Tài liệu Công trình Thủy điện Hòa Bình_ Phần 6 ppt

Tính toán trạng thái ứng suất- biến dạng của đập đất đá theo bài toán phẳng haichiều cũng đã được tiến hành vào những năm 60 của thế kỷ trước gắn liền với sự ra đời của phương pháp phần

TÍNH TOÁN TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT– BIẾN DẠNG

ĐẬP VẬT LIỆU ĐỊA PHƯƠNG

MỤC LỤC

Trang CHƯƠNG I VỀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN TRẠNG THÁI ỨNG SUÂT - BIẾN DẠNG CỦA ĐẬP ĐẤT ĐÁ 1.1 Giới thiệu 4

1.2 Phương pháp sai phân hữu hạn .6

CHƯƠNG II SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐỂ TÍNH TOÁN ỨNG SUẤT – BIẾN DẠNG CỦA ĐẬP 2.1 Cơ sở lý luận của phương pháp PTHH .9

2.1.1 Cơ sở lý luận .9

2.1.2 Nội dung cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn .9

2.2 Các phương trình cơ bản của PP PTHH để giải bài toán tuyến tính về ứng suất – biến dạng .10

2.2.1 Sô đồ tính toán - phần tử hữu hạn hình tam giác 10

2.2.2 Xác định ma trận độ cứng của phần tử 11

2.3 Các phương trình cơ bản của PP PTHH để giải bài toán phi tuyến về ứng suất – biến dạng .15

2.3.1 Các phương trình cơ bản 15

2.3.2 Đường lối chung để giải dúng dần phuong trình ma trận độ cứng của hệ 18

2.3.3 Phương pháp nghiệm đàn hồi 18

2.3.4.Phương pháp chất tải từng bước 19

2.4 Phương pháp giải các bài toán đàn hồi phi tuyến 21

2.5 Phương pháp giải các bài toán vật liệu đàn dẻo 22

2.6 Giải bài toán đàn hồi theo phương pháp chất tải từng bước 25

2.7 Giải bài toán phi tuyến do chuyển vị lớn 26

2.7.1 Phương pháp đúng dần trực tiếp 27

2.7.1 Phương pháp số gia từng bước 27

CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN CỤC BỘ 3.1 Giới thiệu chung .30

3.1.1 Ðặc diểm của phép tính biến phân 30

3.1.2 Cơ sở lý luận 31

3.2 Ứng dụng phương pháp biến phân cục bộ để tính toán cho đập đất-đá 32

CHƯƠNG IV CÁC MÔ HÌNH TOÁN

4.1 Các mô hình toán về quan hệ giữa ứng suất và biến dạng 39

4.1.1 Đặt vấn đề .39

4.1.2 Mô hình đàn hồi phi tuyến của Iu.K Zaretsky .40

4.1.3 Mô hình trong phạm vi LT biến dạng dẻo của Iu.K Krưjanovsky 41

4.1.4 Mô hình đàn hồi phi tuyến của A K Bugrov .41

4.1.5 Mô hình trong phạm vi lý thuyết làm bền dẻo .42

4.1.6 Mô hình chảy dẻo 42

4.1.7 Mô hình năng lượng .43

4.2 Các điều kiện bền (tiêu chuẩn phá hoại) 45

4.2.1 Điều kiện Mo-Culong .45

4.2.2 Điều kiện bền Mize – Slaykher - Botkin .46

4.2.3 Điều kiện bền của GuBe .46

4.2.4 Điều kiện bền năng lượng .47

CHƯƠNG V ỨNG DỤNG QUY HOẠCH THỰC NGHIỆM ĐỂ LỰA CHỌN HỢP LÝ KẾT CẤU ĐẬP VẬT LIỆU ĐỊA PHƯƠNG 5.1 Phương pháp quy hoạch thực nghiệm 48

5.1.1 Vài nét giới thiệu .48

5.1.2 Ứng dụng quy hoạch thực nghiệm để lựa chọn kết cấu hợp lý của đập đất đá .48

TÀI LIỆU THAM KHẢO 53

CHƯƠNG I

VỀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT- BIẾN DẠNG CỦA ĐẬP ĐẤT- ĐÁ

-oOo-1.1 GIỚI THIỆU

Tính toán trạng thái ứng suất- biến dạng của đập đất đá đã được thực hiện từnhững năm 40 của thế kỷ 20 ở CHLB Nga và các nước phương Tây Tuy nhiên dohạn chế về công cụ tính toán mà người ta buộc phải đưa vào quá nhiều giả thiếtnhằm đơn giản hoá các công thức tính toán Các công thức này là những biểu thứcgiải tích theo bài toán một chiều Cho tới nay, các công thức đó chỉ có ý nghĩa vềmặt lịch sử

Tính toán trạng thái ứng suất- biến dạng của đập đất đá theo bài toán phẳng haichiều cũng đã được tiến hành vào những năm 60 của thế kỷ trước (gắn liền với sự

ra đời của phương pháp phần tử hữu hạn ), và bài toán không gian 3 chiều cũng chỉmới được bắt đầu tính toán vào những năm 70 của thế kỷ 20 Tất cả các bài toán

đó đều được giải theo mô hình tuyến tính

Do thực tế xây dựng các dự án thủy điện lớn ở CHLB Nga và các nước phươngtây ngày càng phát triển, nên các đập đất đá cao cũng được ứng dụng nhiếuhơn.Theo đó các nghiên cứu về lý thuyết và thực nghiệm về đập cao cũng pháttriển và đã chứng minh rằng các kết quả tính toán theo bài toán phẳng 1 chiều vàhai chiều theo mô hình tuyến tính đã không phản ánh đúng thực tế làm việc củacông trình Để phản ánh đúng sự làm việc của các đập cao cần phải đi tìm kiếmmột phương hướng khác Đó là việc giải bài toán không gian 3 chiều của đập với

mô hình phi tuyến về mối liên hệ giữa ứng suất và biến dạng

Trong những năm gần đây, cùng với sự phát triển về cơ học phi tuyến của môitrường rời và về trạng thái ứng suất không gian đã đi đến kết luận rằng:

– Đất, đá là những vật liệu thể hiện phi tuyến rất mạnh, ngay cả khi tải trọng nhỏ – Khi chịu tải trọng lớn, nhất thiết phải kể đến ảnh hưởng của ứng suất nén trunggian 2 tức là phải tính đến trạng thái ứng suất không gian của phần tử đất đá đangxét

Mặt khác, việc giải các bài toán không gian (ba chiều) khi so sánh với bài toánphẳng đã đưa đến kết luận rằng chỉ có bài toán không gian mới phản ánh đúng sựlàm việc tự nhiên của đập Những kết luận như vậy cũng đã được các cơ quan thiết

kế thừa nhận Chính việc xây dựng các đập có tuyến cong như Kugar (Mỹ), Ragun( CHLB Nga) , Hòa Bình (Việt Nam),… là đã sử dụng các kết quả của bài toánkhông gian

Năm 1971, X.IA Gun là người đầu tiên giải bài toán không gian về trạng tháiứng suất - biến dạng của đập đất – đá theo mô hình tính toán là đàn hồi phi tuyến.Kết quả lời giải của X.IA Gun đã cho thấy rằng việc sử dụng bài toán phẳng đểtính ứng suất - biến dạng trong đập đã đưa đến sự khoâng chính xác khá lớn Sau đó, đến năm 1978, X.IA Gun đã giải bài toán không gian của đập Raguntrong phạm vi lý thuyết biến dạng dẻo Lời giải được thực hiện bằng phương phápsai phân – biến phân với việc sử dụng lưới động Kết quả tính toán cho thấychuyển vị lớn nhất theo phương nằm ngang và thẳng đứng trong đập, giữa bài toánkhông gian và bài toán phẳng khác nhau đến 50%.

