Nghiên cứu dao động tự do của dầm fgm trong môi trường nhiệt độ dựa trên lý thuyết biến dạng trượt

Phần tử dầm xét đến ảnh hưởng của trường nhiệt độ tăng đều được xây dựng bằng cách sử dụng nghiệm chính xác của phương trình cân bằng tĩnh để nội suy cho các biến động học.. Dựa trên lý

LUẬN VĂN THẠC SĨ CƠ KỸ THUẬT

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN ĐÌNH KIÊN

Hà nội - 2017

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của

TS Nguyễn Đình Kiên Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy vì sự chỉ bảo tận tình, những ý kiến chỉ dẫn quý báu đã giúp tôi rất nhiều trong quá trình thực hiện

Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng cơ học vật rắn – Viện cơ học và các bạn trong nhóm seminar của thầy Kiên, đặc biệt là bạn Trần Thị Thơm đã nhiệt tình giúp đỡ, chia sẻ kinh nghiệm

Tác giả luận văn

Nguyễn Đức Hiếu

đƣợc trình bày trong luận văn là trung thực và chƣa từng đƣợc ai công bố trong bất kì công trình nào khác

Tác giả luận văn

Nguyễn Đức Hiếu

Mục lục

Lời Cảm Ơn i

Lời Cam Đoan ii

Mục lục iii

Danh sách hình vẽ v

Danh sách bảng vi

MỞ ĐẦU vii

Chương 1 DẦM FGM TRONG MÔI TRƯỜNG NHIỆT ĐỘ 1

1.1 Tính chất hiệu dụng của dầm FGM với lỗ rỗng vi mô 1

1.2 Trường nhiệt độ trong dầm FGM 2

1.2.1 Trường nhiệt độ tăng đều (UTR) 2

1.2.2 Trường nhiệt độ phi tuyến (NLTR) 3

1.3 Ảnh hưởng của nhiệt độ tới tính chất vật liệu 8

Chương 2 CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN 10

2.1 Phương trình dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất 10

2.1.1 Trường chuyển vị 10

2.1.2 Trường biến dạng, ứng suất 10

2.1.3 Năng lượng biến dạng 11

2.1.4 Động năng 14

2.1.5 Phương trình chuyển động 15

2.2 Phương trình dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc ba cải tiến 18

2.2.1 Trường chuyển vị 18

2.2.4 Động năng 20

2.2.5 Phương trình chuyển động 21

Chương 3 MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN 24

3.1 Công thức phần tử dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất 24

3.1.1 Chuyển vị nút và nội suy 24

3.1.2 Ma trận độ cứng phần tử 26

3.1.3 3.1.3 Ma trận khối lượng phần tử 26

3.2 Công thức phần tử dựa trên lý thuyết dầm bậc ba cải tiến 27

3.2.1 Chuyển vị nút và nội suy 27

3.2.2 Ma trận độ cứng phần tử 28

3.2.3 Ma trận khối lượng phần tử 28

3.3 Phương trình phần tử hữu hạn 29

Chương 4 KẾT QUẢ SỐ VÀ THẢO LUẬN 31

4.1 Tham số hình học và vật liệu 31

4.2 So sánh kết quả 31

4.3 Tần số dao động 34

KẾT LUẬN 45

TÀI LIỆU THAM KHẢO 48

Danh sách hình vẽ

Hình 1.1 Mô hình dầm FGM với lỗ rỗng 1 Hình 1.2 Ảnh hưởng của tỉ lệ thể tích lỗ rỗng đến mô-đun đàn hồi của dầm 7 Hình 1.3 Ảnh hưởng của nhiệt độ đến mô-đun đàn hồi của dầm trong trường nhiệt độ

