Dao động tự do của vỏ nón cụt fgm

Lam và các cộng sự [5,6] đã đề xuất phương pháp cầu phương vi phân DQM đối với các nghiên cứu với ảnh hưởng của các điều kiện biên đến các đặc trưng dao động tự do của vỏ nón cụt.. Dựa v

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS ĐÀO VĂN DŨNG

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy giáo PGS TS Đào Văn Dũng đã tận tình hướng dẫn khoa học và tạo mọi điều kiện giúp đỡ để

em có thể hoàn thành luận văn tốt nghiệp này

Em xin cảm ơn các thầy cô bộ môn Cơ học, khoa Toán – Cơ – Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên ĐHQGHN đã dạy em những kiến thức cơ bản về phương pháp, nghiên cứu, lý luận để em có thể hoàn thành luận văn một cách thuận lợi nhất

Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến ban lãnh khoa Toán – Cơ – Tin học; trường Đại học Khoa học Tự nhiên, phòng Sau Đại học và ban lãnh đạo Viện

Cơ học cùng các đồng nghiệp phòng Cơ học Vật rắn đã tạo mọi điều kiện quan tâm, động viên và giúp đỡ để em hoàn thành luận văn

Cuối cùng, em xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu, bạn bè, và những người thân luôn ở bên động viên, khích lệ em trong quá trình hoàn thành luận văn này

Hà Nội, ngày 15 tháng 11 năm 2014

Lê Thị Ngọc Ánh

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 - TIẾP CẬN GIẢI TÍCH 5

1.1 Các hệ thức cơ bản 5

1.1.1 Vỏ nón vật liệu cơ tính biến thiên 5

1.1.2 Phương trình cơ bản …6

1.2 Phương pháp giải 11

1.2.1 Điều kiện biên 11

1.2.2 Dạng nghiệm 11

1.2.3 Phương trình tìm tần số riêng 11

Chương 2 – TÍNH TOÁN SỐ 19

2.1 So sánh kết quả 19

2.2 Kết quả số cho vỏ nón cụt ES – FGM 20

2.2.1 Ảnh hưởng của số sóng n 20

2.2.2 Ảnh hưởng của tỉ phần thể tích k 23

2.2.3 Ảnh hưởng của tốc độ quay  24

2.2.4 Ảnh hưởng của góc nón  25

2.2.5 So sánh tham số tần số f trong trường hợp vỏ nón cụt có gân gia cường và không gân gia cường 26

2.2.6 Ảnh hưởng của tỉ số L r 28/

2.2.7 Ảnh hưởng của tỉ số /r h 29

2.2.8 Ảnh hưởng của số gân 30

KẾT LUẬN 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHỤ LỤC

MỞ ĐẦU

Vỏ nón có cơ tính biến thiên (FGM) là một trong những kết cấu được ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực công nghệ khoa học kỹ thuật như hàng không, tên lửa, động cơ đẩy và các thiết bị vũ trụ khác Chính vì vậy mà có nhiều bài toán liên quan đến ổn định và dao động của các kết cấu vỏ nón được

sự quan tâm của các nhà nghiên cứu Bài toán dao động tự do đóng vai trò quan trọng trong việc xác định tần số riêng của vỏ nón

Các kết quả đối với bài toán dao động của kết cấu làm từ vật liệu Composite, trong đó có vật liệu FGM ngày càng công bố nhiều hơn Hua L [2] đã phân tích tần số vỏ nón cụt trực hướng với các điều kiện biên khác nhau Tác giả này [3] cũng đã khảo sát đặc trưng tần số của vỏ nón cụt composite phân lớp với điều kiện biên tựa đơn Nghiên cứu này dựa trên lý thuyết bậc nhất Love và phương pháp Galerkin có tính đến gia tốc Coriolis để khảo sát sự biến thiên của tham số tần số khi các tham số hình học, mode dao động và tốc độ quay thay đổi Lam và các cộng sự [5,6] đã đề xuất phương pháp cầu phương vi phân (DQM) đối với các nghiên cứu với ảnh hưởng của các điều kiện biên đến các đặc trưng dao động tự do của vỏ nón cụt Ở đây có xem xét đến sự ảnh hưởng của góc đỉnh nón đến tham số tần số Talebitooti

