Toán cao cấp tập 2 a2 giải tích nhiều biến

Bỏi vì R" là không gian tuyến tính sự hội tụ trong đó sê đưỢc sinh ra bỏi một hàm đặc biệt mà sau này sẽ gọi là một chuẩn trên R".. Trong R" mọi tập bị chặn đều có th ể phủ bởi một số h

)

NGUYỄN VÀN KHUÊ (Chủ biên) PHẠM NGỌC THAO-LÊ MẬU HÀI -NGUYỄN ĐÌNH SÁNG

TOÁN CẰO CẤP

T Ậ P I I (A2)

(GIẢI TÍCH NHIỀU BIẾN)

NHÀ XUẤT BẤN GIÁO DỤC - 1997

5m 083)^^^ !

GD - 97

C h ư ơ n g V

TÔ PÒ VÀ HÀM LIÊN TỤC TRONG R"

Trong chương này ta sẽ trìn h bày một sô" khái niệm và kết quả cơ bản vể tô pô hay cụ thể hơn về sự hội tụ và hàm liên tụổ trong R" Bỏi vì R" là không gian tuyến tính sự hội tụ trong đó

sê đưỢc sinh ra bỏi một hàm đặc biệt mà sau này sẽ gọi là một chuẩn trên R"

ị l KHÒNG GIAN R"

1 C ấu tr ú c k h ô n g gỉan tu y ế n tin h , đ ịn h chuẩn, m etric t r ê n R**

1.1 Giả sử n là sô tự nhiên, n > 1 Xác định;

R" = R ạ R = |x = (x ,, x „) :x, e R , 1 ^ i ắ n|

n

Xị , i = l,n , này gọi là tọa độ thứ i của X Hiển nhiên R“ là không

gian tuyến tính với các phép tính đMỢc xác định theo tọa độ Có

1.3 Chú ý Giả sử <p: R" R là một chuẩn Khi đó

cp(y) - ẹ(x) < (p(y-x) = ọ(-(x-y)) = ẹ(x-y)

và suy ra:

(p(x) - ẹ(y) > - (p(x-y)Vậy I (p(x) - cp(x) I < (p,(x-y)

là một chuẩn trên R" và gọi là chuẩn Euclide

Thật vậy, rõ ràng N j và Ng) được thoả mãn Để kiểm :ra

1.5 Định nghĩa Khoảng cách hay metric trên R” là hàm

thoả mãn:

Di) Vx,y G R" d(x,y) ^ 0 và d(x.y) = 0 o X = y

Dg) d(x,y) = d(y,x), Vx,y 6 R"

D3) d(x,z) < d(x,y) + d(y,z), Vx,y,z € R" (bất đẳng thức tam giác)

Cũng như chuẩn trên R“, ta có Vx, y, z e R" :

|d (x,y) - d (y,z) 1 < d (y,z)1.6 Giả sử (p : R" R là một chuẩn trên R" Khi đó dạng

đ (x,y) = (p (x-y), X , y € R"

xác định một metric trên R" Metric này gọi là metric sinh bởi

chiiẩn ẹ Sau này ta chỉ xét các metric trên R" được sinh bởi một

chuẩn nào đó.

2 S ự t ư ơ n g đ ư ơ n g c ủ a c á c c h u ẩ n t r ê n R"

2.1 Hai chuẩn <p và \Ị/ trên R‘\ gọi là tương đương và viết

ẹ ^ \ự nếu tồn tại các hằng số đương Cj, C2 sao cho:

Ci(p(x) í Vậ/ (x) á Cgípíx), Vx e R“

Rõ ràng nếu (p *'\|/, yự ^ ĩ] thì (p r|

Để th u ậ n lợi cho việc nghiên cứu vấn đê giâi hạn và tính

liên tục của các hàm giá trị vectơ trên R", và đặc biệt là việc trình bàỳ phép tính vi phân trên R“, ta chứng minh kết quả sau:

2.2 Đ ịnh lí Hai chuẩn bất kì trên R" là tưdng đương.

Chửng minh, Chỉ cần chứng minh mọi chuẩn (p trên R “ là

tưdng đương với chuẩn max Giả sử 01, 02, e„ là cơ sở chính tắc của R" Với X = (Xp , x„) G R" , viết:

lim <p(x ) = 0

k->00

Từ xị*

nên bời nguyên lí Bolzano - W eierstrass trên R, tồn tại dây

con |x j Ị c ị x í Ị hội tụ tới X| 6 R Lại có:

l ầ n lượt hội t ụ tới X j , X 2 , x „ e R.