NLTR 36

Hình 4.2 Sự phụ thuộc của tham số tần số cơ bản vào tham số vật liệu (L/h=20) 37 Hình 4.3 Sự phụ thuộc của tham số tần số cơ bản của dầm với lỗ rỗng vào nhiệt độ

trong trường nhiệt độ UTR (L/h=50) 39

Hình 4.4 Sự phụ thuộc của tham số tần số cơ bản của dầm với lỗ rỗng vào nhiệt độ

Hình 4.7 Sự phụ thuộc của tham số tần số cơ bản vào tham số vật liệu với các cặp vật

liệu khác nhau trong trường nhiệt độ tăng đều, T =20K 43

Bảng 4.2 So sánh tham số tần số cho dầm dựa trên lý thuyết dầm bậc nhất,  31T 0Bảng 4.3 So sánh tham số tần số cho dầm dựa trên lý thuyết dầm bậc ba,  32T 0Bảng 4.4 So sánh tham số tần số cơ bản của dầm FGM trong trường nhiệt độ, V  p 0 33Bảng 4.5 So sánh tham số tần số cơ bản của dầm FGM với lỗ rỗng với V  p 0.1 33Bảng 4.6 So sánh tham số tần số cơ bản của dầm FGM với lỗ rỗng với V =0.2 34 p

MỞ ĐẦU

1 Tổng quan

Vật liệu có cơ tính biến thiên (Functionally Graded Material, viết tắt là FGM) là một loại vật liệu composte mới, thường được tạo từ gốm và kim loại, với tỷ lệ thể tích của các vật liệu thành phần thay đổi liên tục theo một hoặc vài hướng không gian mong muốn FGM được khởi tạo đầu tiên bởi các nhà khoa học Nhật Bản ở Sendai vào năm 1984 [1] Do sự thay đổi liên tục của các vật liệu thành phần, các tính chất hiệu dụng của FGM là hàm liên tục của các biến không gian, vì thế FGM tránh được các yếu điểm mà vật liệu composite truyền thống thường gặp như sự tách lớp, tập trung ứng suất… FGM được sử dụng để phát triển các phần tử kết cấu dùng trong các môi trường khắc nghiệt như nhiệt độ cao, chịu sự ăn mòn của a xít Trong các phần tử kết cấu FGM, dầm FGM được sử dụng rộng rãi trong lĩnh vực hàng không, vũ trụ, trong đó kết cấu thường chịu tác động đồng thời của các tải trọng cơ và nhiệt Nghiên cứu ứng xử của kết cấu dầm FGM được các nhà khoa học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu Dưới đây tóm lược một số nghiên cứu liên quan trực tiếp tới đề tài của luận văn này

Chakraborty và cộng sự [2] phát triển phần tử dầm dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất để nghiên cứu bài toán tĩnh, dao động tự do và truyền sóng của dầm phân lớp với lõi là vật liệu FGM Phần tử dầm xét đến ảnh hưởng của trường nhiệt độ tăng đều được xây dựng bằng cách sử dụng nghiệm chính xác của phương trình cân bằng tĩnh để nội suy cho các biến động học Sử dụng phương pháp Petrov-Galerkin, Ching và Yen [3] nghiên cứu biến dạng nhiệt-đàn hồi của dầm FGM Các tác giả chỉ ra rằng trường nhiệt độ và biến dạng của dầm FGM ở trạng thái tức thời khác biệt đáng

kể so với trường nhiệt độ và trường biến dạng ở trạng thái ổn định Xiang and Yang [4] sử dụng phương pháp cầu phương vi phân (Differential Quadrature Method) để nghiên cứu dao động tự do và cưỡng bức của dầm Timoshenko dự ứng lực bởi nhiệt

độ với chiều dày thay đổi Trên cơ sở lý thuyết biến dạng trượt bậc ba, Kadoli cùng đồng nghiệp [5] xây dựng ma trận độ cứng và vec-tơ lực nút cho phân tích ứng suất của dầm FGM Pradhan and Murmu [6] sử dụng phương pháp cầu phương vi phân sửa đổi để tính toán tần số tự nhiên của dầm sandwich FGM trong môi trường nhiệt độ Cũng bằng phương pháp cầu phương vi phân, Malekzadeh [7] nghiên cứu dao động tự

do của vòm FGM trong môi trường nhiệt độ Kết quả số trong [7] chỉ ra rằng sự phụ thuộc vào nhiệt độ của tính chất vật liệu ảnh hưởng đáng kể đến tần số tự nhiên của vòm Dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc cao, Mahi và cộng sự [8] trình bày phương pháp giải tích để đánh giá ảnh hưởng của sự tăng nhiệt độ và phân bố vật liệu lên tần số tự nhiên của dầm FGM Alshorbagy và đồng nghiệp [9] sử dụng phần tử

