Công trình Thủy điện Hòa Bình_ Phần 3

Sử dụngphương pháp phần tử hữu hạn để tính toán các bài toán lý thuyết thấm phục vụ thiết kế , xây dựng vá khai thác các công trình dâng nước không những thay thế phươngpháp thí nghiệm t

TÍNH TOÁN THẤM & ỔN ĐỊNH THẤM

ĐẬP VẬT LIỆU ĐỊA PHƯƠNG

MỤC LỤC

Trang CHƯƠNG I GIỚI THIỆU CHUNG I 1 Đặt vấn đề 3

1.2 Sơ lược lịch sử phát triển của lý thuyết thấm .4

1.3 Tình hình nghiên cứu thấm ở nước ngoài và ở Việt Nam 6

CHƯƠNG II SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN THẤM TRONG CÔNG TRÌNH 2.1 Cơ sở lý luận của phương pháp phần tử hữu hạn .9

2.2 Nội dung phương pháp phần tử hữu hạn .10

2.3 Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải các bài toán thấm 12

2.3.1 Phát biểu bài toán biến phân 12

2.3.2 Bài toán biến phân hai chiều theo PP PTHH 14

2.3 Phát biểu bài toán thấm ba chiều theo PP PTHH 21

CHƯƠNG III TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH THẤM 3.1 Các công thức cơ bản để tính toán ổn định thấm 23

3.2 Hướng dẫn sử dụng các công thức và đồ thỊ để thiết kế tầng lọc ngược 25

KẾT LUẬN & KIẾN NGHỊ 29

TÀI LIỆU THAM KHẢO 31

Ở nước ta việc nghiên cứu lý thuyết thấm cũng như kinh nghiệm trong việc giảiquyết các vấn đề thấm trong thực tiễn thiết kế, xây dựng và khai thác các đập dângnước bằng vật liệu địa phương còn chưa nhiều Vì vậy việc đề nghiên cứu để ứngdụng các tiến bộ khoa học thế giới trong lĩnh vực này vào Việt nam là rất cần thiết.Khó khăn lớn nhất trong nghiên cứu thấm cho đập là xác định đúng chế độ thấm vàđiều kiện ổn định thấm của các loại vât liệu.

Mục tiêu ngiên cứu trong phần thấm và ổn định thấm chủ yếu tập trung giải quếthai vấn đề trên Chế độ thấm trong đập được xác định bằng các mô hình toán họctheo lý thuyết thấm Để giải quyết các bài toán lý thuyết thấm phức tạp trong kỹthuật như thấm phi tuyến và thấm không ổn định có mặt tự do có thể sử dụng cácphương pháp tính tiên tiến Ngoài việc đảm bảo tính chính xác khithiết lập chươngtrình trên máy vi tính, còn cấn phải chứng minh tính đúng đắn của phương pháp tínhtoán qua so sánh với tài liệu thực nghiệm và so sánh với số liệu thực tế Sử dụngphương pháp phần tử hữu hạn để tính toán các bài toán lý thuyết thấm phục vụ thiết

kế , xây dựng vá khai thác các công trình dâng nước không những thay thế phươngpháp thí nghiệm tương tự điện thủy động lực học, tiết kiệm được thời gian và kinhphí, mà còn giải quyết được rất nhiều các bài tóan lý thuyết thấm phức tạp khác mà

các phương pháp khác không giải quyết được hoăc khó có thể đạt được Vấn đề này

sẽ được trình bày đấy đủ trong các phần sau

Do hạn chế về kỹ thuật như thiếu tài liệu thí nghiệm, nên việc xác định ổn địnhthấm cho các loại vật liệu địa ohương ở nước ta chủ yếu dựa vào các tài liệu thínghiệm của Liên xô (cũ), nên rất khó đánh giá mức độ tin cậy của các điều kiệnđang được sự dụng Trong những phần sau sẽ trình báy một số vấn đề xung quanhviệc lựa chọn tiêu chuẩn đánh qiá độ bền thấm của vật liệu Kết qủa cho thấyrằng ,các tiêu chuẩn đang được dùng ở nước ta để đánh gia độ bền thấm của đấthiện nay còn nhiều điểm chưa được chặt chẽ và chưa được thống nhất Cần phải cónhững ngiên cứu thêm để lựa chọn cho phù hợp điều kiện nước ta

