Bài giảng toán cao cấp A2

LÊ BÁ LONG Ths... Ch ng II: Không gian véc t.. Ch ng VII: Không gian véc t Euclide và d ng toàn ph ng... là không gian véc t.

BÀI GI NG

TOÁN CAO C P (A2)

Biên so n : Ts LÊ BÁ LONG

Ths PHI NGA

L u hành n i b

HÀ N I - 2006

Toán cao c p A1, A2, A3 là ch ng trình toán đ i c ng dành cho sinh viên các nhóm ngành toán và nhóm ngành thu c kh i k thu t N i dung c a toán cao c p A1, A3 ch y u là phép tính

vi tích phân c a hàm m t ho c nhi u bi n, còn toán cao c p A2 là các c u trúc đ i s và đ i s tuy n tính Có khá nhi u sách giáo khoa và tài li u tham kh o vi t v các ch đ này Tuy nhiên

v i ph ng th c đào t o t xa có nh ng đ c thù riêng, đòi h i h c viên làm vi c đ c l p nhi u

h n, do đó c n ph i có tài li u h ng d n h c t p thích h p cho t ng môn h c T p tài li u h ng

d n h c môn toán cao c p A2 này đ c biên so n c ng nh m m c đích trên

T p tài li u này đ c biên so n theo ch ng trình qui đ nh n m 2001 c a H c vi n Công ngh B u Chính Vi n Thông N i dung c a cu n sách bám sát các giáo trình c a các tr ng đ i

h c k thu t, giáo trình dành cho h chính qui c a H c vi n Công ngh B u Chính Vi n Thông biên so n n m 2001 và theo kinh nghi m gi ng d y nhi u n m c a tác gi Chính vì th , giáo trình này c ng có th dùng làm tài li u h c t p, tài li u tham kh o cho sinh viên c a các tr ng, các ngành đ i h c và cao đ ng

Giáo trình đ c trình bày theo cách thích h p đ i v i ng i t h c, đ c bi t ph c v đ c l c cho công tác đào t o t xa Tr c khi nghiên c u các n i dung chi ti t, ng i đ c nên xem ph n

gi i thi u c a m i ch ng c ng nh m c đích c a ch ng (trong sách H ng d n h c t p Toán

A2 đi kèm) đ th y đ c m c đích ý ngh a, yêu c u chính c a ch ng đó Trong m i ch ng, m i

n i dung, ng i đ c có th t đ c và hi u đ c c n k thông qua cách di n đ t và ch ng minh rõ ràng c bi t b n đ c nên chú ý đ n các nh n xét, bình lu n đ hi u sâu h n ho c m r ng t ng quát h n các k t qu H u h t các bài toán đ c xây d ng theo l c đ : t bài toán, ch ng minh

s t n t i l i gi i b ng lý thuy t và cu i cùng nêu thu t toán gi i quy t bài toán này Các ví d là

đ minh ho tr c ti p khái ni m, đ nh lý ho c các thu t toán, vì v y s giúp ng i đ c d dàng

h n khi ti p thu bài h c

Giáo trình g m 7 ch ng t ng ng v i 4 đ n v h c trình (60 ti t):

Ch ng I: Lô gích toán h c, lý thuy t t p h p, ánh x và các c u trúc đ i s

Ch ng II: Không gian véc t

Ch ng III: Ma tr n

Ch ng IV: nh th c

Ch ng V: H ph ng trình tuy n tính

Ch ng VI: Ánh x tuy n tính

Ch ng VII: Không gian véc t Euclide và d ng toàn ph ng

Ngoài vai trò là công c cho các ngành khoa h c khác, toán h c còn đ c xem là m t ngành khoa h c có ph ng pháp t duy l p lu n chính xác ch t ch Vì v y vi c h c toán c ng giúp ta rèn luy n ph ng pháp t duy Các ph ng pháp này đã đ c gi ng d y và cung c p

th ng hoá l i N i dung c a ch ng I đ c xem là c s , ngôn ng c a toán h c hi n đ i M t vài n i dung trong ch ng này đã đ c h c ph thông nh ng ch v i m c đ đ n gi n Các

c u trúc đ i s thì hoàn toàn m i và khá tr u t ng vì v y đòi h i h c viên ph i đ c l i nhi u

l n m i ti p thu đ c

Các ch ng còn l i c a giáo trình là đ i s tuy n tính Ki n th c c a các ch ng liên h

ch t ch v i nhau, k t qu c a ch ng này là công c c a ch ng khác Vì v y h c viên c n th y

