Bài tập toán cao cấp tập 1 part 7 ppt

qua trinh truc giao héa Gram-Smidt thi sé duge ba vecto true chuẩn không nhất thiết trùng với ba vectơ trên.. Ta phải xây dung hai vectơ trực chuẩn là tổ hợp tuyến tínt cla uw, va uw...

®

Vì

1 wll = 4 vist 60 - Ý5525

true giao va chudn hea, tao thành một cơ sở trực chuẩn của R?

Chú ý Nếu sử dụng tuần tự u, r6i u, roi moi dén u, trong

qua trinh truc giao héa Gram-Smidt thi sé duge ba vecto true

chuẩn không nhất thiết trùng với ba vectơ trên Đơ là ie

( > ¥53° wes) ( * ¥11925 ° Tiss) 5.47 Dat uw, = (0, 1, 2), uw) = (-1, 0, 1)

Ta phải xây dung hai vectơ trực chuẩn là tổ hợp tuyến tínt

cla uw, va uw

w= uy, + ty

236

“of

trực giao với u¡ Từ

0= <ư, 0> = <u; + ÈUỊ, Uị>

= <u¿, 0ị> TÍ <0i, 0> = <u;, 0> +ỉ

sinh bởi hai veetơ œ, và uw)

5.48 Ta có theo tích vô hướng định nghia ở đầu bài

lÌ zj]: = Ý<zi, #ị>

=ÝI.1+20.)+3(1.1) = Vẽ

237

0 = <w,u,> = <u, + ty), o>

>

5.49 Ta chi ý rằng với tích vô hướng Euclid trong RỶ ta

cd <u,, u,> = 0, nghĩa là ¡, và z, trực giao

Theo định li 5.6.6 trong Thee/l ta có

0 = <w, u)> = <uz, UỊ> + <u), > + 8 <UI, U2>

ot

a(1, 0, 0) + Ø2, 2, 0) +y(, 3, 3) (a + 2Ø + 3y, 28 + 3y, 3y)

Do đó

2œ + 58 — 8y = —19 3a +66 +9y= 3

“ree

Vậy theo định li 5.6.5 trong Thce/l ta có

w= <wW, Uị> tị † SU, 2> ty } <0, 0> tà

w= —2u, + uy Vậy có

5.57 Xem Thec/l trang 280 - 281

a) O day B là cơ sở chính tác Do đơ ma trận chuyển cơ sở

(4) Ở câu (b) ta đã tìm ra ma trận chuyển cơ sở từ B sang

eB he

<2 hy

Mat khác

0 «fle 2 -8 2a — 38 = 0 a+4=1 Giải hệ này ta được œ = 3/11, 6 = 3/11 Vậy

248

cơ sở đó như ở câu (d) bài tập 5.57

5.59 Kem Thcee/l trang 280 - 281

(a) Tim ma trận chuyển cơ sở P từ B` sang B Ta có nhận

mì Em] ‡ 7, fe] + v3 [v4] = [u,] W

6 day ki hiéu [w] chi ma tran c6t'cia ø € R, chẳng hạn nhu néu w = (3, -1, 2) thi

3 fw] = |-1

2

250

(by) &,) (es) P = [fed Is¿l tá:

Giải phương trình ma trận này ta được ma trận P

hây giờ ta áp dụng vào bài tap 5.59 a)

w= du, + dau, + Oyuy

thi 5; 5), 63 là nghiệm của hệ

`

hl ->h1 h2 —> h2 dens + 2h2) — h3

0, =~ 7/2, cy = 38/9, cy = 6

Vay

-— 112 fw], = | 29/2

6

trùng với kết quả trên

5.61 Trong cơ sở chính tác S = {1, x} cha P, ta co

(Œ) Trong cơ sở chính tắc S = {1, x} da thie p = -4 +x

trùng với kết quả trên

(d) Ma tran chuyển cơ sở Q tit B sang B’ la

q=P!

