PHÒNG GD ĐT ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: a) Anh (chị) hãy nêu những con đường tiếp cận khái niệm toán học thường dùng trong dạy học toán THCS. b) Theo anh (chị) để tiếp cận khái niệm hàm số thì sẽ tiếp cận theo con đường nào? Nêu quy trình tiếp cận khái niệm hàm số. Câu 2: Một học sinh đã giải bài toán: “ Tìm GTLN của biểu thức f(x) = x + 12x3x2 ” như sau: Điều kiện để f(x) có nghĩa: 1 2x 3x2 > 0 (x + 1)(1 3x) > 0 1 < x < 13 () Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: f(x) = 1.x + 1. 12x3x2 1+1 . x2+(12x3x2) = 2 . 2(x+12)2+32 3 Với x = 12 thỏa mãn () thì 2(x + 12)2 = 0. Vậy f(x) đạt GTLN là 3 khi x = 12 . a) Hãy tìm những sai lầm trong lời giải bài toán trên. b) Anh (chị) hãy giải lại cho đúng. Câu 3: Anh (chị) giải các bài toán sau: a) Tìm số nguyên n để 3n+5n+1 là số nguyên b) Tìm các số x, y, z biết: x2 = y3; y5 = z4 và x y + z = 49 c) Chứng minh rằng : A = 12 + < 1 Câu 4: Cho bài toán: “Cho hình thang vuông ABCD ( A = B = 900 ) và điểm O là trung điểm của AB. Đường tròn tâm O, đường kính AB tiếp xúc với CD. Chứng minh rằng: COD = 900 ”. a) Giải bài toán trên. b) Hãy phát biểu bài toán đảo của bài toán trên và chứng minh bài toán đảo đó. HẾT
Trang 1PHÒNG GD& ĐT ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1:
a) Anh (chị) hãy nêu những con đường tiếp cận khái niệm toán học thường dùng trong dạy học toán THCS
b) Theo anh (chị) để tiếp cận khái niệm hàm số thì sẽ tiếp cận theo con đường nào? Nêu quy trình tiếp cận khái niệm hàm số.
Câu 2:
Một học sinh đã giải bài toán:
“ Tìm GTLN của biểu thức f(x) = x + ” như sau:
Điều kiện để f(x) có nghĩa: 1 - 2x - 3x2 > 0 � (x + 1)(1 - 3x) > 0 � -1 < x < (*)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
f(x) = 1.x + 1 =
Với x = - thỏa mãn (*) thì -2(x + )2 = 0 Vậy f(x) đạt GTLN là khi x = - .
a) Hãy tìm những sai lầm trong lời giải bài toán trên.
b) Anh (chị) hãy giải lại cho đúng.
Câu 3:
Anh (chị) giải các bài toán sau:
a) Tìm số nguyên n để là số nguyên
b) Tìm các số x, y, z biết: = ; = và x - y + z = - 49
c) Chứng minh rằng : A = + 2 3 99
2
1
2
1 2
1
Câu 4:
Cho bài toán: “Cho hình thang vuông ABCD ( A = B = 900 ) và điểm O là trung điểm của AB Đường tròn tâm O, đường kính AB tiếp xúc với CD
Chứng minh rằng: COD = 900 ”
a) Giải bài toán trên.
b) Hãy phát biểu bài toán đảo của bài toán trên và chứng minh bài toán đảo đó.
- HẾT
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề chính thức
Trang 2(3,0 đ)
a
Có 2 con đường thường dùng trong dạy học toán THCS:
- Con đường suy diễn;
- Con đường qui nạp
(Ngoài ra còn con đường kiến thiết nhưng ít dùng)
1,50
b
Để tiếp cận khái niệm hàm số ta tiếp cận theo con đường qui nạp
Qui trình:
i) Giáo viên nêu lại một số kiến thức mà học sinh đã được học ở lớp dưới để học sinh xem xét, ví dụ:
+ Quãng đường đi trong chuyển động đều tỉ lệ thuận với thời gian + Thời gian hoàn thành một khối lượng công việc tỉ lệ nghịch với năng suất thực hiện công việc đó
ii) Giáo viên dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh các ví dụ trên để thấy được rằng ở mỗi trường hợp đều có một đại lượng nhận giá trị và một đại lượng nữa
có giá trị tương ứng thuộc tập hợp số thứ hai Nêu bật được đặc điểm chung sau: Với mỗi phần tử x thuộc tập hợp số A đều tương ứng một phần tử xác định y thuộc tập hợp số B
iii) Trên cơ sở nhận xét đạt được ở ii), giáo viên gợi ý để học sinh phát biểu khái niệm hàm số
0,75 0,25
0,25 0,25
2
(1,0 đ)
a
- Sai lầm 1: ĐK để f(x) có nghĩa: 1 - 2x - 3x2 0
- Sai lầm 2: Với x = - thì chỉ có BĐT trở thành đẳng thức nên f(- ) <
0,5 0,25
b
Lời giải đúng:
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
= = 1 - x, với x
Do đó f(x) x + (1 - x) = 1
=> Maxf(x) = 1 <=> 1 + x = 1 - 3x <=> x = 0 (T/m ĐK x ) 0,25
3
(3,0đ)
a
Ta có: = = 1 +
Để nguyên thì nguyên <=> 2 (n+1)
b Từ = ; = => = ; = => = =
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
= = = = - 7 Suy ra: = 7 => x = - 70 = 7 => y = - 105 = 7 => z = - 84
0,5 0,5
0,25
Trang 3c Ta có: 2A = 2 98
=> A = 2A – A = 1 199
2
4
(3,0đ)
a
M
O
D
C
Vẽ hình: (0,5)
Gọi M là tiếp điểm của CD và (O)
Ta có ABCD là hình thang vuông tại A
=> AD AB
=> DA và DM cùng là tiếp tuyến của (O)
=> OD là phân giác của Tương tự ta có OC là phân giác của => = 900
( Tính chất phân giác của hai góc kề
bù )
0,25 0,25
0,25 0,25
0,5
b
K M
A
D
C
Bài toán đảo: Cho hình thang
vuông ABCD ( Vuông tại A và B ), O là trung điểm của AB thỏa mãn điều kiện =
900 Chứng minh rằng đường tròn tâm O, đường kính AB tiếp xúc với CD
Trang 4Chứng minh: Gọi K là trung điểm của CD, suy ra:
- Vì = 900 nên COD vuông tại O => =KDO (1)
- Vì O là trung điểm của AB nên OK là đường trung bình của hình thang ABCD => OK ∥ AD
=> KOD = ADO ( so le trong ) (2)
Từ (1) và (2) => ADO = KDO
=> ADO = MDO ( cạnh huyền - góc nhọn)
=> OM = OA => M (O)
Suy ra CD tiếp xúc với (O) tại M
0,25 0,25
0,25 0,25