Tài liệu Sách hướng dẫn học Toán cao cấp A2 ppt

Ch ng II: Không gian véc t.. Ch ng VII: Không gian véc t Euclide và d ng toàn ph ng... là tính khái quát hoá và tr u t ng cao... có c u trúc vành không nguyên nên có nh ng tính ch t chun

SÁCH H NG D N H C T P

TOÁN CAO C P (A2)

(Dùng cho sinh viên h đào t o đ i h c t xa)

L u hành n i b

=====(=====

t o t xa có nh ng đ c thù riêng, đòi h i h c viên làm vi c đ c l p nhi u h n, do

đó c n ph i có tài li u h ng d n h c t p thích h p cho t ng môn h c T p tài li u

h ng d n h c môn toán cao c p A2 này đ c biên so n c ng nh m m c đích trên

T p tài li u này đ c biên so n theo ch ng trình qui đ nh n m 2001 c a H c

vi n Công ngh B u Chính Vi n Thông N i dung c a cu n sách bám sát các giáo trình c a các tr ng đ i h c k thu t, giáo trình dành cho h chính qui c a H c

vi n Công ngh B u Chính Vi n Thông biên so n n m 2001 và theo kinh nghi m

gi ng d y nhi u n m c a tác gi Chính vì th , giáo trình này c ng có th dùng làm tài li u h c t p,tài li u tham kh o cho sinh viên c a các tr ng, các ngành đ i h c

và cao đ ng

Giáo trình đ c trình bày theo cách thích h p đ i v i ng i t h c, đ c bi t

ph c v đ c l c cho công tác đào t o t xa Tr c khi nghiên c u các n i dung chi

ti t, ng i đ c nên xem ph n gi i thi u c a m i ch ng đ th y đ c m c đích ý ngh a, yêu c u chính c a ch ng đó Trong m i ch ng, m i n i dung, ng i đ c

có th t đ c và hi u đ c c n k thông qua cách di n đ t và ch ng minh rõ ràng

c bi t b n đ c nên chú ý đ n các nh n xét, bình lu n đ hi u sâu h n ho c m

r ng t ng quát h n các k t qu H u h t các bài toán đ c xây d ng theo l c đ :

đ t bài toán, ch ng minh s t n t i l i gi i b ng lý thuy t và cu i cùng nêu thu t toán gi i quy t bài toán này Các ví d là đ minh ho tr c ti p khái ni m, đ nh lý

ho c các thu t toán, vì v y s giúp ng i đ c d dàng h n khi ti p thu bài h c Sau các ch ng có ph n tóm t t các n i dung chính và cu i cùng là các câu h i luy n

t p Có kho ng t 30 đ n 40 bài t p cho m i ch ng, t ng ng vói 3 -5 câu h i cho m i ti t lý thuy t H th ng câu h i này bao trùm toàn b n i dung v a đ c

h c Có nh ng câu ki m tra tr c ti p các ki n th c v a đ c h c nh ng c ng có

nh ng câu đòi h i h c viên ph i v n d ng m t cách t ng h p và sáng t o các ki n

th c đ gi i quy t Vì v y vi c gi i các bài t p này giúp h c viên n m ch c h n lý thuy t và ki m tra đ c m c đ ti p thu lý thuy t c a mình

Các bài t p đ c cho d i d ng tr c nghi m khách quan, đây là m t ph ng pháp r t phù h p v i hình th c đào t o t xa H c viên có th t ki m tra và đ i chi u v i đáp án cu i sách Tuy nhiên ph ng pháp tr c nghi m c ng có nh ng

m t h n ch c a nó, ch ng h n ph ng pháp này không th hi n đ c kh n ng trình bày k t qu , kh n ng l p lu n, mà đây là m t trong nh ng yêu c u chính c a

vi c h c toán M t bài toán có th gi i cho đúng k t qu nh ng cách gi i sai th m chí sai c v b n ch t Hai l n sai d u tr bi n thành d u c ng và cho k t qu đúng

nh ng th c ch t là sai M t khác có th gi i bài toán tr c nghi m b ng cách th các

Ch ng I: Lô gích toán h c, lý thuy t t p h p, ánh x và các c u trúc đ i s

Ch ng II: Không gian véc t

Ch ng III: Ma tr n

Ch ng IV: nh th c

Ch ng V: H ph ng trình tuy n tính

Ch ng VI: Ánh x tuy n tính

Ch ng VII: Không gian véc t Euclide và d ng toàn ph ng

Ngoài vai trò là công c cho các ngành khoa h c khác, toán h c còn đ c xem là m t ngành khoa h c có ph ng pháp t duy l p lu n chính xác ch t ch Vì