đ c m i liên h này c đi m c a môn h c này là tính khái quát hoá và tr u t ng cao Các khái ni m th ng đ c khái quát hoá t nh ng k t qu c a hình h c gi i tích ph thông Khi

h c ta nên liên h đ n các k t qu đó

Tuy r ng tác gi đã r t c g ng, song vì th i gian b h n h p cùng v i yêu c u c p bách c a

H c vi n, vì v y các thi u sót còn t n t i trong giáo trình là đi u khó tránh kh i Tác gi r t mong

s đóng góp ý ki n c a b n bè đ ng nghi p, h c viên xa g n và xin cám n vì đi u đó

Cu i cùng chúng tôi bày t s cám n đ i v i Ban Giám đ c H c vi n Công ngh B u Chính Vi n Thông, Trung tâm ào t o B u Chính Vi n Thông 1 và b n bè đ ng nghi p đã khuy n khích đ ng viên, t o nhi u đi u ki n thu n l i đ chúng tôi hoàn thành t p tài li i này

Hà N i, cu i n m 2004

Ts Lê Bá Long

Khoa c b n 1

H c Vi n Công ngh B u chính Vi n thông

2 Phép h i (conjunction): H i c a hai m nh đ p, q là m nh đ đ c ký hi u p ∧ q (đ c

là p và q) M nh đ p ∧ q ch đúng khi p và q cùng đúng

3 Phép tuy n (disjunction): Tuy n c a hai m nh đ p, q là m nh đ đ c ký hi u p ∨ q

(đ c là p ho c q) p ∨ q ch sai khi p và q cùng sai

4 Phép kéo theo (implication): M nh đ kéo theo , ký hi u , là m nh đ ch sai khi

p đúng sai q

5 Phép t ng đ ng (equivalence): M nh đ ( p ⇒ q ) ∧ ( q ⇒ p )đ c g i là m nh đ

p t ng đ ng , ký hi u q p ⇔ q

M t công th c g m các bi n m nh đ và các phép liên k t m nh đ đ c g i là m t công

th c m nh đ B ng li t kê các th hi n c a công th c m nh đ đ c g i là b ng chân tr

T đ nh ngh a c a các phép liên k t m nh đ ta có các b ng chân tr sau

1 0

0 1

p p

0 0

0 0

1 0

1 0

1 0

0 1

1 1

1 1

q p q p q

1 0

0

1 1

0

0 0

1

1 1

1

q p q

1 1

1 0

0

0 0

1 1

0

0 1

0 0

1

1 1

1 1

1

q p p q q p q

Nh v y p ⇔ q là m t m nh đ đúng khi c hai m nh đ p và q cùng đúng ho c cùng sai và m nh đ p ⇔ q sai trong tr ng h p ng c l i

M t công th c m nh đ đ c g i là h ng đúng n u nó luôn nh n giá tr 1 trong m i th hi n

c a các bi n m nh đ có trong công th c Ta ký hi u m nh đ t ng đ ng h ng đúng là "≡" thay cho "⇔"

6) M nh đ p ∨ p luôn đúng lu t bài chung

p ∧ p luôn sai lu t mâu thu n

7) p ∨ q ≡ p ∧ q

h p trong lý thuy t t p h p là gi ng v i khái ni m "đ ng th ng", "đi m" và quan h đi m trên

đ ng th ng đ c xét trong hình h c Nói m t cách nôm na, ta có th xem t p h p nh m t s t

t p các v t, các đ i t ng nào đó mà m i v t hay đ i t ng là m t ph n t c a t p h p Có th l y

ví d v các t p h p có n i dung toán h c ho c không toán h c Ch ng h n: t p h p các s t nhiên là t p h p mà các ph n t c a nó là các s 1,2,3 , còn t p h p các cu n sách trong th vi n

c a H c vi n Công ngh B u chính Vi n thông là t p h p mà các ph n t c a nó là các cu n sách