Để minh họa thêm cho kết qủa nghiên cứu, trong phần ứng dụng sẽ đưa ra kết quảgiải bài toán lý thuyết thấm và đánh giá điều kiện ổn định thấm cho một số đập đã

và đang được xây dựng ở Việt Nam, khi xét đến cả trường hợp có vết nứt ngang lõi

và trường hợp rút nước nhanh trong hồ

Các kết qủa nghiên cứu cho biết mức độ ổn định thấm của toàn bộ côngtrình ,không dùng trị số Gradien trung bình, mà đánh giá theo điều kiện ổn địnhthấm cục bộ theo các khả năng có thể xảy ra xói ngầm cục bộ, xói ngầm tiếpxúc ,phương pháp này chính xác và tin cậy hơn, rất tiện lợi khi giải bài toán lýthuyết thấm bằng phương pháp phần tử hữu hạn

Do tính phức tạp của bài toán không gian và thời gian ngiên cứu chưa cho phép,nên trong phần này chưa trình bày các kết qủa đánh giá ổn định thấm cho đập khixét với bài toán không gian Song về cơ bản các nội dung giới thiệu trong phần nàyhoàn toàn đáp ứng đầy đủ các yêu cầu của thiết kế khi tính toán thấm cho đập

Những kết quả nghiên cứu có thể ứng dụng trong sản xuất để giải quyết các bàitoán lý thuyết thấm phức tạp và đánh giá ổn định thấm công trình Giúp các cán bộthiết kế có thể lựa chọn kết cấu công trình hợp lý, an toàn và kinh tế về mặt ổn địnhthấm

I 2 SƠ LƯỢC LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN CỦA LÍ THUYẾT THẤM

Hiện tượng thấm của đất trong môi trường lỗ rỗng bằng đất đã được H Dacxi(Pháp) nghiên cứu từ năm 1852 Trên cơ sở thực nghiệm, năm 1856 ông tìm ra quyluật thấm của nước trong môi trường lỗ rỗng: Tốc độ thấm tỷ lệ với gradien áp lực,được gọi là định luật thấm đường thẳng hay thấm Dacxi:

L

H KJ

H – Độ chênh cột nước áp lực trong đoạn L

Khi sử dụng định luật Dacxi để giải quyết một số bài toán thực tế - năm 1857, Duypuy (một kỹ sư người Pháp) đưa ra công thức dạng vi phân :

Năm 1889, N K Giucopski đã đưa ra phương trình vi phân cơ bản về sự vận độngcủa nước trong đất, và năm1889 đã cho xuất bản tác phẩm "Nghiên cứu lý thuyếtvận động cửa nứớc ngầm", trong đó có đưa vào khái niệm lực cản và lực khối lượngkhi thấm Ông là người đầu tiên đặt cơ sở khoa học để tiếp tục phát triển lý thuyếtthấm

Các tác phẩm của Pavlovxki N.N, Laybenzon Z.S, Gerxeoanov N.M đã hoànthiện đầy đủ thêm cho cơ sở lý thuyết vận động cửa nước trong đất và đưa ra nhữngđiều kiện để sử dụng những định luật thấm Đacxi

Từ năm 1904 Butxineet đã ngihên cứu về vấn đề lý thuyết vận động không ổn địnhcủa dòng thấm và đã thành lập phương trình vi phân vận động không ổn định củadòng nước trong đất



(3)

Coi hàm cột nước áp lực H chỉ thay đổi theo chiều vận động x

Trong đó :  – Hệ số sức chứa đàn hồi,

q – Lưu lượng bổ sung

Hiện nay phương trình (3) vẫn được coi la phương trình vi phân cơ bản vận độngkhông ổn định của nước trong đất