v y vi c h c toán c ng giúp ta rèn luy n ph ng pháp t duy Các ph ng pháp này đã đ c gi ng d y và cung c p t ng b c trong quá trình h c t p ph thông,

nh ng trong ch ng I các v n đ này đ c h th ng hoá l i N i dung c a ch ng

I đ c xem là c s , ngôn ng c a toán h c hi n đ i M t vài n i dung trong

là tính khái quát hoá và tr u t ng cao Các khái ni m th ng đ c khái quát hoá

t nh ng k t qu c a hình h c gi i tích ph thông Khi h c ta nên liên h đ n các

k t qu đó

2 M C ÍCH MÔN H C

Cung c p cho sinh viên các ki n th c c b n v đ i s : M nh đ , t p h p, ánh x , c u trúc đ i s và đ i s tuy n tính bao g m các khái ni m v không gian vecto, ma tr n, đ nh th c, ánh x tuy n tính, d ng song tuy n tính, d ng toàn

ph ng , làm c s đ ti p thu các môn k thu t đi n và đi n t

◊ Sách h ng d n h c t p và bài t p: Toán cao c p A2 Lê Bá Long,

Nguy n Phi Nga, H c vi n Công ngh BCVT, 2005

N u có đi u ki n, sinh viên nên tham kh o thêm: Các tài li u tham kh o trong

m c Tài li u tham kh o cu i cu n sách này

2- t ra m c tiêu, th i h n cho b n thân:

X t ra m c các m c tiêu t m th i và th i h n cho b n thân, và c g ng

th c hi n chúng

Cùng v i l ch h c, l ch h ng d n c a H c vi n c a môn h c c ng nh các môn h c khác, sinh viên nên t đ t ra cho mình m t k ho ch h c t p cho riêng mình L ch h c này mô t v các tu n h c (t h c) trong m t k h c và đánh d u

s l ng công vi c c n làm ánh d u các ngày khi sinh viên ph i thi sát h ch, n p các bài lu n, bài ki m tra, liên h v i gi ng viên

X Xây d ng các m c tiêu trong ch ng trình nghiên c u

Bi t rõ th i gian nghiên c u khi m i b t đ u nghiên c u và th th c hi n, c

đ nh nh ng th i gian đó hàng tu n Suy ngh v th i l ng th i gian nghiên c u đ

“Ti t ki m th i gian” “N u b n m t quá nhi u thì gi nghiên c u”, b n nên xem

l i k ho ch th i gian c a mình

3- Nghiên c u và n m nh ng ki n th c đ c t lõi:

Sinh viên nên đ c qua sách h ng d n h c t p tr c khi nghiên c u bài gi ng môn h c và các tài li u tham kh o khác Nên nh r ng vi c h c thông qua đ c tài

li u là m t vi c đ n gi n nh t so v i vi c truy c p m ng Internet hay s d ng các hình th c h c t p khác

Hãy s d ng thói quen s d ng bút đánh d u dòng (highline maker) đ đánh

d u các đ m c và nh ng n i dung, công th c quan tr ng trong tài li u

4- Tham gia đ y đ các bu i h ng d n h c t p:

Thông qua các bu i h ng d n h c t p này, gi ng viên s giúp sinh viên n m

đ c nh ng n i dung t ng th c a môn h c và gi i đáp th c m c; đ ng th i sinh viên c ng có th trao đ i, th o lu n c a nh ng sinh viên khác cùng l p Th i gian

b trí cho các bu i h ng d n không nhi u, do đó đ ng b qua nh ng bu i h ng

d n đã đ c lên k ho ch

5- Ch đ ng liên h v i b n h c và gi ng viên:

Cách đ n gi n nh t là tham d các di n đàn h c t p trên m ng Internet H

th ng qu n lý h c t p (LMS) cung c p môi tr ng h c t p trong su t 24 gi /ngày

và 7 ngày/tu n N u không có đi u ki n truy nh p Internet, sinh viên c n ch đ ng

s d ng hãy s d ng d ch v b u chính và các ph ng th c truy n thông khác (đi n tho i, fax, ) đ trao đ i thông tin h c t p

6- T ghi chép l i nh ng ý chính:

N u ch đ c không thì r t khó cho vi c ghi nh Vi c ghi chép l i chính là

m t ho t đ ng tái hi n ki n th c, kinh nghi m cho th y nó giúp ích r t nhi u cho

vi c hình thành thói quen t h c và t duy nghiên c u

7 -Tr l i các câu h i ôn t p sau m i ch ng, bài

Cu i m i ch ng, sinh viên c n t tr l i t t c các câu h i Hãy c g ng v ch

ra nh ng ý tr l i chính, t ng b c phát tri n thành câu tr l i hoàn thi n

i v i các bài t p, sinh viên nên t gi i tr c khi tham kh o h ng d n, đáp

án ng ng i ng n trong vi c liên h v i các b n h c và gi ng viên đ nh n đ c

s tr giúp

Nên nh thói quen đ c và ghi chép là chìa khoá cho s thành công c a vi c t h c!