và các cộng sự [7] đã đề cập đến dao động tự do của vỏ nón composite có gắn gân dọc và gân tròn Dựa vào lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất của vỏ và phương pháp cầu phương vi phân QDM, Malekzadeh và Heydarpour [8] đã nghiên cứu ảnh hưởng của gia tốc Coriolis kết hợp với các tham số hình học

và vật liệu phân tích dao động tự do của vỏ nón cụt FGM quay với một số điều kiện biên khác nhau Các kết quả về dao động của vỏ nón, vỏ trụ FGM

và các kết cấu tấm hình khuyên với bốn tham số phân bố theo quy luật lũy

thừa dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất được nghiên cứu bởi Tornabene và các cộng sự [11]

Trong những năm gần đây, các kết cấu làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) được sử dụng rộng rãi trong các ngành kỹ thuật vì vậy mà các ứng xử dao động cũng như ổn định của tấm và vỏ FGM ngày càng được nhiều quan tâm nghiên cứu của các nhà khoa học Trong số đó có Sofiyev [9]

đã nghiên cứu về dao động và ổn định tuyến tính của vỏ nón cụt FGM không

có gân với các điều kiện biên khác nhau Chính tác giả này cũng đã để xuất dao động phi tuyến [10] của vỏ nón cụt FGM Đối với các bài toán phân tích tuyến tính thì việc sử dụng lý thuyết vỏ Donnell cải tiến để tìm phương trình chủ đạo và phương pháp Garlekin được sử dụng để tìm ra biểu thức đóng xác định tải vồng tới hạn dạng rẽ nhánh hoặc biểu diễn các tần số cơ bản; trong khi đó phân tích phi tuyến sử dụng lý thuyết chuyển vị lớn dạng von Karman – Donnell của phi tuyến động

Nhận thấy rằng các kết quả công bố trên hầu hết nghiên cứu với các kết cấu không có gân gia cường Tuy nhiên trong thực tế thì các kết cấu tấm và vỏ bao gồm cả vỏ nón thường được tăng cường bởi hệ thống các gân để đảm bảo

độ cứng của khả năng mang tải mà chỉ cần một khối lượng nhỏ được gắn thêm vào Hiện nay các kết cấu được làm từ FGM ngày càng trở nên phổ biến hơn Việc nghiên cứu ổn định và dao động các kết cấu FGM dạng tấm và vỏ

là một trong những vấn đề được quan tâm hàng đầu nhằm mục đích đảm bảo cho các kết cấu làm việc an toàn và tối ưu Trong thực tế để tăng cường khả năng làm việc của kết cấu người ta thường gia cố bằng các gân gia cường Cách làm này có ưu điểm là trọng lượng của gân thêm vào ít mà khả năng chịu tải của kết cấu lại tăng lên nhiều, hơn nữa chỉ cần gia cố ở những vị trí xung yếu, do vậy đây là phương án rất tối ưu về vật liệu

Gần đây, các kết cấu FGM có gân gia cường nhận được nhiều quan tâm nghiên cứu chủ yếu tập trung vào phân tích ổn định, mất ổn định sau vồng và dao động của kết cấu tấm và vỏ của các nhà khoa học trong nước Tác giả Đ

H Bích cùng các cộng sự [12] đã để cập đến ứng xử vồng của panel nón FGM chịu tác dụng của tải cơ Tác giả Đ V Dũng cùng các cộng sự [13] đã nghiên cứu sự mất ổn định của vỏ nón cụt có gân gia cường chịu tác dụng của tải cơ Phương trình cân bằng và ổn định tuyến tính nhận được dựa trên lý thuyết vỏ kinh điển và kỹ thuật san đều tác dụng gân