Dựa vào phương trình vi phân chuyển động của môi trường liên tục Ơle, một sốtác giả như Pavlopxki N.N, Aravin V.I, Numerop X.N cũng rút ra phương trình viphân Trugaev R.R dựa trên nguyên tắc Đalambe, thiết lập đa giác lực thấm cơ bản

va đã rút ra hệ phương trình vi của lý thuyết thấm biểu diễn ở dạng khác

Một cách tổng quát nhất, phương trình cơ bản của lý thuyết thấm trong điều kiệnthấm Đacxi có thể đưa về dạng phương trình Navestoc

Tiếp tục phát triển lý thuyết thấm của Gucopxki N.E, Pavlopxki N.N, Laybenzon

là những công trình nghiên cứu của các tác giả Zamarin E A., Grisin N E.,Selkatrev V.N., Kamenxki G.N, được công bố và sử dụng trong rất nhiều lĩnh vựcliên quan

Bên cạnh xu hướng phân dị, chỉ nghiên cứu sử vận động riêng biệt của nước trongđất, xu hướng nghiên cứu tổng hợp mối liên quan giữa sự vận động của nước dướiđất với qúa trình biến dạng của môi trường đất đá cũng đã được chú ý pháttriển Vấn đề này tuy được Pavlopxki N.N và Gerxevanov N.M đưa ra nghiên cứu

từ lâu, song các kết qủa nghiên cứu của Mironenko V.A và Sextakov V.M mới lànhững đóng góp đáng kể đẩu tiên Tong tác phẩm của mình, các tác giả đã gắn liềnnghiên cứu và phối hợp chặt chẽ những vấn đề cơ bản của cơ học đất đá với qúatrình thấm của nước trong nó vào khuôn khổ một môn khoa học :"Thủy-Địa-Cơ".các tác giả như Vaxilep X.V., Verigia A.N., Glayca A A Cũng nghiên cứu đểtính toán giải các bài toán thấm thực tế Khi nghiên cứu tổng hợp, trong hệ phươngtrình đang xét của mô hình toán học, ngoài các phương trình vi phân của lý thuyếtthấm, còn thêm phương trình trạng thái của chất lỏng và trạng thái môi trường đất

đá biến dạng

Cùng với sự phát triển và hoàn thiện lý thuyết trên cơ sở các mô hình toán học vàvật lý, các phương pháp để giải bài toán lý thuyết thấm thực tế đặt ra cững khôngngừng hoàn thiện và được ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán thấm quađập dâng nước nhất là đập bằng vật liệu địa phương

Tuy nhiên do tính phức tạp và đa dạng của các công trình thủy lợi, môi trườngthấm là đập và nền của nó thường là các môi trường không đồng nhất và dị hướng,nên việc giải các hệ phương trình lý thuyết thấm gặp rất nhiều khó khăn về mặt toánhọc Do đó thực tế chỉ giải quyết được cho một vài trường hợp rất đơn giản nhưthấm qua đập đồng chất, thấm qua kênh, qua nền đồng chất hoặc được mô hình hóa,tính rút nước trong đập đột ngột với tiền đề là trong đập đã hình thành đường bãohòa ổn định ở mức nứớc cho trước

Hiện nay có rất nhiều mô hình toán học của lý thuyết thấm đang được sử dụng đểgiải các bài toán thấm qua đập và các lĩnh vực liên quan Tùy thuộc vào mức độ yêucầu và phương pháp giải mà lựa chọn mô hình toán học cho phù hợp

I 3 TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU THẤM

Ở NƯỚC NGOÀI VÀ Ở VIỆT NAM

Các bài toán lý thuyết thấm của nước trong môi trường đồng nhất và không đồngnhất, về cơ bản đều đưa đến giải quyết phưong trình vi phản cấp 2 đạo hàm riêngdạng eliptic hay parabolic khi biết điều kiện đầu và điều kiện biên tương ứng