Hàm m nh đ trên t p h p D là m t m nh đ S (x ) ph thu c vào bi n x ∈ D Khi cho

bi n x m t giá tr c th thì ta đ c m nh đ lôgích (m nh đ ch nh n m t trong hai giá tr ho c đúng ho c sai)

N u S (x )là m t m nh đ trên t p h p D thì t p h p các ph n t x ∈ D sao cho S (x )đúng đ c ký hi u { x ∈ D S (x ) } và đ c g i là mi n đúng c a hàm m nh đ S (x )

i) Xét hàm m nh đ S (x ) xác đ nh trên t p các s t nhiên : "x2 + 1 là m t s nguyên

t " thì S ( 1 ), S ( 2 ) đúng và S ( 3 ), S ( 4 ) sai

3 Hi u c a hai t p: Hi u c a hai t p A và B, ký hi u A \ B hay A − B, là t p g m các

ph n t thu c A nh ng không thu c B

c) Ng i ta m r ng khái ni m l ng t t n t i v i ký hi u ∃ ! x ∈ D , S ( x ) (đ c là t n t i duy nh t x ∈ D , S ( x )) n u DS (x)có đúng m t ph n t

:

; 0 ,

0 )

(

I i i

Cho là n t p h p nào đó, ta đ nh ngh a và ký hi u tích các c a n t p

h p này nh sau:

n

X X

X1, 2, ,

{ x x x x X i n }

X X

x x x

x x

x , , n) ( ' , , 'n) i 'i, 1 , ,

4 Tích các c a các t p h p không có tính giao hoán

1.2.7.2 Quan h hai ngôi

nh ngh a 1.5: Cho t p X ≠ φ, m i t p con R ⊂ X × X đ c g i là m t quan h hai ngôi trên X V i x , y ∈ Xmà ( x , y ) ∈ R ta nói xcó quan h v i y theo quan h Rvà ta

Ví d 1.8: R1 ph n đ i x ng, b c c u nh ng không đ i x ng, không ph n x (vì 0 không chia h t cho 0) R2 đ i x ng, không ph n x , không ph n x ng, không b c c u 3R ph n x ,

T p t t c các l p t ng đ ng đ c g i là t p h p th ng, ký hi u X ~ V y

{ x x X }

Ví d 1.9: Quan h R4 trong ví d 1.7 là m t quan h t ng đ ng g i là quan h đ ng

d môđulô m trên t p các s nguyên N u x ~ y, ta vi t

2) Trong quan h " xM y " là m t quan h th t

3) Trong P ( X ), t p h p t t c các t p con c a X , quan h "t p con" (A ⊂ B) là m t quan h th t

Khái ni m quan h th t đ c khái quát hoá t khái ni m l n h n (hay đ ng sau) trong các t p s , vì v y theo thói quen ng i ta c ng dùng ký hi u "≤ " cho quan h th t b t k Quan h th t "≤ " trên t p X đ c g i là quan h th t toàn ph n n u hai ph n t b t

k c a X đ u so sánh đ c v i nhau Ngh a là v i m i x , y ∈ X thì x ≤ y ho c y ≤ x Quan

h th t không toàn ph n đ c g i là quan h th t b ph n

T p X v i quan h th t "≤ " đ c g i là t p đ c s p N u là quan h th t toàn ph n thì

Hi n nhiên r ng n u q là m t ch n trên c a A thì m i p ∈ X mà q ≤ p đ u là ch n trên c a A

Ph n t ch n trên nh nh t q c a A ( theo ngh a q ≤ q ', v i m i ch n trên q ' c a A)

đ c g i là c n trên c a A và đ c ký hi u q = sup A Rõ ràng ph n t c n trên n u t n t i là duy nh t

đ c g i là nh c a A qua ánh x f

Nói riêng f ( X ) = Im f đ c g i là t p nh hay t p giá tr c a f

{ x X f x B B

trong đó ta xem x là n và y là tham bi n

♦ N u v i m i y ∈ Y ph ng trình (1.10) luôn có nghi m x ∈ X thì ánh x f là toàn ánh

