Nghiên cứu dao động tự do của dầm timoshenko và áp dụng tính toán dao động thân tàu thuỷ

Nghiên cứu dao động tự do của dầm timoshenko và áp dụng tính toán dao động thân tàu thuỷ Title: Nghiên cứu dao động tự do của dầm timoshenko và áp dụng tính toán dao động thân tàu thuỷ Authors: Trần Ngọc An Advisor: Nguyễn Văn Khang Keywords: Dầm Timochenko; Tàu thủy; Dao động Issue Date: 2007 Publisher: Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Abstract: Thiết lập các phương trình đạo hàm riêng dao động uốn của dầm timoschenko thiết diện không đổi, thiết diện biến đổi, dao động tàu thủy. Description: Luận văn (Thạc sỹ khoa học) Ngành Cơ học kỹ thuật

Chương 1: Thiết lập các phương trình đạo hàm riêng dao động uốn của

1.1.Các phương trình cơ bản của lý thuyết uốn của dầm thẳng 3

1.2.Thiết lập phương trình vi phân dao động uốn của dầm

1.3.Các điều kiện biên của dầm Timoschenko 11

Chương 2: Dao động uốn tự do của dầm Timoschenko thiết diện không

2.1.Phương trình đặc trưng của dầm Timoschenko 13

2.2.Hai phổ tần số của dầm Timoschenko 15

2.3.Dao động uốn tự do của dầm hai đầu liên kết bản lề 24

2.4.Dao động uốn tự do của dầm hai đầu tự do 31

2.5.Dao động uốn tự do của dầm một đầu ngàm, một đầu tự do 35

2.6.Dao động uốn tự do của dầm hai đầu ngàm 38

2.7.Dao động uốn tự do của dầm một đầu ngàm, một đầu bản lề 41

2.8.Dao động uốn tự do của dầm một đầu ngàm, một đầu ngàm

3.3.Phương pháp sai phân hữu hạn với bài toán dao động tự do của

3.4.Phương pháp sai phân hữu hạn với bài toán dao động tự do của

4.3.Các lực gây dao động của vỏ tàu thuỷ 95

4.4.Phương trình dao động tự do của thân tàu thuỷ 96

lời nói đầu

Tính toán kiểm tra dao động tàu thuỷ và kết cấu của nó là một yêu cầu cần thiết của thiết kế tàu thuỷ Xác định giá trị của các yếu tố dao động của tàu thuỷ nhằm mục đích đánh giá ảnh hưởng của dao động đến khả năng làm việc và tâm sinh lý của con người trên tàu, mặt khác nó còn là cơ sở để xác

định các giá trị lực và momen kích thích cho phép gây lên chấn động chung và chấn động cục bộ của vỏ tàu ứng suất do chấn động chung thường nhỏ hơn so với ứng suất tính toán sức bền tàu thuỷ nhưng nó lại ảnh hưởng nhiều đến sự là việc của cơ cấu cảm ứng ứng suất này thường chỉ nguy hiểm ở chỗ mối nối cơ cấu và gây lên các vết nứt ở đó, nó chính là nguyên nhân gây lên hiện tượng phá huỷ cơ cấu mỏi

Vào thời kỳ từ 1933 đến 1936 theo đề nghị của P.F Pavkovic, các viện nghiên cứu tàu thuỷ của châu Âu đã tiến hành nghiên cứu rộng rãi về dao

động của các tàu đang được khai thác và đã tập hợp được những số liệu quý báu về sự hư hỏng do dao động gây lên cũng như ảnh hưởng của nó đến sức khoẻ của đoàn thuỷ thủ và hành khách Sự phân tích kết quả sau đó đã đi đến

đề nghị những định mức về tiêu chuẩn dao động cho phép đầu tiên cho ngành

đóng tàu thế giới:

- Biên độ dao động cho phép a≤ 1 - 1,5mm

- Biên độ gia tốc dao động b ≤ (0,01 - 0,015)g (g là gia tốc trọng trường) Năm 1955 T Kuman đã tiến hành đo đạc trên 3 tàu và đã xác lập được rằng: cảm giác không thoải mái của con người do dao động ngang gây lên bắt