256

Tu af, + bf, = asinx + cosx = 0, Vx, ta rat ra a@ = 0 khi

thay x = z/2 và 8 = 0 khi thay x = 0 Vậy B = {f,, f,} vừa

sinh ra Ý, vừa độc lập tuyến tính nên 8 là một cơ sở của V Trong cơ sở Ö ấy các hàm số f, = sinx, f, = cosz,

& = 2sinx + cosx va & = 3cosx có ma trận tọa độ

ty = [ol wae = [ft] eas = fF]: 6a =

(a) Ta chứng minh &, va g, cing sinh ra V và độc lập tuyến

B = {g,, g,} sinh ra V

\

trùng với kết quả trên

(e) Ma trận chuyển cơ sở từ ' sang 8 là

5.63 Gọi (x, y) là tọa độ của một điểm Mĩ của mặt phẳng `

trong hệ truce xy va (x’, y’) là tọa độ cũng của M trong hệ trục

~y' Công thức đổi trục (xem Thee/1, 4.14.5) 1a

+ = x' cosØ - y sinØ

y =x’ sind + y’ cos?

va

x’ = x cos + y sind y’ = -x sind + y cosé

(a) Xét ma tran don vi c&p hai

A‘A =I, AA =I

Vay A true giao va AT! = Al

Ma trận A này trực giao và A L = AL,

Chú ý Chỉ cần kiểm tra một điều kiện

AAI = J hoặc AL A = 1

Thật vậy, giả sử

AAt =1

Ta suy ra

det (AA') = det (1) = 1

det (A) det (A') = 1

Do đó det (A) # 0 và tổn tại ma trận nghịch đảo AL,

Nhân 2 vế của AAl = 7 với A"! ta được

Bây giờ giả sử AlA =7

Ta cũng lập luận như trên và suy ra

AAt=7 5.65 (a) Xét

sind cos9 | | — sind cos?

_ | eos29 + sin29 cos9sing rên |

~ |sinfcos? — cossind sin26 + cos20 Vậy

262

Wn

"Theo chú ý ở trên A là ma trận trực giao

cos? —sing 0 cos sind 0

AA = | sind cos 0||—-sin cos 0

eos29 + sin29 eosØsin9 — sinØcos9 0

= |sindcosd — soe sin’? + cos’? 0

9

0| =1

1 Theo chú ý ở trên A là ma trận trực giao

là phép biến đổi trực giao vì ma tran A 1A ma trận trực giao Thực vậy, ta có

_ Ar) 4 3

Vậy hệ đã cho tương đương với hệ

Ba, + Tx, + Qe, - Se, = 1

5.68 Phép biến đổi sơ cấp cho

Ox, = -3

Hệ này không tương thích tức là

cho cũng vô nghiệm

5.69 Xét hệ

+ Bx, + dx,

+ 3x, + 8x,

2h4 ~ h1) => h4

hl h2/(-7) > h2 h3

h4

h1 h2 h3 + 2h2 -> h3 h4 - L1h2 —>h4

hl h2 h3 h4 - 5h3 —> h4

Chương Vĩ

ANH XA TUYẾN TÍNH

A - ĐỀ BÀI

6.1 KHÁI NIỆM ANH XẠ TUYẾN TÍNH

6.1 Anh xa f = R? +R? dudi day co phải là tuyến tính không :

1) AG, y)) = (2x, y) 2) ft, y)) = (2, y)

3) fit, y, 2 = (1, Ð A) fillx, y, a) = (2x +y, By — 4z),

6.3 Anh xa f : M, + R đưới đây cơ phải là tuyến tính không :

túy

2) fla, tax tay’) =a, + ae +1) + ax + 1%

3) fla, tax + ax") 0

4) fa, tox tax) = @, +) +ax + az%

6.5 Cho f : R? —> R? la ánh xạ biến mỗi điểm của mật

phẳng thành điểm đối xứng của nó đối với trục y Hãy tìm công thức chỏ ƒ và chứng tỏ rằng nó là một toán tử tuyến

tinh trong R?

6.6 Goi M, , , 12 tap cdc ma trận cỡ m x n ChoB là

một ma trận cỡ 2 x 3 hoàn toàn xác dinh Chiing minh rang

ánh xạ 7 : Ø x ¿ — ÂÍ, „ ; định nghĩa bởi 74) = AB là ánh

8

x {c) Tim T | ly

6.9 S là một cơ sở trong không gian n chiéu V

a) Chứng minh rằng nếu 0, Vy, 2, là một họ độc lập tuyến tính trong V_ thì các vectơ tọa độ Wp) Wy cà, (0U), cũng tạo thành một họ độc lập tuyến tính trong R" và ngược lại b) Nếu {v,, ., ø,} sinh ra V thì {ø) je ov» WJ} cing sinh

ra R" va ngugc lai

6.2 CAC TINH CHAT CUA ANH XA TUYEN TINH -

HAT NHAN VA ANH 6.10 Cho 7 : R2 — R7 là ánh xạ nhân với ma trận

l4 -8 4 1) Hỏi vectơ nào dưới đây € Im(7) ?

fa) (1, -4), — (Œì (5, 0), (c) (=3, 12)

2) Vectơ nào dưới đây € Ker(T) ?