Để giải quyết bài toán lý thuyết thấm, người ta đã sử dụng một số nhóm phươngpháp sau:

a.) Phương pháp thuận, bao gồm các phương pháp phân ly tích số, phương pháp biếnđổi tích phân

b.) Phương pháp lý thuyết hàm biến phức (phương pháp biến hình bảo giác, đưa đếnbài toán Rima-Gianke)

c.) Các phương pháp dựa trên lý thuyết giải tích phương trình vi phân tuyến tính,giải tích hàm, phép tính biến phân

d.) Các phương pháp số như sai phân, phần tử hữu hạn

e.) Các phương pháp biểu đồ, phương pháp mô hình và tương tự điện

Trong đó phương pháp tương tự điện thủy động lực học do Pavolopxki N.N đề ra

đã được xem như phương pháp chuẩn để giải các bài toán thấm thực tế và mức độtin cậy của các phương pháp khác.Phương pháp này đòi hỏi công phu và tốn kémnên những trường hợp thật cần thiết mới được sử dụng Mặc dù vậy, những vấn đềnhư thấm dị hướng, thấm phi tuyến, phương pháp này vẫn chưa giải quyết được Ngoài phương pháp số, các phương pháp khác cũng chỉ giải cho một lớp các bàitoán nhất định, thậm chí, một số công thức giải tích phải dựa trên kết quả phươngpháp tương tự điện thấm mới lập được, song phạm vi ứng dụng cũng còn rất hạnchế

Cùng với sự phát triển của máy tính điện tử, phương pháp số đã chiếm ưu thếtrong việc giải quyết các bài toán lý thuyết thấm, nhất là bài toán có biến thay đối

và chế độ vận động trong môi trường có cấu tạo địa chất phức tạp Đặc biệt cácphương pháp sai phân hữu hạn và phương pháp phần tử hữu hạn đang được dùngrộng rãi phổ biến Vì các phương pháp này không những có một cơ sở toán học chặtchẽ, dễ dàng tự động hóa trên máy tính, có khả năng giải được tất cả các bài toánthấm với mức độ chính xác phù hợp thực tế và thỏa mãn trong yêu cầu kỹ thuật Đối với các bài toán lý thuyết thấm trong môi trường có cấu tạo địa chất phức tạpthì phương pháp phần tử hữu hạn tỏ ra ưu việt hơn, có thể giải được các bài toánthấm phi tuyến, thấm không dừng và thấm trong điều kiện trạng thái đàn hồi.Phương pháp này ở nước ngoài đã được ứng dụng từ vài chục năm trước đây để giải

các bài toán thấm qua đập và công trình thủy công, nhưng việc giải các bài toánthấm không ổn định qua đập và thấm không gian thì kết quả chưa nhiều

Ở Việt Nam phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) cũng đã được ứng dụng tronggiải các bài toán thấm qua công trình thủy lợi nhưng chưa phổ biến Chủ yếu còn ởmức độ nghiên cứu Năm 1978, Hoàng Thọ Điềm đã dùng phương pháp PTHH đểnghiên cứu thấm dưới công trình lấy nước không đập trên nền phân lớp với bài toánthấm ổn định có áp

Đoàn Ngọc Đấu sử dụng để nghiên cứu thấm và ổn định của đập đá đổ trongtrường hợp chỉ xét bài toán thấm qua lõi đập Năm 1985, Ngô Văn Lược (Viện toán)

đã ứng dụng phương pháp PTHH để giải bài toán thấm qua vùng lõi đập trong thời

kỳ thi công với bài toán thấm phẳng ổn định không áp Năm 1986, Đặng Văn Ba đã

mô hình hóa giải bài toán thấm không áp không ổn định qua đập đồng chất trên nềnkhông thấm bằng phương pháp phần tử hữu hạn

Các kết qủa lời giải cũng đã có so sánh với phương pháp tương tự điện thuỷ độnglực hay với phuong pháp máng khe hẹp, cho thấy khá phù hợp và tin cậy.Tuy nhiênnhững ngiên cứu này vẫn chua xét đến những khả năng phá vỡ cục bộ điều kiệnthấm Đăcxi và gắn liền với kiểm tra điều kiện ổn định thấm cho công trình cùng vớinền của nó

Trong nội dung nghiên cứu này sẽ sử dụng phương pháp PTHH để giải bài toán lýthuyết thấm và đánh giá điều kiện ổn định thấm cho công trình Đồng thời chứngminh thêm tính đúng đắn của mô hình toán và phương pháp lựa chọn