Ta bi t r ng toán h c là m t ngành khoa h c lý thuy t đ c phát tri n trên c

s tuân th nghiêm ng t các qui lu t l p lu n c a t duy lôgich hình th c Các qui

lu t c b n c a lôgich hình th c đã đ c phát tri n t th i Aristote (Arít-xt t ) (th

k th 3 tr c công nguyên) cùng v i s phát tri n r c r c a v n minh c Hy

L p Tuy nhiên mãi đ n th k 17 v i nh ng công trình c a De Morgan ( Mocgan), Boole thì lôgích hình th c m i có m t c u trúc đ i s đ p đ và cùng

v i lý thuy t t p h p giúp làm chính xác hoá các khái ni m toán h c và thúc đ y toán h c phát tri n m nh m Vi c n m v ng lôgich hình th c giúp h c viên không

nh ng h c t t môn toán mà còn có th v n d ng trong th c t và bi t l p lu n chính xác H c t t môn lôgich là c s đ h c t t đ i s Boole, v n d ng đ gi i các bài toán v s đ công t c r le, các s đ đi n và công ngh thông tin Yêu c u

c a ph n này là ph i n m v ng khái ni m m nh đ toán h c, các phép toán liên k t

m nh đ và các tính ch t c a chúng

Khái ni m t p h p, ánh x và các c u trúc đ i s là các khái ni m c b n: v a

là công c v a ngôn ng c a toán h c hi n đ i Vì vai trò n n t ng c a nó nên khái

ni m t p h p đ c đ a r t s m vào ch ng trình toán ph thông (l p 6) Khái

ni m t p h p đ c Cantor đ a ra vào cu i th k 19 Sau đó đ c chính xác hoá

b ng h tiên đ v t p h p Có th ti p thu lý thuy t t p h p theo nhi u m c đ khác nhau Chúng ta ch ti p c n lý thuy t t p h p m c đ tr c quan k t h p v i các phép toán lôgich hình th c nh "và", "ho c", phép kéo theo, phép t ng

đ ng, l ng t ph bi n, l ng t t n t i V i các phép toán lôgích này ta có

t ng ng các phép toán giao, h p, hi u các t p h p con c a các t p h p

Trên c s tích Descartes ( -các) c a hai t p h p ta có khái ni m quan h hai ngôi mà hai tr ng h p đ c bi t là quan h t ng đ ng và quan h th t Quan h t ng đ ng đ c dùng đ phân m t t p nào đó thành các l p không giao nhau, g i là phân ho ch c a t p đó Quan h đ ng d môđulô p (modulo) là m t quan h t ng đ ng trong t p các s nguyên T p th ng c a nó là t p ;p các

s nguyên môđulô p T p ;p có nhi u ng d ng trong lý thuy t m t mã, an toàn

m ng Quan h th t đ c dùng đ s p x p các đ i t ng c n xét theo m t th t

d a trên tiêu chu n nào đó Quan h ≤ trong các t p h p s là các quan h th t Khái ni m ánh x là s m r ng khái ni m hàm s đã đ c bi t Khái ni m này giúp ta mô t các phép t ng ng t m t t p này đ n t p kia tho mãn đi u

ki n r ng m i ph n t c a t p ngu n ch cho ng v i m t ph n t duy nh t c a t p đích và m i ph n t c a t p ngu n đ u đ c cho ng v i ph n t c a t p đích đâu có t ng ng thì ta có th mô t đ c d i ngôn ng ánh x

S d ng khái ni m ánh x và t p h p ta kh o sát các v n đ c a gi i tích t

h p, đó là các ph ng pháp đ m s ph n t Gi i tích t h p đ c s d ng đ gi i quy t các bài toán xác su t th ng kê và toán h c r i r c

Ta có th th c hi n các phép toán c ng các s , hàm s , đa th c, véc t ho c nhân các s , hàm s , đa th c Nh v y ta có th th c hi n các phép toán này trên các đ i t ng khác nhau Cái chung cho m i phép toán c ng hay nhân trên là các tính ch t giao hoán, k t h p, phân b M t t p h p có phép toán tho mãn đi u

ki n nào đó đ c g i là có c u trúc đ i s t ng ng Các c u trúc đ i s quan

tr ng th ng g p là nhóm, vành, tr ng, không gian véc t i s h c là m t ngành c a toán h c nghiên c u các c u trúc đ i s Lý thuy t Nhóm đ c Evarist Galois (Galoa) đ a ra vào đ u th k 19 trong công trình "Trong nh ng đi u ki n nào thì m t ph ng trình đ i s có th gi i đ c?", trong đó Galoa v n d ng lý thuy t nhóm đ gi i quy t Trên c s lý thuy t nhóm ng i ta phát tri n các c u trúc đ i s khác

