = (cv1, cv2, …, cvn)

EXAMPLES

Given two vectors u = (2, -1, 1, 2), v = (3, 1, 2, -1)

 Find u + v

u + v = (5, 0, 3, 1)

 Find ½u

½u = (1, - ½, ½,1)

 Find -3v -3v = (-9, -3, -6, 3)

 And find 3u - 2v 3u + 2v = (0, -5, -1, 8)

KHÔNG GIAN P2[X]

Phép cộng hai vec tơ: phép cộng hai đa thức

Phép nhân vec tơ với một số: phép nhân đa thức với một

số

Sự bằng nhau của hai vec tơ: hai vec tơ bằng nhau là hai

đa thức bằng nhau (các hệ số tương ứng bằng nhau)

 V2 là không gian vec tơ Ký hiệu: P2[x]

Tương tự ta có không gian Pn[x]

2

2 ax bx c | , ,

KHÔNG GIAN M2[R]

Phép cộng hai vec tơ: phép cộng hai ma trận

Phép nhân vec tơ với một số: phép nhân ma trận với một số

Sự bằng nhau của hai vec tơ: hai vec tơ bằng nhau là hai

ma trận bằng nhau

 V3 là không gian vec tơ Ký hiệu: M2[R]

Tương tự ta có không gian Mn[R]

3 a b : , , ,

KGVT CON

Không gian vecto con

Không gian sinh bởi một họ vecto

Biểu thị tuyến tính (tổ hợp tuyến tính)

Độc lập tuyến tính

Phụ thuộc tuyến tính

KHÔNG GIAN VECTO CON CỦA RN

A nonempty subset V is called a subspaceof Rn if:

 0 = 0, 0, … , 0  𝑉

 𝑢, 𝑣  𝑉  𝑢, 𝑣  𝑉 for all 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑠 𝑢, 𝑣.

 v  𝑉  𝑘𝑣  𝑉 for any 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑣, and any number k

Example V = {(a, a, 0) | a R}

 (0, 0, 0) is in V

 If (a, a, 0) and (b, b, 0) are in V then (a + b, a + b, 0) is in V

 If v=(a, a, 0) is in V then cv = (ca, ca, 0) is in V

V is a subspace of R3

SOME EXAMPLES OF SETS THAT ARE

NOT SUBSPACES OF RN:

 0 = 0, 0, … , 0 𝑉

 𝑢, 𝑣 𝑉  𝑢 + 𝑣 𝑉

 𝑣𝑉  𝑘𝑣 𝑉

U=

V=

W=

SOME EXAMPLES OF SETS THAT ARE NOT SUBSPACES OF RN:

V = {(a, b, c) | a = b or a = -b}

V = {(a, b, c) | a = 0 or b = 0}

𝑢 = 0,1,1 , 𝑣 = (1,0,0)

𝑢 = 1,1,0 , 𝑣 = (1, −1,0) // in V but u + v is not in V

𝑢 = 0,1,1 , 𝑣 = 1,0,0 // in V

𝑢 + 𝑣 = (1, 1, 1) // not in V

 0 = 0, 0, … , 0  𝑉

 𝑢, 𝑣 𝑉 𝑢 + 𝑣𝑉

 𝑣𝑉  𝑘𝑣 𝑉

SUBSPACE OR NOT?

Key = a

VÍ DỤ_BIỂU THỊ TUYẾN TÍNH

Cho các vecto u = (1, -1, 2), v = (2, 1, 3), w = (1, -3, 1)

Hãy viết vecto w dưới dạng tổ hợp tuyến tính của hai vecto u và v (nếu được)

Điều này có nghĩa là tìm các hệ số a, b sao cho:

w = au + bv (1, -3, 1) = a(1, -1, 2) + b(2, 1, 3)

= (a + b, -a + b, 2a + 3b)

a + b =1 -a + b = -3 2a + 3b = 1

 a = 2, b = -1

w = 2u - v

Given u = (1, -1, 2), v = (-2, 0, 3) and w = (-3, 2, 1) Write x = (1, 0, 2) as a linear combination of u, v, and w

We find numbers a, b, c such that:

x = au + bv + cw (1, 0, 2) = a(1, -1, 2) + b(-2, 0, 3) + c(3, 2, 1) (1, 0, 2) = (a -2b + 3c, -a + 2c, 2a + 3b + c)

1a -2b + 3c = 1 -1a + 0b + 2c = 0 2a + 3b + 1c = 2

a = 2, b = -1, c = 1

 x = 2u –v + w

VÍ DỤ

1 (1,3, 2); 2 (0,1, 1); 3 (2,0,

( 2,1

) , 1)