Cần lưu ý rằng hiện nay ở các trường đại học (Bách khoa Tp HCM, Xây dựng HN,Thuỷ lợi HN v.v ) và một số cơ quan chuyên nghành thủy lợi – thủy điện đã cómột số chương trình tính toán thấm qua đập vật liệu địa phương theo phương phápPTHH Tuy nhiên do cách đặt vấn đề khác nhau, nên các chương trình này chỉ giảiquyết những vấn đề riêng rẽ, và khi gặp bài toán có nền nhiều lớp mà ở đó hiệntương thấm không tuân theo định luật Đacxi (với hệ số Raynon Re > Re chảy tầng)thì các chương trình đó chưa giải quyết được một cách triệt để, và đặc biệt là chưagắn việc giải bài toán thấm với việc giải quyết vấn đề ổn định thấm (xói ngầm cục

bộ, xói ngầm tiếp xúc, sự phá hoại tầng lọc v.v )



CHƯƠNG II

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN THẤM

II.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA PHƯƠNG PHÁP

PHẦN TỬ HỮU HẠN

Trước khi xem xét các phương trình cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạnđược sử dụng trong bài toán thấm, chúng ta thử tìm hiểu mô hình nghiên cứu lýthuyết thấm của nước trong đất để làm sáng rõ các phương trình cơ bản mà ta sẽ sửdụng vào bài toán

Môi trường đất hay các công trình thủy công bằng đất đều là môi trường lỗ rỗng.Nước vận động trong môi trường đó rất đa dạng và phức tạp, phụ thuộc vào nhiếuyếu tố, trong đó yếu tố quan trọng nhất ảnh hưởng đến chế độ vận động của nước

là thành phần hạt của cốt đất và trạng thái biến dạng của nó Ngược lại, trạng tháibiến dạng cũng phụ thuộc vào áp lực thấm do chế độ thấm gây nên.Môi trường củađất mà trong đó có nước vận động là môi trường 3 pha Sự vận động của nước trongđất là do các thành phần lực quyết định Phân tích bản chất của lực do chế độ thấmtrong môi trường đó gây nên đã được R R Trugaev trình bày chi tiết trong tác phẩmnổi tiếng "Các công trình thủy lợi bằng đất " (đã được dịch ra tiếng Việt) Một điềuhiển nhiên là ta không thể nghiên cứu sự vận động của nước trong các lỗ rỗng haykhe nứt riêng biệt không có quy luật của môi trường đất, ta chỉ có thể xét cho dòngchất lỏng tượng trưng chứa đầy trong toàn bộ thể tích lỗ rỗng và cốt rắn Những đặctrưng của dòng thấm được thay bằng những giá trị trung bình của dòng chảy như lưutốc, áp lực, lưu lượng trong mô hình môi trường liên tục Trong đó lưu tốc trungbình v mang giá trị tượng trưng và nhỏ hơn giá trị thực trung bình trong lỗ rỗng 1/nlần (với n là độ rỗng của môi trường), còn áp lực và lưu lượng có giá trị thực

Dưới tác dụng của các nguyên nhân bên ngoài (như ngoại lực, sự thay đổi nhiệt

độ, chuyển vị cưỡng bức v.v ) bên trong kết cấu sẽ phát sinh nội lực và biến dạng.Phân tích trạng thái ứng suất (nội lực) và biến dạng của một kết cấu bất kỳ dưới tácdụng của các nguyên nhân bên ngoài là nhiệm vụ của môn cơ học kết cấu (theonghĩa rộng)

Nếu xem kết cấu bất kì (ví dụ đập đất đá) là một môi trường liên tục bao gồm vôhạn một số phần tử có kích thước vô cùng bé ghép lại với nhau thì việc phân tíchhiện tượng thấm trong đập trở nên thuận tiện hơn Do giả thiết như vậy (xem kết cấu

là gồm nhiều phần tử ghép lại) nên có thể biến đối các phương trính phi tuyến phứctạp cho cảc hệ thánh những phương trình tuyến tính đơn giản trong mỗi một phần tử.Việc rời rác hoá kết cấu như vậy hoán toàn có thể thực hiện được khi khi sử dụngmáy tính.