Trong khoảng thời gian trên A.L Kruranovsky cũng đã giải bài toán không gian

về trạng thái ứng suất - biến dạng của đập đất đá cao 300 m, trong phạm vi lýthuyết biến dạng dẻo Bài toán được giải bằng phương pháp sai phân hữu hạn kếthợp với việc thay đổi các thông số

Kết quả lời giải của A.L Kruranovsky đã được trình bày trong dạng biểu đồ cácđường đồng giá trị môđuyn trượt G, môđuyn biến dạng khối E để chỉ ra sự thayđổi của G, E trong đập Kết quả tính toán cũng cho thấy ảnh hưởng tính khôngđồng nhất của vật liệu thân đập đến tính biến dạng của nó, đồng thời cũng cho thấytính phi tuyến mạnh mẽ trong quan hệ giữa ứng suất và biến dạng trong đập

Lời giải của A.L Kruranovsky so với lời giải của IA.X Gun về bài toán khônggian được coi như một tiến bộ đáng kể, bởi vì nó phản ánh được trong tính toánảnh hưởng của thông số Lode – Nadai (một trong những thông số của đường chấttải) Tuy vậy, lời giải của A.L Kruranovsky trong lý thuyết biến dạng dẻo vẫn cònmột vài nhược điểm là quá cồng kềnh phức tạp khi miêu tả đặc trưng hình học củađập cũng như đưa các thông tin vào chương trình

Ngoài một vài phương pháp tính như đã trình bày, hiện nay để xem xét sự làmviệc không gian của đập, người ta còn sử dụng mô hình trên máy ly tâm.Teitelbaun A.I và Xabina B.A (CHLB Nga) đã nghiên cứu trạng thái ứng suất vàbiến dạng của đập đất – đá trên mô hình khối đặt trên máy li tâm Phương pháp mô hình không gian trên máy ly tâm có một số ưu điểm không thểphủ nhận được Tuy nhiên các đập đất – đá cao như Hòa Bình, Axuăng, Nurek vớikết cấu phức tạp thì không thể mô hình hóa trên máy li tâm được vì còn hàng loạtvấn đề mà mô hình này chưa giải quyết được như khả năng mô hình hóa các vậtliệu hạt to, do ứng suất biến dạng trong các khối đá, và điều quan trọng là các giaiđoạn xây dựng đập thì không thể mô hình hết được Tất cả những khó khăn đóbuộc người ta phải thừa nhận rằng cách tốt nhất để xác định trạng thái ứng suất –biến dạng trong các đập cao là phải giải bài toán không gian bằng các phươngpháp số và các mô hình toán

Từ những kết luận như vậy, năm 1982 giáo sư L.N Rasskadov và A.A Beliakov

đã giải bài toán không gian về trạng thái ứng suất – biến dạng và ổn định của đậpđất – đá cao 334 m bằng phương pháp biến phân cục bộ kết hợp với mô hình nănglượng (là mô hình đàn – dẻo biểu hiện quan hệ phi tuyến giữa ứng suất và biếndạng) Lời giải về bài toán không gian của L.N Rasskadov đã khắc phục được các

nhược điểm của các lời giải trong phạm vi lý thuyết đàn hồi và lý thuyết biến dạngdẻo, vì nó đã tính được các biến dạng dẻo và quá trình xây dựng đập cũng như đãtính được quá trình chất tải và dỡ tải trong công trình.

Kết quả lời giải của bài toán không gian theo phương pháp biến phân cục bộ và

mô hình năng lượng đã cho phép các tác giả của nó đánh giá không chỉ độ bền,tính biến dạng của các loại vật liệu, tính ổn định của công trình mà còn đánh giá được khả năng tạo thành vết nứt trong lõi đập

Từ sau năm 1982, L.N Rasskadov đã cùng với các học trò của mình tiếp tục giảicác bài toán không gian của đập đất – đá như: đập trên nền bị nén ép, bài toánkhông gian có kể đến từ biến của đất đá, gần đây là bài toán có tính đến độ tin cậycủa công trình

Kết quả giải hàng loạt các bài toán không gian của các tác giả khác nhau cũngnhư việc thí nghiệm mô hình không gian trên máy li tâm, tuy còn những điểm khácnhau, nhưng đều đi đến những nhận định chung có tính quy luật về sự làm việckhông gian của đập vật liệu địa phương

*

* * Trong những năm gần dây do có những thành tựu mới về khoa học - công nghệ(phát triển các phương pháp tính, sự ra đời của các máy vi tính có tốc độ xử lýcao) nên việc giải các bài toán không gian của đập đất - đá đã phần nào giảm bớtkhó khăn Tuy nhiên cũng do khoa học công nghệ phát triển nên yêu cầu về mức

độ chính xác càng cao Nếu như trước đây tổng số các phần tử không gian chỉkhoảng 1000 – 2000 phần tử, thì nay chúng ta có thể giải các bài toán với 10 000 -

20 000 phần tử

Về mặt phương pháp tính, để giải bài toán không gian về trạng thái ứng suất biến dạng và ổn định đập vật liệu địa phương, nói chung chúng ta có thể sử dụngcác phương pháp sau :

-+ Phương pháp sai phân hữu hạn

+ Phương pháp phần tử hữu hạn

+ Phương pháp biến phân cục bộ

Dưới đây sẽ trình bày các phưung pháp số ứng dụng trong tính toán trạng tháisuất - biến dạng và ổn định đập vật liệu địa phương (đất – đá)

1.2 PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN

Phương pháp sai phân hữu hạn là một phương pháp số (nó cũng làm rời rạc mộtmiền liên tục thành các ô lưới riêng biệt) có thể sử dụng để giải các bài toán đànhồi với đập vật liệu địa phương Nó có một số ưu điểm như:

– Cho phép giải các bài toán có Mơduyn biến dạng E và hệ số Poatxông thay đổi – Miền giải có thể có hình dáng bất kỳ, kể cả những điểm góc

– Có thể giải các bài toán với điều kiện biên bất kỳ.

– Khi xây dựng thuật toán và chương trình theo phương pháp sai phân hữu hạn ta

có thể thực hiện dễ dàng trên máy tính

Bản chất của phương pháp sai phân hữu hạn là ở chỗ ta thay các đạo hàm riêngbằng các sai phân riêng có giá trị hữu hạn Điều đó dẫn đến việc thay hệ phươngtrình vi phân bằng một hệ phương trình đại số tuyến tính của các sai phân riêng Như ta đã biết trong lý thuyết đàn hồi, các bài toán kết cấu công trình có thểđược giải bằng ứng suất hoặc bằng chuyển vị Trong dạng chung (bài toán khônggian 3 chiều), các phương trình vi phân cơ bản của phương pháp sai phân hữu hạn,giải trong chuyển vị (ẩn số là các chuyển vị U và V) sẽ là các phương trình Lame.Nghĩa là các chuyển vị này phải thỏa mãn các điều kiện biên và các phương trìnhLame:

0 )

( )

(

0 )

( )

(

0 )

( )

(

2 2

2 2

2 2

2

2 2

2 2

2 2

2

2 2

2 2

2 2

W G

z

W G y

W G x

W G

z y x

V G

z

V G y

V G x

V G

z y x

U G

z

U G y

U G x

U G

E G

V G

x

W z

U G

x

V y

U G

z

W y

W x

W G

z

V y

V x

V G

z

U y

U x

U G

yz xz xy z y x

) 2 (

) 2 (

(1.2)

Để giải bài toán theo chuyển vị (ở các biên ta phải biết trước các chuyển vị, ví dụ

ở hai bờ và nền đá chuyển vị bằng 0), ta chuyển phương trình Lame (phương trìnhđạo hàm riêng bậc 2) thành phương trình sai phân bằng cách thay đổi các vi phân

V/x bằng các sai phân V/x

Để đảm bảo tính chính xác như nhau của việc sai phân hóa các số hạng củaphương trình lame, ở đây cần phải sử dụng lưới trượt (vì vậy còn gọi phương pháp

này là phương pháp lưới trượt) Theo lưới trượt các điểm v sẽ dịch chuyển tươngđối so với các điểm u, w một nửa khoảng cách x, y và z

Để cho ngắn gọn ta sẽ trình bày các biểu thức của chuyển vị trong phạm vi bàitoán phẳng Phương trình Lame sau khi đã sai phân hóa và qua các biến đổi, cuốicùng sẽ có dạng:

Đối với Us :

0 ) V V V V ( 2 1 U U 2 U ) U U 2 U

U U U U ( 2 1 ) V V 2 V ( ) V U 2 V

5 11 6 7

8 9 2 12 8 3

CHƯƠNG II

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐỂ TÍNH TOÁN ỨNG SUẤT – BIẾN DẠNG CỦA ĐẬP

2.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA PHƯƠNG PHÁP PTHH

Trước khi xem xét các phương trình cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn(PP PTHH ) được sử dụng trong bài toán ứng suất và biến dạng, chúng ta thử tìmhiểu mô hình nghiên cứu lý thuyết của một kết cấu dạng khối liên tục (như đê đập)

để làm sáng rõ các phương trình cơ bản mà ta sẽ sử dụng vào bài toán

Kết cấu nói chung (khung hoặc vòm, dầm hoặc khối liên tục như đập đất- đá,đập bê tông…) là một thể thống nhất và được xem như một môi trường liên tục đểlập các mô hình toán học (các phương trình toán học – cơ học) Nói chung cácphương trình này đều là những phương trình phi tuyến (các phương trình vi phân,tích phân hoặc đạo hàm riêng v.v… ) rất khó tìm được lời giải chính xác Vì vậyngười ta nghĩ cách chuyển các phương trình ấy về một dạng khác, sao cho vừađảm bảo được bản chất toán cơ của nó vừa đơn giản trong việc tìm lời giải màmột trong những hướng ấy là chuyển các phương trình vi phân thành các phươngtrình sai phân và hình thành phương pháp sai phân như trước đây

Tuy nhiên phương pháp sai phân vẫn còn phiền phức và kết quả vẫn không chínhxác lắm Vì vậy người ta đã tìm cách chia môi trường liên tục thành các phần tửnhỏ mà ở đó các phương trình vi, tích phân phức tạp đều được biểu diễn dưới dạngbậc nhất Vấn đề mấu chốt là ở chỗ sao cho khi hợp nhất tất cả các phần tử đó lạivới nhau chúng ta vẫn được một nôi trường liên tục và phi tuyến như ban đầu Đóchính là bản chất của PP PTHH

Cách làm như trên được gọi là mô hình hóa hay tuyến tính hóa phương trình phituyến của kết cấu công trình Tất cả các phương trình toán học được lập và giảidưới đây cho bài toán về trạng thái ứng suất và biến dạng của môi trường liên tụcđều dựa trên cơ sở mô hình này

2.1.2 Nội dung cơ bản của phương pháp PTHH

Nhằm đơn giản hóa tính toán mà vẫn đảm bảo đủ mức tính toán yêu cầu, người

ta xây dựng phương pháp PTHH là một phương pháp gần đúng để tính kết cấu vớinội dung sau:

Thay thế kết cấu thực tế bằng một mô hình, dùng để tính toán bao gồm một sốhữu hạn phần tử riêng lẻ liên kết với nhau chỉ ở một số hữu hạn điểm nút, tại cácđểm nút tồn tại các lực tương tác biểu thị tác động qua lại của các phần tử kềnhau Quan niệm như vậy có nghĩa là thay bài toán tính hệ liên tục (hệ thực tế) cóbậc tự do vô hạn bằng bài toán tính hệ có bậc tự do hữu hạn Chỗ phân cách giữacác phần tử hữu hạn gọi là biên của phần tử hữu hạn Tùy từng trường hợp cụ thể,biên của các phần tử hữu hạn có thể là các điểm, các đường hoặc các mặt

Trong thực tế kết cấu là một môi trường liên tục cho nên ở tại mọi điểm trên biêncủa mỗi phần tử đều có các lực tương tác giữa các phần tử Tại các điểm trên biên,ứng lực cũng như chuyển vị đều phải thỏa mãn điều kiện liên tục khi ta chuyển từphần tử này sang phần tử kế cận ( điều này sẽ nói kỹ về sau ) Trái lại, ở trong môhình thay thế, kết cấu được quan niệm là chỉ gồm một số phần tử riêng lẻ liên kếtvới nhau ở một số điểm nút, cho nên giữa các phần tử lân cận chỉ có các lực tươngtác đặt tại các điểm nút

Dĩ nhiên quan niệm như vậy chỉ là gần đúng Trong khi thay thế kết cấu thực tế(hệ liên tục) bằng một tập hợp phần tử rời rạc chỉ liên kết lại với nhau ở các điểmnút Người ta thừa nhận rằng, năng lượng bên trong mô hình thay thế phải bằngnăng lượng trong kết cấu thực Nếu ta xác định được chính xác các lực tương tácgiữa các phần tử lân cận, và nếu ở trên các biên của các phần tử, điều kiện liên tục

về lực và về chuyển vị đảm bảo được thỏa mãn khi ta chuyển từ phần tử này sangphần tử lân cận thì mô hình thay thế hoàn toàn giống với kết cấu thực tế

Đối với bài toán về trạng thái ứng suất và biến dạng của môi trường liên tục, khi

sử dụng PP PTHH ta cần phải lần lượt giải quyết các bước như sau:

a ) Phân tích trạng thái ứng suất và biến dạng của mỗi phần tử hữu hạn

b ) Phân tích trạng thái ứng suất và biến dạng của toàn hệ gồm nhiều phần tử liênkết với nhau ở một số hữu hạn nút với mối liên hệ tuyến tính giữa ứng suất và biếndạng

c ) Phân tích trạng thái ứng suất và biến dạng của toàn hệ gồm nhiều phần tử vớimối liên hệ phi tính giữa ứng suất và biến dạng

Trước khi tiến hành giải quyết từng bước tính đó, dưới đây sẽ trình bày một sốkhái niệm cơ bản để làm công cụ giải quyết vấn đề: Đó là khái niệm tọa độ, cácnguyên lý năng lượng và khái niệm ma trận cứng, ma trận mềm được sử dụng đểgiải bài toán trạng thái ứng suất và biến dạng

Đồng thời để hiểu cách giải các bài toán phi tuyến, trước tiên chúng ta hãy tìmhiểu cách giải các bài toán tuyến tính về ứng suất-biến dạng theo phương phápphần tử hữu hạn

2.2 CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA PP PHẦN TỬ HỮU HẠN

ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TUYẾN TÍNH VỀ ỨNG SUẤT-BIẾN DẠNG

2.2.1 Sô đồ tính toán - phần tử hữu hạn hình tam giác.

Giả sử hàm ứng suất và biến dạng xác định trong miền S Theo PP PTHH tatưởng tượng phân chia miền S ra thành nhiều phần tử hình tam giác phẳng và chỉliên kết với nhau ở các điểm nút

b.)

b.) Phần tử hình tam giác 3 điểm nút

Hình 2.1 Xét PTHH hình tam giác bất kì cĩ các đỉnh là 1, 2.3, (hình 3.1) trong đĩ ta lưu ý

kí hiệu thứ tự các nút theo ngược chiều kim đồng hồ.và chịu tác dụng của cácngoại lực đặt tại các điểm nút là :

Nếu ta biết trước 6 thành phần chuyển vị nút ở 3 đỉnh thì ta cũng cĩ thể xác địnhđược chuyển vị của một điểm bất kì trong tam giác, bởi vì ta cĩ thể giả thiết mộtcách gần đúng quy luật biến đổi các thành phần chuyển vị của một điểm bất kỳ củaphần tử dưới dạng biểu thức phụ thuộc tọa độ x, y như sau :

U  = A  B -1 q 

Đặt: C  = A  B -1 ta có :

U  = C  q  (2.6) Nếu biểu diễn (2 6) dưới dạng vô hướng ta có :

x

u

(y23U1 + y31U2 – y21U3) y =  



 2

1

y

v

(- x23V1 – x31v2 + x21V3) xy =  

u

(- x23U1 – x31U2 + x21U3 + y23V1 + y31V2 – y21V3) (2.8) Hay viết dưới dạng ma trận :

  = D  q  (2.9)

Trong đó :   =  x y xy T

y23 0 y31 0 y21 0[D] =

 2

–x23 y23 – x31 y31 –x21 y21

Để xác định ứng suất ta có thể viết định luật Huk trong dạng ma trận như sau:

 = E   (2.10) Trong đó :  = x y xy

C1 2C1 0[E] = 1C2 C2 0

C1 =

2 1

G – Là moduyn biến dạng trượt

Thay biểu thức (2.9) vào vế phải của (2.10) để khử [] ta sẽ được biểu thức xácđịnh các ứng suất trong phần tử theo những giá trị đã biết của chuyển vị nút:

  = E q (2 11) Trong đó : E  = E  D 

Trong phương pháp PTHH ma trận E được gọi là ma trận ứng suất.Matrận E

được viết như sau :c vi t nh sau :ết như sau : ư

[E] =

 2

K hD T E

(2.14)

Trong đĩ : h là bề dày của phần tử hữu hạn

Từ (2.14) ta cĩ thể trực tiếp suy ra biểu thức cuối cùng của ma trận độ cứng đốivới phần tử hình tam giác phẳng trong dạng khai triển :

[ A ] [ q ] = [ R ] (2.16) Trong đó : [ A,] [ q], [ R ] – Lần lượt là các ma trận độ cứng, chuyển vị và matrận ngọai lực của toàn bộ hệ (công trình) Từ đó ta có thể xác định dược toàn bộcác thành phần chuyển vị của hệ theo phương trình ma trận sau :

[ q ] = [ A ]-1 [ R ] (2.17) Nói chung ma trận A có thể là một ma trận suy biến ( không có ma trận nghịchđảo Tuy nhiên sau khi đưa các điều kiện biên vào thì [A] sẽ là một ma trậnkhông suy biến và (2 17) là một hệ phương trình có các nghiệm thực xác định Khi sử dụng phương pháp PTHH hình tam giác phẳng để giải bài toán phẳng vềtrạng thái ứng suất – biến dạng của đập đất–đá theo lý thuyết đàn hồi, cần lưu ýrằng mức độ chính xác của kết quả tính toán phụ thuộc vào giả thiết ban đầu vềquy luật biến đổi của các thành phần chuyển vị theo các tọa độ x, y

U = 1 + 2x + 3y

Trong biểu thức trên ta đã giả thiết là mối liên hệ giữa chuyển vị U và tọa độ x, y

có quan hệ bậc nhất Nếu sử dụng giả thiết quy luật biến đổi giữa chuyển vị và toạ

độ x, y tại một điểm bất kỳ, không phải là bậc nhất, mà theo một quy luật cao hơn,chẳng hạn quy luật đa thức bậc 2 dạng :

U = 1 + 2x + 3y + 4xy + 5x2 + 6y2

thì ta sẽ có được kết qủa chính xác hơn Đương nhiên nếu giả thiết như vậy thì sốlượng toạ độ khái quát cần phải xác định sẽ nhiều lên, khối lượng tính toán sẽ lớn.Muốn tìm các toạ độ khái quát ấy thì ta phải hoặc cho biết thêm thông tin về cácgiá trị đạo hàm của các thành phần chuyển vị tại các điểm nút của phần tử hìnhtam giác phẳng, hoặc cho biết thêm giá trị của các thành phần chuyển vị tại một sốnút bổ sung

2.3 CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA PP PHẦN TỬ HỮU HẠN

ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN PHI TUYẾN VỀ ỨNG SUẤT-BIẾN DẠNG

{} = f ()

Ta còn gặp những bài toán phi tuyến về phương diện hình học khi kết cấu cóchuyển vị lớn làm thay đổi một cách đáng kể hình dạng hình học ban đầu của hệ,cho nên khi thiết lập các phương trình cân bằng tĩnh học của hệ trong trạng thái hệ

bị biến dạng ta sẽ được các phương trình có dạng phi tuyến

Những bài toán phi tuyến về phương diện vật lý cũng như hình học đều đưa vềgiải các phương trình chứa những số hạng phi tuyến đối với ẩn số của bài toán.Nói chung không thể giải một cách chính xác dưới dạng đóng những phương trìnhphi tuyến như đối với những phương trình tuyến tính, mà phải dùng các thuật toánđúng dần Nhờ các phương pháp đúng dần ta có thể mở rộng áp dụng những thuậttoán đã trình bày ở các chương trên để giải những bài toán phi tuyến thường gặp

Về mặt lý luận, hiện nay người ta mới chỉ khảo sát được sự hội tụ của các quátrình tính toán đúng dần khi giải bài toán phi tuyến trong một số trường hợp riêngbiệt, nhưng trong thực tế tính toán, người ta nhận thấy quá trình tính toán đúng dầnthường hội tụ đến kết quả chính xác mong muốn

Dưới đây sẽ trình bày cách sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải nhữngbài toán phi tuyến thường gặp

Trong những bài toán phi tuyến về phương diện vật lý, quan hệ giữa vectơ ứngsuất [] và vectơ biến dạng [] có thể viết dưới dạng:

[] = [E*()].[]

Trong đó ma trận [E*()] là hàm của trạng thái biến dạng []

Nếu chú ý rằng trạng thái biến dạng [] lại là hàm phụ thuộc vào các chuyển vịnút [q], thì ta có thể biểu diễn mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng dưới dạngmối quan hệ giữa trạng thái ứng suất [] và chuyển vị nút [q] như sau:

{} = [E*(q)]{q} (2.18) Mỗi phần tử của ma trận [E*(q)] nói chung đều có thể biểu diễn dưới dạng một

đa thức lũy thừa của các thành phần của vectơ [q]

Trong những bài toán phi tuyến về phương diện hình học, quan hệ giữa vectơbiến dạng [] và vectơ chuyển vị nút [q] là quan hệ phi tuyến:

{} = [D*(q)]{q} (2.19) Trong đó các thành phần của ma trận [D*(q)] đều là hàm lũy thừa của các thànhphần của vectơ [q] tương ứng.

Như ta đã biết, việc xác định ma trận độ cứng của mỗi phần tử và cho cả hệ lànội dung cơ bản của việc tính toán kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn, chonên ở đây ta hãy trình bày cách tìm ma trận độ cứng của hệ trong các bài toán phituyến

Cũng theo đường lối tổng quát xác định ma trận độ cứng của mỗi phần tử, ở đây

ta cũng áp dụng nguyên lý chuyển vị khả dĩ Theo nguyên lý chuyển vị khả dĩ, khiphần tử cân bằng dưới tác dụng của các lực đặt tại nút [R] và có chuyển vị tươngứng đặt tại nút là {q}, nếu ta cho phần tử chịu một chuyển vị khả dĩ bất kỳ [q](biến dạng tương ứng bên trong phần tử là [] ) thì ta có hệ thức:

   

V

T T

dV } { } { } R { q

Cần chú ý rằng trước đây trong các bài toán tuyến tính quan hệ {} = [D]{q} códạng bậc nhất, còn ở đây, quan hệ giữa vec tơ biến dạng khả dĩ [] và vec tơchuyển vị nút khả dĩ [q] là quan hệ phi tuyến có thể viết dưới dạng như sau:

is ij

*

q

d d

d

Với dij là các phần tử tương ứng của ma trận [D] trong bài toán tuyến tính

Bằng cách lý luận tương tự như khi thiết lập công thức tính ma trận độ cứng củaphần tử trong trường hợp bài toán tuyến tính, ta cũng đi đến công thức xác định matrận độ cứng [K*] của một phần tử hữu hạn bất kỳ trong trường hợp bài toán phituyến như sau:



V

dV ] E )][

q (

* D [

{ R } i  [ K *] i { } i (2 21) Trong đó ma trận độ cứng [K*] là hàm phụ thuộc các chuyển vị nút

Sau khi tìm được ma trận độ cứng [K*]I cho từng phần tử của hệ, ta có thể xácđịnh được ma trận độ cứng [ K * ] cho toàn kết cấu theo công thức quen biết : [ K * ]  [ H ]T[ K*g][ H ]

Lúc này hệ phương trình cân bằng dùng để xác định các ẩn số chuyển vị nútcủa kết cấu có dạng:

[ K * ]{ q }  { P } (2 22) Phương trình (2 22) được gọi là phương trình ma trận độ cứng của hệ

Trong phương trình (2 22) các phần tử của ma trận [K*] không những phụ thuộc

vào các thông số hình học của kết cấu, mà còn phụ thuộc vào trạng thái ứng suất – biến dạng của hệ Cho nên việc giải phương trình hết sức phức tạp Nói chung ta

không thể giải một cách chính xác dưới dạng đóng mà phải dùng các thuật toánđúng dần Dưới đây ta hãy xét những phương pháp đúng dần thường dùng hơn cả

2.3 2 Đường lối chung để giải dúng dần phuong trình ma trận độ cứng của hệ

Nội dung phương pháp như sau: chia quá trình tính thành nhiều giai đoạn.Trong mỗi giai đoạn ta đều xác định ma trận độ cứng [ K * ] cho toàn hệ theonhững giá trị của các chuyển vị nút tính được từ giai đoạn trước Nếu gọi {q(s)} làvectơ chuyển vị nút ở giai đoạn thứ s, {q(s-1)} là vectơ chuyển vị nút ở giai đoạnthứ s – 1, thì trong giai đoạn tính thứ s phương trình (2 22) có dạng:

[ K * ( q(s1))]{ q(s)}  { P } (2 23)

Ở đây ma trận độ cứng [ K * ( q (  s 1 ) )] là hàm phụ thuộc vào các chuyển vị núttính được trong giai đoạn tính s-1 Trong giai đoạn tính thứ nhất (s = 1) ta giả thiếtcác chuyển vị nút bằng không, nghĩa là {q(1)} = {0} Tương ứng với giả thiết này,tất cả các số hạng kể đến ảnh hưởng phi tuyến về phương diện hình học và vềphương diện vật lý đều bằng không cho nên trong giai đoạn tính đầu tiên [K*] =[K]

Tiếp tục thực hiện các quá trình giải đúng dần phương trình (2 22) bằng cáchtính nhiều giai đoạn liên tiếp, trong mỗi giai đoạn các giá trị của ma trận độ cứng

Phương pháp vừa trình bày có ưu điểm đơn giản nhưng lại có nhược điểm làquá trình tính toán hội tụ đến kết quả chính xác mong muốn là rất chậm, thậm chí

có khi lại phân kỳ

2.3 3 Phương pháp nghiệm đàn hồi

Phuong pháp này dựa trên cơ sở là viết ma trận độ cứng [K*] trong trường hợpbài toán phi tuyến dưới dạng tổng của hai ma trận thành phần:

[ K * ]  [ K ]  [ K ] pt (2 24) Trong đó:

] K

[ là thành phần biểu thị ma trận độ cứng trong trường hợp bài toántuyến tính ta đã biết các xác định

pt

] K

[ là thành phần ma trận biểu thị ảnh hưởng phi tuyến của bài toán Lúc này ta có thể viết phương trình (2 22) dưới dạng:

[ K ]  [ K ]pt{ }  { } Hoặc:

[ K ]{ q }  [ P ]  [ K ]pt{ q } (2 25) Phương trình này là phương trình phi tuyến, vế phải của nó là một đại lượngphụ thuộc phi tuyến vào vectơ chuyển vị { q } Quá trình giải phương trình này tức

là xác định vectơ chuyển vị { q } sao cho thỏa mãn phương trình có thể thực hiệnmột cách đúng dần qua nhiều giai đoạn tính gần đúng Trong giai đoạn tính gầnđúng thứ nhất ta sẽ xác định được giá trị gần đúng { q(1)}của vectơ chuyển vị, tronggiai đoạn tính thứ hai, ta sẽ xác định được giá trị gần đúng q(2)} của vectơ chuyển

vị, trong giai đoạn tính ba, ta sẽ xác định được giá trị dần đúng q(3)}của vectơchuyển vị,…Viết phương trình (2 25) cho một giai đoạn tính toán bất kỳ, chẳnghạn giai đoạn tính thứ s, ta được:

[ K ]{ q(s)}  p(s1)} (2 26) Trong đó:

{p(s1)}  {P}  [K(q(s1))pt{q(s1)} (2 27) Như vậy, trong giai đoạn tính gần đúng thứ s, phương trình (2.26) có dạng một

hệ phương trình đại số tuyến tính dễ giải, vế phải { p( s 1)} của nó là một hằng số.Giá trị của vế phải này chỉ là một giá trị gần đúng, nhưng nó sẽ được chính xác hóadần sau mỗi giai đoạn tính toán Khi tính giai đoạn đầu tiên (s = 1) ta giả sử gầnđúng :

} { } q }

q(s1)  (0)  ,thay vào hệ thức (2 27) ta sẽ có { P(0)}  { P } Đem giá trị này thay vào phươngtrình (2.26) và giải ta sẽ tìm được { q(1)} Chuyển sang giai đoạn thứ 2 (s = 2) tathay giá trị { q(1)} và hệ thức (2 27) sẽ tính được :

p(1)}  { P }  [ K ( q(1))pt q(1)} Đưa giá trị này vào giải hệ phương trình(2 26) ta sẽ tìm được giá trị gần đúng }

q(2) của vectơ chuyển vị,… Cứ thế thục hiện các giai đoạn tính tiếp tục cho đếnkhi nào kết quả tính toán trong hai giai đoạn liên tiếp sai khác nhau không đáng kể,nghĩa là quá trình tính toán đã hội tụ đến kết quả chính xác mong muốn { q } Nói chung phương pháp nghiệm đàn hồi giảm bớt được khối lượng tính toán

so với phương pháp đã trình bày ở mục 2.3.2

2.3 4 Phưong pháp chất tải từng bước

Theo phương pháp này, ta viết phương trình (2 22) dưới dạng:

[ K *]{ q }   { P } (2 28) Trong đó, muốn cho phương trình này đồng nhất với phương trình (2 22) thìthông số  đưa thêm vào phải có giá trị  = 1 Rõ ràng là nếu ta đem chất lên hệ tảitrọng bằng { P } thì chuyển vị nút tương ứng sẽ là { q } Nếu quá trình chất tải đượcthực hiện dần từng bước bằng cách tăng dần tải trọng từ giá trị {0} đến { P }, nghĩa

là nếu ta chia quá trình chất tải thành nhiều bước, trong mỗi bước ta chỉ chất lên tảimột hệ tải trọng hằng số bằng (P) với giá trị của thông số thay đổi dần trong mỗibước từ giá trị 0 = 0 đến 1, đến 2,… và cuối cùng là t = 1, thì vectơ chuyển vịnút cũng thay đổi dần tương ứng từ giá trị q(0)} đến { q(1)}, q(2)},…và cuối cùng

là q( )} = { q }

Như vậy, viết phương trình (2.28) cho bước chất tải thứ s và thứ s + 1 ta sẽ được: [ K(s)]{ q(s)}  s{ P } (2 29) [ K(s1)]{ q(s1)}  s1{ P } (2 30) Đem phương trình (2 30) trừ đi phương trình (2.29) ta sẽ được:

[ K(s1)]{ q(s1)}  [ K(s)]{ q(s)}  ( s1 s){ P } (2 31) Chú ý rằng ma trận độ cứng [ K *] là hàm của chuyển vị nút { q } cho nên ta cóthể khai triển ma trận độ cứng [ K( s 1)] ở bước chất tải thứ s + 1 thành chuỗiTaylor như sau:

} ) s ( q } {

n 1

] K [ ]

s ( K [ ] 1 s ( K

(s 1) (s 1) (s)

k

q q

q

d     với k = 1, 2,…,n (2.33)

viết (2 33) dưới dạng ma trận ta được:

{ q } q } q ) }

k ) 1 s ) 1 s





(2 34) Thay các hệ thức (2 32) và (2 34) vào phương trình (2 31) ta được kết quả:

q q } ( ){ P }

q

] K [ } q { K

) 1 s(

qd q

k

)1 k n

1 k

ij )s(

k )1 n

) 1 s ( k ) s ( j n

1

ij n

1 j

) s ( j ) 1 s ( k n

q d q

s n

j k

ij

q d K q

d q q

k q

d q q

) s ( k j

) s ( i )

s (

q k

t = 1 ta sẽ xác định được giá trị của vectơ chuyển vị { q } cần tìm.

Trong mỗi bước chất tải, truĩc khi giải phương trình (2 38) ta đều phải xác địnhtrước các ma trận [ K(s)] và [  K(s)] tương ứng với giá trị { q(s)} đã tìm được ởbước trước Sau đĩ giải phương trình (2.31) ta sẽ tìm được {dq(s+1)}, biết giá trịnày theo cơng thức (2.34) ta tìm ngay được giá trị của vec tơ chuyển vị ở bước tiếptheo {q(s+1)} như sau:

{q(s+1)} = {q(s)} + {dq(s+1)} (2.39)tương ứng với giá trị {q(s+1)} ta lại xác định giá trị của các ma trận [K ( s)] và

]

[

K ( s) để chuẩn bị giải phương trình (2 38) cho bước chất tải tiếp sau

2 4 PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TỐN ĐÀN HỒI PHI TUYẾN

Thơng thường, các tính chất cơ lý của vật liệu cho phép ta xác định được trạngthái biến dạng của hệ một cách duy nhất theo trạng thái ứng suất của hệ Nếu vậtliệu đẳng hướng, tính chất cơ lý của nĩ được đặc trưng bởi mơđun đàn hồi E và hệ

số Poatxơng v Trong trường hợp vật liệu đàn hồi phi tuyến, cả hai đại lượng nàyđều phụ thuộc vào ứng suất và biến dạng Chẳng hạn, trong trạng thái căng mộttrục của vật liệu đàn – dẻo lý tưởng, ta cĩ thể viết mối quan hệ giữa ứng suất vàbiến dạng như sau :

độ biến dạng  hoặc cường độ ứng suất :

} ) ( ) (

) {(

3

1 3

2 3 2

2 2

2 3 2

2 2







Trong đó 1, 2, 3 và 1, 2, 3 lần lượt là các thành phần biến dạng chính vàứng suất chính Rõ ràng trong trường hợp vật liệu đàn hồi phi tuyến, các đại lượng

và v là những hàm phức tạp của các thành phần ứng suất và biến dạng

Khi giải bài toán vật liệu đàn hồi phi tuyến (trường hợp riêng là đàn – dẻo lýtưởng) ta thường tính toán một cách đúng dần theo các bước sau:

- Bước 1: Đặt toàn bộ hệ tải trọng lên hệ rồi xác định trạng thái ứng suất và biến

dạng của hệ theo các giá trị E và v tương ứng với trường hợp trạng thái ứng suấtbằng 0

- Bước 2: Dựa vào những giá trị của trạng thái ứng suất và biến dạng vừa mới xác

định được ở bước 1 hãy xác định lại các giá trị mới của E và v tương ứng

- Bước 3: Căn cứ vào những giá trị của E và v mới vừa tìm được ở bước 2, lại xác

định trạng thái ứng suất và biến dạng mới của hệ

- Bước 4: Lặp lại bước 2

- Bước 5: Lặp lại bước 3 …

Cứ thế tiến hành tính toán cho đến khi kết quả tính toán hội tụ (kết quả tính toántrong hai bước tính liên tiếp không sai khác nhau đáng kể) Thông thường áp dụngthuật toán này để giải những bài toán vật liệu đàn – dẻo lý tưởng, hoặc vật liệu dẻo

có tái bền người ta chỉ cần thực hiện 3 hoặc 4 chu trình tính toán là đủ để hội tụđến kết quả đủ dùng trong thực tế Người ta thường dùng thuật toán này để giảinhững bài toán cơ học đất-đá

2 5 PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VẬT LIỆU ĐÀN DẺO

Khi dùng phương pháp gần đúng để giải bài toán vật liệu đàn dẻo, người ta thừanhận có mối liên hệ đơn trị giữa trạng thái ứng suất và trạng thái biến dạng Cáchgiải gần đúng như thế gặp phải một số khó khăn sau đây:

1 Trong quá trình dỡ tải trọng vật liệu chỉ còn xuất hiện biến dạng đàn hồi chứkhông xuất hiện biến dạng dẻo nữa, cho nên mối liên hệ đơn trị giữa ứng suất vàbiến dạng trong quá trình dỡ tải không đúng nữa

2 Trong trường hợp vật liệu đàn dẻo người ta có thể tìm được môđun đàn hồitương đương để biểu thị mối liên hệ giữa ứng suất và biến dạng, nhưng khó mà cóthể tìm được biểu thức xác định hệ số Poát–xông tương đương trong trường hợpnày

3 Khi thiết lập các quy luật dẻo và quy luật từ biến người ta thường phải tách biệthiệu ứng đàn hồi và hiệu ứng dẻo và thường phải viết các quy luật đó dưới dạngcác số gia Điều này làm cho tính toán cồng kềnh và sai khác với thực tế

Nhằm tránh những khó khăn đó, Gallagher, Argyris và một số tác giả khác đềnghị phương pháp sau đây để giải bài toán vật liệu đàn-dẻo và bài toán từ biến

Phương pháp này được gọi là phương pháp số gia biến dạng ban đầu.

Theo phương pháp này, người ta thừa nhận hệ được giải từng bước, tăng dần dầnlên Thừa nhận giả thiết đó cho phép khảo sát những biến đổi vì nhiệt theo thờigian và khảo sát hiện tượng từ biến một cách thuận lợi.

Ta có thể phân tích số gia biến dạng toàn phần {}dh, thành phần biến dạng dẻo

{}d và thành phần biến dạng vì nhiệt {}n :

{} = {}dh + {}d + {}n (2 40) Nếu ta ký hiệu tổng các số gia biến dạng dẻo {}d và số gia biến dạng vì nhiệt

là ma trận đàn hồi của hệ, cho nên ta có thể viết (2 42) như sau:

{} = [D]-1{} + {0} (2 43)

Ta thấy ngay là trạng thái ứng suất và biến dạng của hệ ở thời điểm cuối củakhoảng thời gian đang xét bằng trạng thái ứng suất và biến dạng của hệ ở thờiđiểm đầu của khoảng thời gian đó cộng với các số gia ứng suất và biến dạng tươngứng

Nói chung, xác định sự thay đổi biến dạngg vì nhiệt trong một khoảng thời giannào đó không khó khăn gì, trái lại, không thể xác định được số gia biến dạng dẻo

vì đại lượng này đồng thời phụ thuộc trạng thái ứng suất ở thời điểm đầu và thờiđiểm cuối của khoảng thời gian đang xét Thông thường người ta có thể xác địnhcác số gia biến dạng dẻo bằng hai cách sau đây:

Cách 1: Ta chia thời gian chất tải hay chia các bước chất tải thành những khoảng

đủ nhỏ sao cho số gia biến dạng dẻo phát sinh trong khoảng thời gian trước có thểdùng để tìm số gia ứng suất trong khoảng thời gian tiếp sau

Cách 2: Ta cũng thực hiện chia khoảng thời gian chất tải y như cách 1 nhưng lại

xem đây mới chỉ là bước một của một thuật toán đúng dần nhiều bước Sau khi tìmđược các số gia ứng suất và biến dạng, ta lại dùng thuật toán đó để tìm số gia biếndạng dẻo Cứ thế tính lặp nhiều lần cho đến khi nào quá trình tính toán hội tụ đếnkết quả có độ chính xác đủ dùng

Theo Argyris, thuật toán này chỉ cần thực hiện 1 chu trình tính toán là đủ, nhưngnếu muốn có kết quả tính chính xác hơn ta có thể tính 2, 3 chu trình là đủ

Các phương pháp xác định chính xác số gia biến dạng dẻo vừa mới trình bày cóthể áp dụng cho vật liệu bất kỳ có mođun đàn hồi phụ thuộc vào thời gian và nhiệt

độ và các quy luật biến dạng dẻo cũng phụ thuộc vào thời gian và nhiệt độ Nhưngdưới đây ta chỉ giới hạn khảo sát một trường hợp cụ thể hay gặp trong thực tế: đó

là trường hợp biến dạng dẻo

Khi biến dạng dẻo, thể tích vật liệu không thay ñổi, nghĩa là vật liệu có hệ sốPoát-xông v = 0,5 Theo lý thuyết biến dạng dẻo của Sokolopski, nếu vật liệu đẳnghướng thì quan hệ giữa ứng suất và biến dạng dẻo có dạng giống như khi vật liệuđàn hồi, chỉ khác là hệ số Poát-xông v = 0,5 Chẳng hạn, trong trạng thái căng khốimối quan hệ giữa biến dạng và ứng suất có dạng sau:

2

1 2

1 {

d ,

x         



và:   xy , d  3 C   xy

Trong đó: x,d – Số gia biến dạng dẻo theo phương x

x – Số gia ứng suất theo phương x

xy,d – Số gia biến dạng dẻo trong mặt phẳng xy

C – hệ số tỷ lệ (trong trường hợp vật liệu đàn hồi hệ số tỷ lệ này là

E 1

Với [D0]-1 là ma trận nghịch đảo của ma trận đàn hồi, ma trận này phụ thuộc hệ

số Poát-xông v, trường hợp biến dạng dẻo v = 0,5

Praghe (Prager) và Misès đã chứng minh rằng đối với vật liệu có biến dạng táibền, hằng số C là hàm số của ứng suất bát diện  Có nhiều trường hợp C là hàmphức tạp của ứng suất bát diện  và nhiệt độ ,, lúc đó người ta cho sẵn giá trị của

C dưới dạng đồ thị hoặc bảng mẫu Nhưng cũng có đôi khi người ta xem rằng giữabiến dạng dẻo bát diện  d và ứng suất bát diện  có hệ thức đơn giản sau:

số gia Ông đã chứng minh được rằng trong trạng thái biến dạng khối, số gia biếndạng dẻo và các cường độ ứng suất có quan hệ sau:

, xy

z y

x d

, x

) (

) 5 , 0 5

, 0 (

) (

Trong đó x, y, z là các ứng suất thực tế do số gia ứng suất bát diện gây ra Khibiết ứng suất thực tế {} và số gia ứng suất bát diện trong một khoảng thời giannào đó ta dễ dàng tính được số gia biến dạng dẻo tương ứng

Một cách tổng quát, theo D.C Dunker, ta có thể viết biểu thức của số gia biếndạng dẻo như sau:

 {  d }  [ D 0 ] {  }  (  )   (2 45) Muốn tìm  ( ) ta lại phải sử dụng các hệ thức Prager-Misès.

Nói chung quá trình tính toán vừa trình bày rất cồng kềnh vì trong mỗi bước talại phải giải một bài toán đàn hồi

2 6 GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐÀN HỒI PHI TUYẾN THEO

PHƯƠNG PHÁP CHẤT TẢI TỪNG BƯỚC

Ta không thể dùng phương pháp vừa trình bày để giải các bài toán vật liệu dẻo

lý tưởng hoặc vật liệu có tính dẻo lý tưởng được Sở dĩ như vậy là vì mặc dù tảitrọng có những số gia nhỏ cũng gây ra những biến dạng dẻo rất lớn (thậm chí lớn

vô hạn) cho nên quá trình tính toán không hội tụ đến kết quả được

Do đó, khi gặp vật liệu dẻo lý tưởng người ta thường dùng phương pháp giải sau.Trong phương pháp này quá trình chất tải cũng được thực hiện từng bước, và trongmỗi bước, xác định biến dạng do sự gia tải gây ra thì xem vật liệu gần như đàn hồi

Số gia của vật liệu có thể viết dưới dạng:

{ } [ D ] 1 { }



  (2.46)

Theo lý thuyết biến dạng dẻo của Sô-kô-lốp-sky đã nêu ở trên, ta có số gia biếndạng dẻo:

) } { } ({

} { ] D [ C } { ] D [ } { }

{

1 0

1 d

dh

1 0

1 d

Từ công thức trên ta có thể rút ra kết luận:

Nếu biến dạng ban đầu trong vật liệu chỉ là biến dạng vì nhiệt, thì ta có thể dùngphương pháp đàn hồi để xác định sự biến đổi ứng suất trong vật liệu đàn dẻo chỉcần chú ý rằng thay cho giá trị ma trận đàn hồi thông thường ở đây ta phải dùng

ma trận đàn-dẻo [D]đđ xác định theo công thức sau:

[D]đđ = ([D]-1 + C[D0]-1)-1 (2 49) Khi hệ số tỷ lệ C rất lớn thì phần biến dạng dẻo lớn hơn rất nhiều so với phầnbiến dạng đàn hồi Đặc biệt, trường hợp vật liệu đàn dẻo lý tưởng, giản đồ ứng suất– biến dạng có đoạn nằm ngang, ta có:

[ D ]

C

1 ] D [ ñd  0 (2 50)Phương pháp này khó áp dụng trong các trường hợp bài toán biến dạng phẳng hoặcbài toán căng khối, vì rằng lúc đó ma trận [Do] trở nên không xác định

2 7 GIẢI BÀI TOÁN PHI TUYẾN DO CHUYỂN VỊ LỚN

Ða số bài toán kết cấu có chuyển vị lớn trong thực tế là những bài toán trong đóvật liệu biến dạng nhỏ Khi giải các bài toán tính cột hay vỏ hoặc tấm nằm ngoàigiới hạn ổn định, ta thường hay gặp trường hợp kết cấu có chuyển vị lớn trong khivật liệu có biến dạng nhỏ và vẫn nằm trong giới hạn đàn hồi

Chỉ có trường hợp vật liệu cao su hoặc vật liệu chảy dẻo mới xảy ra hiện tượngbiến dạng lớn Những trường hợp này ít gặp trong thực tế thiết kế kết cấu Do đókhi sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải các bài toán phi tuyến do chuyển

vị lớn người ta thường hay phân biệt trường hợp vật liệu chịu biến dạng không lớn

và trường hợp vật liệu chịu biến dạng lớn Trong trường hợp vật liệu chịu biếndạng lớn bài toán có phức tạp hơn vì mối liên hệ giữa biến dạng và chuyển vị nútkhông còn tính chất tuyến tính nữa

Để giải các bài toán phi tuyến do chuyển vị lớn, người ta thường dùng haiphuơng pháp: phương pháp đúng dần trực tiếp (direct-iterative process) và phươngpháp số gia từng bước (incremental process) Người ta thường sử dụng phươngpháp đúng dần trực tiếp để giải những bài toán tính kết cấu với một hệ tải trọngnhất định, còn phương pháp số gia từng bước được áp dụng cho tất cả các dạng tảitrọng bất kỳ

Dưới đây ta hãy xét bản chất của từng phương pháp

2.7 1 Phương pháp đúng dần trực tiếp

Thực chất của phương pháp này là sử dụng thuật toán đúng dần để xác định cácchuyển vị nút của kết cấu Quá trình tính toán gồm nhiều giai đoạn, trong giai đoạnđầu tiên, ta xem rằng kết cấu là một vật thể đàn hồi, vật liệu tuân theo quy luậtbiến dạng tuyến tính, nghĩa là mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng bên trongvật liệu tuân theo định luật Húc Tất nhiên quan niệm như vậy chỉ là gần đúng Trong giai đoạn tính đầu tiên này ta tính kết cấu với sơ đồ không biến dạng, tức

là ta đã biết vị trí tọa độ của các điểm nút mọi phần tử hữu hạn của hệ Từ đó,trong giai đoạn này ta có thể tìm được các chuyển vị nút của hệ theo đường lốithông thường của một hệ tuyến tính Tất nhiên các chuyển vị nút của hệ tìm đượctrong giai đoạn này chỉ là kết quả gần đúng; bởi vì trong giai đoạn tính này ta đãtính hệ với sơ đồ không biến dạng trong khi thực tế chuyển vị của hệ rất lớn ta phảitính kết cấu theo sơ đồ biến dạng mới chính xác