xây dựng ma trận độ cứng và ma trận khối lượng để nghiên cứu dao động tự do và mất ổn định của dầm Timoshenko hình nêm với tính chất vật liệu thay đổi theo chiều dọc Thai và Vo [11] đã trình bày nghiệm giải tích cho bài toán uốn và dao động của dầm Timoshenko dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc cao Bài toán uốn và dao động của dầm FGM cũng được nghiên cứu trong [12] trên cơ sở lý thuyết biến dạng trượt sửa đổi Esfahani và cộng sự [13] sử dụng phương pháp cầu phương vi phân tổng quát

để đánh giá ảnh hưởng của nền đàn hồi phi tuyến và sự tăng của nhiệt độ tới ổn định phi tuyến của dầm Timoshenko FGM Ảnh hưởng của môi trường nhiệt độ được Fallah và Aghdam [14], Shen và Wang [15] quan tâm nghiên cứu trong phân tích dao động tự do phi tuyến và mất ổn định của dầm FGM trên nền đàn hồi Dựa trên lý thuyết dầm Timoshenko, Komijani và đồng ghiệp [16] nghiên cứu bài toán dao động

và ổn định nhiệt của dầm FGM nằm trên nền đàn hồi phi tuyến với tính chất vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ Trên cơ sở lý thuyết biến dạng trượt bậc ba, Trinh và cộng sự [17] trình bày phương pháp giải tích để phân tích dao động và mất ổn định của dầm FGM chịu tải trọng cơ và nhiệt

Vật liệu FGM thường được sử dụng trong môi trường nhiệt độ cao, do đó việc hiểu rõ được ứng xử với nhiệt độ là rất quan trọng Ngoài ra do sự khác biệt về nhiệt

độ trong các vật liệu thành phần trong quá trình hóa rắn, các lỗ rỗng vi mô có thể hình thành trong quá trình chế tạo FGM [18] Một số mô hình lỗ rỗng khác nhau đã được đề nghị để nghiên cứu ảnh hưởng của lỗ rỗng tới ứng xử của kết cấu FGM Điển hình như Magnucki và Stasiewicz [19] đưa ra mô hình với giả thiết lỗ rỗng tập trung nhiều hơn

ở gần giữa trục dầm và giảm dần về hai phía mặt trên và mặt dưới của dầm Jabbari và cộng sự [20] xây dựng mô hình trong đó lỗ rỗng tập trung chủ yếu ở phần đáy và giảm dần về mặt trên Wattanasakupong và cộng sự [21] giả định lỗ rỗng phân bố đều trong các pha vật liệu thành phần và đề xuất luật sửa đổi để đánh giá ảnh hưởng của lỗ rỗng Ảnh hưởng của lỗ rỗng đến dao động tự do của dầm FGM đã được một số tác giả quan tâm nghiên cứu [21, 22] Gần đây, Nguyễn Đình Kiên và cộng sự [23] sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để nghiên cứu ảnh hưởng của lỗ rỗng vi mô tới dao động cưỡng bức của dầm FGM

2 Định hướng và nội dung nghiên cứu

Từ các phân tích nêu trên ta thấy rằng ảnh hưởng của lỗ rỗng vi mô tới dao động của dầm FGM mới chỉ được một số ít tác giả quan tâm nghiên cứu Liên quan tới dầm FGM trong môi trường nhiệt độ, theo hiểu biết của tác giả, hiện mới có nghiên cứu của Ebrahimi và cộng sự [22], trong đó ảnh hưởng của nhiệt độ và lỗ rỗng vi mô tới dao động tự do của dầm FGM được quan tâm nghiên cứu trên cơ sở lý thuyết dầm Euler-

này, đánh giá ảnh hưởng của lỗ rỗng vi mô tới các đặc trưng dao động tự do của dầm FGM có lỗ rỗng vi mô dựa trên lý thuyết biến dạng trượt có ý nghĩa khoa học và thực tiễn mà Luận văn này quan tâm nghiên cứu

