Toán cao cấp cho các nhà kinh tế phần 1

Cuốn sách "Toán cao cấp cho các nhà kinh tế - Phần 1: Đại số tuyến tính" bao quát nội dung học phần 1, gồm có 5 chương: Chương l:T ậ p hợp, quan hệ và logic suy luận.. Chương 1 trình bày

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TÊ QUỐC DÂN

LÈ ĐỈNH THÚY

PHĂN I: ĐẠI SÔ TUYẼN TÍNH

TT TT-TV * ĐHQGHN

LỜI NÓI ĐẦU

Bộ sách TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ K IN H TẾ" dược biên soạn dựa theo chương trình môn Toán cao cấp của Trường Đại học K inh'tế quốc dân, dùng chung cho cả hai khối: Kinh tế học và Quản trị kinh doanh Bộ sách này gồm có hai tập, tương ứng với hai học phần:

Học phần 1: Đại s ố tuyến tính;

Học phần 2: Giải tích toán học.

Cuốn sách "Toán cao cấp cho các nhà kinh tế - Phần 1: Đại số tuyến tính" bao quát nội dung học phần 1, gồm có 5 chương: Chương l:T ậ p hợp, quan hệ và logic suy luận.

Chương 2: Không gian vectơ số học n chiều.

Chương 3: Ma trận và định thức.

ị

Chương 4: Hệ phương trình tuyến tính (Lý thuyết tổng quát).

ị

Chương 5: Dạng toàn phương.

Chương 1 trình bày tóm tắt những nội dung bao quát, thuộc nền tảng toán học nói chung: Tập hợp; Hệ thống s ố thực và các tập

s ố thực; Các khái niệm cơ bản vê quan hệ hai ngôi trong một tập hợp; Khái niệm ánh xạ; Đại cương về logic chứng minh mệnh đề.

Các chương 2, 3, 4, 5 bao hàm những nội dung cơ bản của Đại

sô tuyến tính Đó là hệ thống kiến thức tối thiểu về Đại số, thực

sự cẩn thiết cho các nhà kinh tế Hệ thống kiên thức đó được lựa chọn căn cứ vào nhu cầu sử dụng toán học trong kỉnh tế mà tác giả đã nghiên cứu một cách khá kỹ lưỡng qua các tài liệu vê

Kinh tế học hiện đại YCÌ qua các khoá bồi dưỡng kiến thức kinh

t ế của M ỹ và Canada mà túc giả có may mắn được tham dư Chương 2 và chươỉỉg 3 đê cập đến những nội dung cơ bân về không gian vectơ só học n chiêu, ma trận và định thức Mặc dù nội dung chính của chương 2 là kliông gian vectơ sô học n cluiéu,

ù đầu chươììP chúng tôi củ đưa vào trước các khái niệm C'ơ bản

về hệ phương trình tuyến tính và phương pháp sơ cấp đ ể giãi hệ phươnẹ trình loại này (phương pháp khử ân liên tiếp) Cách tiếp cận như vậy có ưu thè về mặt sư phạm, bài vì hệ phương trình luyến tính là đề tài xuất phát cùa Đại sô' tuyển tính; hơn nữa, các khái niệm ban đấu vê hệ phương trình tuyến tính và phương pháp khử án Hên tiếp sẽ giúp bạn dọc nắm bắt dê dùng hơn các nội dung cùa chương 2 và chương 3 Sau khi đã trang bị các kiến íhức cơ bản về vectơ n chiều, ma trận và dinh thức, chương 4 đế cập một cách tổng quát, có hệ thông vê hệ phương trình tuyến tính, lừ các phương pháp định lượng (cúc phương pháp tim nghiệm) đến các vấn dể định tính (diêu kiện có nghiệm, xác định

sô nghiệm, cáu trúc của tập hợp nghiệm Đ ể giúp bạn doc hước đáu làm quen với việc sử dụng toán học như một cóng cụ phân tích kinh tế, cuối chương 4 có giới thiệu một số mỏ thình tuyển tính trong kinh tế.