II 2 NỘI DUNG HƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

Nhằm đơn giản hóa tính toán mà vẫn đảm bảo đủ mức tính toán yêu cầu, người taxây dựng phương pháp phần tử hữu hạn (viết tắt là PP PTHH) là một phương phápgần đúng để tính kết cấu với nội dung sau:

Thay thế kết cấu thực tế bằng một mô hình dùng để tính toán, bao gồm một số hữuhạn phần tử riêng lẻ liên kết với nhau chỉ ở một số hữu hạn điểm nút, tại các đểm núttồn tại các lực tương tác biểu thị tác động qua lại của các phần tử kề nhau Quanniệm như vậy có nghĩa là thay bài toán tính hệ liên tục (hệ thực tế) có bậc tự do vôhạn bằng bài toán tính hệ có bậc tự do hữu hạn Chỗ phân cách giữa các phần tử hữuhạn gọi là biên của phần tử hữu hạn

Tùy từng trường hợp cụ thể, biên của các phần tử hữu hạn có thể là các điểm, cácđường hoặc các mặt Trong thực tế kết cấu là một môi trướng liên tục cho nên ở tạimọi điểm trên biên của mỗi phần tử đều có các lực tương tác giữa các phần tử Tạimọi điểm trên biên của các phần tử hữu hạn, ứng lực (hoặc cột nước) cũng nhưchuyển vị đều phải thỏa mãn điều kiện liên tục khi ta chuyển từ phần tử náy sangphần tử kế cận (điều náy sẽ nói kỹ về sau ) Trái lại, ở trong mô hình thay thế, kếtcấu được quan niệm là chỉ gồm một số phần tử riêng lẻ liên kết với nhau ở một sốđiểm nút, cho nên giữa các phần tử lân cận chỉ có các lực tương tác đặt tại các điểmnút

Dĩ nhiên quan niệm như trên chỉ là gần đúng Trong khi thay thế kết cấu thực tế(hệ liên tục) bằng một tập hợp phần tử rời rạc chỉ liên kết lại với nhau ở các điểmnút, người ta thừa nhận rằng, năng lượng bên trong mô hình thay thế phải bằng nănglượng trong kết cấu thực Nếu ta xác định được chính xác các lực tương tác giữa cácphần tử lân cận, và nếu ở trên các biên của các phần tử lân cận, điều kiện liên tục vềlực và về chuyển vị đảm bảo được thỏa mãn khi ta chuyển từ phần tử này sang phần

tử lân cận thì mô hình thay thế hoàn toàn giống với kết cấu thực tế Trái lại, nếu khixác định lực tương tác qua lại giữa các phần tử lân cận ta phải dựa vào những giảthiết gần đúng nào đó, hoặc điều kiện liên tục về lực và về chuyển vị ở trên các biêncủa các phần tử không đảm bảo được thỏa mãn thì mô hình thay thế chỉ phản ánhđược gần đúng sự làm việc của kết cấu thực tế

Sau này ta sẽ thấy rằng, nói chung nếu mô hình thay thế càng nhiều phần tử hữuhạn thì kết quả tính toán sẽ càng chính xác.Tuy nhiên vần đề không phải lúc nào

cũng chỉ đơn giản như vậy Mức độ chính xác của các kết quả tính toán theo PPPTHH, và vấn đề nếu ta tăng số phần tử hữu hạn của các hệ có chắc đảm bảo sẽ cókết quả tính ngày càng gần với lời giải chính xác hay không phụ thuộc vào nội dungvấn đề độ chính xác và các tiêu chuẩn hội tụ của PP PTHH

Trên toàn kết cấu, không phải lúc nào ta cũng chỉ dùng cùng một loại phần tửuhữu hạn Tại những chỗ có hiện tượng tập trung ứng suất hoặc có hiện tượng thayđởi ứng suất đột ngột ta nên giảm bớt kích thước của các phần tử hữu hạn để cóđược kết quả tính với độ chính xác cao hơn

Cần chú ý là cũng với một điểm nút giống nhau, ta lại có thể sử dụng các sơ đồtính khác nhau và được kết quả tính khác nhau Tiếc rằng hiện nay chưa có cách nào

