Tài liệu Công trình Thủy điện Hòa Bình_ Phần 5 ppt

Một trong những nhiệm vụ chủ yếu của kỹ thuật chống động đất là việc xây dựngcác phương pháp xác định ứng lực trong các công trình khi chịu động đất.. Do thiếuthông tin về đặc tính của c

TÍNH TOÁN TẢI TRỌNG ĐỘNG ĐẤT

ĐẬP VẬT LIỆU ĐỊA PHƯƠNG

MỤC LỤC

CHƯƠNG I

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN CÔNG TRÌNH KHI CÓ ĐỘNG ĐẤT

1.1 Nguyên tắc chung 3

1.2 Phương pháp tĩnh 3

1.2.1 Phương pháp Omori 3

1.2.2 Phương pháp Mononebe 4

1.2.3 Phương pháp phổ tuyến tính 4

1.3 Các phương pháp động lực học 5

1.3.1 Phương pháp giải tích 5

1.3.2 Phương pháp đường cong phổ 5

1.3.3 Phương pháp động lực học 7

1.3.4 Phương pháp ngẫu nhiên 7

CHƯƠNG II PHƯƠNG PHÁP ĐỘNG HỌC TÍNH TOÁN TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT-BIẾN DẠNG CỦA ĐẬP ĐẤT- ĐÁ 2.1 Phương trình động học .10

2.1.1 Phương trình tổng quát .10

2.1.2 Phương trình chuyển động trong dạng ma trận 10

2.1.3 Hệ số tắt dần .14

2.1.4 Hình thành ma trận khối 16

2.1.5 Giải phương trình đặc tính 18

2.1.6 Tính toán sóng chảy 20

2.2 Đánh giá biến dạng dư 21

2.3 Lựa chọn các chỉ tiêu cơ lý của vật liệu khi có tải trọng động 23

CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP PHỔ TUYẾN TÍNH (THEO СНиП II -7-81) 3.1 Xác định tải trọng động đất 25

3.1.1 Các thành phần nằm ngang 25

3.1.2 Các thành phần thắng đứng 27

3.1.3 Ví dụ tính toán .30

3.2 Một số tiêu chuẩn, quy phạm của các nước 33

3.2.1 Tiêu chuẩn của Nhật 30

3.2.2 Tiêu chuẩn của Mỹ 30

3.2.3 Tiêu chuẩn của Pháp 30

3.2.4 Tiêu chuẩn СНиП II – A - 12 – 69 của Liên Xô 30

3.2.5 Tiêu chuẩn СНиП II -7-81 của Liên Xô 30

TÀI LIỆU THAM KHẢO 34

CHƯƠNG I

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN CÔNG TRÌNH

KHI CÓ ĐỘNG ĐẤT

I.1 NGUYÊN TẮC CHUNG

Một trong những nhiệm vụ chủ yếu của kỹ thuật chống động đất là việc xây dựngcác phương pháp xác định ứng lực trong các công trình khi chịu động đất

Để giải quyết nhiệm vụ trên, cần phải nghiên cứu các lý thuyết của cơ học địachấn là một lý thuyết mới của cơ học, nó liên quan nhiều đến những thành tựu củađịa chấn học, địa chất học, cơ học đất và nền móng v.v…

Kỹ thuật kháng chấn có liên quan đến việc phân vùng động đất, trạng thái động lựchọc của công trình, các phương pháp tính toán kết cấu công trình, tính kinh tế củaviệc thiết kế và tính toán công trình khi chịu động đất

Các phương pháp tính toán hiện nay, có thể tạm chia thành hai nhóm :

a.) Nhóm các phương pháp sơ đồ tĩnh

- Phương pháp giải tích

- Phương pháp động lực học dựa trên các đường cong phổ (sau đây gọi tắt là PP

đường cong phổ).

- Phương pháp động lực học theo các biểu đồ gia tốc của các trận động đất đã xẩy ra

(sau đây gọi tắt là PP động lực học).