Vi c nghiên c u các c u trúc đ i s giúp ta tách ra kh i các đ i t ng c th

mà th y đ c cái chung c a t ng c u trúc đ kh o sát các tính ch t, các đ c tr ng

c a chúng Ch ng h n, t p các ma tr n vuông cùng c p, các t đ ng c u tuy n tính, các đa th c có c u trúc vành không nguyên nên có nh ng tính ch t chung nào

go : → xác đ nh b i g o f(x)=g(f(x))

X L c l ng c a t p h p : Hai t p h p g i là cùng l c l ng n u có m t song ánh t t p này lên t p kia T p có cùng l c l ng v i {1,2, ,n}

1(

p n

n p

n n

n

A n p

−

=+

(

!

n p

A C

p n p

n n n

n n n n n

n C a C a b C b C a b b

a

0

0 1

X Có ph n t trung hoà (hay có ph n t đ n v ) là e∈ n u X

x x e e x X

z y z x z y x A z y

X N u tho mãn thêm đi u ki n:

Lu t nhân có tính giao hoán thì (A,+,⋅) là vành giao hoán

Nguyên lý đ i ng u: N u m t công th c c a đ i s Boole đ c ch ng minh là đúng d a trên c s h tiên đ B1-B5 thì công th c đ i ng u c a chúng c ng đúng

Có th áp d ng đ i s Boole đ gi i quy t các bài toán v m ch đi n, thi t k

m t m ng tho mãn nh ng yêu c u nào đó, rút g n m ng đi n

1.3 CÂU H I VÀ BÀI T P

Câu 1: Hãy ch n câu tr l i đúng nh t;

a) "M i s nguyên t đ u là s l có ph i không?" là m t m nh đ lôgich toán h c

b) "Trái đ t quay xung quanh m t tr i" không ph i là m t m nh đ lôgich toán h c

Câu 4: Gi s A,B,C,D là t p con c a E Tr ng h p nào sau đây là sai:

a a x a x x

d) aRb⇔a −bMm, trong đó 2m≥ là m t s t nhiên cho tr c

Câu 10: Trong 5, xét quan h t ng đ ng R xác đ nh b i:

Câu 12: Tìm các ví d v t p đ c s p (E,≤) và hai t p con A,B⊂E

tho mãn:

a) T n t i supA nh ng không t n t i supB

b) T n t i supB nh ng không t n t i supA

c) T n t i supA∉Anh ng t n t i maxB

d) T n t i inf A nh ng không t n t i supA

Câu 13: Các ánh x f :5 →5 nào sau đây là đ n ánh:

ch½n nÕu

n n

n n

n g n n f

2)1(

2)

(,2)(

A x x

I A

nÕu

nÕu0

1)( và g i là hàm đ c tr ng c a t p A

4321

!2

!9

!5

!3

!8

!10

!4

!7

)! 1 (

!

= +

−

−

m

m m

a) 4m= b) m = m1, =4 c) m = m3, =4 d) m = m2, =3

Câu 24: M i ng i b n đi xem phim, cùng ng i m t hàng gh , ch i trò

đ i ch cho nhau Cho r ng m t l n đ i ch m t h t m t phút, h i th i gian

h đ i ch cho nhau là bao nhiêu?

a) H t 10 ngày đêm b) H t 100 ngày đêm

c) H t 1670 ngày đêm d) H t 2520 ngày đêm

Câu 25: M t h p tác xã có 225 xã viên H mu n b u m t ng i làm ch nhi m, m t th ký, m t th qu mà không kiêm nhi m Gi s m i xã viên

đ u có kh n ng đ c ch n nh nhau, h i có bao nhiêu cách ch n?

a) Có 12600 cách b) Có 13800 cách

c) Có 14580 cách d) Có 13680 cách

Câu 26: M t h p tác xã có 225 xã viên H mu n b u m t h i đ ng qu n

tr g m m t ch nhi m, m t th ký, m t th qu mà không kiêm nhi m Gi

s m i xã viên đ u có kh n ng đ c ch n nh nhau, h i có bao nhiêu cách

b) C10313710.1921 d) C12313719.1912

Câu 30: Phép toán nào sau đây không ph i là m t lu t h p thành trong:

a) Phép c ng hai véc t b) Tích vô h ng hai véc t

c) Phép c ng hai đa th c d) Phép nhân hai hàm s

Câu 31: Phép h p thành trong nào sau đây không có tính giao hoán:

Câu 33: Gi s ( )G,* là m t nhóm i u nào sau đây không đúng:

a) Ph n t trung hoà e là duy nh t

d) T p các s nguyên môđulô p

Câu 35: Cho A là m t vành Ph n t x∈ A đ c g i là lu linh n u t n

t i m t s t nhiên n≠0 sao cho n =0

x i u nào sau đây không đúng:

2 CH NG 2: KHÔNG GIAN VÉC T

2.1 M C TIÊU, YÊU C U, Ý NGH A

Khái ni m không gian véc t có ngu n g c t v t lý Ban đ u các véc t là

nh ng đo n th ng có đ nh h ng, v i khái ni m này ng i ta đã s d ng đ bi u

di n các đ i l ng v t lý nh : véc t v n t c, l c tác đ ng, l c đi n t Các nhà

v t lý còn s d ng ph ng pháp véc t Fresnel đ t ng h p các dao đ ng đi u hoà

Cu i th k 17 Descartes đã đ xu t ph ng pháp to đ đ gi i quy t các bài toán hình h c V i ph ng pháp này m i véc t trong m t ph ng đ c đ ng nh t

v i m t c p s là hoành đ và tung đ còn véc t trong không gian đ c đ ng nh t

v i b ba s Các phép toán c a véc t (c ng véc t , nhân 1 s v i véc t ) có th chuy n t ng ng b ng phép toán trên các b s và tho mãn m t s tính ch t nào

đó Trong nhi u l nh v c khác chúng ta c ng th y nh ng đ i t ng khác nh các

đa th c, hàm s , v.v có các phép toán tho mãn các tính ch t t ng t các véc t

i u này d n đ n vi c khái quát hoá khái ni m véc t

Trong các công trình v s quaternion t n m 1843 c a nhà toán h c Anh Hamilton, ng i ta có th tìm th y m t d ng thô s c a khái ni m không gian vec

t 3 và 4 chi u Hamilton dùng các s quaternion đ nghiên c u các v n đ toán lý Sau đó các nhà v t lý nh Maxwell và Gibbs đã phát tri n d n lý thuy t không gian véc t 3 chi u Khái ni m không gian véc t 4 chi u đ c Einstein (Anh-xtanh) s

d ng trong thuy t t ng đ i Ngày nay lý thuy t không gian véc t nhi u chi u

đ c s d ng r ng rãi trong nhi u l nh v c khác nhau c a toán h c và các ngành khoa h c khác

Chúng ta th y khái ni m không gian véc t đ c hình thành qua m t quá trình lâu dài trên c s các thành t u v lý thuy t c ng nh ng d ng th c t và khái quát hoá cao Vì v y đ h c t t ch ng này đ i h i ng i h c ph i n m v ng khái

ni m không gian véc t vói m c đ tr u t ng cao, còn các mô hình c th là các không gian 2 chi u, 3 chi u ta đã bi t i t ng c a ta đây là các không gian véc t h u h n chi u ó là các không gian có h sinh h u h n Trong không gian này m i véc t đ u có th bi u di n thành t h p tuy n tính c a các véc t c a h sinh Mu n cho bi u di n này là duy nh t thì h sinh ph i đ c l p tuy n tính, lúc đó

ta g i là m t c s c a không gian véc t Các h s trong bi u di n trên đ c

g i là to đ c a véc t

H c viên c n luy n t p tìm to đ c a m t véc t trong các c s khác nhau Tìm h con đ c l p tuy n tính t i đ i c a m t h véc t cho tr c Tìm h ng c a

m t h véc t , tìm chi u c a không gian con Công th c chi u c a t ng hai không gian véc t con, chi u c a giao c a hai không gian véc t con Th y đ c m i liên

h gi a h con đ c l p tuy n tính t i đ i c a h sinh và c s , liên h gi a h ng

c a h sinh và chi u c a không gian sinh b i h sinh này (đ nh lý 2.17) Liên h

v i nh ng phép toán và tính ch t véc t đã bi t ph thông

2.2 TÓM T T N I DUNG

2.2.1 Khái ni m không gian vect

Không gian véc t trên tr ng K là t p V khác φ v i hai phép toán:

* Phép toán trong * Phép toán ngoài

Khi K =5 thì V đ c g i là không gian véc t th c

Khi K =$ thì V thì đ c g i là không gian véc t ph c

V V

a),(

2.2.2 Không gian vect con

a Không gian véc t con:

T p con W ≠ φ c a V sao cho hai phép toán t V thu h p vào W tr thành không gian véc t (tho mãn các tiên đ V1-V8) thì W đ c g i là không gian véc

t con c a V (hay nói t t: không gian con c a V )

b Không gian con W bé nh t ch a h véc t S đ c g i là không gian sinh

c T ng c a m t h không gian véc t con: Gi s W , ,1 W n là n không gian

con c a V Ta ký hi u W1+ +W n là t ng c a các không gian con W , ,1 W n và

đ nh ngh a nh sau:

n i

W u u u

u W

W

u∈ 1 + + n ⇔ = 1+ + n, i∈ i; =1, ,

Tuy nhiên, nói chung cách vi t trên không duy nh t

Khi v i m i u∈W1 + +W n cách vi t trên duy nh t thì t ng các không gian con này đ c g i là t ng tr c ti p Lúc đó ta ký hi u: W1⊕ ⊕W n

T ng W1+W2 là t ng tr c ti p khi và ch khi W1∩W2 ={ }0

Ta có th ch ng minh đ c W1+ +W n =span(W1∪ ∪W n)

M t cách t ng quát ta đ nh ngh a và ký hi u t ng c a m t h các không gian véc t con ( )W i i∈I là ⎟⎟⎠

i I

I i W u

u u

I i

M i không gian h u h n sinh V đ u t n t i c s S ph n t c a m i c s

c a V đ u b ng nhau và đ c g i là s chi u c a V , ký hi u dim V

+

=+

5

α α

α( , , ) ( , , );

),

',

'()',','(),,(

z y x z

y x

z z y y x x z

y x z y x

+

=+

5

α α

α α

α( , , ) (2 ,2 ,2 );

)',',

'()',','(),,(

z y x z

y x

z z y y x x z

y x z y x

5

α

α( , , ) (0,0,0);

)1',1',

1'()',','(),,(

z y x

z z y y x x z

y x z y x

+

=+

5

α α

α α

α( , , ) ( , , );

)',',

'()',','(),,(

z y x z

y x

z z y y x x z

y x z y x

Câu 2: V i các phép c ng hai hàm s và phép nhân hàm s v i s th c,

t p các hàm s nào sau đây là không gian véc t

a) T p các hàm s không âm trên [ ]a, b

b) T p các hàm s b ch n trên [ ]a, b

c) T p các hàm s kh vi trên [ ]a, b ( có đ o hàm t i m i đi m)

d) T p các hàm s trên [ ]a, b sao cho f(b)=1

Câu 3: T p h p các véc t có d ng nào sau đây không là không gian con

5)(

2)(

3 v1 −u + v2 +u = v3 +u

trong đó v1 =(2,5,1,3); v2 =(10,1,5,10); v3 =(4,1,−1,1)

a) )u =(6,12,18,24 b) u =(7,−2,3,0)

c) )u =(1,2,3,4 d) u =(−2,3,7,0)

Câu 6: Hãy bi u di n véc t u thành t h p tuy n tính c a v1,v2,v3:

1,2

1(− − λ

Câu 18: Trong không gian 54 xét các véc t :

Câu 19: Cho hai h véc t :

v1 =(1,1,1,1),v2 =(1,−1,1,−1),v3 =(1,3,1,3) và

u1=(1,2,0,2),u2 =(1,2,1,2),u3 =(3,1,3,1)

t V1 =span{v1,v2,v3}, V2 =span{u1,u2,u3}

Hãy tìm s chi u c a các không gian con V1, V2, V1+ V2, V1∩ V2

a) dim( )V1 =3, dim( )V2 =2,dim(V1+V2)=4,dim(V1∩V2)=1

b) dim( )V1 =3, dim( )V2 =2,dim(V1+V2)=5, dim(V1∩V2)=1

c) dim( )V1 =2,dim( )V2 =2, dim(V1+V2)=3,dim(V1∩V2)=1

d) dim( )V1 =2,dim( )V2 =3,dim(V1+V2)=4, dim(V1∩V2)=1

Câu 20: Cho 3 véc t v1, v2, v3 c a không gian véc t V Kh ng đ nh nào sau đây là sai:

a) N u {v1, v2}đ c l p thì {v1+v2,v1−v2} c ng đ c l p

b) N u {v1,v2,v3}đ c l p thì {v1 +v2,v2 +v3,v3 +v1} c ng đ c l p c) N u {v1,v2,v3}đ c l p thì

{2v1+v2 +v3,v1+2v2 +v3,v3 −2v2 +5v1} c ng đ c l p

d) N u {v1,v2,v3}đ c l p thì {v1 +3v2,v1+2v2 −v3,v3 +v1} c ng đ c

l p

Câu 21: Gi s W1, W2 là hai không gian con c a không gian véc t V

Phát bi u nào sau đây không đúng:

a) W1, W2 là hai không gian con c a W1+W2

b) W1∪W2 là không gian con c a W1+W2

c) W1 +W2 là không gian véc t nh nh t ch a W1∪W2

d) T ng W1+W2 là t ng tr c ti p W1⊕W2 khi và ch khi W1∩W2 =φ

Câu 22: Phát bi u nào sau đây không đúng:

a) N u W1, W2 là hai không gian con c a 5 , 3 dimW1=dimW2 =2 thì

{ }02

1∩W ≠

b) dimW1⊕W2 =dimW1 +dimW2

c) T n t i W1, W2 là hai không gian con c a không gian véc t V tho

mãn 5dimW1 =4,dimW2 = , 7dimV = và dimW1∩W2 =1

d) N u W1, W2 là hai không gian con c a 5 , 23 dimW1=1,dimW2 = và 2

W ⊄ thì 53 =W1⊕W2

Câu 23: Cho u =(1,−3,2) và v=(2,−1,1) là hai véc t c a 5 V i giá tr 3

ng i đ u tiên đ a ra cách bi u di n m t ánh x tuy n tính qua các ma tr n Còn Gauss là ng i đ u tiên s d ng ma tr n đ nghiên c u các d ng toàn ph ng

Ký hi u ma tr n cô đ ng, r t có ích và thu n ti n trong khi th c hi n các phép

bi n đ i tuy n tính (ch ng 6) và cho phép ta phát tri n m t ph ng pháp hoàn

ch nh đ gi i các h ph ng trình vi phân tuy n tính S quan tâm c a các nhà v t

lý đ i v i lý thuy t ma tr n, đ c bi t t ng lên sau khi Heisenberg, Born, Jordan vào

n m 1925 đã dùng nó trong các bài toán c a c h c l ng t S phát tri n c a máy tính hi n đ i th c hi n d dàng nh ng phép tính ma tr n c b n càng thúc đ y thêm s ng d ng r ng rãi ma tr n vào nh ng l nh v c khác

Có ng i ví ma tr n nh là s h c c a toán cao c p Cách ví von này hoàn toàn h p lý vì ma tr n đ c s d ng r ng rãi trong các chuyên ngành khác nhau

c a toán h c V i t cách là s bi u di n c a các phép bi n đ i tuy n tính, ma tr n

đ c s d ng trong các bài toán c c tr c a hàm nhi u bi n, đ o hàm hàm h p, ma

tr n Jacobi trong phép đ i bi n s , gi i các h ph ng trình vi phân tuy n tích Các

ma tr n d ng dùng đ mô t các đ c tr ng c a véc t ng u nhiên, mô t xác su t chuy n c a chu i Markov trong lý thuy t xác su t Gi i các bài toán quy ho ch tuy n tính Phân lo i các đ ng, m t b c 2 Ch ng trình ph n m m MATLAB (Matrix laboratory) h tr cho vi c tính toán, đ ho và mô ph ng c ng đ c th c

hi n trong môi tr ng ma tr n

N m v ng khái ni m ma tr n giúp h c viên h c t t các ch ng 4,5,6,7

Trong ch ng này ta ch xét khái ni m ma tr n cùng v i các phép toán c ng

ma tr n, nhân m t s v i ma tr n, nhân hai ma tr n và ma tr n chuy n v

C ng hai ma tr n cùng c đ c th c hi n b ng cách c ng các ph n t n m trên các hàng các c t t ng ng v i nhau Nhân m t s v i ma tr n là nhân s này

v i m i ph n t c a ma tr n Hai phép toán này đ c th c hi n m t cách d dàng Phép nhân hai ma tr n ch th c hi n đ c khi s c t c a ma tr n tr c b ng s hàng c a ma tr n sau Khi đó ph n t hàng i c t j c a ma tr n tích có đ c b ng cách l y các ph n t trên hàng th i c a ma tr n tr c nhân t ng ng v i các

ph n t trên c t th j c a ma tr n sau r i c ng l i Nh v y phép nhân ma tr n

đ c th c hi n khó h n nhi u H c viên c n luy n t p nhi u v phép nhân ma tr n

T p h p các ma tr n cùng c v i phép c ng ma tr n và phép nhân m t s v i

ma tr n là m t không gian véc t T p h p các ma tr n vuông cùng c p v i phép

c ng ma tr n và phép nhân ma tr n v i ma tr n là m t vành có đ n v , không giao hoán và không nguyên

m

n n

a a

a

a a

a

a a

a A

2 1

2 22

21

1 12

11

MOM

đ c g i là m t ma tr n c m× n a ij là ph n t hàng th i và c t j

Vi t t t d ng [ ]i m

n j ij a

, 1

ij a b c

1

v i m i i=1,m; j=1,n

c Ma tr n đ n v c p n: Ma tr n I vuông c p n có các ph n t trên n đ ng chéo b ng 1 và các ph n t v trí khác đ u b ng 0 V i m i ma tr n A c m× n

j a e j m v

1

,1, thì A=[ ]a ij n×m đ c g i là ma tr n c a h véc t {v1, ,v m} trong c s B

Ma tr n chuy n c s : Ma tr n c a h véc t B ' trong c s B đ c g i là

ma tr n chuy n t c s B sang c s B '

j t e j n e

1

,1,

i

i

i e x e x

u

1 1

'' , công th c đ i t a đ

n j n n ij n

03159

705

6321

34743

521

6321

0315

3

152

321

21

5712

521

52510

2517

++

1

63

w z

y x w

x w

z

y x

a) x=2,y=4,z=1,w=3 b) x=3,y=5,z=1,w=6

152

4613

01

12

321

521

108

2115

32110

9811

1007

958

021

521

108

45

1

12110

15

52

11

1018

21

A Tìm 2A3 −4B+5I

307

6014

5211

x

63

5

31

y x w

z

y x

10

1110

11

21

Câu 12: Tính

2003

01

10

10

20031

Câu 13: Cho ma tr n A=[ ]a ij vuông c p n Ta g i

nn

a a

0 sao cho A I

n = , v i s t nhiên n>0 nào đó

1,10

1,10

01,10

1,10

1,10

y x

0,,

10

01,10

01

01,10

01

b a

b a

b a

1

000

1

111

1

13

z y

x

(bi u di n m t ma tr n thành t h p tuy n tính c a 3 ma tr n khác)

a) x=−4, y=5, z =−1 b) x=4, y =−5, z =2

c) x=−3, y =4, z=1 d) x=3, y =−2, z=−1

Câu 17: Vi t ma tr n A c a h véc t {v1,v2,v3,v4},

)12,3,11(,

)5,3,7(,

)0,4,3(,

)5,2,1

11

53

7

043

521

735

340

125

05

3342

117

31

31

3342

125

05

613

431

32321

21211

a) r(A)=4 b) 3r(A)=

c) r(A)=2 d) 1r(A)=

Ngoài ng d ng đ gi i h ph ng trình tuy n tính, đ nh th c còn đ c s

d ng đ nghiên c u nh ng v n đ c a ma tr n nh : ma tr n ngh ch đ o, h ng c a

ma tr n, tìm giá tr riêng Kh o sát tính ch t đ c l p c a m t h véc t nh th c Jacobi đ c s d ng trong phép đ i bi n s c a tích phân nhi u l p nh th c Wronsky (vrông-xki) dùng đ ki m tra tính ch t đ c l p tuy n tính c a các nghi m

c a ph ng trình vi phân tuy n tính thu n nh t

nh th c c a m t ma tr n vuông đ c đ nh ngh a b ng t ng c a các s h ng

g m tích c a các ph n t trên t t c các hàng n m trên các c t khác nhau và d u

c a hoán v t ng ng Tuy nhiên khi tính đ nh th c ta th ng s d ng các tính

ch t c a nó và ph ng pháp khai tri n theo hàng, theo c t ho c nhi u hàng, nhi u

c t ( nh lý Laplace)

đ nh ngh a đ nh th c ta s d ng khái ni m phép th đó là m t song ánh t

m t t p có n ph n t vào chính nó, nh c a phép th là hoán v Khái ni m phép

th , hoán v ta đã g p trong ch ng 1, trong m c gi i tích t h p

Trong ch ng này ta xét đ n hai ng d ng c a đ nh th c là tìm ma tr n ngh ch đ o và tìm h ng c a ma tr n Trong ch ng 5 ta s ng d ng đ nh th c đ

gi i h ph ng trình tuy n tính Trong ch ng 6 ta s ng d ng đ nh th c đ tìm giá tr riêng c a ma tr n ho c t đ ng c u tuy n tính

c ng ma tr n và phép nhân ma tr n là m t vành có đ n v nh ng không nguyên, do

đó nó không ph i là m t tr ng Vì v y t n t i nh ng ma tr n vuông khác ma tr n không và không kh ngh ch S d ng tính ch t đ nh th c c a tích hai ma tr n b ng tích hai đ nh th c c a hai ma tr n này, ta ch ng minh đ c đi u ki n c n và đ đ

Ngoài ph ng pháp s d ng đ nh th c ta có th s d ng ph ng pháp Jordan đ tìm ma tr n ngh ch đ o, th c ch t c a ph ng pháp này là s d ng phép