để biết trong số các sơ đồ tính có cùng số các điểm nút như nhau thì sơ đồ nào sẽcho được kết quả tính tốt nhất (chính xác hơn cả) Cho nên việc phân chia các phần

tử hữu hạn trên sơ đồ tính sao cho tính toán được đơn giản nhất mà lại có được kếtquả tính chính xác hơn cả phụ thuộc vào kinh nghiệm và trình độ của người thiết kế

II.3 SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN THẤM

II.3.1 PHÁT BIỂU BÀI TOÁN BIẾN PHÂN

Có thể xây dựng toàn bộ lý luận của phương pháp phần tử hữu hạn để giải các bàitoán của lý thuyết đàn hồi không cần xuất phát từ việc khảo sát các phương trình cânbẳng tĩnh học mà xuất phát từ nguyên lý cực tiểu hóa thế năng cuả toàn bộ kết cấu.Trong thực tế có khá nhiều bài tóan khoa học kỹ thuật dẫn đến cực tiểu hóa một đạilựơng dưới dấu tích phân kèm theo một số điều kiện nhất định gọi là phiến hàm.Thông thường những phiến hàm đó thường có liên quan ít nhiều với khái niệm nănglượng hoặc khái niệm công

Thông qua việc trình bày cách sử dụng PP PTHH để giải một lớp rộng rãi các bàitoán của lí thuyết trường, tức là những bài toán vật lí được mô tả bằng một phươngtrình vi phân dạng điều hòa, chương này nêu lên đường lối tổng quát áp dụng PPPTHH để giải quyết một lớp rộng rãi các bài toán biến phân tương ứng với mọi đạilượng vật lý tùy ý

Sở sĩ như vậy là vì những bài toán của lí thuyết trường cũng dẫn đến việc cực tiểuhóa một phiếm hàm trong miền xác định của nó Các phương trình giả điều hòathường gặp trong thực tế hơn cả là Laplaxơ (Laplace) và phương trình Poatxông(Poison) Một số bài toán dẫn đến việc giải các phương trình có dạng như vậy là bàitoán truyền nhiệt, bài toán chảy tầng của các chất lỏng lý tưởng, bài toán thấm quamột môi trường rỗng, bài toán phân bố điện thế hay từ thế, bài toán soắn thanh lăng

trụ, bài toán uốn dầm lăng trụ v.v

Dưới đây ta sẽ thấy rằng sự khác nhau duy nhất giữa các bài toán của lí thuyết đànhồi trình bày ở các chương trên với các bài toán của lí thuyết trường thể hiện ở chỗtrong các bài toán của lí thuyết đàn hồi (phẳng và không gian) ẩn số là các chuyển vị

ở các điểm nút của hệ - đó là đại lượng vec tơ - trái lại trong các bài toán của líthuyết trường ẩn số chỉ là đại lượng vô hướng

Phương trình giả điều hoà có dạng tổng quát như sau:

z z + Q = 0(5)

Trong đó: F – Là một hàm ẩn xác định và đơn vị trong miền khảo sát, biểu diễnmột đại lượng vật lý nào đó tùy theo hiện hượng cụ thể của bài toán khảo sát Kx, Ky,

Kz và Q là những hàm đã biết của các tọa độ x, y, z

Chẳng hạn đối với bài toán đàn nhiệt trong môi trường dừng (Steady-state heatconduction) nếu ta chọn các trục chính cùa vật liệu dị hướng làm hệ trục tọa độ củabài toán thì các hàm Kx, Ky, Kz chính là các hệ số dẫn nhiệt dị hướng có thể xác địnhđược ngay,hàm Q là nguồn nhiệt biết trước, còn hàm ẩn F biểu thị qui luật biến đổinhiệt đọ của môi trường

Đối với bài toán thấm thì các hàm Kx, Ky, và Kz chính là các hệ số thấm theo cáchướng x, y, z khác nhau trong không gian ,Q là lưu lương thấm bổ sung từ mộtnguồn nào đó, và hàm ẩn F biểu thị qui luật biến đổi vột nước áp lực theo tọa độ củađiểm khảo sát