Hiển nhiên vói X = ( X j , x„) G R" ta có:

keNn lắisnXvà

ếọi là e - lán cận của a trong R"

tuỳ ý trên và metric d tương ứng

( 1 )

Đặc biệt nếu chuẩn được xét trên R" là chuẩn Euclide thì với n = 1, B (a,8) là khoảng (a-E, a+e) Với n = 2 (tương ứng

n = 3) thì B (a,e) là các điểm nằm trong vòng tròn (tương ứng trong m ặt cầu) tâm a, bán kính E Vì vậy, sau này, ngay cả khi

R “ được xét với một chuẩn bất kì, ta vẫn gọi B (a,e) xác định bởi (1) là hình cầu "mở” tâm a, bán kính 8 và tập:

B(a,e) “ {x eR" : d (x,a) < e}

gọi là h ình cầu "đóng" tâm a, bán kính e

3.1 Đ ịnh nghĩa Cho a e R*" Tập con u c R” gọi là lân

cận của a nếu có e > 0 sao cho B (a,e) e ư

Lân cận của a thưòng kí hiệu là u (a)

Rõ ràng:

a) Nếu ư là lân cận của a thì a € u và mọi tập con của R“

chứa u là lân cận của a.

b) Giao hữu hạn và hợp của một họ bất kì các lân cận của

B (a,e) = V là lân cận của mọi y e B (a,£)

d) Bởi các chuẩn trên R “ là tương đương, khái niệm lân cận không phụ thuộc vào chuẩn đã chọn Vậy các khái niện

x uất p h á t từ lân cận cũng như vậy

3.2 Tập D c R“ gọi là mỏ nếu D là lân cận của mọi X € D.Điều này có nghĩa là với mọi X € D tồn tại E > 0 sao cho:

ị B (a,£) c D

Như vậy để cho một tôpô trên R” có thể cho một họ tập

con 'if của R" thoả mản Fi), Pg) và Pg).

c) a gọi là điểm cô lập của A nếu có lân cận ư của a VỚỈI

U oA = {a}

d) a gọi là điểm ệính của A nếu a là điểm tụ hoặc là điểm

cô lập của A Như vậy a là điểm dính của A nếu với mọi lán

(*) Bao đóng của hình cẩn mở B(a,r) là hình cần đóng B'(a,r)

B(a,r) = {x e R“ : d(x,a) á r} = B'(a,r)e) Điểm a gọi là điểm biên của A khi và chỉ khi với mọi

l ân cận ư của a, U n A 5 t 0 v à U n CA ^ 0

Tập các điểm biên của A kí hiệu là õ A.

4 S ự HỘI TỤ VÀ TÍNH ĐẨY c ủ a R“

4,1 Đ ịnh nghĩa Điểm a € R" gọi là gidi hạn của dãy

{x**} c R" hay dãy {x*'} gọi là hội tụ tối a, nếu vói mọi E > 0 tồn

tại k (e) > 0 sao cho khi k > k (s) thì e B(a, e) (hay tương

đương II x^-a ỊỊ < e, V k ^ k(£))

Khi đó ta viết limx** = a hav x*' a khi 00

k-^<»

Chú ý Rõ ràng khái niệm hội tụ không phụ thuộc vào

việc lựa chọn chuẩn cụ thể Do các chuẢn trong R“ có vai trò

như nhau nên tấ t cả các định lí phát biểu sau này dểu dúng

th u ậ n tiện, trong một sô' trường hợp, ta dùng một chuẩn thíchhợp.

ii) Nếu {x*^} c A hội tụ tới X thì X 6 A

Chứng minh, i) => (ii) Từ giả thiết i) suy ra X € A = A do

Chứng minh Điều kiện cẩn là hiển nhiên

Điều kiện đủ Bằng cách xét chuẩn max, từ

, V i = l,n, V k.m ^ 1suy ra với mỗi i = l,n, dày sô' } k e iNỊ là dãy cđ bản trong R

Từ đó, bỏi tính đầy của R, tổn tại:

X, =* lim X" , V i = l,n,

k-+oo

Từ định lí 4, 2 x** X vối X = (Xi, , x j € R “

2 Nguyên lí Cantor về dãy hình cầu đóng th ắ t dần

là th á t dần nếu dảy bán kính {Vỵ} dần tới 0 khi k oc và

B(aic*i rk+i)cB (a,,, r j

/II II Ẩ rjj -► 0 (khi k ^ oo)

Do đó iajj}i(eN là dăy Cauchy trong R“ Vậy nó hội tụ tới

a € R “ Từ lim = a đưa đến với mọi k > 1

5.2 Đ ịnh lí (nguyên lí Bolzano - Weiertrass)

Mọi dãy bị chặn trong R” đểu chứa một dãy con hội tụ

Chứng m inh Giả sử (x**} c R" là dãy bị chặn Đối với

chuẩn max ta có :

ksup

Từ nguyên lí trên đưa đến tính chất quan trọng sau đây

mà aó là đặc trưng cho các không gian hữu hạn chiểu

'5.3 Định nghĩa Tập A c R" gọi là tập compac nếu mọi

dày trong A chứa một dày con liội tụ tới một điểm thuộc A

Rõ ràng giao của một họ bất kì và hợp của hữu hạn các tập

compac là compac

Bởi nguvên lí Bolzano - Weiertrass ta có:

5.4 Đinh lí Tập A c R‘* là compac khi và chỉ khi nó đóng

v à b ị c h ặ n

Chứng m inh Giả sử A là compac Đầu tiên ta chứng

niinn tính bị chặn của A Giả sử ngược lại A không bị chặn

Khi đó với mỗi k tự nhiên có G A với:

điểu này là v6 lí l\'nh đóng của suy từ định nghĩa là 4.2.

Ngược lại nếu A bị chặn và đóng Bỏi nguyên lí Bolzano

con của phủ {Uị}i e ị

5-6 Sô’ đề Trong R" mọi tập bị chặn đều có th ể phủ bởi

một số hữu hạn các hình cầu bán kính nhỏ tuỳ ý

Chứng minh Để dơn giản ta xét trường hợp n = 2 (trưòng

hỢp n > 2 chứng minh là tương tự)

Cho A là tập bị chặn trong R^ Bởi vì mọi chuẩn trong

là tương đương vối chuẩn max, ta chỉ cần chỉ ra rằng A được phủ

bởi một sô" hữu hạn các hình vuông cạnh nhỏ tuỳ ý Cho e > 0 Do

A bị chặn nó sẽ được chứa trong một hình vuông đủ lớn:

H = [a,b] X [c,d] ( a < b , c < d : b - a = d - c )Chia [a»b] và [c,d] thành m đoạn bằng nhau bởi các điểm

Qua mỗi điểm chia dựng đưòng vuông góc với các trục tọa

độ Khi đó H được chia thành hình vuông Rõ ràng ta có thể

tảng số điểm chia m sao cho cạnh của mọi hình vuông này có độ

Bây giò ta có định lí quan trọng sau:

5.7 Đ ịnh lí (Heine - Borel) Tập A c R" compac khi và chỉ

khi mọi phủ mở của A chứa một phủ con hữu hạn

Chứng m inh Giả A là compac và có phủ mỏ {ưa}agj sao

cho mọi họ con hữu hạn của nó không phủ được A Bởi vì A bị

chặn, do 5.6, nó được phủ bởi một số hữu hạn các hình cầu bán

kính 1 Trong sổ> các hình cầu đó phải có hình cầu Oị vối Oị A

không được phủ bởi một sô hữu hạn Uq, Bởi vì Oj n A c A nên

nó cũng bị chặn và do đó được phủ bởi một số hửu hạn các hình

cầu bán kính — Trong sô‘đó phầi có hình cầu O2 bán kính —

sao cho OanOinA không dược phủ bởi một 8Ố hữu hạn Ua- Đặc

biệt O2 n A cũng không được phủ bởi một số hữu hạn Ua Tiếp

tục lí luận đó, ta nhân đươc hình cầu có bán kính bằng —

ksao cho AnOij không được phủ bởi một sô' hữu hạn ƯQ Với mỗi k»