đầu khi gia tốc b ≥ 0,015g và do dao động thẳng đứng khi b ≥ 0,03g

Ngày nay các giá trị biên độ dao động của tàu thuỷ và gia tốc của nó đã

được xây dựng thành tiêu chuẩn của thiết kế và được lưu hành ở mọi nước có nền công nghiệp đóng tàu phát triển Trong giai đoạn thiết kế kỹ thuật trên cơ

sở tính toán xác định tần số dao động tự do của tàu, của các tấm và dàn tàu trong vùng chịu tác động của áp lực xung động xuất hiện khi chân vịt và hệ thống trục làm việc mà người ta đưa ra các biện pháp kết cấu cần thiết để không cho phép các tần số dao động tự do trùng với các tần số lực kích thích gây chấn động trong chế độ hành trình của tàu Như vậy việc xác lập và giải bài toán dao động tự do và cưỡng bức yêu cầu phải đạt tới độ chính xác nhất

định Các phương pháp cổ điển tính dao động đến nay không còn áp dụng

được nữa do độ chính xác thấp và khó áp dụng tự động Phương pháp sai phân hữu hạn ra đời đã giải quyết bài toán dao động nói chung một cách đáng tin cậy, tuy nhiên đối với ngành đóng tàu Việt nam đến nay các bài toán này chưa

được giải quyết và cũng chưa có công trình nghiên cứu dao động tàu thuỷ một cách đầy đủ

Để từng bước đáp ứng yêu cầu phát triển ngành đóng tàu tương lai của

đất nước, được sự hướng dẫn của GS TSKH Nguyễn Văn Khang, tác giả mạnh dạn tìm hiểu phương pháp và thực hành tính toán bài toán dao động chung tàu thuỷ với mô hình dầm Timoschenko Đây là phương pháp còn rất mới mẻ đối với nghiên cứu tàu thuỷ của nước ta Do thời gian còn hạn chế, đề tài mới chỉ dừng lại ở việc nghiên cứu bài toán dao động chung của tàu trong mặt phẳng thẳng đứng Mặc dù còn không ít những vấn đề chưa được đề cập

đến để giải quyết trọn vẹn bài toán, song đề tài đã giới thiệu cơ sở của phương pháp nghiên cứu và đưa ra được thuật toán cũng như kết quả tính toán có thể chấp nhận được ở mức độ nhất định

Cuối cùng tác giả xin chân thành cảm ơn GS TSKH Nguyễn Văn Khang

- Người hướng dẫn chính đã nhiệt tình giúp đỡ và cung cấp tài liệu cho tác giả trong quá trình thực hiện đề tài này

Hà Nội, ngày 10 tháng 11 năm 2007

Trần ngọc an

Chương I Thiết lập các phương trình đạo hàm riêng

dao động uốn của dầm Timoschenko

Trong chương này, áp dụng nguyên lý d’Alembert thiết lập phương trình

đạo hàm riêng dao động uốn của dầm Timoschenko, sau đó trình bày các điều kiện biên của dầm Timoschenko

1.1 Các phương trình cơ bản của lý thuyết uốn của dầm thẳng

Trong phần này chúng ta thiết lập các phương trình cơ bản xác định quan

hệ giữa ứng suất và biến dạng của dầm thẳng bị uốn ở đây ta giới hạn xét sự uốn của thanh thẳng (uốn một trục) Ta giả thiết chọn các trục y và z là các trục quán tính chính của thiết diện (I yz = 0) và trục x được chọn là trục hình học của dầm

Các lực tác dụng lên phân tố nhỏ dx của dầm gồm lực cắt Q theo phương

z, momen uốn M quanh trục y, tải trọng phân bố p theo trục z Điều này xảy ra khi các ngoại lực chỉ tác dụng lên mặt phẳng (x, z), thiết diện của dầm đối xứng với trục z Ta xét bài toán tĩnh Từ các phương trình cân bằng tĩnh học của phân tố dx ta có:

dA Q

dA z

z

u x

w x

u

∂

∂+

Do không có các biến dạng khác, ta ký hiệu εx bằng ε, γxy bằng γ Biến dạng kéo nén ε và sự thay đổi góc γ của phần tử dầm chỉ ra trên hình 3