Chương 5 trình bảy một cách cô đọng các khái niệm cơ bảtn vê dạng toàn phương và tập trung vảo hai nội dung cơ bàn: ¡biến đổi dạng toàn phương về dạn ẹ chính tắc và các dấu hiệu tuhận biết dạng toàn phương xúc đinh (dương hoặc am) Đặc biệt, các dấu hiệu dạng toàn phương xác định sẽ phục vụ clio việc xem xét điểu kiện đủ của cực trị cùa hàm nhiều biển mà chúng tói dé cập đến ở quyến sách thứ hai: “Toán cao cấp cho các nhà kì nhĩ tê- phẩn II: Giải tích toán hực

Xin lưií ý rằng cuốn sách này không bao quát đầy đủ tát cả các nội dung của đại sô 'tuyến tính, không đề cập đến cấu trúc khiông gian trừu tượng, mà chỉ dừng lại ỏ những vấn dề thực sự cần

Lòi nói dau

thirt cho các nhừ kinh lê rà quàn lý Theo quan d'u / a i; rnúnự tói, việc dạy toán cho cár trường kinh tế phái then sát nhu cân

s ử dụng toán học trong kinh tứ, với m ục dích iraniỊ bị CÔHÍỊ cụ

cho các nhà kinh tế, do đó nhải mang một sắc thái nén (Ị k ể cà

hình thức va nội dung Theo quan điểm như vậy, lác già dã cố gắng hình thành một khung kiến thức hợp lý và trình bày các vấn dê bằng ngôn ngữ d ễ tiếp nhận dôi với các nhà kinh tế Trong cuốn sách này, chứng tôi bỏ qua phần lớn những chíữig nùìih phức tạp, chú trọng đến việc diễn giải các kết quả và hướng dẫn thực hành thông qua cúc ví dụ, nhưng vần đám bảo kết câu chặt chẽ và nhất quán.

Cuốn sách này ìà phiên bân mới của cuốn sách cùng tên đã dược NXB Thống kê xuất bản năm 2003 vả lái bản năm 2005 Tron tị phiên bản mới này, tác giả có bổ sung phẩn bài tập kèm theo mỗi bài giảng lý thuyết và chỉnh lý hình thức trình bày các phi'p biến dổi tuyến tính ở chương 5 Hy vọng rằng phiên bản

.tuy sẽ giúp ích nhiều hơn cho bạn đọc.

Hù Nội, tháng 8 năm 2008

LÊ ĐÌNH THUÝ

C fit/tftrg i l Tập hợp, Qưa/Ì 'h ệ v ì L o g ic s u y ỉuận J

một tập hợp được gọi là các phần tử của tập hợp đó Để phân

biệt, ta gọi tên tập hợp bằng các chữ in hoa A, B, c, và ký hiệu các phần tử bằng các chữ in thường a, b, c, Để nói rằng a là một phần từ của tập hợp A ta dùng ký hiệu:

a e A (đọc là: “a thuộc A ”).

Ngược lại, nếu a không phải là phần tử của tập hợp A thì ta viết:

a£ A (đọc là: “ứ không thuộc A ”).

Để xác định một tập hợp nhất định và đặt tên là X, ta sử dụng một trong hai phương pháp cơ bản sau đây:

1 Liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp:

TOẦN CAO CẤP CHO CẮC NHÀ KINH TẾ

• x = 1 1 ,3 ,5 ,7 ,9 }

• X là tập hợp các số nguyên dương lẻ một chữ số

• X = { x : x l à số nguyên dương lẻ một chữ số Ị

• X = {x: X = 2n - 1, với n là số nguyên dương nhỏ hơn 6}

Phương pháp thứ hai được sử dụng ngay cả khi ta chưa biêt ccó tồn tại hay không các phần tử có tính chất T Chẳng hạn, ta Ccó thê nói về tập hợp nghiệm của một phương trình ngay cả kchi chưa giải được phương trình đó Có thể xảy ra trường hợp ¡một tập hợp mà ta nói đến không có phẩn tử nào Ta gọi tập hcợp