Hai lý thuyết biến dạng trượt, lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất và lý thuyết biến dạng trượt bậc ba cải tiến [24], được sử dụng trong luận văn để xây dựng mô hình toán học cho dầm FGM trong môi trường nhiệt độ Lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất cần

hệ số điều chỉnh trượt mà giá trị của nó cho dầm FGM vẫn còn tranh cãi, vì thế việc sử dụng thêm lý thuyết biến dạng trượt bậc ba cải tiến [24] là cần thiết Khi dầm FGM đặt trong môi trường nhiệt độ cao, các hệ số đàn hồi của vật liệu thay đổi theo nhiệt độ môi trường, vì thế sự phụ thuộc của các tham số vật liệu vào nhiệt độ môi trường được xem xét trong việc xây dựng phương trình vi phân chuyển động của dầm Phương pháp phần tử hữu hạn được sử dụng để tính toán tần số dao động riêng của dầm Từ định hướng nghiên cứu nêu trên, luận văn sẽ tiến hành thực hiện các nhiệm vụ cụ thể sau đây:

1) Xây dựng phương trình vi phân chuyển động của dầm trong môi trường nhiệt

độ cao, có tính tới ảnh hưởng của lỗ rỗng vi mô Phương trình được xây dựng trên cơ sở lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất và lý thuyết biến dạng trượt bậc ba cải tiến

2) Thiết lập biểu thức cho ma trận độ cứng và ma trận khối lượng cho một phần tử dầm đặc trưng Phát triển chương trình tính toán số để tính toán các đặc trưng động lực học của dầm

3) Áp dụng tính toán cho bài toán cụ thể Khảo sát ảnh hưởng của tỷ lệ thể tích lỗ rỗng và sự tăng nhiệt độ môi trường tới đặc trưng động lực học của dầm Đánh giá và đưa ra các nhận xét về kết quả số nhận được

3 Bố cục của luận văn

Ngoài phần Mở đầu, Luận văn gồm 4 Chương và phần Kết luận Các tài liệu tham khảo và các bài báo liên quan được liệt kê ở cuối luận văn Nội dung chính của các chương như sau:

Chương 1 trình bày mô hình dầm FGM với lỗ rỗng vi mô trong môi trường nhiệt độ Tính chất vật liệu được giả định phụ thuộc vào nhiệt độ, trong đó trường nhiệt độ phân bố theo chiều cao dầm nhận được từ nghiệm của phương trình truyền nhiệt Fourier Ảnh hưởng của nhiệt độ và tỉ lệ thể tích của lỗ rỗng vi mô lên mô đun đàn hồi và độ cứng của dầm được khảo sát chi tiết

bậc nhất và bậc ba cải tiến

Chương 3 xây dựng mô hình phần tử hữu hạn để tính toán các đặc trưng dao động của dầm Các hàm dạng chính xác được sử dụng để nội suy cho chuyển vị và góc xoay cho phần tử dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất Hàm tuyến tính được dùng để nội suy cho góc xoay và chuyển vị dọc trục, hàm Hermite cho chuyển vị ngang của phần tử dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc ba cải tiến, mỗi nút bốn bậc

tự do

Chương 4 tiến hành phân tích số và khảo sát ảnh hưởng của các tham số vật liệu, tỷ lệ thể tích lỗ rỗng và sự tăng nhiệt độ tới các đặc trưng dao dộng của dầm Một

số nhận xét được rút ra từ kết quả số nhận được

Chương 1 DẦM FGM TRONG MÔI TRƯỜNG NHIỆT ĐỘ

Chương này trình bày mô hình dầm FGM với lỗ rỗng vi mô trong môi trường

nhiệt độ, các tính chất vật liệu được giả sử phụ thuộc vào nhiệt độ và tỉ lệ thể tích của

lỗ rỗng Trường nhiệt độ phân bố trong dầm nhận được từ việc giải phương trình

truyền nhiệt Fourier

1.1 Tính chất hiệu dụng của dầm FGM với lỗ rỗng vi mô

Hình 1.1 minh họa dầm FGM với chiều dài L, chiều rộng b và chiều cao h trong

hệ tọa độ Đề-các (x,z) Hệ tọa độ (x,z) được chọn sao cho trục x trùng với mặt giữa