Nhìn tổng quan các tài liệu chỉ ra rằng vẫn chưa có nhiều các nghiên cứu về dao động tự do của vỏ nón cụt FGM có gân gia cường lệch tâm (ES – FGM ) quay quanh trục đối xứng Dựa trên tài liệu tham khảo của Hua L [3], nghiên cứu đặc trưng tần số của vỏ nón cụt composite phân lớp quay quanh trực đối xứng không gân gia cường, luận văn phát triển và nghiên cứu đặc trưng tần số đối với vỏ nón FGM có gân gia cường quay quanh trục đối xứng Luận văn tập trung vào giải quyết bài toán bằng phương pháp giải tích dựa trên lý thuyết vỏ Donell, kỹ thuật san đều tác dụng gân và phương pháp Galerkin Các phân tích tiến hành để đánh giá ảnh hưởng của gân, tham số vật liệu và tham số hình học cũng như tác dụng của gia tốc Coriolis (sinh ra do vỏ nón quay với tốc độ quay  ) đến tham số tần số đối với dao động tự do của

vỏ nón cụt FGM có gân gia cường

Luận văn bao gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, phụ lục

và các chương chính như sau:

Chương 1 Tiếp cận giải tích: Trình bày các hệ thức cơ bản và các phương trình chuyển động viết qua các thành phần chuyển vị của vỏ nón cụt FGM; diễn giải chi tiết cách giải phương trình chuyển động để tìm ra tần số riêng của vỏ nón

Chương 2 Tính toán bằng số: Các tính toán số so sánh với các công bố trước đó để khẳng định sự tin cậy của tính toán giải tích và khảo sát các ảnh hưởng của các tham số hình học, vật liệu cũng như tốc độ quay đến tham số tần số của vỏ nón

Nội dung cụ thể của các chương sẽ được trình bày dưới đây

Chương 1 - TIẾP CẬN GIẢI TÍCH 1.1 Các hệ thức cơ bản

1.1.1 Vỏ nón vật liệu cơ tính biến thiên

Xét vỏ nón cụt mỏng FGM có bề dày h , chiều dài L và góc

nón  quay quanh trục đối xứng nối tâm nón và chóp nón với tốc độ quay  không đổi (Hình 1), trong đó ,r R lần lượt là bán kính đáy nhỏ

và đáy lớn của vỏ nón cụt Chọn hệ trục tọa độ đối với vỏ nón là hệ trục tọa độ cong x, , z, trong đó gốc tọa độ đặt tại mặt giữa của vỏ, trục

đường tròn và trục z vuông góc với mặt phẳng ( , x), hướng theo pháp tuyến ngoài của nón; x0 là khoảng cách từ chóp nón đến đáy nhỏ r Kí

hiệu ,u v và w lần lượt là các thành phần chuyển vị của điểm tại mặt

trung bình theo các phương ,x và z

Hình 1 Hình vẽ vỏ nón cụt ES – FGM Giả sử vỏ nón được làm từ hỗn hợp hai vật liệu là gốm và kim loại với thành phần vật liệu chỉ thay đổi dọc theo chiều dày của vỏ theo quy luật lũy thừa như sau:

bố vật liệu theo bề dày h của vỏ FGM Các chỉ số dưới , c m kí hiệu tương

ứng là thành phần gốm và kim loại

Các tính chất hiệu dụng Preff của vật liệu FGM được xác định bởi công thức:

Pr ( )eff z Prc V z c( )Prm V z m( ) (1.2) Theo quy luật đã nêu như trên, ta có mô đun đàn hồi Young E z( ) và mật độ khối ( ) z được viết dưới dạng sau:

2( )

22( )

trong đó xm,m là biến dạng dài và x m là biến dạng trượt tại mặt trung bình của vỏ; k x, k và k x tương ứng là biến thiên của độ cong và độ xoắn Các thành phần này có thể viết qua chuyển vị như sau [1]

xm u,x,

,

1

cotsin

trong đó các chỉ số sh và s tương ứng kí hiệu là vỏ và gân, E và s E tương r

ứng là mô đun đàn hồi của các gân theo phương x và theo phương  Để đảm bảo sự liên tục giữa gân và vỏ, các gân được gắn vào sẽ là gân kim loại ở mặt kim loại, và gắn gân bằng gốm nếu mặt vỏ gốm

Để tính đến tác dụng của các gân ta sử dụng kỹ thuật san đều tác dụng gân và bỏ qua sự xoắn của gân bởi vì các hằng số xoắn này là nhỏ hơn rất nhiều so với momen quán tính Thêm vào nữa, sự thay đổi của khoảng cách giữa các gân dọc theo đường sinh cũng được tính đến Lấy tích phân các phương trình liên hệ ứng suất - biến dạng và momen của chúng theo bề dày của vỏ ta được biểu thức của tổng nội lực, tổng momen và các lực cắt của vỏ nón ES - FGM như sau:

0 1



2(1 )

E A

2(1 )

E B

2(1 )

E D

1(4k 4)

là phần diện tích mặt cắt ngang của các gân I1, I là các momen quán tính 2

bậc hai của phần cắt ngang các gân liên hệ với mặt trung bình của vỏ; và





3 2

d



3 0

1.2 Phương pháp giải

Trong phần này phương trình xác định tần số dao động của vỏ nón cụt

ES – FGM được tìm bằng phương pháp giải tích

1.2.1 Điều kiện biên

Giả sử rằng vỏ nón tựa đơn ở hai đầu Khi đó điều kiện biên được viết dưới dạng như sau:

0,

v  w  tại 0 x x0, x0L, 0,

trong đó ,m n lần lượt là số nửa sóng hướng theo dọc đường sinh vỏ nón và

số sóng theo hướng vòng tương ứng;  (rad /s) là tần số riêng của vỏ nón quay



2 66 3

4cot

D x

66 4

4cot

D x



3 2





1(B C )

x

3 2

c x

(1.18), (1.19) với x Thay nghiệm (1.16) vào hệ phương trình hệ quả và áp 3

dụng phương pháp Galerkin cho các phương trình đó, tức là

0 1

Đây là hệ phương trình đại số tuyến tính thuần nhất của U V W Để , ,

hệ có nghiệm không tầm thường thì định thức của ma trận L phải bằng 0, tức ij

0 11 22 33,

Phương trình (1.27) có sáu nghiệm, trong số nghiệm này có hai nghiệm

mà giá trị tuyệt đối của chúng là nhỏ nhất, một nghiệm là số thực dương và một nghiệm là số thực âm [3] Hai giá trị riêng này gọi là hai nghiệm riêng Đối với tốc độ quay  cho trước với mỗi mode dao động tức là đối với một cặp ( ,m n), hai giá trị riêng tương ứng với quá trình sóng lùi, sóng tiến Điều này cũng tương ứng vỏ nón quay với vận tốc góc là âm hoặc dương (vận tốc góc quay ngược chiều kim đồng hồ là vận tốc dương, còn quay thuận chiều kim đồng hồ là vận tốc góc âm) Giá trị dương của  ứng với sóng lùi khi tốc

độ quay   Và ngược lại giá trị âm của 0  ứng với sóng tiến khi tốc độ quay  0 Khi vỏ nón đứng yên ( 0) thì sóng là sóng đứng Và khi vỏ nón bắt đầu quay thì chuyển động sóng đứng sẽ thay đổi sang sóng lùi hoặc sóng tiến tùy thuộc vào chiều quay của tốc độ quay 

Sau khi tìm được tần số riêng  của dao động tự do của vỏ nón cụt FGM chính là hai giá trị riêng có trị tuyệt đối nhỏ nhất, để thuận tiện cho việc

tính toán và so sánh ta đưa vào công thức tính tham số tần số f cho bởi dạng

sau



Công thức (1.29) là công thức tính tham số tần số dao dộng tự do của

vỏ nón cụt FGM có gân gia cường được xây dựng bằng phương pháp giải tích

mà luận văn sử dụng tính toán số cụ thể trong Chương 2

Chương 2 – TÍNH TOÁN SỐ Trong chương này, các kết quả tính toán tham số tần số riêng của vỏ nón cụt ES – FGM dựa theo công thức (1.29) đã thiết lập ở Chương 1