3







SPANNING SETS

V = span{𝑢, 𝑣} = {a𝑢 +𝑏 | a, b in R}

V = span{𝑢, 𝑣, 𝑤} = {a𝑢 +𝑏 + c𝑤| a, b, c in R}

We also say {u, v, w} spans V

a𝑢 +𝑏 + c𝑤is called a linear combination of 𝑢, 𝑣,and𝑤

V

u v

SPANNING SETS - EXAMPLES

Given V = span{(-1, 2, 1), (3, -5, -1)}

a (-1, 1, 1) V?

b Find m such that (-2, 1, m)V

Solution

a (-1, 1, 1) = a(-1, 2, 1) + b(3, -5, -1)

(-1, 1, 1) = (-a + 3b, 2a – 5b, a –b)

b (-2, 1, m) = a(-1, 2, 1) + b(3, -5, -1)

-a + 3b = -1 2a – 5b = 1

a – b = 1

-a + 3b = -2 2a – 5b = 1

a – b = m

KHÔNG GIAN CON SINH BỞI HỌ VECTƠ

Cho tập hợp các vec tơ:

Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính các vec tơ của M tạo thành một không gian vec tơ

Span(M) là không gian vecto con, sinh bởi một họ vec tơ

1, , ,2 n

1, , ,2 n 1, , ,2 n

span M v v v span v v v

−1 𝑚

VÍ DỤ

Find m such that (-1, -2, m) lies in the subspace spanned by the

vectors

(1, 2, -3), (-1, -1, 5) and (2, 5, -4).

Solution

We want the system below has solution a, b, c:

(-1, -2, m) = a(1, 2, -3) + b(-1, -1, 5) + c(2, 5, -4)

(-1, -2, m) = (a -2b + 2c, 2a –b +5c, -3a + 5b -4c)

a – b + 2c = -1

2a – b + 5c = -2

-3a + 5b – 4c = m

1 −1 2

−1 0

𝑚 − 3

1 −1 2

−1 0

BÀI TẬP

1 Find the values of t for which (2, -1, t) lies in the subspace spanned by the vectors (1, 1, 0) and (2, 3, -1)

2 For what values of x does the vector (1, 1, x) is a linear combination of the vectors (1, 0, -3) and (-2, 1, 5)?

3 Find the values of m such that (4, -2, -1, m) lies in the subspace spanned by the vectors (1, 0, -1, 1), (1, 0, 0, 1), and (2, -1, 1, 0)

SPANNING SETS LINEAR COMBINATIONS.

Key = d, e, b

Let X = (-1, -3, 3) and U = span{Y = (1, 0, 3), Z = (1, 1, 1)} If X is in U, write X =aY + bZ,

then find the sum a+b.

a) X is not in U b) a+b = -1

c) a+b = 4 d) a+b = 0 e) None of these

SPANNING SETS LINEAR COMBINATIONS.

Key = e, c, a

SPANNING SETS LINEAR COMBINATIONS.

Suppose V = span{(1, -1, 0), (2, -1, 1), (-1, 0, 1)} Find all values of t such that (1,

2, t)  V.

a) t is arbitrary b) t = 3/2 c) t = 3 d) t = -1

ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH

Một tập hợp các vecto {v1, v2, …, vn} được gọi làđộc lập tuyến tính(linearly independent) nếu hệ phương trình:

t1𝑣1+ t2𝑣2+ + tn𝑣𝑛= 0

Chỉ có nghiệm tầm thường:

t1= t2= … = tn= 0

Độc lập tuyến tính

 số phần tử cơ sở =

Số vecto

DO YOURSELF

VÍ DỤ

Các hệ vec tơ sau đây là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc

tuyến tính?

a) (1, 2,3); (2,1,0); (0,1, 2)

b) (2, 4); ( 1, 2)

VÍ DỤ

Trong không gian R3 cho hệ vec tơ:

1) Hệ vec tơ M độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

2) Vec tơ x=(2,-1,3) có biểu thị tuyến tính được qua hệ M không?