- Phương pháp ngẫu nhiên

I.2 PHƯƠNG PHÁP TĨNH

1.2.1 PHƯƠNG PHÁP OMORI

Phương pháp tĩnh để tính toán động đất là phương pháp cổ điển xuất hiện từ năm

1900 do Omori (Nhật) tìm ra sau trận động đất lớn ở Nhật Bản năm 1891.Người ta

đã nghiên cứu phương pháp xác định các gia tốc lớn nhất và các quán tính phá họai

Lý thuyết này không chú ý đến biến dạng của công trình và xem các dao động ởmọi điểm trên công trình đều bằng nhau, còn sự phân bố các lực quán tính của độngđất trên công trình phụ thuộc vào khối lượng phân bố trên công trình Các lực độngđất được xem như các lực ngang tĩnh, tỷ lệ với khối lượng của kết cấu và bằng :

S = mΫ0 = g

Q

Ϋ0 = Kc.Q (1.1)Trong đó :

m (Q) – là khối lượng (trọng lượng) của công trình

và sự tắt dần của dao động riêng

Vì vậy, cần nghiên cứu các phương pháp động lực học để xác định các dạng daođộng và ứng lực trong công trình

Trong giai đoạn chuyển tiếp này, hệ số động lực có thể tăng gấp 2 lần Do thiếuthông tin về đặc tính của các trận động đất đã xẩy ra, nên phương pháp động lực họcchỉ cho ta hiểu sơ đồ về chuyển động của nền đất và các dao động của công trình

1.2.3 PHƯƠNG PHÁP PHỔ TUYẾN TÍNH

Cơ sở của phương pháp phổ tuyến tính là dựa trên việc phân tích các đường congphổ để đưa ra các hệ số để đơn giản hoá việc tính toán Phương pháp này được sửdụng trong các quy phạm thiết kế công trình trong vùng động đất của hầu hết cácnước trên thế giới

Phương pháp phổ tuyến tính được trình bày trong Quy phạm CНиП II-7-81 củaCHLB Nga Quy phạm này đươc cập nhật và bổ sung hàng năm Lần bổ sung gầnđây nhất là năm 2000 Phương pháp này đã được ứng dụng rộng rãi cho nhiều côngtrình xây dựng của Việt Nam.

Sau đây sẽ được giới thiệu cụ thể phương pháp này

I.3 CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐỘNG LỰC HỌC

1.3.1 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH

Đối với phương pháp giải tích, ta công nhận một mô hình toán cơ của công trình.Dựa vào các phương pháp cơ học của môi trường liên tục hoặc rời rạc, ta thiết lậpđược hàm giải tích, trong đó đưa yếu tố thời gian vào dao động của động đất Từphương trình vi phân ta xác định chuyển vị, vận tốc và gia tốc Các lực động đấtđược xác định bằng tích khối lượng của hệ với gia tốc tương ứng của chúng Nhưngphương pháp này có tính chất gần đúng, do thiếu các số liệu chính xác

1.3.2 PHƯƠNG PHÁP ĐƯỜNG CONG PHỔ.

Qua việc phân tích các trận động đất ở San Francisco vào năm 1923 và Laybichvào vào năm 1933, nhiều tác giả đã thiết lập được dạng mới của phương pháp độnglực học để tính toán công trình, đó là phương pháp phổ, hoặc phương pháp tính theođường cong phổ

Phương pháp phổ được M.Bio nêu ra năm 1933, sau đó được Cotrinski đã nghiêncứu hoàn chỉnh cơ sở lý thuyết của phương pháp này

Nội dung của phương pháp phổ là xác định gia tốc, vận tốc và chuyển vị cực đạicủa các dao động đó

Ở phương pháp này, người ta sử dụng sự tương tự giữa dao động của hệ phức tạpvới hệ có một bậc tự do

Để hiểu một cách vắn tắt phương pháp phổ, chúng ta sẽ khảo sát hàm F(t):

Nếu hàm F(t) biểu diễn quá trình giao động trong khoảng thời gian (0, t) thì phổcủa hàm đó là:

(1.3)

Dựa vào phổ (1.2) có thể khai triển F(t) dưới dạng lượng giác sau:

F(t) = ao+A1.sin(1t+1)+A2.sin(2t+ 2) +A3.sin(3t+ 3) +A4.sin(4t + 4) hay F(t) = ao + 

 1

k Ak.sin(kt + k) (1.4)

Việc biểu diễn biên độ Ak ứng với tần số k = k của điều hoà thứ k trong chuỗiFourier của hàm tuần hoàn F(t) trong mặt phẳng (1, A) gọi là biểu diễn hàm tuầnhoàn F(t) trong miền tần số Tập hợp các biên độ Ak trong khai triển Fourier (1.4)

của hàm tuần hoàn F(t) được gọi là phổ của hàm tuần hoàn F(t) Trên hình 1.1 biểu

diễn phổ của hàm (1.4)

Qua việc khảo sát trên có thể tạm định nghĩa như sau :

1.) Mục đích của phổ là tìm các thành phần tổng hợp nên dao động

2.) Ý nghĩa của phổ là đưa một bài toán trong miền thời gian về khảo sát trong miiền tần số.

hàm biên độ dao động theo thời gian

- Xác định khả năng xuất hiện của ngưỡng ứng suất i < ui < i+1

đặc trưng bởi xác suất :

P(ui ) =

N

n u

(1.5)Trong đó : nu – Số lần xuất hiện của ứng suất trong khoảng [i ,i+1]

N – Số thể hiện mô phỏng xác suất (1.5) được tính cho mỗi phần tử củacông trình, nó thể hiện mức độ có thể xẩy ra ở ngưỡng ứng suất [i ,i+1]

Ứng suất trung bình được tính như là kỳ vọng cúa các ui :

ui = ( )

1

ui i

ui i

- Độ lệch chuẩn :

 = v ar( ui) (1.8)Các đại lượng P(ui ), Var(ui) và  là kết quả xử lý thống kê cuối cùng của N thểhiện và đóng vai trò chủ yếu trong đánh giá độ tin cậy của kết cấu sau này

Phương pháp tính toán theo đường cong phổ đã được ứng dụng rộng rãi trong cáctiêu chuẩn qui phạm của các nước để xác định các lực động đất

1.3.3 PHƯƠNG PHÁP ĐỘNG LỰC HỌC.

Là phương pháp dựa vào các biểu đồ gia tốc ký thực tế của các trận động đất đãxảy ra

Phương pháp này sử dụng các phương trình vi phân dao động có vế phải là lực gây

ra các dao động cưỡng bức, được biểu thị bằng biểu đồ gia tốc ký của các trận độngđất đã xảy ra

1.3.4 PHƯƠNG PHÁP NGẪU NHIÊN.

Trong những năm gần đây người ta còn dùng phương pháp ngẫu nhiên , là mộtphương pháp hiện đại, đặt vấn đề ngẫu nhiên bài toán động lực kháng chấn, chophép suy nghĩ theo một cách mới trước một vài khía cạnh của vấn đề kháng chấn vàđánh giá được các phương án tính toán

Đặc tính của các trận động đất đặt ra vấn đề phải chú ý đến hàng lọat yếu tố cótính chất ngẫu nhiên của thiên nhiên

Ở phương pháp này người ta nghiên cứu các hệ kết cấu chịu tác động của động đất Vật liệu trong kết cấu và động đất được xem là những yếu tố ngẫu nhiên thay đổitheo thời gian

Dao động của nền đất ở vùng có động đất phụ thuộc vào hàng loạt yếu tố ngẫunhiên như tính chất của quá trình ở chấn tiêu, khoảng cách đến chấn tâm v.v… Trận động đất này khác các trận động đất tiếp sau Điều đó dẫn đến ý định ứngdụng các phương pháp thống kê và lý thuyết xác suất khi xác định tác động củađộng đất

Các hàm Ÿo(t) = Wo(t) và y(t) mô tả sự chuyển vị của nền đất và của kết cấu đều

là hàm ngẫu nhiên của thời gian

Bài toán đặt ra là: xác định đặc tính xác suất của chuyển vị y(t) dựa trên các đặc tínhxác suất cho trước của chuyển vị nền đất

Bài toán dao động động đất dẫn đến bài toán cơ bản của lý thuyết hàm ngẫu nhiênbằng việc xây dựng các hàm ngẫu nhiên từ hàm đã cho

Các dao động động đất tác động lên hệ có nhiều bậc tự do được xác định nhờ hệphương trình vi phân

Theo lý thuyết xác suất, điều cần thiết là phải xác định các đặc tính xác suất của

như bài toán về chuyển tiếp của hàm ngẫu nhiên, quan hệ tuyến tính Khó khăn khi

áp dụng phương pháp này là ở chỗ các trận động đất mạnh ở mỗi địa điểm khácnhau lặp lại thưa thớt trong số ít các biểu đồ gia tốc ghi được của nền đất đặc biệt làcác điều kiện như nhau đối với khoảng cách chấn tâm, đặc tính địa chất công trình

và địa chất thủy văn v.v… Các đặc tính xác suất của động đất còn được nghiêncứu rất ít và chưa đủ tin cậy

Tác động của động đất được xem xét theo nhiều cách khác nhau: qúa trình ngẫunhiên ổn định, quá trình ngẫu nhiên không ổn định, các quá trình tương quan delta

và các xung không tương quan của động đất tác động

Qúa trình ngẫu nhiên không ổn định được trên các hệ của các hàm tương ứng quan

về tác động bên ngoài ở phương pháp này nhiều tác giả đã kiến nghị gia tốc của nềnđất biểu thị bằng phương trình :



k

k k

W ( ) ( ) ( ) 1.9)Trong đó : Ak(t) – hàm thời gian đã cho

Zk(t) – hàm ngẫu nhiên ổn định

Kết quả đúng dần thứ nhất chỉ lấy số hạng đầu tiên của dãy (hình 9-13)

) ( ) ( ) (t A t z t

Trong trường hợp này, quá trình ngẫu nhiên được cho với hàm bao A(t)

Giả thiết rằng các hàm A(t) và z(t) đều phụ thuộc vào số lượng hữu hạn các thông sốngẫu nhiên như chiều sâu chấn tiêu, đặc tính năng lượng khoảng cách đến chấn tâm,đặc tính của vỏ quả đất mà ở đó các sóng động đất đi qua và điều kiện địa chất côngtrình v.v…Trên cơ sở của phương trình (1.10) ta có thể viết dưới dạng sau:

Wo(t) = A(q1,q2,…qn,t)z (qr+1, qm, t) (1.11) Gia tốc của nền đất có thể biểu thị như qúa trình ngẫu nhiên ổn định Giả thuyết

về tính chất ổn định của tác động động đất được dựa vào các biểu đồ gia tốc độngđất của các trận động đất mạnh có các tung độ của đường bao và các tần số daođộng biến thiên tương đối nhỏ

Hàm tương quan của gia tốc động đất của nền đất chỉ phụ thuộc vào hiệu số củacác thời gian tk và tk nghĩa là :

Ko(t1,t2) = ko(t1 – t2) = ko(t) (1.12) Mật độ phổ của gia tốc của nền đất ghi tần số của tác động của động đất được biểuthị bằng hàm tương quan theo phương pháp sau :

Fo() = 2  

0

k (1.13) Các tính chất xác suất tác động của động đất được cho đầy đủ với hàm tươngquan ko (t) Hàm này có thể được tính gần đúng theo công thức :

Trong đó : Wo(t) – gia tốc của nền đất theo biểu đồ gia tốc đo được bằng máy gia tốcký.