chọn x^^eAnOic Do A compac, bằng cách chuyên sang dăy con, có

th ể coi a e A

C h ọ n Qp với a e u -Bởi VÌƯQ mở có e>0 vói

B(a,e)c Uy Lấy đủ lớn vói

a - X

VỚI mọi X e Ou ta có: "‘0

X - a X - X + X a

Tức là Ok c B(a,E) c u VậyOịt , đặc biệtOịj r\ A, được phủ

bởi chỉ một u • Điểu đó trái với cách chọn Ojj n A

15

/

Ngược lại, lấy dãy vô hạn {x*^} c A gồm các phần tử khác nhau Ta phải chứng minh dày đó có điểm giới hạn thuộc A Giả

sử mọi điểm của A đểu không là điểm giới hạn của dảy íx*'} Như vậy với mỗi X G A, có £ > 0 sao cho hình cầu B (x, E J chỉ chứamột đô hữu hạn các phần tử của {x**} Dùng giả thiết vào phủ mớ {B(x,e^ ): X G A} của A, ta có ho hữu hạn {B(Xj, ): 1 < i < p}phủ A Điều đó mâu thuẫn với tính vô hạn của dãy {x**}

I 2 HÀM NHIỀU BIẾN VÀ GIỚI HẠN

CỦA HÀM N H IỂU BIỂN

1 H à m v e c tơ n - b iế n

1.1 Định nghĩa, Giả sử A c R“

Hàm f: A -> R“ gọi là hàm vectđ n - biến trên A với giá trị trong R"

Trường hỢp m = 1 f gọi là hàm số n - biến

Trong trường hỢp muốn chỉ rõ sô" biên ta viết f (Xj, x„)thay cho f(x) với X =(Xị, x„) 6 A

x = (n,(x), n , (X) n„(x))

1.3 Với mỗi hàm f: A ->R” , đặt = n^ f : A ->R, m

Hàm ỉỵ gọi là hàm thành phần th ứ k của f Khi đó

f = (fn u

2 Giới h ạ n c ủ a h à m n h iề u b iế n

2.1 Định nghĩa, Giả sử A c R” và f : A , Ta nói rằng

f có giói hạn le R “ tại a € A’ và viết:

lim f(x) = l hay f(x) khi X ~>a nếu V e > 0 3 5 > 0 sao

X

• cho V X e A: 0 < ||x-a|| < s thì:

|f(x)'“/|| < eNhư vậy:

a) lim f(x) = / « V lân cận V của l trong R ‘” tồn tại lân

cận u của a trong R" sao cho V x € u n A , x ^ a thì f(x) € V

b) Xét R"" với chuẩn max, có thể viết:

lim f(x) = / <=> V k: 1 ^ k ^ m lim fj^ (x) = lỵ, ồ đây

Bơi các nhặn xét trên nên các định lí sau được chứng minh

nhu trong trưòng hỢp đối với hàm một biến

2.2 Đỉnh lị: Nếu f có giới hạn / tại a € A' thì giới hạn đó là

duy nhất

2.3 Đinh lí: Hm f(x) = / « V{x^cA.

ĨRl',¥j TẮM ĨHÔME TIN ĩl^ư VỈỤN

3-TCC-12

2.4 Đ ịnh lí Nếu lim f(x) ^ 0 thì tồn tại lân cận u của a

sao cho V x e U n A , X a f(x) 0

2.5 Định lí Giả sử í, g: A “> R"* là các hàm có giới hạn tại

a G A* Khi đó a f + Pg có giới hạn tại a vối mọi a , p e R và

lim(af + Pg)(x) = alim f(x) + p iim g(x)

Như vậy phép toán giới hạn của hàm số tại một điểm có

tính tuyến tính

2.6 Đ m h lí Giả sử f : A R"', Ậ : Á -> R là các hàm cố giới hạn tại a e A’- Khi đó:

(i) Hàm (A,f)(x) = Ằ(x) f(x), X e A có giới hạn tại a và

lim(Xf)(x) = lim ^ x )lim f(x)

2.7 Định lí (nguyên lí Cauchy về sự tồn tại giới hạn).

Hàm f : A c R “, có giới hạn tại a eA ’ khi và chi khi

vổi mọi £ > 0 tồn tại 5 > 0 sao cho với mọi x', x" € A o B(a, ô ),

x', x" ^ a

II f(xO - f(x’*) II < E

3 Giới h ạ n lặp

Một trong những khác biệt giữa giới hạn của hàm n - biên

(n>l) với giới hạn của hàm 1-biến tại một điểm là khái niệm

giởi hạn lặp Ta sẽ trìn h bày nó cho hoàn cảnh n = 2 và cho định

cTả sử A c và f ; A~>R™ Với mỗi y € R, đặt

lim f^(x)= lim f(x.y)

Hoàn toàn tưđng tự có thể xét giới hạn

( 1 ) lim g(y) = lim

là giới hạn lặp của f tại (x„, y j

3.2, Định nghĩa, Cho f ( X ị , , x„) là hàm vectơ n - biến trên

tậ p A c R" và x" G A’

19

Với mqi phép hoán vị ơ của tập {1, 2, n} nếu tồn tạ i

giổi hạn

th ì giới hạn đó gọi là giói hạn lặp tại x° theo hoán vị ơ Người ta

viết gọn giới hạn (3) dưới dạng;

lim lim f (Xi,X2 - x„)

Vì có n! phép hoán vị ơ nên cùng lắm có n! giới hạn lặp V 'à

nói chung không trù n g nhau

3.3 Đ ịnh lí, Nếu tại một điểm nào đó tồn tại giói hạn của

hàm cùng với một trong các giói hạn lặp của nó thì các giới hạn

đố bằng nhau

f : A c -> R “ và (x^, Yo) e A' Giả sử tồn tại các giới hạn:

/= lim f(x,y) và /’= lim lim f(x,y)

Nhưng cả hai giới hạn lặp tại (0.0) không tồn tại.

b) Ngược lại nếu tấ t cả các giới hạn lặp tồn tại và thậm chí bằng nhau củng không suy ra được sự tồn tại giới hạn của hàm sô' tại điểm đó

l - lim f (x, y ) Cho y = 0 và X “>0 , l = lim f(x,0) = 0

I 3- HÀM LIÊN TỤC

1* Các k h á i n iệ m liẻn tụ c

1.1 Định nghĩa Giả sử A c R® và f ; A -> R ”'.

a) Hàm f gọi là liên tục tại a e A nếu vói mọi E > 0 tồn tại

s (8 ,a) > 0 sao cho Vx € A, II x*a II < ô (e , a)»

I f(x) - f(a) II < eb) Hàm f gọi là liên tục trên A nếu f liên tục tại mọi a G A.c) Hàm f gọi là liên tục đều trên A nếu với mọi £ > 0 íồn tại ỗ(e ) > 0 sao cho với mọi X, y € A l|x-y|| < ỗ thì

||f(x) - f(y)|| < E

Từ định nghĩa có thể thấy rằng f liên tục tại mọi điểm cô lập a € A

1.2 Mệnh đề Cho f : A ->R”‘ A c R" Khi đó các iiều

kiện sau là tương đương:

(i) f liên tục tại a € A

(ii) Với mọi lân cận V của f(a) trong R ”*, tồn tại lân cấn u

của a trong R“ sao cho:

f (ưnA ) c V(iii) V {x*^}cA, X*' a eA thì f(x*')->f(a)

Các định lí dưới đây mà cách chứng minh là tương tự như ỏ trường hỢp hàm 1 biến

1.3 Định lí (Tính liên tục của hàm hỢp).

Giả sử f : Ai“>A.2, g : A2”>R**, ở đây AjcR" , AgcR"' Kh- dó:(i) Nếu f liên tục tại a e Ai, g liên tục tại f(a)GA thì

1.4 Mệnh đề Tổ hđp tuyến tính của một sô" hữu hạn các

hàm liên tục trên cùng tập A c R" vối giá trị trong R"* là hàm

liên tục trên A

1.5 Mệnh đề Cho hàm f = (fj, f„,) : A cR"

(i) f liên tục tại a eA <=> v i = l,m fị ;A->R liên tục tại a

(ii) f liên tục trê n A <=> v i = l,m fị liên tục trên A

(iii) f liên tục đều trên A o V i = l,m fj liên tục đểu trên A

Chứng minh Xét R"' vói chuẩn max.

1 6 Mệnh đề Nếu f : A -> R"' (A c R” ) liên tục tại ae A và

f(a) 0 thì tồn tại lân cận u của a sao cho f(x)íÉ 0, Vxe U n A,

2 Liên t ụ c th e o từ n g b iế n

2.1 Đ ịnh nghĩa Ta nói hàm f : AcR" liên tục theo

biến Xị tại a = a j e A nêu hàm

liên tục tại aị G A, = {x,€R : (ap , aị.n, X,, a,+i, a J e A }

Nếu điều này xảy ra với mọi i= ĩ,n , ta nói f liên tục theo

từng biến tại aeA

Để phân biệt vối hàm liên tục theo từng biến tại a ta gọi

hàm liên tục tại a là hàm liên tục theo tập các biến

2.2, Mệnh đề Nếu hàm f : A -> R'** (A c R“) liên tục tại

aeA thì nó liên tục theo từng biến tại a

£ > 0 tồn tại ô > 0 sao cho

ta có

II f (ai a j _ j , Xj, a j + i a„) - f ( a i, ,a j II < 8

Vậy f liên tục theo biến X j , i = l,n , tại a = (aj, ,a„)

Chú ý Mệnh để đảo của mệnh đề tr ê n không đúng Chảng

(1 ,1 )_^(0,0) , l i m ( i - ) = l i m - s i = i ^ 0= f (0.0)

3 H àm iiê n t ụ c t r ê n t ậ p co m p ac và t ậ p liê n th ô n g

Cũng như ỏ trưòng hỢp 1-biến, hàm liên tục nhiều biến

trên tập compac và liên thông có nhiều tín h chất quan trọng

3.1 Định IL Cho hàm liên tục f : AcR" là compac

Khi đó f(A) là compac trong R" Đặc biệt f bị chặn trên A, nghĩa là

tới aeA Từ tính liên tục của f tại a suy ra

=liraf(x*^®) = f(a) € f(A)

Do đó f(A) compac.

(ii) Tính bị chặn suy từ định lí 5.4

Ta biết ràng mấu chô"t trong việc chứng minh tính đ ạt cận trên đúng và cận dưới đúng cũng như tính liên tục đều của hàm thực 1-biến trên [a,b] là tính Bolzano - W eiertrass của [a,b] Nói cách khác đó là tính compac của [a,b] Bởi vậy tương tự như hàm một biến ta có

3-2 Đ ịnh lí Nếu f : A->R“ là hàm liên tục trên tập

compac A thì f liên tục đều trên A

3.3 Định lí Nếu f : A~>R là hàm liên tục trên tập compac

A th ì f đạt được cận trê n đúng và cận.dưối đúng trên A

Để xét định lí giá trị tru n g gian đôì với các hàm liên tục nhiều biến, ta cho khái niệm sau

3.4 Định nghĩa Tập A c R ” gọi là liên thông đưòng nếu vôi

ơ : [0,1] “> Asao cho a (0) = X, ơ (l) = y

3-5 Định lí, Giả sử f : A ->R là hàm liên tục trên tập A

liên thông đưòng Khi đó nếu tạ i hai điểm X , yeA, a= f (x), p=f(y)

th ì f nhận mọi giá trị tru n g gian giữa a và p

Chứng m inh Giả sử X là một giá trị nằm giữa a và p Từ

A liên thông đường tồn tại hàm liên tục a : [0,1] A với ơ(0)=x, ơ(l)=y Áp dụng định lí giá trị tru n g gian cho hàm liên tục f«ơ : [0.1] ->R suy ra f»ơ và do đó f nhận mọi giá trị tru n g

gian giữa a và p

BÀI TẬP CHƯƠNG V

1 Tập con V è: R “ được gọi là

a Lồi nếu V 0 í t 1 V x,y 6 V => tx + (1 -l)y e V

c Hấp th ụ V x e R " 3 e>0 V | X | < E : ^ x e V

Giả sử (p là một chuẩn trên R" Chứng tỏ rằng

Bcp = {x € R" : (p (x) < 1}

là lồi, cân và hấp thụ không chứa mọi đưòng tháng qua gốc toạ độ

2 Giả sử V là tập lồi cân hấp th ụ và không chứa mọi đưòng th ẳ n g qua gốc toạ độ Chứng minh dạng

I p(x,A) - p(y,A) I < p(x,y) V x,y gR"

6.a) Giả sử A là tập mở trong R Chứng minh rằng đốỉvới

8 Cho A c R" Hãy chứng minh

a) Fr ( A ) c FrA và Fr(IntA) c Fr(A) Lấy ví dụ cho thấy các tập này khác nhau

b) vỏi A,B là hai tập trong R”, Hãy chứng minh

F r(A uB )c FrA uFrB và lấy ví dụ trên R cho th ấ y các tập nàykhác nhau Chứng minh rằng nếu A n B = 0 thì

b) Cho ví dụ vể tập hợp trên m ặt phẳng có điểm biên

nhưng mọi điểm biên không thuộc tập hợp này

c) Cho ví dụ về một tập hỢp trên m ặt phẳng gồm toàn

14 Chứng m inh rằng nếu A là tập hỢp đóng trong chứa

các số hữu tỉ thuộc [0,1] th ì nó chứa cả [0,1]

15 a) Chứng m inh rằng nếu A là tập đóng và x ểA thì tổn

tại sô' d > 0 sao cho với mọi y e A : ||y-x|| ^ d

b) Chứng minh rằng nếu A là tập đóng, B là tập compac

và A n B = 0 thì tồn tại d > 0 sao cho lly-xịl ^ d xảy ra khi

limf(t cosa, tsin a ) = f(0,0).

b) Không liên tục tại (0,0)

22 Chửng minh rằng tập các điểm gián đoạn của hàm

1f(x,y) X sin — y nếu y í* 0

không là tập đóng Tập này có mỏ trên Oy hay không?

23 Chứng minh rằng nếu hàm f(x,y )trên tập con G c R “ liên tục theo biến X và liên tục theo biến y đểu theo X thì

f liên tục

24 Áp dụng 23 chứng tỏ rằng nếu f(x,y) trên tập G c R“ liên tục theo X, thoả mãn điểu kiện Lipshitz đôi với y đều theo X thì f liên tục

Chưđng VI

PHÉP TÍNH Ví PHÂN TRONG R"

Mở đ ẩ u Chương này giành cho việc trình bày phép tính

vi phân của hàm nhiều biến thực Nói khác đi đó là phép tính vi phân trong R" Trương hợp một biến thực đã được nghiên cứu kĩ

ỏ chương trưốc Vấn để trung tâm ỏ đó là khảo sát giới hạn của

Với lí do như vậy mặc dù có gặp sự khó khăn nào đó cho người dạy và người học nhưng để tiếp cận được với một số khái niệm của Toán học hiện đại, chúng tôi mạnh dạn trình bày phép tính vi phân hay nói cụ thể là đạo hàm và đạo hàm cấp cao của hàm nhiều biến thực theo ngôn ngữ ánh xạ tuyến tính cũng như

đa tuyến tính Việc chọn lựa như vậy sẽ gây khó khán trong tính toán Sự khó khăn này sẽ được giải quyết bởi các đạo hàm rièng và các đạo hàm riêng câ'p cao cùng sự biểu diễn đạo hàm

toàn phần qua các đạo hàm riêng đó

31

1 1 KHÔNG GIAN VECTƠ CÁC ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Trong cả chương này và các chương sau không gian vectơ

sẽ được hiểu là không gian vectơ trên trưòng các sô' thực R với sô" chiều hữu hạn Như đã thấy mọi chuẩn trên không gian vectơ

là tương đương và các khái niệm sau này không thay đổi khi chuyển sang các chuẩn tương đương, nên mỗi không gian vectơ

sẽ đưỢc coi như là được định chuẩn bởi một chuẩn tuỳ ý ký hiệu

là II |Ị

1 Anh xạ tu y ến tín h và chuẩn của chúng

1.1 Cho E và F là hai không gian vectd Nhớ lại rằng ánh

xạ T ; E -> F gọi là tuyến tính nếu

T(ax + Py) = aT(x) + pT(y) V a , p 6 R, V x,y e E

Bỏi <â^(E,F) chúng ta kí hiệu tập tấ t cả các ánh xạ tuyến tính từ E vào F Với các phép tính thông thường cảm sinh bởi các phép tính của E và F, hiển nhiên ^(E ,F) là.k h ô n g gian

vectơ Các phép tính trên ẩịE,F) đưỢc xác định bỏi

(T+S) (x) = T(x) + S(x) V xe E và V T ,s e â tE F )

(JiT)(x) = XT(x) V \ e R và V T e ^(E.F).

Ngoài ra như đã biết

dim ^(E ,F) = dim E.dimF

ở đây dim E đôi vối mọi không gian vectơ (hữu hạn chiểu)

E kí hiệu SỐ chiều của E

1.2 Chuẩn trên ẨtE,F) sẽ đưỢc xác định từ chuẩn của E

và F như sau Cho T e Sf(E,F), Do T là tuyến tính dạng

X h->|| x|| +||Tx||, x e E xác định một chuẩn trên E Vì vậy tồn tại c > 0 để

Bất đẳng thức này suy ra;

hơn nữa:

T| = inf {C> 0: c thoả mản (2)}

c) Nếu T G ẩtE ,F ), s 6 ^(E,G), thì:

||S J || = Sup{l|S(Tx)|l : ||x|| llSil Sup {||Tx|| : ||x|| ^ 1} ^ 1|S

d) Từ (2) suy ra: Nếu TeSff(E,F) thì T liên tục.

T hật vậy vói mọi x*" 6 E ta có:

2 Ánh xạ đa tu y ế n tin h vh ch u ẩn của chún g

Cho Ej, và F là các không gian vectd

2 1 Đ ịn h nghĩa Ánh xạ T : E| X X E„ F gọi lả

n-tuyến tính nếu vói mọi 1 Ê i < n và mọi hệ n phần tử e E ị, j

Với các phép tín h theo giá trị hiển nhiên E„; F)

là không gian vectờ Khi E| = = E„ = E ta viết và

'* " ' ' ''

n

gọi là ánh xạ n - tuyến tính từ E vào F

Để biểu diễn á n h xạ n-tuyến tính T:Ei X X E„ -> F tachọn với mỗi 1 ắ i ^ n cơ sở e'|, ep của E, và viết mỗi X, G E,dưới dạng

= I a ‘e;

Do tín h tuyến tính theo từng biến phân biệt ta có ngay

T ( x , ,X„) = T

V j=ii-í j=l

2,2 Định lí í ^ ( E ị , E„; F) là không gian vectơ với

dim (Ej »E„;F) = dim Ej X X dimE,, X dimP

Chửng m inh Như trong 2.1, chon các cơ sở e \ , e* và

T ( X a ( i , = T(Xi, , x jvới mọi Xi, ,XneE và mọi hoán vị ơ của 1 2,

Rõ ràng tập con ^ ^ (E,F) các ánh xạ n-tuyến tính đôi

xứng của ^n(E,F) là không gian vectơ con của (E,F) và dạng

^ ơ

xác định phép chiếu s„ từ (E,F) lên 9^ ® (E,F)

3 Chuẩn trên không gian ^(E|».,.E„;F)

Ta đã biết mọi chuẩn trên không gian vectơ (hữu hạn chiểu) là ti^ơng đương Vì vậy để xác định sự hội tụ trong ắ^(Ej, E„;F) ta có thể chọn một chuẩn tuỳ ý trên đó Tuy nhiên

Ej, En và F Trước hết cũng như trưòng hỢp tuyên tính ta

(2) ị|T(x.,- x„.i, x j II ^ C(T)||xJ| với IIXill ^ Ẩ 1

xác định một chuẩn trên (Ej ,.,En;F) thoả hiân:

(4) ||T (Xi, x j II < II T II II Xj|| |Ịx„ II , X ie E i X,,6E„Ngoài ra:

||T|Ị = inf {C>0 : c thoả mân (4)}

Hiển nhiên (5) xác định ánh xạ tuvến tính từ

vào '/ ( E , , '/(E , ( E , , F ) ^ ) Mặt khác lốu

a) Sau này đôi khi để cho thuận tiện ta sẽ đồng n hất T vói

T„(T) hoặc ngược lại

Sau đây là một số nhận xét sụy từ định nghĩa 2 1.

a) Tính khả vi của f tại X® không phụ thuộc vào chuẩn trên

E và F

b) Ánh xạ s G Í/^{R'‘ ,F) thoả mãn (I) là duy nhất, kí hiệu

là F ‘íx*’) hay Df(x”) và gọi là đạo hàm hay vi phân của f tại x" Thật vậy nếu T 6 y'(R" ,F) cùng thoả mản (1) thì V E > 0 3Ô>0

vh € R";

39