1,1,1 ; 2,1,3 ; 1, 2,0

M

TỔNG HỢP

XÉT SỰ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH

XÉT TỔ HỢP TUYẾN TÍNH XÉT ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH TRONG RN

Trong Rncho hệ vec tơ

•Hệ M độc lập tuyến tính khi và chỉ khi rank A=m (số véc

tơ của hệ)

•Hệ M phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi rank A<m

 1, 2, , m

M   

1 2

( , , , ) ( , , , )

m m mn

m m m mn

A

a a a







 



VÍ DỤ

Xét tính độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính của

các hệ véc tơ sau đây trong không gian đã chỉ ra

3

4

a) (1,1,0), (0,1,1), (1,0,1 trong R

b) (1,1,0,0), (0,1,1,0), (2,3,1,0) trong R

CƠ SỞ - SỐ CHIỀU CỦA KGVT

Tập sinh

Cơ sở

Số chiều

TẬP SINH CỦA KHÔNG GIAN VECTO

VÍ DỤ

2

x

x x x

Hệ này có nghiệm với mọi x nên mọi vec tơ x của không gian R3đều là tổ hợp tuyến tính của hệ vec tơ M

VÍ DỤ

x

x

x

x

Hệ này có thể vô nghiệm nên vẫn

có vec tơ x của không gian R3 không là tổ hợp tuyến tính của hệ vec tơ M

CƠ SỞ - SỐ CHIỀU

Hệ vec tơ

M gọi là cơ

sở của không gian vec tơ V nếu nó độc lập tuyến tính và mọi vec tơ của không gian

V đều biểu thị tuyến tính được qua M

ĐỊNH LÝ

Giả sử V là không gian hữu hạn chiều Khi đó:

1) Tồn tạivô số cơ sởcủa không gian vec tơ V

2) Số lượng vec tơtrong mọi cơ sở đềubằng nhau

Định lý.Trong không gianRn, một tập hợp gồm đúng

n vecto là cơ sở của Rnkhi và chỉ khi các vecto này

độc lập tuyến tính

Choose a set of 3 vectors And this set must be linearly independent

VÍ DỤ

SỐ CHIỀU CỦA KGVT

Số chiều = số lượng vecto trong cơ sở

dim(R n ) = n

If U V then dim(U)  dim(V)

 dim(subspace)  3 = dim(R 3 )

 Dimension is not 4 or more than 4

Dim( ) = 2 = number of leading ones

1 -1

1 -3 2

1 -1 0

1 0

1 -3 2 -4 8 -4

2 -4 2

1 0

1 -3 2

1 -2 1

VÍ DỤ

CƠ SỞ CHÍNH TẮC TRONG Rn

Trong Rnta dễ dàng chứng tỏ tập E sau đây là cơ sở

Đặt: ta gọi đây là cơ sở chính tắc của Rn

1, 0, , 0 ; 0,1, 0, , 0 ; ; 0, 0 , 0,1 n

1

2

(1,0, ,0)

(0,1, ,0)

(0, 0,1)

n

e

e

e







  dim Rn  n

TÍNH CHẤT

Cho không gian vec tơ V có số chiều là n, dimV=n

VÍ DỤ

A) Kiểm tra tập hợp sau có là cơ sở của R3

B) Kiểm tra tập hợp sau có là tập sinh của R3

1,1,1 ; 2, 3,1 ; 3,1, 0

M

1,1,1 ; 2, 0,1 ; 1,1, 0 ; 1, 2,1

M

HẠNG CỦA HỌ VEC TƠ

Cho hệ vec tơ:

Một tập hợp con các vecto của M được gọi là hệ con độc lập tuyến tính tối đại nếu:

+ Hệ độc lập tuyến tính + Nếu thêm bất kỳ véc tơ khác nào của hệ M vào hệ con

đó ta đều nhận được một hệ một hệ phụ thuộc tuyến tính

1, , ,2 n

HẠNG CỦA HỌ VEC TƠ

+ Một hệ véc tơ có thể có nhiều hệ con độc lập tuyến tính

tối đại khác nhau

+ Số véc tơ của các hệ con độc lập tuyến tính tối đại thì

luôn bằng nhau

Hạng của hệ vec tơ M là số tối đại các vec tơ độc lập

tuyến tính của M Ký hiệu là rank(M)

TÌM HỆ CON ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH TỐI ĐẠI, HẠNG CỦA HỆ VÉC TƠ TRONG Rn

Trong Rncho hệ gồm m vec tơ sau:

Để tìm hệ độc lập tuyến tính tối đại:

1) Lập ma trận A có các hàng là các vec tơ xi 2) Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng đưa A về dạng ma trận bậc thang A’

3) Khi đó hạng của hệ M chính bằng hạng của ma trận A

và hệ con độc lập tuyến tính tối đại của M gồm các véc tơ ứng với các dòng khác 0 của ma trận bậc thang A’

1, , ,2 n

VÍ DỤ

Trong R4cho hệ vec tơ sau:

Tìm hạng của hệ vec tơ và chỉ ra một hệ độc lập tuyến

tính tối đại của nó

1 2 3 4 5

(1,1, 2, 2),(2,3,6,6),(3, 4,8,8),(5,7,14,14),(8,11, 22, 22)

, , , ,

M

M x x x x x





VÍ DỤ

Trong R4 cho các hệ vec tơ sau:

Tìm hạng của hệ vec tơ và chỉ ra một hệ độc lập tuyến tính tối đại của nó

       

) (1, 1,0,1), (1,0, 1, 2), (0,1, 1, 2) ) 1,1,1,0 ; 1, 2,1,1 ; 2,3, 2,1 ; 1,3,1, 2



a M

b N

TÍNH CHẤT HẠNG CỦA HỌ VEC TƠ

1) Hạng của họ vec tơ M không đổi nếu ta nhân một vec tơ

của M với một số khác không

2) Cộng vào một vec tơ của họ M một vec tơ khác đã được

nhân với một số thì hạng không đổi

3) Thêm vào họ M một vec tơ x là tổ hợp tuyến tính của M

thì hạng không thay đổi

Chú ý Nếu rank(M)= k0thì:

+ Tồn tại k0vec tơ độc lập tuyến tính của M

+ Mọi tập hợp chứa nhiều hơn k0vectơ đều phụ thuộc tuyến

tính

HỌ VEC TƠ HÀNG – HỌ VEC TƠ CỘT

Cho ma trận A:

Họ vec tơ hàng của A:

Họ vec tơ cột của A:

A

1,1,1, 0 ; 1, 2,1,1 ; 2, 3, 2,1 ; 1, 3,1, 2

M

1 1 1 0

1 2 1 1

; ; ;

2 3 2 1

1 3 1 2

N

ĐỊNH LÝ VỀ HẠNG

Định lý Cho A là ma trận cỡ m x n

Hạng của ma trận A bằng với hạng của họ vec tơ hàng A

Hạng của ma trận A bằng với hạng của họ vec tơ cột của

A

VÍ DỤ

Tìm hạng của hệ vec tơ sau:

Giải

M là họ vec tơ hàng của ma trận A nên hạng của M bằng với hạng của ma trận A

1,1,1, 0 ; 1,1, 1,1 ; 2, 3,1,1 ; 3, 4, 0, 2

M

A

VÍ DỤ

Tìm tất cả các số thực m để họ vec tơ sau phụ thuộc

tuyến tính

1,1, 0 ; 1, 2,1 ; , 0,1

KGVT HÀNG – CỘT VÀ HẠNG CỦA MA TRẬN

A is a mxn matrix  rank(A) m, rank(A) n

Row space of a matrix Row(A) = span{row1, row2,

…, rowm}

(rows = vectors)

Column space of a matrix Col(A) = span{col1, col2, …,

coln}

dim(row(A)) = dim(col(A)) = rank(A)

VÍ DỤ

Dim(col(A)) = rank(A)

KHÔNG GIAN NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH

TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT

Xét hệ thuần nhất

Đặt:

Là tập hợp tất cả các nghiệm của hệ thuần nhất

1 1 2 2

0 0

0

n n

n n

m m mn n

a x a x a x

a x a x a x

A X

a x a x a x









 1, 2, , R : n 0

n

L x x x x  A X

KHÔNG GIAN NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT

Định lý L là không gian vec tơ con của Rnvà:

Ta gọi L là không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

 

dim L n r A

Cơ sở: hệ nghiệm cơ sở của hệ

VÍ DỤ

Tìm cơ sở và số chiều của không gian nghiệm của các hệ

phương trình thuần nhất

) 2 4 3 =0

x x x













KHÔNG GIAN NGHIỆM HỆ THUẦN NHẤT

dim(solution space) = n – r // n: số biến trong hệ,

r : hạng của ma trận hệ số

Dim(G) = n – r = 3 – 1 = 2  a basis for G contains 2 vectors

 c, e, b impossible

In other hand, (1, 0, 0) is not in G  can not be d, f

 a

VÍ DỤ

Null space of a matrix A:

Null(A) = {X :AX = 0}

(solution space of a homogeneous system)

dim(null(A)) = n – r

Image space:

Im(A) = {all image AX: X in

Rn} Im(A) = col(A)

dim(im(A)) = dim(col(A))

= rank(A)

NULL SPACE AND IMAGE SPACE OF A MATRIX

VÍ DỤ

TỌA ĐỘ CỦA VECTO

Tọa độ

Đổi tọa độ

Ma trận chuyển cơ sở

Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

TÍNH CHẤT

Ý NGHĨA

VÍ DỤ

ĐỔI CƠ SỞ TRONG KGVT

Trong kgvt R3cho 2 cơ sở:

A) Viết ma trận chuyển cơ sở từ B1 sang B2 B) Tìm tọa độ của vec tơ x=(3,-1,0) đối với cơ sở B2

Ghi chú Cơ sở B1 gọi là cơ sở chính tắc của R3

1, 0, 0 ; 0,1, 0 ; 0, 0,1

2, 1, 3 ; 1, 0,1 ; 0, 1, 2

A) Ma trận chuyển cơ sở từ B1 sang B2:

B) Tọa độ của vec tơ x=(3,-1,0) đối với cơ sở B2 là:

1 2

B B

T

2

1

B

x

DOT PRODUCT

= a number

Lengthof a vector:

𝑣 = 𝑣  𝑣 = x 1 + y 1 + z 1 + w 1

Distancebetween 𝑢, 𝑣:

Dist(𝑢, 𝑣) = 𝑢 − 𝑣

PROPERTIES

KIỂM TRA GIỮA KỲ 60’

1) Cho các ma trận:

A) Tìm điều kiện để ma trận A khả nghịch

B) Giải phương trình sau biết detA=-1

3

GIẢI BÀI 1

3 det 0

2

A

A

1

3

7

A

B

X A B vo nghiem

BÀI 2

Tính các định thức:





A

A

BÀI 2

Tính các định thức:

3















x

x

x

BÀI 3

Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính sau:







GIẢI

 

 

 

 

 

 

2

2 1

2

2 3

1 1

1

1

1 1

1 1 2 3





m

m

m

m

m

GIẢI

  2 1

1 1

          



   

      

m

BÀI 4

Cho các vec tơ sau:

v1 = (2,3,1,2), v2 = (1,2,3,−1),

v3 = (7,12,11,1), v4 = (4,m,−3,n)

A) Hệ vec tơ { v1, v2, v3} là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc

tuyến tính?

B) Tìm m,n để v4 là tổ hợp tuyến tính của { v1, v2, v3 }

BÀI 4

A) Phụ thuộc tuyến tính B) m=5, n=20

KIỂM TRA GIỮA KỲ 60’_K57

1) Cho các ma trận:

A) Tìm ma trận nghịch đảo của A (nếu có)

B) Giải phương trình sau:

A X B

CÂU 1

1

1

1

2

4

X

BÀI 2

Một công ty sản xuất hai loại sản phẩm B và C

•Với 1$ giá trị của sản phẩm B công ty tốn 0,45$ nguyên liệu,

0,25$ lương lao động và 0,15$ phụ phí

•Với 1$ giá trị của sản phẩm C công ty tốn 0,40$ nguyên liệu,

0,30$ lương lao động và 0,15$ phụ phí

A) Hãy xây dựng ma trận chi phí, ký hiệu U, theo sản phẩm và

loại chi phí của công ty

B) Nếu công ty sản xuất 100$ sản phẩm B và 200$ sản phẩm C

thì chi phí cụ thể của từng mục như thế nào?

C) Gọi q1, q2, q3, q4 là ma trận cột sản lượng tính theo $ của

các sản phâm B và C trong các quý 1,2,3,4 Hãy tính và giải

thích ý nghĩa ma trận U.Q với Q=[q1 q2 q3 q4]

BÀI 2

Ma trận chi phí:

Product Product

cos

cos

0.45 0.40 0.25 0.30 0.15 0.15 0.45 0.25 0.15 0.40 0.30 0.15

t product

product t

Materia Labor phu phi

B

l

C Nguyen lieu Lao dong Phu phi U

product B U

product C

BÀI 2

Nếu sản xuất 100$ sản phẩm B và 200$ sản phẩm C

Product Product

cos

cos

0.45 0.40

100 0.25 0.30

200 0.15 0.15

0.45 0.40

0.25 0.30

0.15 0

t product product total

t product product total t total

t total

Nguyen lieu Lao dong Phu phi

20

125 85 45 0 15

Nguyen lieu Lao dong Phu phi

BÀI 2

Ma trận tích thể hiện chi phí từng loại theo từng quý

Product Product

cos

0.45 0.40 0.25 0.30 0.15 0.15

t product

product time

t product product time t time

Nguyen lieu Lao dong Phu phi U

BÀI 3

Tính các định thức sau:

2 2 2

1

1

1

x y B

z t

BÀI 3A

2 2 2

1 1 1

1 det

1 det

h h h

h h h

BÀI 3B

3 3 4

1 1 2 4

2 2 4

det

1

d d d

d d d

d d d

d d d

B

x y t

z t

CÂU 4

Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính

CÂU 4

Ta có:

2

1

2

2

3

1

m

BIỆN LUẬN

Nghiệm duy nhất

Nếu m=1 thì D=D1=D2=D3=0

Ta có hệ

A

2

2 2

m