♦ N u v i m i y ∈ Yph ng trình (1.10) có không quá 1 nghi m x ∈ X thì ánh x f

là đ n ánh

♦ N u v i m i y ∈ Y ph ng trình (1.10) luôn có duy nh t nghi m x ∈ X thì ánh x

f là song ánh

nh ngh a 1.13: Gi s f : X → Y là m t song ánh khi đó v i m i y ∈ Y t n t i duy

nh t x ∈ X sao cho y = f (x ) Nh v y ta có th xác đ nh m t ánh x t Y vào X b ng cách cho ng m i ph n t y ∈ Y v i ph n t duy nh t x ∈ X sao cho y = f (x ) Ánh x này đ c

= f x x x y

x a

x x i x

X A

i

=

→

)(

:

a

x x p

X

=)( ~a

2 :

sin

sin

1

; 1 2

; 1 : arcsin

a

π π

x y

→

→ thì t ng ng x a g ( f ( x )) xác đ nh m t ánh x t X vào Z đ c g i là h p (hay tích) c a hai ánh x f và g, ký hi u g o f V y

Z X

f

g o : → có công th c xác đ nh nh

)) ( ( )

2 ) ( ,

) 4 2

n X có n ph n t n còn đ c g i là b n s c a X , ký hi u Card X hay X Quy c l c l ng c a φ là 0

1.4 GI I TÍCH T H P- NH TH C NEWTON

1.4.1 Hoán v , phép th

Cho t p h u h n E = { x1, x2, xn} M i song ánh t E lên E đ c g i là m t phép

th , còn nh c a song ánh này đ c g i là m t hoán v n ph n t c a E

N u ta x p các ph n t c a E theo m t th t nào đó thì m i hoán v là m t s đ i ch các ph n t này

) 2 ( ) 1 (

2 1

n

n

σ σ

σ σ

trong đó hàng trên là các s t 1 đ n s p theo th t t ng d n, hàng d i là nh t ng

4 3 2 1

Ví d 1.24: Cho n v t E = { x1, x2, , xn} và ti n hành b c có hoàn l i p l n theo cách sau: B c l n th nh t t t p E đ c , ta tr l i cho

Có n cách ch n vào v trí th nh t, n − 1 cách ch n vào v trí th hai, và n − p + 1cách ch n vào v trí th p V y s các ch nh h p n ch p p là

)!

(

! )

1 ) (

1 (

p n

n p

n n

n

An p

−

= +

A C

p n p

Ví d 1.25: a) Có bao nhiêu cách b u m t l p tr ng, m t l p phó và m t bí th chi đoàn

mà không kiêm nhi m c a m t l p có 50 h c sinh

b) Có bao nhiêu cách b u m t ban ch p hành g m m t l p tr ng, m t l p phó và m t bí

th chi đoàn mà không kiêm nhi m c a m t l p có 50 h c sinh

! 47

! 3

! 50

x

n n n

n n n n n

A B A

Ví d 1.26: Cho m ch đi n

a) Có bao nhiêu tr ng thái c a m ch

b) Có bao nhiêu tr ng thái có th c a m ch đ có dòng đi n ch y t A đ n B

Gi i:

Áp d ng công th c nhân ta có:

a) S các tr ng thái c a m ch 22 23 24 = 29 = 512

b) có tr ng thái nh ng có 1 tr ng thái dòng đi n không qua đ c, do đó

có 3 tr ng thái dòng đi n qua đ c T ng t có

1

2

U 23 − 1 và có tr ng thái dòng đi n qua đ c V y s các tr ng thái c a m ch có dòng đi n ch y t A đ n B là

2

2

) 2 )(

1 ( 9

− ⋅ ⋅ n = − − ⋅ ⋅ n

n

n n

S d ng công th c c ng ta suy ra s các s t nhiên c n tìm là:

33

2 4 ( 1 )( 2 ) 9 ( 4 1 )( 1 ) 9 9

Ví d 1.28: Trong m t ph ng cho đ ng th ng đôi m t c t nhau và các giao đi m này khác nhau

n

) 4 ( n ≥

b) Xét t i đi m A b t k trong giao đi m c a câu a) T n t i đúng hai đ ng trong n

đ ng trên đi qua

2

n

C

A là Di, Dj; i < j Trên m i đ ng có đúng n − 1 đi m trong s Cn2 giao đi m c a câu a)

V y trên D ,i Dj có 2 ( n − 1 ) − 1đi m, do đó có

2

) 3 )(

2 ( ) 1 ) 1 ( 2 (

2 )(

1 ( 8

1 2

) 3 )(

2 ( 2

A Y X E Y

p n

Ví d 1.31: Phép c ng véc t theo quy t c hình bình hành là phép toán trong c a t p các véc t t do trong không gian, nh ng tích vô h ng không ph i là phép toán trong vì

3

R

3

) , cos( u v R v

Ch ng minh:

1) Gi s và e e ' là hai ph n t trung hoà thì e ' = ' e ∗ e = e (d u "=" th nh t có đ c do

là ph n t trung hoà, còn d u "=" th hai là do là ph n t trung hoà)

"

' )

"

( '

Theo thói quen ta th ng ký hi u các lu t h p thành trong có tính giao hoán b i d u "+ ", khi đó ph n t trung hoà đ c ký hi u là 0 và ph n t đ i c a x là − x N u ký hi u lu t h p thành b i d u nhân "." thì ph n t trung hoà đ c ký hi u 1 và g i là ph n t đ n v , ph n t đ i

) ( ) ( ) ( :

z y z x z y x A z y

N u tho mãn thêm đi u ki n:

A4: Lu t nhân có tính giao hoán thì ( A , + , ⋅ ) là vành giao hoán

A5: Lu t nhân có ph n t đ n v là 1 thì ( A , + , ⋅ ) là vành có đ n v

Chú ý 1.6:

1) T n t i vành giao hoán nh ng không có đ n v và ng c l i

2) Ta nói t t vành A thay cho vành ( A , + , ⋅ )

nh ngh a 1.25:

1) Ph n t x ≠ 0 c a A đ c g i là c c a n u t n t i 0 y ∈ A , y ≠ 0 sao cho 0

2) Ký hi u là t p h p các hàm liên t c trên đo n Ta đ nh ngh a phép c ng

và phép nhân trong xác đ nh nh sau:

]

; [a b

]

; [a b

C

) ( ) ( ) ( );

( ) ( ) )(

( :

x

y

x + ≡ + và xy ≡ x ' y ' (mod n ) Vì v y ta có th đ nh ngh a phép c ng và phép nhân trong n b i:

y x y

Ch ng h n 5 (mod 7 ) + 4 (mod 7 ) = 2 (mod 7 )

) 7 (mod 6 ) 7 (mod 1 ) 7 (mod 4 ) 7 (mod

V i hai phép toán này ( n, + , ⋅ ) là m t vành giao hoán có đ n v

Rõ ràng r ng m i tr ng là vành nguyên, nh ng đi u ng c l i không đúng ( , + , ⋅ ) là

m t ví d v vành giao hoán nguyên có đ n v nh ng không ph i là tr ng

Ví d 1.34: ( , + , ⋅ ), ( , + , ⋅ ), ( , + , ⋅ ) là tr ng

Ví d 1.35: ( n, + , ⋅ ) là tr ng khi và ch khi n là s nguyên t

Gi i:

Gi s n là s nguyên t và m ∈ n, m ≠ 0 (mod n ) thì do đó t n t i hai

s nguyên sao cho ( nh lý Bezout)