(a) (, 10), (b) (3, 2), fe) (1, 1)

6.11 1) Cho ánh xạ tuyến tính 7 = P, —> P¿ xác định bởi

T0x)) = xp(x) Hỏi phần tử nào dưới đây thuộc Ker(7) :

6.13 Tim sé chiéu cta Ker/T) va Im(T) với

(a) T cho & bai tập 6.10

(b) T cho & bài tap 6.11

270

6.14 V la khéng gian n chiéu Tim hang cia anh xa tuyén tinh T > V —>V xác định bởi

(a) Ta) =x; (b) Tix) = 03 (c) Tix) = 3x

6.1õ Xét cơ sở S = {v,, v,, 02} trong R? trong do

v= 0,2, 38), vy = 25,3), øy = (1, 0, 10)

Tìm công thức biểu diễn ánh xạ tuyến tính : 7 : RỶ => RẺ xác định bởi 70) = (1, 0), The) = (1, 0), Tes) = (0, D Tinh T(1, 1, ~U, trong các cơ sở chính tác của RỂ, RẺ

(a) Hãy tìm số chiều của không gian nghiệm của Ax = 6

(b) Hỏi Ax = b có tương thích với mọi ö € RẺ không ? Li do

6.19 7 là một ánh xạ ma trận xác định như dưới day Hay tim: (a) mét co sé cho Im/(T) ;

{bì một cơ sở cho Ker(7! ;

(c)› số chiều của Ïm(7) và Ker(7)

6.20 Goi D> P 32 P ¿ là ánh xa đạo ham Dfp) = p’ Hay

Hay mô tả Ker(J),

6.3 MA TRAN CUA ANH XA TUYEN TINH

6.22 Hãy tìm ma trận chính tác (xem định nghĩa 6.3.3) của

mỗi toán tử tuyến tính sau :

CG) Pe, #;, #ạ, Ky) = Hye Bs Myr Xp, X, — Fy):

6.24 Tìm ma trận chính tác của toán tử tuyến tính 7 :

R? R? bién ø = (, y) thanh đối xứng của nó đổi với

6.25 Tim ma tran của ánh xạ tuyến tính T : P; —> P xác

Ta, + ax + a,x’) = (a, + a)) — (2a, + 3a,)x

đối với các cơ sở chính tắc trong P; và P,

6.26 Cho 7: R2 => RỶ xác định bởi

T(@y, *;)) = (, + 2y, -zy, 0)

(a) Tìm ma trận của 7 đối với các cơ sở B = {mị, w„} trong

{bì Dùng ma trận thu được ở (a) để tinh T((2, 0, 0))

6.28 Cho 7: P; —> P„ là ánh xạ tuyến tính xác định bởi

Tea) = x? pix)

(a) Tim ma trận của 7 đối véi cdc co 86 B = {p,, pz, ps3} trong P, va co sé chinh tac B’ trong P, :

P,= 1+3z2,p; =1 +92x + Be, pio 4 toe txt

(b) Ding ma tran thu duge 6 (a) hay tinh T(-3 + x ~ 2x’),

6.29 Cho v, = (1, 3), vu, = (1, 4) vaA = 3 | là ma

tran cia anh xa T : R* + R? đối với cơ sở 8 = {u¡, 0y}

(a) Tìm /Tfjjg và fT;)Ì„

(Œ› Tìm 70,) và Tí0;)

(e) Tìm 71, 1)

6.32 Cho D : P, — P; là toán tử dao ham D(p) = p’

Tìm ma trận của Ð đối với mỗi cơ sở B = {p,, py, p3}

đưới đây :

(a) py = 1, py =, py = 2

(b) py = 2, pp = 2 - Bx, py = 2 - 8x + 8x2,

(c) Dang ma trận thu được ở (a) để tính D(6 - 6x + 24x)

(d) Lam lai phần (c) đối với ma trận ở (b)

6.33 Trong các bài tập dưới đây hãy tìm ma trận của 7' đối

với cơ sở Ø rồi suy ra ma trận của 7 đối với cơ sở Ö'

274