2.1 So sánh kết quả

Để đánh giá tính chính xác của kết quả luận văn, Bảng 1 so sánh kết quả tính toán tham số tần số theo công thức (1.29) cho vỏ nón không gân, đẳng hướng với các kết quả đã được công bố bởi Hua L [3] và Irie T et al [4] Đây là trường hợp đặc biệt của bài toán tổng quát mà luận văn thực hiện Bảng 1 So sánh tham số tần số của vỏ nón cụt không gân, đẳng hướng với

kết quả của Hua L [3] và Irie T et al [4]

theo [3] ,[4] cụ thể như sau: E 4.8265 10 ( Pa),  0.3,

ở hai đầu Các tính chất vật liệu và tham số hình học của vỏ nón cụt ES - FGM như sau:

- E m 70 (GPa), m 2702(kg m/ 3), m 0.3

- E c 380(GPa), c 3800(kg m/ 3), c 0.3

- Bề dày vỏ nón h0.004 ( )m

- Các tỉ số: /r h 20, L r / 2.5

- Chiều rộng và bề dày của các gân dọc: b10.002( )m ,h10.004 ( )m

- Chiều rộng và bề dày gân vòng: b2 0.002 ( )m ,h2 0.004 ( )m ,

- n st, n r tương ứng là số gân dọc, gân vòng

2.2.1 Ảnh hưởng của số sóng n

Xét vỏ nón cụt FGM được làm từ hai vật liệu Nhôm và Nhôm ôxit Vỏ nón được gia cường bởi n st 30 gân dọc, n r 30 gân vòng, quay với tốc độ quay là   100(rad/s), m  , 1 k  1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.2

0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

n (=30 o )

k=1k=3k=5

00.511.522.5

n (=30 o )

k=1k=3k=5

Hình 3 Ảnh hưởng của số sóng n đến tham số tần số ( 30o), ( đường nét liền ứng với trường hợp sóng lùi, đường nét đứt ứng với trường hợp sóng tiến)

2 4 6 8 100

0.511.52

n (=45 o )

f

k=1k=3k=5

00.511.52

n (=45 o )

k=1k=3k=5

f

k= 1 k=3 k=5

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

n (=60 o )

k=1 k=3 k=5

góc nón  cố định thì tham số tần số của sóng tiến rất sát so với sóng lùi Chú ý rằng ở các hình vẽ trên rằng các đường nét liền của đồ thị biểu diễn tham số tần số của sóng lùi còn các đường nét đứt biểu diễn tham số tần số của sóng tiến

2.2.2 Ảnh hưởng của tỉ phần thể tích k

Trong phần này, ta đi xem xét ảnh hưởng của tỉ phần thể tích vật liệu k

đối với vỏ nón cụt FGM có nửa góc nón là  30otại mode ( , )m n (1, 4),

30

Các Hình 6 và Hình 7 biểu thị ảnh hưởng của tỉ phần thể tích k đến

tham số tần số f của vỏ nón ES-FGM Nhận thấy rằng khi tỉ phần thể tích

k tăng thì tham số tần số tăng lên Đặc điểm này phù hợp với tính chất

thực của vật liệu Tức là khi tỉ phần thể tích tăng tương ứng vỏ nón sẽ giàu kim loại hơn nên vỏ nhẹ hơn nên tham số tần số sẽ tăng lên

0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0.46

Hình 6 Ảnh hưởng của tỉ phần thể tích k đến tham số tần số f

Thực hiện tính toán với 2 mode ( , )m n (1, 4), ( , )m n (2, 4), nhận thấy

rằng với cả hai mode thì khi tỉ phần thể tích k tăng thì tham số tần số cũng

tăng; và tham số tần số của mode ( , )m n (2, 4) là cao hơn so với mode