Quan hệ giữa biến dạng tỷ đối dài ε và ứng suất pháp cũng như biến dạng góc γ và ứng suất tiếp có dạng theo các định luật đàn hồi

γ τ ε

xdx

(z

ψ

ψ = (chọn chiều ngược chiều kim đồng hồ làm chiều quay dương) Do đó

điểm P cách trục x một đoạn z sẽ dịch chuyển theo hướng x một đoạn

z x z

E x

u E

u x

w G

dA z E dA z x E

M ψ 2 ψ' 2 , = ∫

A

dA z E

là momen quán tính thiết diện, phương trình thứ nhất ở trên có dạng

' ) ( x ψ

do hai giả thiết gần đúng trên Vì vậy người ta tìm cách đưa vào một tham số hiệu chỉnh

w G dA Q

A A

)

Ta đưa tham số hiệu chỉnh k* vào công thức (1.11)

)'((

Công thức (1.12) được gọi là định luật đàn hồi về lực cắt Do tác động

của lực cắt Q, một phần tử dầm sẽ thực hiện một góc quay là w'+ψ (hình 1.4)

Đại lượng k * G A được gọi là độ cứng trượt k* là tham số điều chỉnh, đặc

trưng cho sự phân bố không đều ứng suất tiếp trên thiết diện ngang của dầm Nếu thiết diện là hình chữ nhật * 5

Bỏ qua dao động xoắn và dao động dọc trục, ta chỉ xét dao động uốn của dầm theo phương z

Khác với bài toán tĩnh, ở đây độ võng w, góc xoay ψ , momen uốn M và lực cắt Q là hàm của toạ độ x và thời gian t

Trên hình 5c, dm là khối lượng của phân tố dx, dJ là momen quán tính

khối của phân tố đối với trục y (vuông góc với x và z):

dx x I dA z dx dJ

dx A dm

A

)(

I( ) 2 là momen quán tính mặt đối với trục y

Để thiết lập phương trình dao động uốn của dầm ta áp dụng nguyên lý d’Alembert Từ điều kiện cân bằng các lực theo phương z ta có:

0)

,(

2

2

=+

−

∂

∂++

Từ điều kiện cân bằng momen các lực đối với trục đi qua khối tâm thiết diện ta có:

02

t dJ

dx dx x

Q Q

dx Q M dx x

M

Chú ý đến (1.14) các phương trình (1.15) và (1.16) có thể viết gọn lại dưới dạng

),()

(

2

2

t x p x

Q t

w x

M t

1.2.2 Dầm Timoschenko đồng chất thiết diện không đổi

Đối với dầm đồng chất thiết diện không đổi, do A (x) và I(x) là các hằng

số, từ hệ hai phương trình (1.21) và (1.22) ta suy ra hai phương trình đơn giản hơn:

2 2

Đạo hàm phương trình (1.24) theo x rồi trừ vào phương trình (1.23) ta

2

4 4

4 3

3

),(

*

1

t x p GA k x t

w G k x

4 2

2

4 2

3

),(

*

1

t x p GA k t

w G k t x

w t

2

4

4 2 2

2 2

2

4 4

4

),(

*

),(

*),(

*

*1

t

t x p GA k

I x

t x p GA k

EI t

x p

t

w G k

I t

w A x

t

w G

k

E I

x

w EI

∂

∂+

∂

∂+

ρ

(1.28)

Phương trình (1.28) là phương trình đạo hàm riêng cấp bốn mô tả dao

động uốn của dầm Timoshenko đồng chất thiết diện không đổi Sau này khi nghiên cứu dao động uốn của dầm Timoschenko đồng chất thiết diện không

đổi, người ta thường sử dụng hoặc hệ hai phương trình đạo hàm riêng cấp hai (1.23) và (1.24) hoặc phương trình đạo hàm riêng cấp bốn (1.28)

1.3 Các điều kiện biên của dầm Timoschenko

1.3.1 Biên tự do

Tại biên tự do, momen uốn M và lực cắt Q đều bằng không Giả sử tại x

=L là biên tự do, từ các biểu thức (1.19) và (1.20) ta suy ra:

0),(),()(

*),(,

0),()()

t L L

I E

0),(

=+

t L

ψ

1.3.2 Biên ngàm chặt

Tại biên ngàm chặt, độ võng w = 0 và góc xoay ψ = 0 Giả sử tại x = 0 là

biên ngàm chặt Các điều kiện biên có dạng:

1.3.3 Biên bản lề

Tại biên bản lề độ võng và momen uốn đều bằng không Giả sử tại x = 0

và tại x = L là biên bản lề ta có:

0),0(,

0),0

0),(,

0),

L

1.3.4 Biên ngàm trượt

Tại biên ngàm trượt, lực cắt và góc xoay đều bằng không Giả sử tại x =

Llà biên ngàm trượt Các điều kiện biên có dạng:

0),(,

0),(),(

=

=+

∂

x

t L w

ψ

Chương II dao động uốn tự do của dầm timoschenko

thiết diện không đổi

2.1 Phương trình đặc trưng của dầm Timoschenko

Từ các phương trình thành lập trong chương I, ta suy ra phương trình dao

động tự do của dầm Timoschenko đồng chất, thiết diện không đổi

Trong đó A là diện tích mặt cắt của dầm, E là modul đàn hồi Young, G là

modul trượt Coulomb, I là momen quán tính thiết diện dầm, t là thời gian, w(x, t) là độ võng của dầm theo phương z, x là toạ độ mặt cắt theo trục của dầm, k*

là hệ số trượt Timoschenko, ρ là mật độ khối lượng, ψ( t x, ) là góc quay của thiết diện dầm

Giả sử dầm thực hiện dao động điều hoà Khi đó ta có thể tìm nghiệm hệ phương trình (2.1) và (2.2) dưới dạng:

*)()

(''

*G A W x + A 2W x +k G AΨ x =

0)()

*()('')

('

*G A W x −E IΨ x + k G A− I 2 Ψ x =

Các phương trình (2.4) và (2.5) là một hệ hai phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng số Ta biến đổi hai phương trình này về hệ bốn phương trình vi phân cấp một bằng cách đổi biến như sau:

( ) ( ) , ( ) ( )( ) '( ) , ( ) '( )

2 3

*''

G k W

3 2

2 4

*

*''

I E

A G k y E I

E

GA k

y =

dt d

(2.12)

Phương trình ma trận (2.12) là hệ bốn phương trình vi phân cấp một thuần nhất hệ số hằng số Phương trình đặc trưng hệ này có dạng:

10

10

10

10

3 2

1 2

3 2

γ

γγ

e e

e e

e e

2.2 Hai phổ tần số của dầm Timoschenko

Trong phần này, ta nghiên cứu tìm các nghiệm của phương trình đặc trưng (2.15) Biệt thức ∆ của phương trình (2.15) có dạng:

Từ (2.9) ta có e1,e2,e3 là các tham số dương Do đó biệt thức ∆>0 Phương trình tần số (2.15) có bốn nghiệm dạng:

ứng với mỗi nghiệm γi (i =1,2,3,4) của phương trình đặc trưng (2.15) ta

có một nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (2.12)

(i) i

i i

i i

i i

a a

ω < ρ Trường hợp này ta quy

ước gọi là trường hợp tần số riêng thấp (hay dưới tần số riêng tới hạn)

Từ điều kiện e2 − =e3 0 ta suy ra ω2 = k GA*ρI Trường hợp này ta quy

ước gọi là trường hợp tần số riêng tới hạn

Từ điều kiện e2 − < e3 0 ta suy ra 2 k GA*

I

ω

ρ

> Trường hợp này ta quy

ước gọi là trường hợp tần số riêng cao (hay trên tần số riêng tới hạn)

Trước khi đi tìm hệ nghiệm cơ bản của phương trình vi phân (2.12) ta tìm biểu thức xác định các trị riêng (2.17) và (2.18) một cách chi tiết hơn

G k I

A E b

E EI

GA k G k b

e e e e

e

2 4

4

2 2

4 4

2 2

4 4 3

1 1

2 3 1

4

*4

*

*4)