1 ) , ( m n =

c b a c b a c b a c b

a ∨ ( ∨ ) = ( ∨ ) ∨ , ∧ ( ∧ ) = ( ∧ ) ∧

• B2: ∨, ∧ có tính giao hoán, ngh a là v i m i a , b ∈ B

a b b a a b b

b

a , , ∈

) ( ) ( ) ( ), (

) ( )

max( b a b

b

a a

a

b a

b a

1 1

1 1

1 1 1 1

1

1 0

0

1 0

∨

b b

b

a a a

b a

b a

0 0

0 0

1 0 1

0 0 0 0 0

1 0

∧

a b

b a

0 1

1 0 '

thì ( B4, ∨ , ∧ , ' ) là đ i s Boole

nh ngh a 1.28: Hai công th c Boole trong đ i s Boole ( B , ∨ , ∧ , ' ) đ c g i là đ i ng u

n u trong m t công th c ta thay ∨ ,∧ , 0 , 1 , b ng ∧ ,∨ , 1 , 0 thì ta đ c công th c hai

Ví d 1.39: Hai công th c x ∧ y ( ∨ 1 ) và x ∨ y ( ∧ 0 ) là đ i ng u

Trong m i tiên đ c a h tiên đ B1-B5 c a đ i s Boole đ u ch a t ng c p công th c đ i

ng u nhau, vì v y ta có nguyên lý đ i ng u sau:

Nguyên lý đ i ng u: N u m t công th c c a đ i s Boole đ c ch ng minh là đúng d a trên c s h tiên đ B1-B5 thì công th c đ i ng u c a chúng c ng đúng

Ch ng h n, ta s ch ng minh a ∨ 1 = 1, do đó theo nguyên lý đ i ng u ta c ng có

B b

Áp d ng các tính ch t này cùng v i h tiên đ B1-B5 ta có th đ n gi n hoá các công th c Boole b t k

Ví d 1.40: n gi n hoá công th c Boole ( x ∧ y ) ∨ ( x ∧ y ' ) ∨ ( x ' ∨ y )

Gi i:

Ta có ( x ∧ y ) ∨ ( x ∧ y ' ) = x ∧ ( y ∨ y ' ) = x ∧ 1 = x

) ' ( ) ' ( ) ( x ∧ y ∨ x ∧ y ∨ x ∨ y

1.6.2 ng d ng đ i s Boole vào m ng chuy n m ch (switching networks)

Ta ch xét các m ng g m các chuy n m ch có hai tr ng thái đóng (dòng đi n đi qua đ c)

và m (dòng đi n không qua đ c) Hai m ng đ n gi n nh t là m ng song song c b n (basic parallel network) và m ng n i ti p c b n (basic series network) đ c mô t trong hình v sau:

m t chuy n m ch đ c ký hi u là x thì chuy n m ch kia đ c ký hi u là x '

M ng song song (hình 1) nh n giá tr 1 khi có ít nh t m t trong hai chuy n m ch x, y nh n giá tr 1, ta ký hi u x ∨ y Còn m ng n i ti p (hình 2) nh n giá tr 1 khi c hai chuy n m ch

y

x, nh n giá tr 1, ta ký hi u x ∧ y Nh v y x ' , x ∨ , y x ∧ y có th đ c xem nh các bi n

nh n giá tr trong đ i s Boole B2 (ví d 1.37) B ng ph ng pháp này ta có th mô t m t m ng

b t k b i m t công th c Boole và ng c l i Ch ng h n m ng sau đây:

Ta có ( x ∧ ) w ∨ w = w (lu t h p thu), do đó công th c trên có th bi n đ i thành

) (

) ( x ∧ z ∨ x ∧ y = x ∧ z ∨ y

1.6.4 Thi t k m t m ng tho mãn các đi u ki n cho tr c

Ví d 1.45: Thi t k m t m ng đi n cho m t bóng đèn c u thang mà có th b t t t c hai

đ u c u thang

Gi i:

G i x và là hai công t c hai đ u c u thang Theo yêu c u đ t ra ta c n thi t k m t

m ng đi n sao cho khi thay đ i tr ng thái c a m t trong hai v trí

y

y

x, thì tr ng thái c a đ u ra (bóng đèn) ph i thay đ i

Ta bi t r ng, m i m nh đ logic c ng nh n hai giá tr , vì v y ta có th xem m nh đ nh

m t bi n nh n giá tr trong B2 (ví d 1.37) Ta bi t r ng m nh đ x ⇔ y ch a hai m nh đ

y

x, và m nh đ này thay đ i giá tr khi m t trong hai m nh đ x hay thay đ i giá tr M c dù

m nh đ

y y

x ⇔ hay ( x ⇒ y ) ∧ ( y ⇒ x ) không ph i là công th c Boole nh ng nó có công

th c t ng đ ng d i d ng công th c Boole ( x ' ∨ y ) ∧ ( y ' ∨ x ) Ta có:

[ ' ( ' ) ] [ ( ' ) ] ( ' ' ) ( ) )

' ( )

V V K

α

α, )a(

⋅

v u v u

V V V

Khi K = thì V đ c g i là không gian véc t th c

Khi K = thì V thì đ c g i là không gian véc t ph c

Các ph n t c a V đ c g i là các véc t , các ph n t c a K đ c g i là các ph n t

vô h ng

B n tiên đ đ u ch ng t ( V , + ) là nhóm Abel Tiên đ V5),V6) nói r ng phép nhân s vô

h ng v i véc t phân ph i đ i v i phép c ng c a s vô h ng và phép c ng véc t Tiên đ V7)

là tính k t h p c a tích các s vô h ng v i phép nhân v i véc t

Ví d 2.1: T p các véc t t do trong không gian (trong đó ta đ ng nh t các véc t

t ng đ ng: các véc t cùng ph ng, cùng h ng, cùng đ dài) Xét phép c ng hai véc t theo quy t c hình bình hành và tích m t s th c v i m t véc t theo ngh a thông th ng thì là không gian véc t th c

n

) 0 , , 0 (

n

P

0

+ +

a a t a t

a a p p P

2) Do tính k t h p c a phép c ng nên ta có th đ nh ngh a theo qui n p:

n n

n n

T đây tr đi ta ch h n ch xét các không gian véc t th c

2.2 KHÔNG GIAN VÉC T CON

2.2.1 nh ngh a và ví d

nh ngh a 2.2: Gi s ( V , + ,.) là không gian véc t T p con W ≠ φ c a V sao cho hai phép toán t V thu h p vào W tr thành không gian véc t (tho mãn các tiên đ V1-V8) thì

W đ c g i là không gian véc t con c a V (hay nói t t: không gian con c a V )

nh lý sau đây ch ra r ng n u 2 phép toán trong V có th thu h p đ c vào W thì các tiên đ V1-V8 luôn tho mãn, do đó W là không gian véc t con c a V

nh lý 2.2: Gi s W là t p con khác r ng c a V Ba m nh đ sau đây t ng đ ng: (i) W không gian véc t con c a V

đ V3), các tiên đ còn l i hi n nhiên đúng V y W là không gian véc t con c a V

Ví d 2.6: T đ nh lý trên ta th y r ng m i không gian véc t con c a V đ u ph i ch a véc

t 0 c a V H n n a t p { } 0 ch g m véc t không và chính V c ng là các không gian véc t con c a V

212

Ví d 2.9: Pn là không gian con c a Pm n u n ≤ m, trong đó là không gian các đa

th c b c

n

P n

≤

2.2.2 Không gian con sinh b i m t h véc t

nh lý 2.3: N u ( ) Wi i∈I là h các không gian con c a V thì c ng là không gian con c a

I

I i i

W

∈

V

Ch ng minh: Áp d ng nh lý 2.2 ta d dàng suy ra đi u c n ch ng minh

T nh lý 2.3 suy ra r ng v i m i t p con S b t k c a V luôn t n t i không gian con

bé nh t c a

W V ch a S Wchính là giao c a t t c các không gian con c a V ch a S

nh ngh a 2.4: Không gian W bé nh t ch a S đ c g i là không gian sinh b i h S, ký

"

V ch a S V y W ' = W = span S

2.2.3 T ng c a m t h không gian véc t con

Gi s W , ,1 Wn là n không gian con c a V S d ng đ nh lý 2.2 ta ch ng minh đ c t p

{ u1+ + un∈ V ui∈ Wi, i = 1 , , n } c ng là m t không gian véc t con c a V Ta g i không gian véc t con này là t ng c a các không gian con W , ,1 Wn và ký hi u W1+ + Wn