Có nhiều bài toán vật lý khác nữa đều có thể mô tả bằng phương trình giả điều hòa(5) Như ta đã biết, tương ứng với các bài tóan cụ thể nhất định, phương trình giảđiều hòa (5) chỉ có nghiệm xác định thỏa mãn một số điều kiện nhất định

Trong thực tế, ta thường hay gặp phải trường hợp điều kiện biên có dang như sau:a.) Đai lượng F được xác định ở trên biên

b.) Hoặc trên biên buộc phải thỏa mãn điều kiện sau :

( x L x)

x

F K





+ q + F = 0(6)

Trong đó: Lx, Ly, Lz – Là các Cosin chỉ phương của pháp tuyến ngoài của mặtbiên Trường hợp Kx = Ky = Kz , q = 0 thì điều kiện trên có dạng rút gọn:

F n





= 0(7)

Đây chính là điều kiện biên quen biết đối với các biên không dẫn (non-condbound.).

Trong bài toán dẫn nhiệt thì q là nhiệt thông (heat flux) đi qua một đơn vị diện tích,còn F là tổn thất do đối lưu (convection loss)

Phương trình (5) kết hợp với các điều kiện biên xác định cho ta một nghiệm duynhất Tuy nhiên, sử dụng lí luận của phép tính biến phân ta có thể phát biểu bài toándưới dạng khác đi như sau

Theo định lí Euler trong phép tính biến phân, ta có thể kết luận: điều kiện cần và

đủ để tích phân:

dx dy dz

z

U y

U x

U u z y x f u

Và hàm u phải thỏa mãn các điều kiện biên như nhau trong cả hai trường hợp

Ta có thể kiểm nghiệm một cách dễ dàng rằng: nếu buộc tích phân sau đây lấy trêntoàn miền đạt cực tiểu:

z

F k y

F k x

F k 2

z

2 y

II.3.2 PHÁT BIỂU BÀI TOÁN THẤM HAI CHIỀU

THEO PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

Có nhiều bài toán vật lý phát biểu dưới dạng biến phân chỉ phụ thuộc 2 biến (tọa

độ x và y) Trong trường hợp đó, phương trình giả điều hòa (5) có dạng thu gọn sauđây:

Q 0

y

F k y x

F k

a Trường hợp phần tử hữu hạn hình tam giác

Giả sử phiếm hàm (10)’ xác định trong miền S nào đó Theo phương pháp phần tửhữu hạn ta tưởng tượng phân chia miền S ra thành nhiều phần tử hình tam giácphẳng và chỉ liên kết với nhau ở một số điểm nút Giá trị của hàm F tương ứng vớinhững điểm nút đóng vai trò như các chuyển vị nút của các phần tử hữu hạn ta đãtrình bày trong các chương trên

Xét phần tử hữu hạn hình tam giác bất kỳ i j m, trong đó ta lưu ý ký hiệu thứ tựcác nút theo ngược chiều kim đồng hồ Tại một số nút bất kỳ có một giá trị của đạilượng F Tập hợp các giá trị của đại lượng F ở tất cả các nút i, j, m của phần tử hữuhạn được ký hiệu bằng:

F F F

Giá trị F ở một điểm bất kỳ có tọa độ (x, y) bên trong phần tử hữu hạn hình tamgiác sẽ được xác định một cách duy nhất theo ba giá trị Fi, Fj, Fm ở ba điểm nút củaphần tử hữu hạn Ta giả thiết giá trị F bên trong phần tử hữu hạn biến đổi theo quyluật

2 1

i

j 3 j

2 1

i

i 3 i

2 1

i

y x

F

y x

F

y x

F

(13)

Giải hệ ba phương trình này ta sẽ có biểu thức xác định giá trị của các thông số i

theo các giá trị Fi, Fj, Fm của hàm F ở các điểm nút Thay các giá trị đó vào biểu thức(13) ta sẽ tìm được biểu thức xác định giá trị của hàm F tại một điểm bất kỳ bêntrong phần tử hữu hạn:

1

y x 1

y x 1 det 2

m m

j j i i





ai = xi – xj