T – khoảng cách của biểu đồ gia tốc mà khoảng cách này phải kéo dài để thu nhậncác kết quả gần đúng tốt nhất

Việc ứng dụng các vấn đề tương quan delta (âm tạp trắng) được gọi là quá trìnhngẫu nhiên, trong đó mật độ là cố định, còn hàm tương quan chỉ khác 0 tại điểmthay thế tác động của động đất ổn định bằng một phương trình tương quan deltađược dựa vào các công trình thực tế và được đặc trưng bằng sự khuếch tán nănglượng tương đối nhỏ và với đặc điểm này các dao động cưỡng bức tăng lên khi cótần số gần với tần số riêng và tắt dần đối với các tần số khác

Nói chung các phương pháp tính toán tương quan delta có cơ sở mật độ phổ củahàm ổn định ban đầu

Các phương pháp tính toán đó về mặt khối lượng của các thông tin ban đầu và sự

mô tả xác suất tác động của động đất đều như nhau

Ưu điểm chủ yếu của phương pháp tương quan delta là ở chỗ đơn giản hóa cácquá trình tính toán và bỏ qua quá trình ngẫu nhiên, đưa đến hàm tuần hoàn sau :

Y(t) = A(t)cos[t +  (t)] (1.17)Trong đó : A(t) – biên độ dao động

(t) – pha dao động

Người ta cho rằng , khi tính toán các công trình chịu động đất mà không phản ánhcác đặc tính của chế độ địa chấn của khu vực và điều kiện địa chất công trình thì bàitoán đó là hoàn toàn không hợp lý

Vì vậy đối với mỗi khu vực, chúng ta cần thiết lập đặc tính xác suất về động đấtcủa từng khu vực bằng các máy đo địa chấn

Nhưng việc thu thập các thông tin xác suất chính xác về tính chất tác động củađộng đất là bài toán khó, chính vì vậy mà việc ứng dụng phương pháp ngẫu nhiênvào thực tế còn rất hạn chế

CHƯƠNG II

PHƯƠNG PHÁP ĐỘNG HỌC TÍNH TOÁN TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT-BIẾN DẠNG CỦA ĐẬP ĐẤT- ĐÁ

P(t) - là véctơ ngoại lực cưỡng bức như là một hàm số của thời gian

Như đã thấy từ (2.1), lực P(t) bao gồm trong nó các lực khác nhau đặt lên vật thể:lực kháng đàn hồi, hướng ngược với chuyển vị, các lực cản (tắt dần), ngược vớichuyển vị (tốc độ), tải trọng ngoài độc lập Nếu đưa vào lực quán tính, cản gia tốc,thì chúng ta nhận được phương trình chuyển động biểu diễn sự cân bằng của tất cảcác lực Phù hợp với nguyên lý Dalambe (khối lượng m gây ra lực quán tính, tỷ lệvới gia tốc của nó và hướng ngược với gia tốc) có thể trình bày ngoại lực như sau :

r – véctơ dịch chuyển (độ võng ) của kết cấu tương ứng với nền

Dấu âm ở vế trái phải của phương trình chỉ ra rằng tải trọng hướng ngược chiềuvới gia tốc của động đất Khi có tác động động đất dấu này thực tế không có ýnghĩa, bởi vì người ta giả thiết rằng tác động động đất có hướng tùy ý

2.1.2 PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG TRONG DẠNG MA TRẬN.

Sử dụng (2.3) (phương trình vi phân chung của chuyển động vơí lực cản trongdạng ma trận đối với hệ có nhiều bậc tự do) và khai triển véctơ dịch chuyển của nềntheo các toạ độ, chúng ta nhận được :

Ở đây : [M] – Là các ma trận khối lượng

[C] – Ma trận các hệ số tắt dần

[K] – Ma trận độ cứng giống như trong bài toán tĩnh

[r] – Là véc tơ chuyển vị của các điểm nút tương ứng với nền

[Ex] – Là ma trận cột của khối lượng theo phương x

[Ey] – Ma trận cột của khối lượng theo phương y

[Ez] – Ma trận cột của khối lượng theo phương z

 - tương ứng với các thành phần nằm ngang (x), thẳng đứng (y)

và nằm ngang (z) của gia tốc nền khi có tác động động đất Các giá trị này được lấy

từ các biểu đồ gia tốc ghi bằng máy gia tốc ký của các trận động đất thực tế đã xẩy

ra

Trong trường hợp chung có thể xem (2.1) như là sự miêu tả ma trận véctơ của cácphương trình cân bằng động học đối với trường hợp của hệ với nhiều bậc tự do Phương trình chuyển động của các dao động tự do không có lực cản có dạng :

[M]{r} + [K]{r} = 0 (2.5) Khi nghiên cứu các dao động của hệ với các thông số được phân bố (khối lượng

và biến dạng) có thể sử dụng phương pháp gần đúng , trên cơ sở cho hình dạng của

hệ khi nó chuyển động Nếu hệ dao động ổn định (ở đây hệ như vậy được nghiêncứu), thì lời giải riêng của các phương trình vi phân (2.5) sẽ có dạng :

r1 = A1sin (t + )

r2 = A2sin (t + ) (2.6)

rn = Ansin (t + ) Thay (2.6) và (2.5) , chúng ta nhận được hệ phương trình đại số tương ứng với cácbiên độ dạng :

- A12m11 - A22m12 - - An2m1n + A1K11 + A2K12 + + AnK1n = 0

- A12m21 - A22m22 - - An2m2n + A1K21 + A2K22 + + AnK2n = 0

(2.7)

- A12mn1 - A22mn2 - - An2mnn + A1Kn1 + A2Kn2 + + AnKnn = 0

Lời giải tầm thường của hệ phương trình đại số sẽ có khi có điều kiện A1 = A2

= An = 0, nghĩa là khi không có dao động Chúng ta quan tâm đến lời giải khôngtầm thường, bởi vì hệ đang dao động Trong trường hợp này định thức sau cần phảibằng 0

k11 – m112 k12 - m122 k1n - m1n2

k11 – m112 k12 - m122 k1n - m1n2

= 0 (2.8)

kn1 - mn12 kn2 - mn22 knn - mnn2

Sau khi khai triển định thức , chúng ta nhận được một định thức bậc n (

Tổ hơp các quan hệ:

k1i = 1, k2i = A2i/A1i , k3i = A3i/A1i kni = Ani/A1i (2.10)

Cho các biên độ tương đối của dạng dao động bản thân (riêng) thứ i , nghĩa làmiêu tả hình dạng của hệ khi sai lệch nhất trong quá trình dao động với tần số thứ i.Hình dạng này được xác định với độ chính xác đến một thừa số tùy ý, nghĩa là tỷ sốcủa nó là chưa biết Tổ hợp (2.10) trong dạng ma trận là hệ số của không gian véctơ

n - chiều Tổ hợp của các véctơ như vậy được gọi là ma trận của các dạng dao độngriêng [X] Mỗi một tần số riêng i tương ứng với một dạng dao động riêng {x} Việc xác định các tần số riêng (giá trị riêng) và dạng riêng (véctơ riêng) – là phầnkhó khăn nhất của việc giải bài toán về dao động của hệ với số lớn bậc tự do Mặtkhác sự có mặt của các trị riêng và véctơ riêng của dao động mở ra một khả nănglớn để giải các bài toán khác nhau (chặt chẽ và gần đúng) và phân tích sự làm việccủa kết cấu khi có tác động (tải trọng) đặt lên nó Thường việc xác định véctơ riêng

và trị riêng được thực hiện nhờ máy tính khi sử dụng một vài thuật toán của đại số

ma trận, bởi vì đường lối giải như đã trình bày ở trên là phức tạp do phải tìm nghiệmcủa một đa thức bậc cao Chuyển phương trình (2.5) đến dạng

[I].[r] = -[K]-1 [M]. r (2.11) Phù hợp với phương pháp Relay giả thiết rằng dạng (dao động) với sự chính xácchỉ phụ thuộc vào một thông số thời gian, khi đó mô hình cơ học có 1 bậc tự do (ví

dụ dao động uốn cong tự do của dầm) Theo phương pháp Relay chúng ta có :

[r(t)] = [X] [y(t)] (2.12)

Ở đây [X] – Là một hàm xác định trước của toạ độ

[y(t)] – Ma trận cột của hàm thời gian chưa biết

[ri(t)] = [Xi] {yi(t)] = [xi]sin(it +2) (2.13)Thay (2.13) vào (2.12), chúng ta nhận được dạng thứ i tương ứng

Nếu trong phương trình (2.3) phần phải bằng 0, thì để tính sự tắt dần (cản) của quátrình dao động, lời giải của phương trình này thuận lợi nhất là xem xét xuất phát từviệc nghiên cứu năng lượng trong quá trình dao động.

Có thể coi rằng ri(t) = Bcos(it + ), thế năng trong một thời điểm bất kỳ củachuyển động dao động bằng :

U[r(t)] =

2

) ( r2 t K

Bởi vì lực đàn hồi bằng k.r(t), độ cao nâng lên trung bình là r(t)/2 và :

2

)]

) (t m v m B t 

i

i (2.17)Nếu giả thiết rằng khi tắt dần  = 1, thì :

( [r t k t kB2 2  t   2 t 

Ft = - CV , ở đây: :  ( )   B sin( t   )

dt

t dr v

Khi đó xung của lực ma sát là :

Ft = - CV2 = - C.B22sin2(t + )Các lực này bằng sự thay đổi số lượng chuyển động theo thời gian vì ma sát :

dt

dB B k B k dt

d

= -

2

.B2  2

C

(2.19) Bởi vì giá trị trung bình sin2x trong một chu kỳ bằng 1/2

Giả sử y = sin2x khi sự thay đổi của x từ 0 đến  , khi đó giá trị trung bình :

2

1 2 cos 2

1 2

1 2

2 cos 1 sin 2

b

b

sin 0

sin 0

Giá trị cực đại có thể có được của tử số khi b  , sinb không vượt quá 1, còn mẫu

số tiến tới , nghĩa là y (0,b) -> 0

k

C dt

dB

2

B = h t

o

t k

c

e B e

B 2 . .

2

Chúng ta thay lời giải riêng vào, thì nhận được :

(m.h2 - c.h + k).e-ht = 0 (2.23)Tồn tại hai giá trị h, thoả mãn phương trình (2.23)

m

k m

c m

Các giá trị thực h1 và h2 Khi C nhỏ thường xảy ra trong đa số trường hợp, bao gồm

2 ,

h =   i 1    (2.27)Khi coi rằng 1 .  D- là tần số biến dạng có thể viết trong dạng :

h1,2 = .  iD (2.28)Bây giờ lời giải chung sẽ có dạng :

r(t) = B1.e-t-iDt + B2.e-t+iDt = e-t(B1e-iDt + B2.eiDt) (2.29)

Ở đây B1 và B2 – Là các biên độ ban đầu của dao động Biểu thức trong dấu ngoặcmiêu tả dao động điều hoà đơn giản và sau khi xác định từ các điều kiện ban đầu

hằng số trở thành đồng nhất theo môdun đơn vị khi t = 0 ;

D D

; v.v Điều đó rõ ràng là nếu biểu thức trong dấu ngoặc được hình dung như một dạnglượng giác của số phức (phương trình Ơle) , còn B1 và B2 - như một số phức liênhợp





) 0 ( ) 0 ( 

(2.31)

Bằng cách như vậy, lời giải chung của phương trình (2.22) miêu tả dao động tắtdần với tần số không đổi D, nhưng với sự giảm dần độ lệch lớn nhất, mà các độlệch đó, có thể được gọi là các biên độ

Dãy lệch các biên độ cực đại tuân theo quy luật của đường tiệm cận

r(t) : r (t + T) = et (2.32)

Ở đây T – Chu kỳ dao động, là thời gian giữa hai độ lệch cực đại kề nhau hoặc làthời gian, mà trong khoảng thời gian đó vật (hoặc chất điểm được nghiên cứu bêntrong vật) quay trở về vị trí xuất phát Trong chu kỳ T đối số sin và cosin thay đổimột góc là 2, từ đó :

D (t + T) = .Dt + 2 Tiếp theo T =

D



 2Quan hệ lôgarit tự nhiên r (t) : r (t + T) là quan hệ lôgarít giảm :

D

T T

t r

t r

) (

! 2

) 2 ( 2 1 )

t r

(2.36)Nếu sử dụng hai số hạng đầu tiên của chuỗi thì cũng đủ khi (tương đối nhỏ), chúng

r(2t)r(r t(t T)T)



Bằng cách như vậy hệ số tắt dần được xác định một cách gần đúng

So với lời giải chính xác

t

) (

) (

sai số trong việc xác định  khi  = 0,2

Khi  nhỏ có thể áp dụng  = D và (2.31) được biến đổi đến một dạng mới Khi

D >  quá trình dao động xảy ra với tần số D tương ứng với trạng thái cân bằng(hình 4.1) Khi D =  quá trình dao động sẽ xảy ra với tần số 

Bước chuyển đến hệ với nhiều bậc tự do được thực hiện nhờ việc trình bày matrận với các trị số khác nhau Vậy ma trận các hệ số tắt dần phù hợp với (2.26) sẽ ápdụng dạng 2 [.][M]

Thay (2.12) vào (2.4) Từ lý thuyết dao động đã biết thì :

[K] [M]-1 = D (() ; [C] [M]-1 = 2{ii} M* = {Xi}T [M] {Xi} (2.39)

Pn*(t) = – {X n } T {E x } U (t) {X } {E }U y(t)

g y T n x

  {X } {E }U z(t)

g z T



Bởi vì các số hạng bên ngoài đường chéo:

{Xi}[M]{Xj} khi i  j

do tính chất trực giao của các véctơ riêng bằng không (= 0), phương trình ma trận

(2.4) có thể được trình bày bằng một hệ phương trình vi phân đ ộc lập (tức các phương trình trong hệ đó không phụ thuộc vào nhau) Tương ứng với dạng thứ n-i

chúng ta nhận được phương trình :

n

* n 2

n n

n

M

) t ( P ) t ( y ) t ( y 2

) t (

y        (2.40) Việc giải phương trình (2.40) có thể được thực hiện bằng nhiều phương pháp khácnhau , nói riêng có thể bằng phương pháp Runge - Kuta

2.1.4 HÌNH THÀNH MA TRẬN KHỐI.

Trong phương trình (2.40) khối lượng của hệ được đưa vào bằng hai cách : matrận riêng của khối lượng [M] của hệ và ma trận cột {Ex}, {Ey} và {Ez} - là ma trậngây ra lực quán tính , ngoài ra ma trận khối lượng đưa vào phương trình đặc tính(2.11), mà từ phương trình này phải nhận được các dạng và tần số riêng (các vectơ

và các trị riêng) của dao động Ma trận khối lượng cột - bằng cách xác định thiết lập

hệ, tạo ra tải trọng quán tính

Chúng ta sẽ sử dụng việc chia phần tử ra các phần tử tam giác tuong tự như điều

đó đã được thực hiện khi giải bài toán tĩnh bằng phương pháp PTHH Nếu ký hiệucác khối lượng , tập trung ở các điểm nút qua M1, M2, M3 Mn , ở đây :

  

m i

Các ma trận cột của khối lượng có dạng :

[Ex]T = [M1 0 0 M2 0 0 M3 0 0 Mn 0 0 ]

[Ey]T = [ 0 M1 0 0 M2 0 0 M3 0 0 Mn 0 ] (2.41

)[Ez]T = [ 0 0 M1 0 0 M2 0 0 M3 0 0 Mn]

Trong đó ma trận khối lượng Mi ( i = 1,1,3… 18 ) tương ứng với phần tử lăngtru không gian có 6 điểm nút ( 6 x 3 = 18) có dạng :

Ma trận khối lượng Mi cho phần tử không gian có thể được hình thành theo haidạng:

1 Theo cách tương tự như đã trình bày đối với ma trận cột, ma trận khối lượng củaphần tử lăng trụ tam giác nào đó sẽ có dạng :

2 Thiết lập ma trận khối lượng của một phần tử, được soạn thảo bởi Zenkêvich, dựatrên nguyên tắc tạo nên một hệ các khối lượng tập trung, mà các khối lượng đótương đương và khối lượng phân bố của phần tử (thực) và cuối cùng chúng ta sẽ chodạng hữu hạn của ma trận như vậy (ma trận khối lượng của một phần tử)

2

104

104

104

1 .

4

104

1

018

02