(4)(

ωω

ρωρ

ωω

ρωρ

ωω

*

A a

Tõ (1) ta suy ra: a3=λ1 1a

Tõ (2) ta suy ra: 2 4

1

a a

λ

=

Tõ (3) ta suy ra: a4−= e a−1 1 λ1 3a

1 2

1 2

Tõ (1), (2) vµ (3) suy ra:

3 2 1

a =i aλ , 4

2 2

a a

2 2

2

sincoscos

x e

x x

2 2

2

cossinsin

x e

x x

sinh

x x x

x

e e x e

e x

e x

,24

,

*

2 2 2 4

4 2

2

2 2 2 4

4 2

1

2

a b

b a

b G

2 2 2 1 2

2 1

2 2 1 1 1

*

,

ωλ

G k

e G

2 3 1

2 1

,2

)

2 3

(

000

4 1 3

2 2

3 2

4 3

1 1

1

4 2

1

3 1

1

=

−+

−

a i a

e a

e e

a a

i a

e

a a

i

a a

i

λ λ

λ λ

) 4 (

) 3 (

) 2 (

) 1 (

Tõ (1) ta suy ra: a3 =iλ1a1

Tõ (2) ta suy ra:

1

4 2

2 1 1 4 1

λλλ

Nếu ta đưa vào ký hiệu:

2 2 1 2

2 1 1

ρ

ω2 = *

Trong trường hợp này do ∆ = e1+ e3 nên từ (2.17) và (2.18) ta suy ra:

λγ

λγγ

ρ

ω2 = *

Trường hợp này ít có ý nghĩa thực tế

2.3 Dao động uốn tự do dầm hai đầu liên kết bản lề

Xét dao động tự do dầm Timoschenko đồng chất, thiết diện không đổi,

có chiều dài L, hai đầu liên kết bản lề (Hình 2.1)

Điều kiện biên trong trường hợp này:

( )x ( coshC x C sinh x) ( cosC x C sin x)

Thay điều kiện biên vào các biểu thức trên:

∆

4 2

2

2 4

2

)1(1

21

L

d n L

d n E

d

πβ

πβρ

Suy ra:

∆

L

d n L

d n E

d

πβ

πβρ

=

∆

L

d n L

d n E

d

πβ

πβ

+

L

d n EI

ρ

nên phương trình (2.57) nghiệm đúng với ± ∆ Mặt khác, nhận thấy:

2

*

1 12

ρ

ω2 > *

( )x ( cosC x C sin x) ( cosC x C sin x )

Thay điều kiện biên vào các biểu thức trên:

0cos

sincos

sin

0

0cos

sincos

sin

0

2 4

2 2

3 2 1

2 1 1

1

1

4 2 2

1

2 4

2 3 1

2 1

1

4 2

++

=+

L C

L C

L C

L C

C C

L C

L C

L C

L C

C C

λα

λα

λα

λ

λλ

λλ

Từ hệ phương trình trên ta suy ra:C2 = C4 =0, như vậy:

0sin

sin

0sin

sin

2 3 2 1

1 1

2 3 1

L C

L C

L C

L C

λα

sin

sinsin

2 2

1 1

λα

λ

Hay:

0sin

.sin)(α1 −α2 λ2L λ1L =Suy ra:

0sin

πλ

πλ

1 2

+ Với

L

nπ

λ2 = ta đã xét ở trên Công thức tính tần số riêng là (2.57):

2 2

2 2

112

*

L

d n EI

A GE k

n

πβ

ρρ

2 2 2 4

4 2

1

ωω

=

2 2 2

2

112

*

L

d n EI

A GE k

n

πβ

ρρ

Như vậy với điều kiện biên hai đầu bản lề ta có nhánh dao động thứ nhất ứng với phương trình tần số (2.58) cho mọi tần số riêng ở dải tần số cao (

Xét dầm thép dài 0,4 m có thiết diện hình chữ nhật b x h = 0,1 x 0,1(m 2 ),

modul đàn hồi E = 2.10 11 (N/m 2 ) , modul trượt G = 8.10 10 (N/m 2 ), khối lượng riêng ρ = 7850 kg/m 3 , hệ số phân bố trượt k* =

6 5

Hình 2.2

2.4 Dao động uốn tự do dầm hai đầu tự do

Điều kiện biên trong trường hợp này:

0),0(),0(,

0),0(

=+

t

ψψ

0),(),(,

0),(

=+

t L

ψψ

Hình 2.3

Lz

x

−α C α C

0cos

sincosh

)(

2

2 2 3 1

1 1

1 λ −αλ +C λ +αλ =

C

0sin

)(

cos)(

sinh)(

cosh)(

2 2

2 2 4

2 2

2 2 3 1

1

1 1 2 1

1

1 1

1

=+

−

++

−+

−

L C

L C

L C

L C

λλ

αλ

λλ

αλλ

λ

αλλ

λ

αλ

Chú ý rằng trong trường hợp này:

1

2 1

1 1

2 2

2 2 1

2 1 1 2 2

2 2 1

1 1

)()

(

)(

)(

)(

λ

λλ

λα

λ

λλ

αλλ

αλ

−

=

−

=+

−

=+

−

e e

Do đó ta có hệ phương trình đơn giản hơn như sau:

0sin

cossinh

cosh

0

0cos

sincosh

sinh

0

2 4 2

3 1

2 1

2 1

1

1

2

3 1

1 2

2 4

2 2

3 2 1

2 1 1

1

1

4 2 2

1

=

−+

−

−

=+

L C

L C

L C

C C

L C

L C

L C

L C

C C

λλ

λλ

λλ

2 3 2

sinsinh

()

coscosh

(

0)

coscosh

()

sinsinh

(

2 2 2

1 1

1

2 1

2 1

2 1

1

2

2 2 1

1 1

1 2 1

2 2 1

1

=+

−++

−

=+

−+

−

−

C L L

C L L

C L L

C L L

λ

αα

λλ

λλ

λ

λλλ

λ

λαλα

λ

λλ

αλα

Điều kiện để C1và C2 không đồng thời triệt tiêu là định thức các hệ số phải bằng không

0)sinsinh

()coscosh

(

)coscosh

()sinsinh

(

2 2

1 1

1

2 2

1

2 1

1 2

2 1

1 1

2 1

2 2 1

1

=+

−+

L L

L L

L L

λ

αα

λλ

λλ

λ

λλλ

λ

λα

λα

λ

λλ

αλα

hay:

0cos

cosh2

sinsinh

1

2 1 1 2

1 2

1

2 2 2 2

2 1 1

cosh2sin

sinh)(

1 1

2 2 2 2

−α C α C

0cos

sincos

)(

2

2 2 3 1

1 1

λ

αλλ

α

C

0sin

)(

cos)(

sin)(

cos)(

2 2

2 2 4

2 2

2 2 3 1

1

1 1 2 1

1

1 1

1

=+

−

++

+

−+

L C

L C

L C

L C

λλ

αλ

λλ

αλλ

λ

αλλ

λ

αλ

chú ý rằng trong trường hợp này:

2 1

1 1

2 2

2 2 1

2 1 1 2 2

2 2 1

1 1

)(

)(

)(

)(

λ

λλ

λα

λ

λλ

αλλ

αλ

=

=+

+

=+

+

e e

Do đó ta có hệ phương trình đơn giản hơn như sau:

0sin

cossin

cos

0

0cos

sincos

sin

0

2 4 2

3 1

2 1

2 1

1

1

2

3 1

1

2

2 4

2 2

3 2 1

2 1 1

1

1

4 2 2

1

=

−+

−

=+

L C

L C

L C

C C

L C

L C

L C

L C

C C

λλ

λλ

λλ

2 3

2 2

sinsin

()coscos

(

0)

coscos

()sinsin

(

2 2 2

1 1

1

2 1

2 1

2 1 1

2

2 2 1 1 1 1

2 1

2 2 1

1

=+

−+

−

=+

−++

−

C L L

C L L

C L L

C L L

λ

αα

λλ

λλ

λ

λλλ

λ

λαλαλ

λλ

αλα

Điều kiện để C1và C2 không đồng thời triệt tiêu là định thức các hệ số phải bằng không

0)sinsin

()coscos

(

)coscos

()sinsin

(

2 2

1 1

1

2 2

1

2 1

1 2

2 1

1 1 2

1

2 2 1

1

=+

−

−

+

−+

−

L L

L L

L L

L L

λ

αα

λλ

λλ

λ

λλλ

λ

λα

λα

λ

λλ

αλ

α

hay:

0cos

cos2

sinsin

1

2 1 2

1 2

1

2 2 2 2

2 1 1

α

λλ

α

rút gọn lại ta có:

cos2sin

sin)(

1 1

2 2 2 2

1

− αα λλ αα λλ λ L λ L λ L λ L (2.60)

2.5 Dao động uốn tự do dầm một đầu ngàm, một đầu tự do

Điều kiện biên trong trường hợp này:

(0, ) 0 , (0, ) 0( , ) 0 , ( , ) ( , ) 0

2 1 1

λ

αλ

α

0cos

sincosh

)(

cos)(

sinh)(

cosh)(

2 2

2 2 4

2 2

2 2 3 1 1

1 1 2 1 1

1 1

1

=+

−

++

−+

−

L C

L C

L C

L C

λλ

αλ

λλ

αλλ

λ

αλλ

λ

αλ

chú ý rằng trong trường hợp này:

x

Hình 2.4

2 1

1 1

2 2

2 2 1

2 1 1 2 2

2 2 1

1 1

)()

(

)(

)(

)(

λ

λλ

λα

λλ αλ

λλ

αλλ

αλ

−

=

−

=+

−

=+

−

e e

Do đó ta rút ra hệ phương trình đơn giản hơn:

0sin

cossinh

cosh

0cos

sincosh

sinh

00

2 4 2

3 1

2 1

2 1

1

1

2

2 4 2 2

3 2 1

2 1 1

1

1

3 2

2 1

1 1

4 2

=

−+

−

=+

L C

L C

L C

L C

L C

L C

L C

L C

C C

C C

λλ

λλ

λλ

λ

λ

αλ

α

Từ hệ phương trình trên ta suy ra:

1 2

2 1

1 3 2

C

αλλ

sinsinh

()

coscosh

(

0)

coscosh

()

sinsinh

(

2 2 1

1

2 1

2 2

1

2 1 1

1

2

2 2 2

1 1

1 2 1

2 1 1 1

=+

−++

−

=+

−+

−

−

C L L

C L L

C L L

C L L

λλ

λ

λλ

α

αλλ

λ

λα

λα

λ

λλ

αλα

Điều kiện để C1và C2 không đồng thời triệt tiêu là định thức các hệ số phải bằng không

0)sinsinh

()coscosh

(

)coscosh

()sinsinh

(

2 1

1

2 2

2 1

2 1 1

1 2

2 2

1 1

2 1

2 1 1

1

=+

−+

L L

L L

L L

λλ

λ

λλ

α

αλλ

λ

λα

λα

λ

λλ

αλα

hay:

0cos

coshsin

sinh

1

2 2 2 1 2

2 1 2

1 1

2 1

2 2 1 1

λ

α

rút gọn lại ta được:

coshsin

sinh

2 1

2 2

2 1 2

1 2

1

2 2

λλ

2 1 1

1C + C =

λ

αλ

α

0cos

sincos

)(

cos)(

sin)(

cos)(

2 2

2 2 4

2 2

2 2 3 1

1

1 1 2 1

1

1 1

1

=+

−

++

+

−+

L C

L C

L C

L C

λλ

αλ

λλ

αλλ

λ

αλλ

λ

αλ

chú ý rằng trong trường hợp này:

1

2 1

1 1

2 2

2 2 1

2 1 1 2 2

2 2 1

1 1

)(

)(

)(

)(

λ

λλ

λα

λλ αλ

λλ

αλλ

αλ

=

=+

+

=+

+

e e

Do đó ta rút ra hệ phương trình đơn giản hơn:

0sin

cossin

cos

0cos

sincos

sin

00

2 4 2

3 1

2 1

2 1

1

1

2

2 4

2 2

3 2 1

2 1 1

1

1

3 2

2 1

1

1

4 2

=

−+

=+

L C

L C

L C

L C

L C

L C

L C

L C

C C

C C

λλ

λλ

λλ

λ

λ

αλ

α

Từ hệ phương trình trên ta suy ra:

1 2

2 1

1 3

2

C

α λ λ