của dầm còn trục z vuông góc với mặt giữa và hướng lên trên

trong đó V c , V m tương ứng là tỉ lệ thể tích của gốm và kim loại; số mũ n (không âm)

là tham số vật liệu, xác định sự phân bố của vật liệu thành phần; z là tọa độ theo chiều

cao dầm Trong (1.1) cũng như các phương trình sau này, chỉ số dưới ‘c’ và ‘m’ được

dùng để chỉ các pha gốm và pha kim loại Dễ dàng nhận thấy từ phương trình (1.1)

rằng mặt trên của dầm ứng với z = h/2 hoàn toàn là gốm và mặt dưới của dầm ứng với

z = -h/2 thuần túy là kim loại

Các tính chất hiệu dụng của dầm được đánh giá theo mô hình Voight [15]:

với P c , P m tương ứng là tính chất vật liệu (mô-đun đàn hồi E, hệ số Poisson, mật độ

khối…) của pha gốm và pha kim loại Mật độ khối lượng được giả thiết không phụ thuộc vào nhiệt độ

Khi xét đến ảnh hưởng của các lỗ rỗng vi mô, luật phối trộn cải tiến do Wattanasakupong và cộng sự [21] đề xuất được sử dụng để đánh giá các tính chất hiệu dụng như sau:

Trong đó V p là tỷ lệ thể tích của lỗ rỗng(V p 1) Từ công thức (1.3) ta có thể

thấy rằng lỗ rỗng vi mô được giả định phân bố đều trong cả hai pha kim loại và gốm

Trong môi trường nhiệt độ các tính chất của vật liệu thay đổi theo nhiệt độ nên phương trình trên được viết lại dưới dạng sau:

22

1.2.1 Trường nhiệt độ tăng đều (UTR)

Giả sử ở nhiệt độ phòng T0 =300K (270C), dầm FGM ở trạng thái tự do về ứng

suất Nhiệt độ tăng đều đến nhiệt độ T, cách nhiệt độ ban đầu một khoảng T Trường nhiệt độ được giả định phân bố đồng nhất trong dầm:

trong đó T là lượng nhiệt độ tăng

1.2.2 Trường nhiệt độ phi tuyến (NLTR)

Trường nhiệt độ trong dầm với mặt trên và mặt dưới dầm chịu ràng buộc bởi các nhiệt độ khác nhau:T  tại T c z h / 2 và T T m  tại T0 z h/ 2, T T c T m,

có thể nhận được bằng việc giải phương trình truyền nhiệt Fourier [15, 25] :

n n n

x x

p n

n

p p

1 0

np p

( )

h

h

dz B

1 0

0

121

2

11

2

np p

cm

p p

cm

p p

z h

2 2

5 5

z V h

của dầm (T c và T m ), chiều dày dầm h, tham số vật liệu n và hệ số dẫn nhiệt của các vật

mọi giá trị của tham số n, mô đun đàn hồi hữu hiệu của dầm có lỗ rỗng vi mô thấp hơn

đáng kể dầm không có lỗ rỗng Ảnh hưởng của nhiệt độ tới mô đun đàn hồi tương tự

200 220 240 260 280 300 320 340

n=1

n=5

n=10

n=10 n=5

n=1 n=0.5

160 180 200 220 240 260 280

n=5

n=10

n=0.1

n=0.5 n=1

Hình 1.3 Ảnh hưởng của nhiệt độ đến mô-đun đàn hồi của dầm trong trường

nhiệt độ UTR và NLTR như ảnh hưởng của lỗ rỗng vi mô và mô đun đàn hồi giảm trong môi trường nhiệt độ Trong hai trường nhiệt độ xem xét trong luận văn này, trường nhiệt độ đồng nhất ảnh hưởng tới mô đun đàn hồi mạnh hơn trường nhiệt độ phi tuyến