không có phần tử là tập hợp trống hay tập hợp rỗng và dùng ỉ ký

hiệu 0 để chỉ tập hợp đó Đê khẳng định rằng tập hợp X khôr.ng

có phần tử ta viết: X = 0 Ngược lại, để khẳng định rằng tập htợp

X có ít nhất một phần tử ta viết: X 5* 0

Chú ý: Trong cuốn sách này và trong các tài liệu khác liên quaan

đến toán học từ "tập hợp" nhiều khi được gọi tắt là tập, chẳĩing

hạn, tập A, tập B, tập trống

b K h á i n iệm tập con và đ ẳ n g th ứ c tập h ọ p

Một tập hợp B được gọi là tập hợp con, hay tập con, của một t;tập

hợp A nếu mọi phần tử của B đều là phần tử của A Tronng trường hợp này ta dùng ký hiệu:

B c: A (đọc là: “Z? chứa trong A"), hoặc A 3 B (đọc là: “/4 bao hàm B").

Nói một cách dơn giản, tập hợp con của tập hợp A là tập h<iợp một bộ phận phần tử, hoặc tất cả các phần tử, của tập hợp / A

Nếu B c A và dồng thời A c B thì ta nói tập hợp n bằng tạập

hợp A và viết B = A Như vậy, đẳng thức tập hợp B = A có nghhĩa

là mọi phần tử của B đều là phần tử của A và ngược lại, innọi phần tử của A đều là phần tử của B Nếu tập hợp B không bằring

tập hợp A thì ta viết B & A Tập hợp B được gọi là tập con thhực

Chương 1' Tập hợpT Qunn hệ và L o g ic s w /J u & tr

sự của tập hợp A nếu B c A nhunç B * A Chẳng hạn, tập hợp

dân cư của Ihành phố Hà Nội là tập con thực sự của tập hợp dân

cư của nước Việt Nam

c B iểu đồ V en

Đổ dễ hình dung về tập hợp và mối liên hệ giữa các tập hợp, người ta dùng các tập hợp điểm của mặt phẳng để minh hoạ Thông thường ta xét các tập hợp phần tử của một tập hợp bao

trùm, gọi là không gian hay vũ trụ Tập không gian được mô tả

bằng tập hợp các điểm của một hình chữ nhật Mỗi tập hợp trong không gian được minh hoạ bằng một tập hợp điểm giới hạn bời một đường khép kín bên trong hình chữ nhật Cách minh hoạ

ước lệ như vậy được gọi là biểu đồ Ven Chẳng hạn, biểu đồ Ven

ở hình I mô tả hai tập hợp A và B, trong đó B là tập con của A

Hình 1: B là tập con của A

II CÁC PH ÉP TOÁN TẬP HỢP

a P hép hợ p và p h é p giao

Định nghía:

1 Hợp của hai tập hợp A và B là một tập hợp mà mỗi phần tử

của nó là phần tử của ít nhất một trọng hai tập hợp đó

2 Giao của hai tập hợp A và B là một tập hợp mà mỗi phần tử

của nó là phần tử của cả hai tập hợp A và B

Hợp của hai tập hợp A và B được ký hiệu là AuB:

.

ỉ h n r Kinh 1®ilẳ$ H É IÉ IIII QI!;!:#:plilIlliiiliffiliiSÎ il 9ỊiỊịR c lỊ ilyw rviliụ \ 118111111®$$!

TOẨN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TỂ

A u B = {0, 1,2, 3,4, 5,6, 8}, A n B = { 2 ,4 } Hình 2a và 2b là biểu đồ Ven về phép hợp và phép giao tập hcợp

Chương- 1’ Tệp hơỊX Qudn hệ — * - ° P * c SW' ỉuện

Chứng minh: Để chứng minh một đảng thức tập hợp, ta cần chỉ

ra rằng mỗi phần tử của tập hợp ờ vế trái đcu là phần tử của tập họp ờ vế phải và ngược lại, mỗi phần tử của tập hợp ờ vé phải đều là phần (ử của tập hợp ờ vế trái Chẳng hạn, đẳng thức (1.5) duợc chứng minh như sau:

Goi X là một phần tử bất kỳ của tập hợp Au(Bn,C) Theo định nghĩa phép hợp, điều này có nghĩa là x e A hoặc x e B n C Nếu

ra x e A u (B n C )

Việc chứng minh các đẳng thức còn lại dành cho bạn đọc

c P h ép tr ừ tập hợ p và p h ầ n bù của m ộ t tập hợp

Đinh nghĩa: Hiệu của tập hợp A và tập hợp B là tập hợp tất cả

các phần tử của tập hợp A không thuộc tập hợp B

Hiệu của tập hợp A và tập hợp B được ký hiệu là A\B:

A \B = { x : x e A v à x g B } Hình 3 là biểu đồ Ven về hiệu A\ B

Hình 3: A \B

Định nghĩa:

Phần bù của một tập hợp X trong không gian s là tập hợp tấft cả

các phần tử của không gian không thuộc tập hợp X

Phần bù của tập hợp X được ký hiệu là X Theo định nghĩa;, ta

d íới đây đều là phần tử của một không gian s.

TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ

TOÁN CAO r.ẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ

b S ố n g u yên

Trong phạm vi tập hợp số tự nhiên N ta có thể thực hiển hai phép toán số học cơ bản là phép cộng và phép nhân Tuy mhiên, các phép toán ngược của phép cộng và phép nhân (phép tri/ và phép chia) bị hạn chế Chẳng hạn, không tồn tại số tự nhién n sao cho 9 + n = 1 Để có thể thực hiện được phép trừ ngiưòi ta

m ở rộng hộ thống số tự nhiên bằng c ách bổ sung thêm các :SỐ:

• Số không: 0;

• Các số đối dấu với các số tự nhiên: -1 , -2 , -3, , - n , Các

số này được gọi là các số nguyên âm.

Các số nguyên dương, số 0 và các số nguyên âm được gọii là số

nguyên Tập hợp tất cả các số nguyên được ký hiệu là z :

Chương 1: Tệp họp, Q ư a n hê và Logic; suy ỉuậrĩ

chia) vãn bị hạn chế Chẳng hạn, không tồn tại số nguyên m sao cho 2m = 3 Để thực hiện được phép toán ngược của phcp nhân, người ta mở rộng hệ thống số nguyén thành hệ thống số hữu tỷ

Sô hữu tỷ là tỷ số của hai sô' nguyên Mỗi sô hữu tỷ được viết

dưởi dạng một phân số tối giản:

m

r = — ( m e z, n e N )

nNếu biểu diễn dưới dạng số thập phân thì số hữu tỷ là số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn Chẳng hạn

- = 1,25; — = 1,8333 ; — = -2,461538461538

Tập hợp tất cả các số hữu tỷ được ký hiệu là Q Số nguyên cũng

là số hữu tỷ (với mẫu số bằng 1), do đó z là một tập hợp concủa Q : Z c Q

d S ố thự c

Trong tập hợp số hữu tỷ ta có thể thực hiện cả bốn phép toán cộng, trừ, nhân, chia Các số hữu tỷ được sử dụng rộng rãi trong việc biểu diễn và phân tích các thông tin định lượng Tuy nhiên, tập hợp số hữu tỷ vẫn chưa đủ để đáp ứng các nhu cầu tính toán Chẳng hạn, độ dài của cạnh huyền của một tam giác vuông cân

có cạnh góc vuông bằng 1 không thể biểu diễn được bằng một

số hữu tỷ Để hoàn thiện hệ thống số, người ta bổ sung thêm các

số vô tỷ Nếu biểu diễn dưới dạng số thập phân thì số vô tỷ là sô'

thập phân vô hạn không tuần hoàn Chẳng hạn, số đo độ dài

cạnh huyền của tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng 1

là số vô tỷ:

V2 = 1,4142135623

Các số hữu tỷ và các số vô tỷ được gọi là số thực Tập hợp tất cả

các số thực được ký hiệu là R và tập hợp tất cả các số vô tỷ được ký hiệu là Q Ta có:

II BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CÁC s ố T H ựC

a G iá trị tu y ệ t đôi của s ố thự c

Định nghĩa: Giá trị tuyệt đối của một số thực X là số khìng âm

Bạn đọc cần ghi nhớ các tính chất cơ bản sau đây:

1 Với a là một số dương cho trước:

Chương 1: Tập họp, Quan hệ vá L o g ic suy luặn

Hướng của đường thẳng (theo chicu mũi tôn);

Một điểm o cỏ định, gọi là gốc toạ (ỉô\

Đơn vi đo đô dài

A o B

Trôn trục số lấy hai điểm A, B bất kỳ Độ dài hình học của đoạn thẳng AB (khoảng cách giữa A và B) cũng dược ký hiệu là AB

Định nghĩa: Độ dài đại số của đoạn thẳng AB trên trục số là

mỌt số thực, ký hiệu là AB và được xác định như sau:

• AB = AB nếu hướng từ A đến B cùng hướng của trục số;

• AB = -AB nếu hướng từ A đến B ngược hướng của trục số

Từ định nghĩa ta suy ra các tính chất cơ bản sau đây:

1 Với A và B là hai điểm bất kỳ trên trục số ta luôn có:

I ÃB | = AB, ÃB = -B Ã

2 Với A, B, c là ba điểm bất kỳ trên trục số ta luôn có:

AB + BC = AC

Việc chứng minh các tính chất trên dành cho bạn đọc

c B iểu diễn s ố thự c trên trụ c s ố

Trôn một trục số cho trước lấy một điểm M bất kỳ

Định nghĩa: Số thực X = OM được gọi là toạ độ của điểm M

Đê nói rằng điểm M trên trục số có toạ độ là số X ta viết: M(x).Như vậy, mỗi điểm M trên trục số được đặt tương ứng với một

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Ị

TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ

X cho tương ứng một điểm M trên trục số có toạ độ bằng X Đó

là điểm mà khoảng cách đến gốc toạ độ o bằng |x|, về phía bên

phải nếu X > 0, về phía bên trái nếu X < 0 và trùng với gốc toi( độ nếu X = 0.

Phcp tươnơ ứng một đối một nói trcn eiữa tất cả các điểm của

trục sô và tất cà các số thực cho phép ta đồng nhất số thực X với

điểm M(x) trên trục số Ta có thể dùng từ "điểm x" đổ gợi một

sô thực X Mỗi tập hợp số thực X c R là một tập hợp điểm của

trục số Trục số còn được gọi là dường thẳng thực.

d K hoảng cách g iữ a h a i điêrn trên trục s ố

Với A(a) và B(b) là hai điểm bất kỳ trên trục số, ta có:

ÃB = ÃÕ + ÕB = Õ B - Õ Ã = b - a

Từ đây ta suy ra công thức xác định khoảng cách giữa hai điểm A(a) và B(b) theo toạ độ của chúng:

AB = |Ăẽ| = |b - aị

III CÁC KHOẢNG SÔ THỰC

Khi biểu diễn và phân tích các thông tiri định lượng, người ta thường sử dụng các số thực trong phạm vi mộl tập hợp X c; K

Ta dùng từ tập số thực, hay tập số để chỉ các tập con cùa R

Các khoảng số thực là các tập sổ thực có cấu trúc đơn giản nhất

a K hoảng h ữ u hạ n

Với a và b là hai số thực cho irước (a < b), ta gọi tập hợp» tất cả

các sô thực X giữa a và b là một khoảng. Các số a và b đuĩỢ<; gọi

ỉà các đầu mút của khoảng số đó Nếu biểu diễn trên trục Sô' thì

một khoảng là một đoạn thẳng nối hai điểm A(a) và B(fc')- Khi xét inột khoảng sô ta co thể tí’ 'i cả các đầu mút hoặc khỏing Để phân hiệt điểu đó ta dùng các ký hiệu như sau:

18, f Trưởng Đậì học Kính tế Quốc dân

i r ' T ! 4* * ■

Chương 1: Tập họp, Quan hệ và L o g ic s u y luận

Như vậy, khoảng (x0 - r; x 0 + r) là tập hợp tất cả các điểm X có

khoảng cách đến điểm x0 nhỏ hơn r Ta gọi khoảng đó là lân cận

bán k ín h r của đ iể m X và ký hiệu là Vr(x0):

IV TẬP HƠP Bĩ CHẶN

a K h á i niệm tập hợp bị chặn

Một Tập số thực X c R được gọi là bị cliặn trên nếu tồn tại số

thirc b sao cho VỚI mọi x e X ta luôn có: X < b Sô' b được gọi là

cận tren của tập X.

Một tập sỏ íhực X c K được gọi lì' 'hặn dưới nếu tổn tại sô

thực a sao cho với mọi x e X ta luôn X > a Số a được gọi là

cận dưới của tập X.

Một târ số thực X c R được gọi Ị à bị in nếu nó đổng thời bị

chạn trẽn và bi chặn dưới, tức ]à tốn tại các sô thực a và b sao

cho với moi X s X ta luôn cổ: a < X < b Nói cách khác, tập hợp X

được gọi lá bị chặn nếu tồn tại đoạn Ịa; b] sao cho X c[a; bj

Vỉ dự: Các khoảng hữu hạn là các tập bị chặn Các khoảng

(a;+ co), fa; 400) là các tập bị chặn dưới, nhưng không bị chặn

trên Các khoảng ( -00; b), (—00; b| là các tập bị chặn trên, nhưng không bị chặn dưới

b C ận trên đ ú n g và cận dưới đ ú n g

Định nghĩa: Cận trên nhỏ nhất (cận duới lớn nhất) của một tập

hợp bị chặn trên (tập hợp bị chặn dưới) được gọi là cận trên đúng (cận dưới dún%) của tập hợp đó.

Cận tren đúng của tập X được ký hiệu là supX;

Cận dưới đúng của tập X được ký hiệu là infX

Từ định nghĩa suy ra:

SupX = b khi và chỉ ỉ hi thoả mãn hai điều kiện:

• X < b với mọi X e X (b là một cận trên của X);

• Với mọi số b' < b luôn tổn tại số x0€ X sao cho x0 > b ’ (mọi

số b ’ < b không phải là c.Ịn trẻn của X)

Ví dụ: Tập hợp X = (a, b) có cận trên đúng là số b.

Tliột vạv, hiển nhiên là X < h với moi X e(a , h) Mặt kỉ lác, với

moi số b' < b thì K = (a; b ) o ( b '; b) # 0 do dó tổn Tại x0eK

Sô x06 K là số thoả mãn điểu kiện x0e (a, b) và x0 > b' Vậy cả

hai điều kiện nêu trên đều thoả mãn, do đó sup(a; b) = b.

Tương tự, in fx = a khi và chỉ khi thoả mãn hai điều kiện sau:

• X > a với mọi X 6 X (a là một cận dưới của X);

• Với mọi số a’ > a luôn tổn tại số x0e X sao cho x0 < a’ (mọi

số a’ > a không phải là cận dưới của X )

Ví dụ: Bạn đọc hãy tự kiểm tra hai điều kiện trên để khẳng định

rằng cận dưới đúng của khoảng (a; b) bằng a: inf(a; b) = a.

Trong toán học níĩười ta đã chứng minh định lý sau đây:

Định lý: Mọi tập số thực X * 0 b Ị chận trên (bị chặn dưới) đều

có cận trên đúng (cận dưới đúng)

c S ố Cực đại và s ố cực tiểu

Cận trên đúng và cận dưới đúng của một tập số thực X có thể thuộc hoặc không thuộc tập hợp X Chẳng hạn:

Với X = [a, b): supX = bgX, infX = aeX;

Với Y = (a; b]: supY = beY, infY = aểY

Định nghĩa: Nếu supX = b và b € X thì số b được gọi là số cực

đại, hay số lớn nhất, của tập hợp X Tương tự, nếu infX = a và

ac-X thì số a được gọi là số cực tiểu, hay sô' nhỏ nhất, của tập

TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KỈNH TỂ:

* Tập (a; b) khỏnu có số lớn nhất và số nhỏ nhất.

§3 QUAN HỆ

1 I ÍCH DES CARTES

Đinh nghĩa: Tích Des Cartes của hai tập hợp X và Y là tập hợp

tát ca các cặp có thứ tự (x, y), trong đó X là một phần tử của tập

X và \ là một phấn tử của tập Y

1 ¡oh Des L ancs cùa X và Y được gọi tắt là tích của ỵ và Y Ta

kv hiệu tích của hai tập hơp X và Y là XxY:

XxV - ị(x, y): xcX và yeY}.

Chú v: Ký hiệu (x, y) chỉ một cặp có thứ tic X là phần tử dứng

trước, y là phần tử đứng sau Với X và y là hai phần tử khác rihau

thì (x, y) và (v, x) là hai cặp có thứ tư khác nhau Từ hai tập hợp

X và Y ta có hai tập tích: XxY và YxX

Vi dụ: Với X = {x, y, zị, Y = {a, b}, ta có:

X xY = {(x, a), (x, b), (y, a), (y, b), (z, a), (z, b)};

YxX = {(a, x), (b, x), (a, y), (b, y), (a, z), (b, z ) }

Trên đây là định nghĩa tích Des Cartes của hai tập hợp Tích Des

Cartes của n tập hợp được định nghĩa tương tự như sau:

Định nghĩa: Tích của n tập tậo hợp X/, X2, , X là tập hợp tất

cả các bộ n phần tử có thứ tự (Xị, Xi, , xn), trong đó xk là phần

tử của tập hập Xk (k = 1, 2 , , n)

Tích của các tập hợp Xj, x 2, , Xn được ký hiệu tương tự:

X,x X2x xX,, = {(x|, x2, , xn): XjgXj, x ,e X 2, , x „ e X j Đặc biệt, khi X|= X2= • • • = x„ = X, tích XxXx.,.xX (n lần) dược

ký hiệu là X":

x n = {(x„ x2, , xn): x,eX , x2e X , , xn€X)Ị

Ch ương 1: Tệp họp, Quan hệ và L o g ic su y luận

II Q U A N HỆ

ữ K hái niệm quan ỉìệ

Theo nghĩa thõng thường, quan hệ trong một táp hựp là một tính

chát đặc trưng hay một quy ước liên két các phán (ừ cùa tạp hợp

đó Quan hệ hai ngôi lien kết các phần tử theo từns cặp Chẳng hạn, quan hệ hỏn nhân trong cộne đổng ngưừi lien kết hai người

có (lăng ký kết hôn; quan hệ chia hết liên kết các số nguyên theo thừng cặp (p, q), trong đó p là số chia hết cho q Nói một cách khái quát, một quan hệ hai ngói (p trong tập hợp X là một quy

tắc xác định những cặp phần tử (x, y) có quan hộ với nhau theo

quy tác đó Nếu xem mỗi cặp phần tử (x, y) của tập hợp X là

mộl phần từ của tập tích X 2 thì một quan hệ ọ xác định một tập hợp í > c X 2 Ta có thể đổng nhất quan hệ ọ với tập COI1 o của lập

tích X2

Định nghĩa: Quan hệ hai nqôi trong tập hợp X là một tập con

của tập hợp X2

Ví dụ:

• Trong tệp hơp ní>ười X 0'ian hệ cha con là »âp hơp

( (x, y): X e X , y e X , X là cha cua y } c X

• Trong tập.hợp Svi thực E , quan hệ “không nhỏ hơn” là tập

hợp:

{(x, y): x e R, y e M, X > y } c R 2.

• Trong tập hợp tẩt cả các tam giác quan hộ “đổng dạng” làtập họp các cập tam giác (A, A’) mà A đổng dạng với A \

b Q uan hệ tương đương

Cho C>cX2 là một quan hê trong tập hợp X Nếu (x, y)€<t> thì ta

nói phẩn tử X có quan hệ O với pliấn tử V và viết: xOy.