1.3 Ảnh hưởng của nhiệt độ tới tính chất vật liệu

Tính chất hiệu dụng của các vật liệu thành phần của dầm phụ thuộc vào nhiệt độ được biểu diễn là hàm của nhiệt độ theo phương trình phi tuyến [26]:

trong đó T (K) là nhiệt độ môi trường, P 0 , P -1 , P 1 , P 2 và P 3 là các hệ số của nhiệt độ và

là duy nhất đối với từng vật liệu Từ phương trình (1.1), mô đun đàn hồi và hệ số giãn

nở nhiệt của từng vật liệu thành phần phụ thuộc vào nhiệt độ như sau:

Thế (1.21) vào (1.4) ta nhận được biểu thức của mô đun đàn hồi, mô đun trượt

và hệ số giãn nở nhiệt như sau:

Trong đó ν là hệ số Poisson Mật độ khối ít chịu ảnh hưởng của nhiệt độ nên có thể biểu diễn biểu thức của ρ như sau:

z

h

Kết luận của chương 1

Trong chương 1 tác giả đã xây dựng được mô hình dầm FGM với lỗ rỗng vi mô đặt trong trường nhiệt độ Các tính chất vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ và tỉ lệ thể tích của lỗ rỗng vi mô Luật phối trộn cải biên do Wattanasakulpong và cộng sự [21] đề nghị được sử dụng để đánh giá các tính chất hiệu dụng của dầm Việc tìm nghiệm của phương trình truyền nhiệt Fourier để nhận được trường nhiệt độ trong dầm được trình bày chi tiết Khảo sát ảnh hưởng của nhiệt độ và lỗ rỗng tới mô đun đàn hồi của dầm chỉ ra rằng sự tăng của nhiệt độ và tỉ lệ thể tích của lỗ rỗng làm giảm mô đun đàn hồi

và sự giảm này mạnh hơn khi dầm đặt trong trường nhiệt độ tăng đều Mật độ khối được giả sử không phụ thuộc vào nhiệt độ mà chỉ phụ thuộc vào tỉ lệ thể tích của lỗ rỗng

Chương 2 CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN

Chương này nhằm thiết lập các phương trình cơ bản cho dầm FGM dựa trên lý

thuyết biến dạng trượt bậc nhất và bậc ba cải tiến Phương trình chuyển động được xây

dựng dựa trên nguyên lý biến phân Hamilton

2.1 Phương trình dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất

2.1.1 Trường chuyển vị

Trên cơ sở của lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất, chuyển vị dọc trục, u1, và

chuyển vị ngang, u3, của một điểm bất kì của dầm trên Hình 1.1 cho bởi:

trong đó u 0 (x,t), w 0 (x,t) tương ứng là chuyển vị dọc trục và chuyển vị theo phương

ngang của điểm bất kì nằm trên trục giữa của dầm, θ(x,t) là góc xoay của thiết diện

Trong biểu thức trên kí hiệu ( ) ,x được dùng để chỉ đạo hàm riêng theo biến x

và ( ) ,z là đạo hàm riêng theo biến z; ε xx và γ xz tương ứng là các biến dạng dọc trục và

trong đó E(z,T) và G(z,T) tương ứng là mô đun đàn hồi và mô đun trượt hiệu dụng của dầm, phụ thuộc vào nhiệt độ theo phương trình (1.4) ; ψ là hệ số hiệu chỉnh trượt, chọn

bằng 5/6 cho dầm có thiết diện ngang hình chữ nhật trong luận văn này

2.1.3 Năng lượng biến dạng

Từ trường biến dạng và ứng suất nhận được, biểu thức cho năng lượng biến dạng đàn hồi cho dầm Timoshenko làm từ vật liệu FGM với lỗ rỗng vi mô có thể viết dưới dạng:

11 0, 12 0, , 22 , 33 0, 0

1

21

22

V L

với A là diện tích thiết diện ngang của dầm

Giả sử dầm ở trạng thái tự do ứng suất ở nhiệt độ tham chiếu T [32] Khi đó 0

ứng suất nhiệt sinh ra do sự tăng của nhiệt độ được cho bởi:

T

xx E z T z T T z

trong đó mô đun đàn hồi E z T và hệ số giãn nở nhiệt  ,  z T, được tính theo (1.22)

và (1.23) Khi đó năng lượng biến dạng sinh ra do sự tăng của nhiệt độ được tính như sau:

11 0, 12 0,

2 0

, 0 0

n

A 22/A 22

0 2 4 6 8 10 0.7

0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

n

A 11/A 11

Hình 2.2 Sự phụ thuộc của độ cứng dọc trục vào nhiệt độ

Do mô đun đàn hồi là hàm của nhiệt độ nên khó có thể tính các hệ số độ cứng

A11, A 12, A22 và A33 bằng phương pháp giải tích Luận văn này sử dụng tích phân số, cụ

thể phương pháp Simpson 3/8, để tính các độ cứng dầm Thêm vào đó, N T là hàm của

mô đun đàn hồi và hệ số giãn nở nhiệt nên cũng phải sử dụng tích phân số để tính toán

Tỷ lệ thể tích lỗ rỗng vi mô và nhiệt độ làm giảm mô đun đàn hồi nên các hệ số

độ cứng của dầm cũng bị ảnh hưởng bởi các tham số này Hình 2.1 minh họa sự phụ thuộc của độ cứng dọc trục và độ cứng chống uốn vào tỉ lệ thể tích của lỗ rỗng của dầm FGM tạo bởi SUS304 và Al O ở nhiệt độ phòng Từ Hình 2.1 ta thấy rằng tỉ lệ 2 3thể tích lỗ rỗng ảnh hưởng mạnh đến độ cứng của dầm, khi tỉ lệ thể tích lỗ rỗng tăng lên thì các độ cứng của dầm giảm đi Hình 2.2 và 2.3 minh họa sự phụ thuộc của độ cứng dọc trục và độ cứng chống uốn vào nhiệt độ của dầm trong hai trường hợp, trường nhiệt độ tăng đều và trường nhiệt độ tăng phi tuyến khi V  p 0.1 Trong Hình 2.2 và 2.3 thì A và 110 A là các độ cứng dọc trục và độ cứng chống uốn của dầm thép 220

220 17.316 10

dọc trục và độ cứng chống uốn giảm và sự suy giảm mạnh hơn trong trường nhiệt độ tăng đều Ngoài ra ta cũng có thể thấy rằng khi dầm đặt trong trường nhiệt độ, sự suy

giảm độ cứng lớn hơn khi tham số vật liệu n lớn hơn Điều này được lý giải bởi thành

phần kim loại, chịu sự ảnh hưởng mạnh của nhiệt độ tăng lên Điều này hoàn toàn phù hợp với bản chất vật lý của dầm trong môi trường nhiệt độ cao

A 22/A 22

2

L

L A

trong đó kí hiệu   là đạo hàm riêng theo thời gian t; I. 11, I12 và I22 tương ứng là các

mô men khối lượng dọc trục, tương hỗ giữa dọc trục và uốn, mô men khối lượng chống uốn, được định nghĩa như sau:

2.1.5 Phương trình chuyển động

Phương trình chuyển động cho dầm được xây dựng từ nguyên lý biến phân

Hamilton Nguyên lý Hamilton có dạng [27]

dạng đàn hồi và thế năng của các lực ngoài Trong trường hợp dầm FGM dao động tự

2.2 Phương trình dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc ba cải tiến

2.2.1 Trường chuyển vị

Dựa theo lý thuyết dầm bậc ba cải tiến do Shi đề nghị [24], chuyển vị dọc trục

và chuyển vị theo phương ngang của một điểm bất kỳ trên dầm được cho dưới dạng sau:

trong đó xx và xz tương ứng là biến dạng dọc trục và biến dạng trượt của dầm

Ứng suất dọc trục và ứng suất trượt tương ứng với trường biến dạng (2.21) là:

trong đó

2 3

12

L

T

U  N w dx (2.25)

tương ứng là năng lượng biến dạng đàn hồi của dầm và năng lượng biến dạng sinh ra

do sự tăng của nhiệt độ

Trong biểu thức (2.24) thì các đại lượng A A A A A A và 11, 12, 22, 34, 44, 66 B B B 11, 22, 44

là các độ cứng của dầm, được định nghĩa như sau: